物理期中復(fù)習(xí)3

問題一：曲線運動的條件

物體做曲線運動的條件：物體所受的合力方向（加速

度的方向）跟它的速度方向不在同一條直線上。

概括：

（1）物體必須有初速度；

（2）必須有合力；

（3）速度與合力的方向不在同一條直線上。

合外力對速度的影響：合外力不僅可以改變速度的大

小，還可以改變速度的方向。

如圖1-甲，與V共線的分力用改變速度的大??；與V垂

直的分力4改變速度的方向。

如圖1-乙、1-丙，將合力F沿著速度方向和垂直速度

方向分解為6和B，沿著速度方向的分力居產(chǎn)生加速度

為改變速度的大小，垂直速度方向的分力乃產(chǎn)生加速度

的改變速度的方向。

問題二：運動的合成和分解

1.怎樣確定合運動和分運動？

物體的實際運動一一合運動。合運動是兩個（或

幾個）分運動合成的結(jié)果。當(dāng)把一個實際運動分解，

在確定它的分運動時，兩個分運動要有實際意義。

2.運動合成的規(guī)律

(1)合運動與分運動具有等時性；

(2)分運動具有各自的獨立性。

3.如何將已知運動進(jìn)行合成或分解

(1)在一條直線上的兩個分運動的合成

例如:速度等于h的勻速直線運動與在同一條直線上的

初速度等于零的勻加速直線運動的合運動是初速度等

于V。的勻變速直線運動。

(2)互成角度的兩個直線運動的合運動

兩個分運動都是勻速直線運動，其合運動也是勻速直

線運動。

一個分運動是勻速直線運動，另一個分運動是勻變速

直線運動，其合運動是一個勻變速曲線運動。反之，

一個勻變速曲線運動也可分解為一個方向上的勻速直

線運動和另一個方向上的勻變速直線運動——為研究

復(fù)雜的曲線運動提供了一種方法。

初速度為零的兩個勻變速直線運動的合運動是一個初

速度為零的勻變速直線運動。

總結(jié)規(guī)律：對于以上這些特例，我們可以通過圖示研

究會更加簡便。具體做法：先將速度進(jìn)行合成，再合

成加速度，通過觀察合速度與合加速度的方向是否共

線，進(jìn)而判定是直線運動還是曲線運動。如圖2所示。

圖2

問題三：關(guān)于繩子末端速度的分解

解決此類問題的關(guān)鍵是抓住合運動和分運動的實質(zhì)，

準(zhǔn)確地判斷出分運動或合運動，而后再根據(jù)平行四邊

形定則進(jìn)行正確的運動合成或分解。

例：如圖3,重物M沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小

車用沿斜面升高。貝IJ：當(dāng)滑輪右側(cè)的繩與豎直方向成。

角，且重物下滑的速率為v時，小車的速度為多少？

思維點撥：解決此類問題的重要思想就是通過對物體

的運動進(jìn)行分解，找到兩個物體速度之間的關(guān)系。就

本題而言，重物M的速度丫是它的合速度，繩運動的

速度既是小車的合速度又是重物的一個分速度，問題

就是另一個分速度是什么。實質(zhì)上重物在下滑的過程

中，既有沿繩向下運動的趨勢，同時又有繞滑輪轉(zhuǎn)動

的速度，繩的收縮效果與轉(zhuǎn)動效果相互垂直，且為M

的兩個分運動。

解析：如圖4,將重物的速度v分解，由幾何關(guān)系得出

小車的速度M=vcos6

圖4

問題四：（小船、汽艇等）渡河問題

有關(guān)小船渡河問題是運動的合成與分解一節(jié)中典型實

例，難度較大。小船渡河問題往往設(shè)置兩種情況：（1）

渡河時間最短；（2）渡河位移最短?，F(xiàn)將有關(guān)問題討

論如下，供大家參考。

處理此類問題的方法常常有兩種：

（1）將船渡河問題看作水流的運動（水沖船的運動）

和船的運動（即設(shè)水不流動時船的運動）的合運動。

（2）將船的速度匕沿平行于河岸和垂直于河岸方向正

交分解，如圖5,%為水流速度,則匕-匕cose為船實際

上沿水流方向的運動速度，匕sin。為船黯直于河岸方向

的運動速度。

圖5

問題1：渡河位移最短

河寬d是所有渡河位移中最短的，但是否在任何情況下

渡河位移最短的一定是河寬d呢？下面就這個問題進(jìn)

