圓的有關(guān)計算與證明綜合問題（上海真題10道模擬30道）-2023年中考數(shù)學重難題型押題培優(yōu)導練案（上海專用）【解析版】

2023中考數(shù)學重難題型押題培優(yōu)導練案(上海專用)

專題07圓的有關(guān)計算與證明綜合問題(上海真題10道+模擬30道)

【方法歸納】題型概述，方法小結(jié)，有的放矢

考點考查年份考查頻率

圓的有關(guān)計算與證明綜合問題2011.2012.2014.2015.2016.2017.2018.12年10考

(大題)

圓的證明與計算是中考取的一類重要的問題，在上海市的2011-2022年12年中考中出現(xiàn)了10次，常見的

圓的基礎(chǔ)知識和解題技巧如下：

1、圓中的重要定理：

(1)圓的定義：主要用來證明四點共圓和點到或直線圓的最值距離問題.

(2)垂徑定理：主要用來證明——弧相等、線段相等、垂直關(guān)系等等.

(3)三者之間的關(guān)系定理：主要用來證明一一弧相等、線段相等、圓心角相等.

(4)圓周角性質(zhì)定理及其推論：主要用來證明——直角、角相等、弧相等.

(5)切線的性質(zhì)定理：主要用來證明垂直關(guān)系.

(6)切線的判斷定理：主要用來證明直線是圓的切線.

(7)切線長定理:線段相等、垂直關(guān)系、角相等.

2.圓中幾個要點元素之間的相互轉(zhuǎn)變：弧、弦、圓心角、圓周角等都能夠經(jīng)過相等來相互轉(zhuǎn)變.這在圓

中的證明和計算中常常用到.

3.判斷切線的方法：

(1)若切點明確，則“連半徑，證垂直”。

常有手法有：全等轉(zhuǎn)變；平行轉(zhuǎn)變；直徑轉(zhuǎn)變；中線轉(zhuǎn)變等；有時可經(jīng)過計算聯(lián)合相像、

勾股定理證垂直；

(2)若切點不明確，則“作垂直，證半徑”。

常有手法：角均分線定理；等腰三角形三線合一，隱蔽角均分線；

4、考題形式剖析：

主要以解答題的形式出現(xiàn)，第1問主要判斷切線、證明角或線段相等；第2問主要與圓有關(guān)的計算：

①求線段長(或面積)：②求線段比；③求角度的三角函數(shù)值(本質(zhì)仍是求線段比)

【典例剖析】典例精講，方法提煉，精準提分

[例I](2020?上海)如圖，△4BC中，AB=AC,。。是△ABC的外接圓，80的延長線交邊AC于點力.

(1)求證：NBAC=2NABD：

(2)當△BCZ)是等腰三角形時，求/BCD的大小;

(3)當AO=2,CC=3時，求邊BC的長.

【分析】(1)連接04利用垂徑定理以及等腰三角形的性質(zhì)解決問題即可.

(2)分三種情形：①若BD=CB,則/C=/8CC=NABO+N8AC=3NABO.②若C￡)=C8,則/CBO

=NCDB=3NABD.③若。8=DC,則。與A重合，這種情形不存在.分別利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)

建方程求解即可.

(3)如圖3中，作AE〃8c交8。的延長線于E.則處=膽=2,推出至=￡&=§,設(shè)。8=。4=

BCDC3OHBH3

4a,0H=3>a,根據(jù)BH2=AB2-AH2=OB2-OH2,構(gòu)建方程求出a即可解決問題.

【解答】(1)證明：連接04.

圖1

\"AB=AC,

/.AB=AC-

：.OAYBC,

：.ZBAO=ZCAO,

'：OA=OB,

：.ZABD=ZBAO,

：.NBAC=2NABD.

(2)解：如圖2中，延長AO交8C于〃.