行如下討論：

（1）V船＞V水

要使渡河位移最小為河寬d,只有使船垂直橫渡，則應(yīng)

v水一丫船cos6=0,即v船＞丫水，因此只有v船＞丫水，小船才能

夠垂皆河岸渡河，4時渡河的最短位移為河寬d。濾可

時間

口合y船sin0

?水

圖6

（2）丫船＜v水

由以上分析可知，此時小船不能垂直河岸渡河。

以水流速度的末端A為圓心，小船的開航速度大小為

半徑作圓，過。點作該圓的切線，交圓于B點，此時

讓船速與半徑AB平行，如圖7所示，從而小船實際

運動的速度（合速度）與垂直河岸方向的夾角最小，

小船渡河位移最小。

由相似三角形知識可得

d丫船

解得尸.〃

U船

渡河時間仍可以采用上面的方法

d

（3）丫船=丫水

此時小船仍不能垂直河岸渡河。由圖8不難看出，船

速與水速間的夾角越大，兩者的合速度越靠近垂直于

河岸方向，即位移越小。但無法求解其最小值，只能

定性地判斷出，船速與水速間的夾角越大，其位移越

小而已。

圖8

問題2：渡河時間最短；

渡河時間的長短同船速與水速間的大小關(guān)系無關(guān)，它

只取決于在垂直河岸方向上的速度。此方向上的速度

越大，所用的時間就越短。因此，只有船的開航速度

方向垂直河岸時，渡河時間最短，即”色。

y船

二、如何解決平拋運動中的常見問題

（-）理論基礎(chǔ)

平拋運動可分解為水平方向上的勻速直線運動和豎直

方向上的自由落體運動，因此常用的公式有如下幾點:

（如圖1）

位移公式：

1,

tan?=—=-^―

X2%

速度公式：

匕匕=/，tan/?=—=——

匕之

兩者關(guān)系：

tana=—=&-，tan/?=—=—

s12v0叭v0

2tana=tan￡（P點為OQ的中點）

（二）典型例題分析

1、利用速度公式解題

如圖2所示，球做平拋運動，在球落地前1s,其速度方

向與豎直方向的夾角由45。變?yōu)?0。，求V：e-----]

的初速度。X

解：根據(jù)平拋運動速度公式有

tana=—=—=1（D?

V.vgtK

t+an/z>=?—匕=---％---=—1/=偽邑1'v2

匕，g（f+DJ3圖2

聯(lián)立①②解得％gmis

V3-1

2、利用位移公式解題

如圖3所示，斜面高1加，傾角為30。，在斜面的頂點A

以V。的速度水平拋出一小球，小球剛好落在B點，不

計阻力，求拋出速度％、小球在空中運動的時間,?

(g=lOm/52)

解：根據(jù)平拋運動的位移公式

tana/=%=3①

ssx3

h=^gt2=1②

s=vot③

聯(lián)立①②③解得y（）=Vi^w/s，f=

3、利用兩者的關(guān)系公式解題

4、用平拋曲線求初速度的n種方法

在研究平拋物體運動的實驗中，用實驗描繪出的軌跡

曲線求平拋物體的初速度%,是本實驗的主要目的之

一。現(xiàn)簡析幾種求初速度%的方法，供參考。

①平拋規(guī)律法

根據(jù)平拋運動的規(guī)律，水平方向做勻速直線運動，豎

直方向做自由落體運動。若實驗

描繪出的軌跡曲線如圖5所示，

選拋出點為坐標(biāo)原點O建立坐

標(biāo)系，則有

X-vat①

y=^gt2②

圖5

二式聯(lián)立得％=*③

由軌跡曲線測出多個點ABCDE的坐標(biāo)(x,y),分

別代入③式求出多個V。值,最后求出它們的平均值即為

所求初速度入。

②軌跡方程法

由法1中的①、②消去f,可得平拋軌跡方程

2vo

結(jié)合圖中軌跡曲線，若測出水平位移％=/「醺，豎

直位移yAB=%，yBC=y2

由軌跡曲線方程可導(dǎo)出，％=Ax

推證如下:

因為力

2M

所以以=%-力-XA)=~2^XB~XA)(%S+XA)

2%2v0

問理。2=Oc+XB)

xB-xA-xc-xB=Ax>xc-xA-2Ax

所以力-%=壬-(%-工八)=今”

故%=Ax

顯然，只要測出相等時間內(nèi)的水平位移Ax和對應(yīng)的豎

直位移的差值為-月，即可求出初速度七。

③紙帶結(jié)論法

對于勻變速直線運動，相鄰的相等時間T內(nèi)的位移差

△s都相等，且Axa，。這是處理紙帶常用的一條重要

結(jié)論。

對于法2的測量數(shù)據(jù)，有

XAB-XBC一拉~V()T

>2-%=gL⑤

聯(lián)立④、⑤二式可得％=?,7旦丁。

另外，此法還可以擴(kuò)展，若加跡曲線上依次還有點D、

E等，且水平位移均為盤,豎直位移依次為為、以等，

則有

XXV

XAB=BC=CD=?-?==(7⑥

為-月=2gT?⑦

>4一。=3g72⑧

2g

由⑥與⑦或⑧聯(lián)立可得V。=6

y3-yt

且機(jī)〉”)

以上的分析給我們以啟示，在處理實驗或解題時，不

要墨守成規(guī)過分依賴課本，要善于開動腦筋思考創(chuàng)新,

尋找更好的方法和措施。這樣，既提高了解題能力和

速度，也有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識和發(fā)散思維。

5、平拋運動中n種常用的時間求解方法

平拋運動是高中物理運動學(xué)中一個基本模型，具有典

型的物理規(guī)律。考查中常常涉及到“速度、位移、時

問”等問題，下面針對平拋運動中的時間問題常用的

幾種方法進(jìn)行歸納總結(jié)，供大家參考。

①利用水平位移或豎直位移求解時間

平拋運動可以分解為水平方向的勻速直線運動和豎直

方向的自由落體運動。由合運動和分運動的等時性，

平拋運動的時間等于各分運動的時間。

水平方向：s水=3,可得"注

圖6

②利用水平位移、豎直位移及傾角求解時間

例1：如圖7,AB為斜面，傾角為30。，小球從A點以

初速度丫。水平拋出，恰好落到B點，求物體在空中飛

行的時間。

圖7

分析及解答：由本題所給的條件，顯然直接利用水平

位移或豎直位移無法解答，但兩個位移可以通過斜面

的傾角發(fā)生聯(lián)系。

對于水平方向：s水=%/①

對于豎直方向：s.*=2g尸②

又由”=cot30。③

S豎

由以上三式聯(lián)立可得”當(dāng)

3g

③利用速度求解時間

由于豎直方向為自由落體運動，則有乙=/，麗”上。

g

例2:如圖8,以9.8m/S的初速度水平拋出的物體，飛

行一段時間后，垂直地撞在傾角。為30。的斜面上，可

知物體完成這段飛行的時間為（）

C.D.2s

A書B寫

分析及解答：根據(jù)本題所給的信息，顯然無法利用位

移求解，但我們可以從速度入手，將物體撞擊在斜面

上的速度分解，如圖9所示，由幾何關(guān)系可得：

vv-v0cot30°=V3v0

豎直方向做自由落體運動，由vv=gf可得

④利用勻變速直線運動的推論以="求解時間

例3：如圖10,是某次實驗記錄的小球平拋運動軌跡

中的三點，測得A、B間的水平距離

和B、C間的水平距離都是15所，

AB間的豎直距離是15s,BC間的

豎直距離是25cm。若取g=10〃?/s2,

則小球平拋的初速度％等于多少？

分析與解答：在實驗《研究勻變速

直線運動》中，設(shè)初速度為%,加速

度為a,在兩個連續(xù)相等的時間間隔,內(nèi)的位移分別為

Si和S2，可以推出As=S2f=a/。本題中，由于物體水

平方向做勻速直線運動，而且AB、BC兩段水平位移

相等，由此可知，這兩段距離所用的時間相等均為4,

根據(jù)上述結(jié)論可得：

在豎直方向上：0.1=g42,解得4=0.Is

由水平方向：5水=,可得％=1.5/〃/s

⑤利用平拋運動的推論求解時間

推論：平拋運動中以拋出點為坐標(biāo)原點的坐標(biāo)系中任

一點P(x,y)的速度的反向延長線交于x軸的土處。

2

例4：如圖11,將一小球從坐標(biāo)原點沿著水平軸Ox以

%=2〃z/s的速度拋出，經(jīng)過一段時間到達(dá)P點，M為P

點在Ox軸上投影，做小球軌跡在P點的切線并反向延

長，與Ox軸相交于Q點，已知QM=3/71,則小球運動的

時間為多少？

圖11

分析與解答：由上面的結(jié)論可知，Q為OM的中點，

則從O點運動到P點的過程中，小球發(fā)生的水平位移

s水=OM=2QM=6m

由于水平方向做勻速直線運動，則小球在這段過程中

運動的時間為"注=3s。

%

6、平拋運動中偏轉(zhuǎn)角的應(yīng)用

在平拋運動中涉及角度問題常有兩類：位移偏轉(zhuǎn)角和

速度偏轉(zhuǎn)角。

例如：如圖12是初速度為％的物體做平拋運動的軌跡

圖，OA是物體運動到A點時的位移，丫是物體在A點

時的速度，其中6為位移偏轉(zhuǎn)角，a為速度偏轉(zhuǎn)角，則

有tan9-

圖12

如能恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用這一規(guī)律，解題就可事半功倍，應(yīng)用