*:AB=AC9

：.ZABC=ZC,

:./DBC=2/ABD,

VZDfiC+ZC+Z^DC=180°,

A8ZABD=180°,

.\ZC=3ZABD=67.5°.

②若CD=CB,則NC8O=NCO8=3N48。，

：.ZC=4ZABDf

ZDBC+ZC+ZCDB=180°,

J10/48。=180°,

ZBCD=4ZABD=72°.

③若Q3=QC,則。與4重合，這種情形不存在.

綜上所述，NC的值為67.5°或720?

(3)如圖3中，作AE〃3C交的延長線于E.

圖3

則，挹=仙二2,

'BCDC3

AAO=AE=4(設(shè)。8=。4=4“，OH=3a,

OHBH3

VBH2^AB2-AH'OB2-OH2,

.,.25-49a2=16a2-9a2,

—

56

：.BH2=la2=^-,

8

4_

：.BC=2BH=^^.

2

【例2】(2021?上海)如圖，在圓。中，弦AB等于弦CQ,且相交于點尸，其中E、F為AB、CD中點.

(1)證明：OP工EF：

(2)連接4F、AC,CE,若A尸〃OP,證明：四邊形ABEC為矩形.

【分析】(1)利用全等三角形的性質(zhì)證明OE=OF,PE=PF,可得結(jié)論.

(2)連接4C,設(shè)EF交OP于J,想辦法證明尸E=PF=?4=尸C,可得結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接OP,EF,OE,OF,OB=OD.

,:AE=EB,CF=FD,AB=CD,

：.OELAB,OFVCD,BE=DF,

.?./OEB=/OFO=9(T,

?:OB=OD,

.,.RtAOEB^RtAOFD(HL),

：.OE=OF,

；NOEP=NOFP=W,OP=OP,

ARtAOPE^RtAOPF(HL),

PE=PF,

,:OE=OFf

：.OP±EF,

(2)證明：連接AC,設(shè)￡尸交。尸于人

,:AB=CD,AE=EB,CF=DF,

:.AE=CF,BE=DF,

?：PE=PF,

ABA=PC,

■:PE=PF,OE=OF,

JOP垂直平分線段ER

：.EJ=JFf

?：OP〃AF,

：,EP=PA,

:.PC=PF,PA=PEf

???四邊形AFEC是平行四邊形，

'：EA=CF,

???四邊形AFEC是矩形.

【例3】(2022?上海)如圖，在EL4BC。中，P是線段3c中點，聯(lián)結(jié)8。交AP于點E,聯(lián)結(jié)CE.

(1)如果AE=CE.

i.求證：團ABC。為菱形；

ii.若AB=5,CE=3,求線段3。的長；

(2)分別以AE,8E為半徑，點A,8為圓心作圓，兩圓交于點E,凡點尸恰好在射線CE上，如果

CE=?AE,求姻■的值.

【分析】(l)i.證明：如圖，連接AC交8。于點。，證明△AOE絲△COE(SSS),由全等三角形的性

質(zhì)得出/AOE=/COE,證出AC1.BD,由菱形的判定可得出結(jié)論；

ii.由重心的性質(zhì)得出BE=20E,設(shè)OE=x,則BE=2x,由勾股定理得出9-?=25-9?,求出x的值，

則可得出答案；

(2)由相交兩圓的性質(zhì)得出由(1)②知點E是AABC的重心，由重心的性質(zhì)及勾股定理得

出答案.