如下：

例：如圖13,小球在斜面上A點以速度％水平拋出，

落在斜面上的C點，已知斜面傾角為e,求：

(1)小球何時離斜面最遠(yuǎn)；

(2)小球何時落在斜面上的C點？

(3)小球剛要落到斜面上時，速度方向與斜面間的夾

角？

圖13

分析：

(1)當(dāng)小球的運動方向與斜面平行時，小球與斜面相

距最遠(yuǎn)，此時，小球的運動方向與水平方向間的夾角

為。，如圖14由上面結(jié)論可得

tan^=—=-

匕之

所以，=但￡

g

(2)當(dāng)小球落在斜面上時，小球

圖14

的位移方向與水平方向間的夾角

為。，故可得

12

tan-J=￡

%vol2%

所以堂

8

（3）設(shè)小球的速度方向與斜面間的夾角為夕，小球的

速度方向與水平面的夾角為，，如圖15,則可得

tan￡=巫，且,為小球落到斜面上的時間，”犯*,

%g

又夕=￡-8,所以可得e=arctan（2tan0）-0o

三、勻速圓周運動典型問題剖析

勻速圓周運動問題是學(xué)習(xí)的難點，也是熱點，同時它

又容易和很多知識綜合在一起，形成能力性很強(qiáng)的題

目。對勻速圓周運動的學(xué)習(xí)可重點從兩個方面掌握其

特點，首先是勻速圓周運動的運動學(xué)規(guī)律，其次是其

動力學(xué)規(guī)律，現(xiàn)就各部分涉及的典型問題作點滴說明。

（-）運動學(xué)特征及應(yīng)用

勻速圓周運動的加速度、線速度的大小不變，而方向

都是時刻變化的，因此勻速圓周運動是典型的變加速

曲線運動。為了描述其運動的特殊性，又引入周期（T）、

頻率（f）、角速度（°）等物理量，涉及的物理量及

公式較多。因此，熟練理解、掌握這些概念、公式，

并加以靈活選擇運用，是我們學(xué)習(xí)的重點。

1.基本概念、公式的理解和運用

［例1］關(guān)于勻速圓周運動，下列說法正確的是（）

A.線速度不變B.角速度不變C.加速度為

零D.周期不變

解析：勻速圓周運動的角速度和周期是不變的；線速

度的大小不變，但方向時刻變化，故勻速圓周運動的

線速度是變化的，加速度不為零，答案為B、Do

［例2］在繞豎直軸勻速轉(zhuǎn)動的圓環(huán)上有A、B兩點，如

圖1所示，過A、B的半徑與豎直軸的夾角分別為30°

和60°,貝iJA、B兩點的線速度之比為；向心加

速度之比為。

圖1?

解析：A、B兩點做圓周運動的半徑分別為

1

rA=/?sin30°=-/?rB=/?sin60°=

它們的角速度相同，所以線速度之比

V_%①_凡_1_6

VBrBa)763

加速度之比幺?二孕二亞

aB3B「B3

2.傳動帶傳動問題

(二)動力學(xué)特征及應(yīng)用

物體做勻速圓周運動時，由合力提供圓周運動的向心

力

且有/合=F向=血％-m—=mro)~=mr(—)2

方向始終指向圓心

1.基本概念及規(guī)律的應(yīng)用

［例4］如圖3所示，質(zhì)量相等的小球A、B分別固定在

輕桿的中點和端點，當(dāng)桿在光滑水平面上繞O點勻速

轉(zhuǎn)動時求桿0A和AB段對球A的拉力之比。

解析：隔離A、B球進(jìn)行受力分析，如圖3所示。因A、

B兩球角速度相同，設(shè)為選用公式辱=團(tuán)〃「，并取

指向圓心方向為正方向，則

對A球：Ft—F2-ma）~LOA①

對B球：F2=mco~LOB②

①②兩式聯(lián)立解得3

F22

圖3

點評：向心力?是指做勻速圓周運動物體受到的合力,

而不一定是某一個力，要對物體進(jìn)行正確的受力分析。

［例5］如圖4所示，一個內(nèi)壁光滑的圓錐筒的軸線垂

直于水平面，圓錐筒固定不動，有兩個

質(zhì)量相同的小球A利B緊貼著內(nèi)壁分

別在圖中所示的水平面內(nèi)作勻速圓周

運動，則下列說法正確的是（）

A.球A的線速度必定大于球B的線速

度

B.球A的角速度必定小于球B的角速

度

C.球A的運動周期必定小于球B的運

圖4

動周期

D.球A對筒壁的壓力必定大于球B對筒壁的壓力

解析：對小球A、B受力分析，兩球的向心力都來源

于重力mg和支持力心的合力，其合成如圖4所示，

故兩球的向心力FA=FB=mgcota

比較線速度時，選用尸=團(tuán)匕分析得r大，v一定大，A

r

答案正確。

比較角速度時，選用尸=加/「分析得r大，。一定小，

B答案正確。

比較周期時，選用尸=皿生力分析得r大，T一定大，

T

C答案不正確。

小球A和B受到的支持力打都等于三，D答案不正

sina

確。

點評：①“向心力始終指向圓心”可以幫助我們合理

處理物體的受力；②根據(jù)問題討論需要，解題時要合

理選擇向心力公式。

2.軌跡圓（圓心、半徑）的確定

［例6］甲、乙兩名滑冰運動員，用甲=80依，〃乙=40依，

面對面拉著彈簧秤做勻速圓周運動

的滑冰表演，如圖5所示，兩人相

距0.9m,彈簧秤的示數(shù)為9.2N,下

列判斷中正確的是（）

A.兩人的線速度相同，約為40m/s

B.兩人的角速度相同，為6rad/s

C.兩人的運動半徑相同，都是0.45m

D.兩人的運動半徑不同，甲為0.3m,乙為0.6m

解析：甲、乙兩人做圓周運動的角速度相同，向心力

大小都是彈簧的彈力，則有2b即

M*I=M乙匕且，甲+'乙=09”，/甲=80Ag,M乙-40kg解得

河=0.3m「乙=0.6m

由于b=M甲］標(biāo)

F92

所以0=-------=J—:—=0.62(rad/s)

Mp(---V80x0.3

而v=w,r不同，v不同。所以答案選D。

點評：有些勻速圓周運動的軌跡圓是比較“隱蔽”的,

一旦理解錯誤，就會給解題帶來麻煩，如本題中兩人

做勻速圓周運動的半徑并不是兩人的間距，例2中A、

B做圓周運動的圓心并不是圓環(huán)的中心O等。

3.聯(lián)系實際問題

［例7］司機(jī)開著汽車在一寬闊的馬路上勻速行駛突然

發(fā)現(xiàn)前方有一堵墻，他是剎車好還是轉(zhuǎn)彎好？（設(shè)轉(zhuǎn)

彎時汽車做勻速圓周運動，最大靜摩擦力與滑動摩擦

力相等。）

解析:設(shè)汽車質(zhì)量為m,車輪與地面的動摩擦因數(shù)為〃，

剎車時車速為看,此時車離墻距離為s。，為方便起見，

設(shè)車是沿墻底線的中垂線運動。若司機(jī)采用剎車，車

向前滑行的距離設(shè)為s,則5=」仁=常數(shù)，若司采取急

2〃g

轉(zhuǎn)彎法，則=〃在（R是最小轉(zhuǎn)彎半徑），R=^-=2So

R4g

討論：

（1）若S0〉R，則急剎車或急轉(zhuǎn)彎均可以；

（2）若R>s0>s,則急剎車會平安無事，汽車能否急

轉(zhuǎn)彎與墻的長度和位置有關(guān)，如圖6所示，質(zhì)點P表

示汽車，AB表示墻，若墻長度/<2R,如圖6,

/=2（R-Reos。），則墻在AB和CD之間任一位置上，汽

車轉(zhuǎn)彎同樣平安無事；

（3）若s0<s,則不能急剎車，但由（2）知若墻長和

位置符合一定條件，汽車照樣可以轉(zhuǎn)彎。

點評：利用基本知識解決實際問題的關(guān)鍵是看能否將

實際問題轉(zhuǎn)化為合理的物理模型。

c

（三）勻速圓周運動的實例變形

課文中的圓周運動只有汽車過橋和火車轉(zhuǎn)彎兩個實

例，而從這兩個實例可以變化出很多模型。試分析如

下：

1、汽車過橋

原型：汽車過凸橋

如圖1所示，汽車受到重力G和支持力FN,合力提供

汽車過橋所需的向心力。

假設(shè)汽車過橋的速度為v,質(zhì)量為m,橋的半徑為r,

分析：當(dāng)支持力為零時，只有重力提供汽車所需的向

心力，即G=竺^,v0=y[gr

A.當(dāng)汽車的蠢度八%,汽車所受的重力G小于過橋

所需的向心力，汽車過橋時就會離開橋面飛起來。

B.當(dāng)汽車的速度-%,汽車所受的重力G恰好等于

過橋需要的向心力，汽車恰好通過橋面的最高點。

（G=,%=質(zhì)）

C.W汽車的速度"%,汽車所受的重力G大于所需

的向心力，此時需要的向心力要由重力和支持力的合

2

力共同來提供。（G-打=景）

因此，汽車過凸橋的最大亮度為而。

模型一：繩拉小球在豎直平面內(nèi)過最高點的運動。

如圖2所示，小球所受的重力和繩的拉力的合力提供

2

小球所需的向心力，即mg+F=m—o

rr

/YG\

圖2

分析：當(dāng)繩的拉力為零時，只有重力提供小球所需的

向心力，即6=也包，v0=y[gr

a.當(dāng)小球的速度：＞%,物體所受的重力G已不足以提

供物體所需的向心力。不足的部分將由小球所受的繩

的拉力來提供，只要不超過繩的承受力，已知物體的

速度，就可求出對應(yīng)的拉力。（相g+的=*）

b.當(dāng)小球的速度v=v°,物體所受的重力6剛好提供物

體所需的向心力。3=乎/。=?。?/p>

c.當(dāng)小球的速度”彩，血體所受的重力G大于所需的

向心力，此時小球?qū)⑸喜坏阶罡唿c。

因此，繩拉小球在豎直平面內(nèi)過最高點時的最小速度

為％=而。

實例：翻轉(zhuǎn)過山車

如圖3所示：由于過山車在軌道最高點所受的力為重

力和軌道的支持力，故分析方法與模型一類似。請同

學(xué)們自己分析一下。

辱型二：一輕桿固定一小球在豎直平面內(nèi)過最高點的

運動。

如圖4所示，物體所受的重力和桿對球的彈力的合力

2

提供物體所需的向心力，即%-%=機(jī)上

r

/、

/\

IIG?

i/

\\//

\、——/

圖4

分析：當(dāng)桿對球的彈力為零時，只有重力提供小球所

需的向心力，即

a.當(dāng)小球的速度八%,物體所受的重力G已不足以提

供物體所需的向心力。不足的部分將由小球所受的桿

的拉力來提供。(此時桿對小球的彈力為向下的拉力,

參考圖3)。已知物體的速度，就可求出對應(yīng)的拉力。

V2

(mg+FT=m—)

b.當(dāng)小球.速度八％,物體所受的重力G剛好提供物

體所需的向心力。3=乎/。=而）

c.當(dāng)小球的速度”入，物體所受的重力G大于所需的

向心力，多余的部分將由桿對小球的支持力來抵消。

（此時桿對小球的彈力為向上的支持力）。

V2

（mg-F=m—）

Tr

d.當(dāng)小球的速度v=o,物體所受的重力G等于桿對小

球的支持力。（用g=FQ

因此，一輕桿固定一小球在豎直平面內(nèi)過最高點的最

小速度為Oo

2、火車轉(zhuǎn)彎

原型：火車轉(zhuǎn)彎

如圖5所示，火車在平直的軌道上轉(zhuǎn)彎，將擠壓外軌,

由外軌給火車的彈力提供火車轉(zhuǎn)彎所需的向心力，這

樣久而久之，將損壞外軌。

圖5

故火車轉(zhuǎn)彎處使外軌略高于內(nèi)軌，火車駛過轉(zhuǎn)彎處時,

鐵軌對火車的支持力FN的方向不再是豎直的，而是斜

向彎道的內(nèi)側(cè)，它與重力的合力指向圓心，提供火車

轉(zhuǎn)彎所需的向心力（如圖6所示）。這就減輕了輪緣

與外軌的擠壓。

圖6

分析：當(dāng)火車的速度為V。時，火車所需的向心力全部由

重力和支持力的合力來提供，即mg。=m—，

tanr

%=Jgrtan?。

a.若火車的速度v〉v。，將擠壓外軌；

b.若火車的速度”%,將擠壓內(nèi)軌。

模型一：圓錐擺

小球所需的向心力由重力和繩的拉力的合力來提供

（如圖7所示）

圖7

模型二：小球在漏斗中的轉(zhuǎn)動

小球所需的向心力由重力和漏斗的支持力的合力來提

供（如圖8所示）

（四）勻速圓周運動的多解問題

勻速圓周運動的多解問題常涉及兩個物體的兩種不同

的運動，其中一個做勻速圓周運動，另一個做其他形

式的運動。由于這兩種運動是同時進(jìn)行的，因此，依

據(jù)等時性建立等式來解待求量是解答此類問題的基本

思路。特別需要提醒同學(xué)們注意的是，因勻速圓周運

動具有周期性，使得前一個周期中發(fā)生的事件在后一

個周期中同樣可能發(fā)生，這就要求我們在表達(dá)做勻速

圓周運動物體的運動時間時，必須把各種可能都考慮

進(jìn)去，以下幾例運算結(jié)果中的自然數(shù)“n”正是這一考

慮的數(shù)學(xué)化。

［例1］如圖1所示，直徑為d的圓筒繞中心軸做勻速

圓周運動，槍口發(fā)射的子彈速度為v,并沿直徑勻速穿

過圓筒。若子彈穿出后在圓筒上只留下一個彈孔，則

圓筒運動的角速度為多少？

圖1

解析：子彈穿過圓筒后做勻速直線運動，當(dāng)它再次到

達(dá)圓筒壁時，若原來的彈孔也恰好運動到此處。則圓

筒上只留下一個彈孔，在子彈運動位移為d的時間內(nèi)，

圓筒轉(zhuǎn)過的角度為2〃4+"，其中〃=0,1,2,3…，即

d2〃4十萬

-----=------------------------------O

VCD

解得角速度的值0=&言V,〃=0,1,2,3…

［例2］質(zhì)點P以O(shè)為圓心做半徑為R的勻速圓周運動,

如圖2所示，周期為T。當(dāng)P經(jīng)過圖中D點時，有一

質(zhì)量為m的另一質(zhì)點Q受到力F的作用從靜止開始做

勻加速直線運動。為使P、Q兩質(zhì)點在某時刻的速度相

同，則F的大小應(yīng)滿足什么條件？

c3

圖2

解析：速度相同包括大小相等和方向相同，由質(zhì)點P

的旋轉(zhuǎn)情況可知，只有當(dāng)P運動到圓周上的C點時P、

Q速度方向才相同，即質(zhì)點P轉(zhuǎn)過(〃+3周

4

(〃=0,1,2,3…)經(jīng)歷的時間f=(〃+-"(〃=0,1,2,3…)①

4

質(zhì)點P的速率”型②

T

在同樣的時間內(nèi)，質(zhì)點Q做勻加速直線運動，速度應(yīng)

達(dá)到v,由牛頓第二定律及速度公式得③

m

聯(lián)立以上三式，解得E=*J(〃=0,l,2,3...)

(4〃+3)72

【第六章萬有引力與航天】

一、萬有引力定律及其應(yīng)用

(-)開普勒運動定律

1、開普勒第一定律：所有的行星繞太陽運3

動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一

個焦點上.

2、''笄善勒第二定律：對于每一個行星而言,仁々先￡

太陽和行星的連線在相等的時間內(nèi)掃過的

面積相等.

3、開普勒第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次

方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等.

(二)萬有引力定律

1、內(nèi)容：宇宙間的一切物體都是互相吸引的，兩個物

體間的引力大小，跟它們的質(zhì)量的乘積成正比，跟它

們的距離的平方成反比.

2、公式：F=G當(dāng)區(qū)其中G=6.67XK)T1N.陽2/這2,稱為為

r1

有引力恒量。

3、適用條件

(1)適用于兩個質(zhì)點之間。

(2)適用于兩個均勻球體之間。

(3)適用于一個質(zhì)點與一個均勻球體之間。

注意：萬有引力定律把地面上的運動與天體運動統(tǒng)一

起來，是自然界中最普遍的規(guī)律之一，式中引力恒量G

的物理意義是：G在數(shù)值上等于質(zhì)量均為1千克的兩

個質(zhì)點相距1米時相互作用的萬有引力.

(三)萬有引力和重力

重力是萬有引力產(chǎn)生的，由于地球的自轉(zhuǎn)，因而

地球表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)時需要向心力.重力實際

上是萬有引力的一個分力.另一個分力就是物體隨地

球自轉(zhuǎn)時需要的向心力，如圖所示，由于緯度的變化,

物體做圓周運動的向心力F向不斷變化，因而表面物

體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯

度變化而變化，從赤道到兩極逐漸增大.通常的計算

中因重力和萬有引力相差不大，而認(rèn)為兩者相等，即

m2g=G等，g=GM/r2常用來計算星球表面重力加速

度的大小，在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度

的增大而減小，即gh=GM/（r+h）2,比較得gh=（」-）

r+h

2*g

在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和

m2g剛好在一條直線上，則有

F=F向+m2g,

所以m2g=F—F向=G膂一m2R3自2

r

因地球目轉(zhuǎn)角速度很小G^-?m2R?自2,所以m2g=

r

U叫〃?2

假設(shè)地球自轉(zhuǎn)加快，即3自變大，由m2g=G號一

r

m2Rw自2知物體的重力將變小，當(dāng)G^=m2Rw自

r2

2時，m2g=0,此時地球上物體無重力，但是它要求地

球自轉(zhuǎn)的角速度/自=停，比現(xiàn)在地球自轉(zhuǎn)角速度

要大得多.

（四）天體表面重力加速度問題

設(shè)天體表面重力加速度為g,天體半徑為R,由mg=G^

得g=G《,由此推得兩個不同天體表面重力加速度的關(guān)

R

系為&i*”

4R：心

二、應(yīng)用萬有引力定律分析天體問題

1.基本方法：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其

所需向心力由萬有引力提供。

2

「Mmv/2兀峭/八「、2

G——=m—=mk2r=m(亍)r=m(2TIJ)r

應(yīng)由味.根據(jù)實際情況選用適當(dāng)?shù)墓竭M(jìn)行分析計

算。

2.天體質(zhì)量M、密度。的估算

測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T,由

「Mm4萬之4日”,MM3儲

G——=mr―付M=--?,p=—=%為天

產(chǎn)T2GT2V予了七3

體的半徑。

當(dāng)衛(wèi)星沿天體表面繞天體運行時一%,則。=言。

3.天體質(zhì)量的幾種計算方法

以地球質(zhì)量的計算為例：

(1)若已知月球繞地球做勻速圓周運動的周期T和半

徑r,根據(jù)G駕型=叫/"，得〃地=卉。

(2)若已知月球繞地球做勻速圓周運動的線速度

v和半徑r,根據(jù)G吆粵=嗎二，得〃地=匕

rrG

(3)若已知月球運行的線速度v和周期T,根據(jù)

6丁M地加月二嗎產(chǎn)4萬亍知利心6知丁地加月=%丫丁~4倚縣A%/=前/丁。

(4)若已知地球半徑R和地球表面的重力加速度g,

根據(jù)件=G學(xué)，得用地=注，此式通常稱為黃金代換

RG

式。

三、人造衛(wèi)星

1.衛(wèi)星的繞行速度、角速度、周期與半徑r的關(guān)系

(1)由G^=血匕得…陛，

rrVr

r.r越大，v越小

(2)由G4旭一2，,得7半,

越大，⑦越小

(3)由G絲」nr誓得丁=\評,

產(chǎn)T2VGM

越大，T越大

2.在不同軌道上衛(wèi)星的角速度比較

如圖所示，衛(wèi)星分別處在地球的不同圓形軌道上，繞

地球做勻速圓周運動，其中物體1在地面上隨地球自

轉(zhuǎn)，衛(wèi)星2在近地軌道上(h-0),衛(wèi)星3在同步軌道

上，衛(wèi)星4在離地球更遠(yuǎn)的軌道上.顯然，q=%(%為

地球自轉(zhuǎn)角速度)，電=牡，由G等=加療「，可知

蘇廣3=GV,隨r的增大，6y減小。

故處于地表以上同步軌道以下的圓軌道上的衛(wèi)星的角

速度例>跳；

處于同步軌道以上的衛(wèi)星以<為，即例〉電=供)〉以

若某一時刻衛(wèi)星2、3、4處于過地心的同一直線上沿

軌道同向運動，則站在位置1處的觀察者會看到過一小

段時間衛(wèi)星3仍處于自己的正上方，衛(wèi)星2將運動至

頭頂前方，衛(wèi)星4將滯后于衛(wèi)星3,在頭頂上方偏后，

因此衛(wèi)星2、3、4將不在同一直線上。

3.衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度和物體隨地球自轉(zhuǎn)的

向心加速度

衛(wèi)星繞地球運動的向心力完全是由地球?qū)πl(wèi)星的萬有

引力提供的，而放在地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的

向心力是由萬有引力的一個分力提供的。

GM

衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度q=/r2，其中M為地

球質(zhì)量，r為衛(wèi)星與地心間的距離.物體隨地球自轉(zhuǎn)的

向心加速度。,=療R=坐，其中T為地球自轉(zhuǎn)周期，R

為地球半徑.4比近地衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度

q=G叱2要小得多。

四、應(yīng)用萬有引力定律的一些解題技巧

1、掌握一些推論并能靈活運用，將會化繁化簡，變難

為易，解決問題的思路和方法清晰明了，方便快捷。

題型一：g廠關(guān)系

在質(zhì)量為M的某天體上空，有一質(zhì)量為〃?的物體，距

該天體中心的距離為「，所受重力為萬有引力：

GMm

〃吆二丁

由上式可得，g=GM=常量或產(chǎn)g=K

推論一：在某天體上空物體的重力加速度g與非成反

比。即

g=與或&=4①

廣81不

例1:設(shè)地球表面重力加速度為g。，物體在距離地心

4R（R是地球的半徑）處，由于地球的作用而產(chǎn)生的

重力加速度為g，則且為()

go

1

B1

A.9-C.-D.

416

解析：由①式得g二二R?1

go-(4/?)2

答案應(yīng)選Do

題型二：vr關(guān)系

有一質(zhì)量為加的物體（衛(wèi)星或行星等）繞質(zhì)量為M的

天體做勻速圓周運動，其軌道半徑為「，線速度為?

萬有引力提供向心力：笑

r-r

由上式可得/=GM=常量或/r=K

推論二：繞某天體運動物體的速度丫與軌道半徑z■的平

方根成反比。即

例2:已知人造地球衛(wèi)星靠近地面運行時的環(huán)繞速度約

為8km/s,則在離地面的高度等于地球半徑處運行的速

度為（）

A.142km/sB.4km/sC.4叵km/sD.

8km.Is

解析：由②式得％=^=4、/5A"I/S

答案應(yīng)選c

題型二：CD---/?關(guān)系

有一質(zhì)量為機(jī)的物體（衛(wèi)星或行星等）繞質(zhì)量為M的

天體做勻速圓周運動，其軌道半徑為八角速度為0,

萬有引力提供向心力：粵jr①2

r

由上式可得：廠"2=GM=常量或//=K

推論三:繞某天體運動的物體的角速度0的二次方與軌

道半徑的三次方成反比。即

例3：兩顆人造地球衛(wèi)星，它們的軌道半徑之比為

r,：r2=l:3,它們角速度之比叫：

g=。

解析：由③式可得電：g=/彳=36:1

題型四：T——「關(guān)系

有一質(zhì)量為機(jī)的物體(衛(wèi)星或行星等)繞質(zhì)量為M的

天體做勻速圓周運動，其軌道半徑為廠，周期為T,萬

有引力提供向心力：GM^-=mrco2,=—

r2T

由上式可得：匚=絲=常量或：=K

22

T412T

推論四：繞某天體運動的物體的周期T的二次方與其

軌道半徑「的三次方成正比。即片=廠或宜件④

這就是開普勒第三定律。

例4：兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面繞地球做勻速圓周運

動，地球半徑為R,a衛(wèi)星距地面的高度等于R,b衛(wèi)

星距地面的高度等于3R,則4、b兩衛(wèi)星周期之比

7"：。=

k2RN=1

解析：由④式得T〃：7；=

V(4R)3-2V2

GM

2、利用萬二8的有關(guān)計算

(1)比較兩不同星體表面的重力加速度

(2)利用黃金代換GM=gR2,架起“天”與“地”的

橋梁

例4:已知地球的半徑為6400hn,又知月球繞地球的運

動可近似看作勻速圓周運動，則可估算從月球到地心

的距離為IIlo(結(jié)果保留一位有效數(shù)字)

解析：設(shè)月球到地心的距離為廣，由萬有引力提供向心

力有

月球繞地球的公轉(zhuǎn)周期為T=27.3d

在地球表面萬有引力提供重力則整』②

其中M為地球的質(zhì)量，R為地球的半徑