?.?西邊形ABCO是平行四邊形,

：.OA=OC,

?:AE=CE,OE=OE,

:.AAOESE(SSS),

ZAOE=ZCOE,

VZAOE+ZCOE=\SO°,

，/COE=90°,

.".ACA-BD,

?.?四邊形A8C￡＞是平行四邊形,

二團A8CZ)為菱形；

ii.解：'：OA=OC,

：.OB是△ABC的中線，

?尸為BC的中點，

是△ABC的中線，

...點E是△A8C的重心,

：.BE=20E,

設(shè)OE=x,則8E=2r,

在RtaAOE中，由勾股定理得，0解=45-。辟=32-f=9-

在RCAOB中，由勾股定理得，OA2=AF-0^2=52-（3x）2=25-9/,

.?.9-7=25-9/,

解得x=&（負值舍去），

OB=3x=3近,

:.BD=2OB=6瓜

（2）解：如圖，

與08相交于E,F,

：.AB±EF,

由（1）②知點E是△ABC的重心，

又在直線CE上，

；.CG是△A8C的中線，

：.AG^BG=^AB,EG=±CE,

22

,:CE=?AE,

：.GE=^-AE,CG=CE+EG=^^-AE,

22

：.AG2=AE2-EG2^AE2-（除AE）2=yAE2'

：.AG=^AE,

2

：.AB=2AG^-/2AE,

：.BC2=BG2+CG2--1-AE2+AE）2=5盤,

:.BC=4SAE,

...ABMAE>/io

【真題再現(xiàn)】必刷真題，關(guān)注素養(yǎng)，把握核心

1.(2011?上海)如圖，點C、。分別在扇形AOB的半徑OA、OB的延長線上，且0A=3,AC=2,CQ平

行于A8,并與弧A3相交于點M、N.

(1)求線段00的長；

長；

(2)過。作OE_LCO,連接OM,由垂徑定理可知再根據(jù)tan/C=-^可求出OE的長,

22

利用勾股定理即可求出ME的長，進而求出答案.

【解析】(1)'：CD//AB,

：.ZOAB=ZOCD,ZOBA=ZODC,

.0A=0B

"ocOD'

ppOA_OB

'OA+ACOD'

又0A=3,AC=2,

；.O8=3,

.3,3

"3^2OD"

；.OO=5；

(2)過。作OE_LCQ,連接0M,則ME=LMN,

2

VtanZC=A,即幽=▲

2CE2

.,.設(shè)OE=x,則CE=2r,

在RtZ\OEC中，OC2=O￡2+CE2.即5?=/+(2X)2,解得》=遍,

在RtZ\OME中，OM2=OE1+ME1,即32=(A/5)2+A/E2,解得ME=2.

:.MN=4,

2.(2012?上海)如圖，在半徑為2的扇形AO8中，/AOB=90°,點C是弧AB上的一個動點(不與點A、

B重合)OO_LBC,OE1AC,垂足分別為C、E.

(1)當8c=1時，求線段OD的長；

(2)在△。0￡中是否存在長度保持不變的邊？如果存在，請指出并求其長度，如果不存在，請說明理

由；

(3)設(shè)BD=x,△OOE的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域.

【分析】(1)根據(jù)OD_L3c可得出5。=工8。=工，在RtaBO。中利用勾股定理即可求出。。的長；

22

(2)連接A8,由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的長，再根據(jù)。和E是中點可得出DE=&；

(3)由BD=x,可知OD=qd_乂2,由于Nl=/2,Z3=Z4,所以N2+/3=45°,過。作。凡LOE,

2后產(chǎn)=返》即可得出結(jié)論.

DFV4-X；

=V22

【解析】(1)如圖(1),'.'ODLBC,

.?.8￡)=LC=2，

22

00=VoB2-BD2=-^p-;

(2)如圖(2),存在，是不變的.

連接A8,則48=近2+0人2=2料,

二?。和E分別是線段BC和AC的中點,

.?.￡)E=/AB=&；

(3)如圖(3),連接0C,

'：BD=x,

OD-yj4-x2，

VZ1=Z2,Z3=Z4,

；./2+/3=45°,

過。作DFLOE,

,由⑵已知OE=&,

.?.在RtZ\O￡F中，EF-DF

/.OE=OF+EF=

：.y=XDF-OE=^-

22

二廣+出”(0<x<V2).

B

x

(3)

3.（2014?上海）如圖1,已知在平行四邊形48C￡＞中，AB=5,8C=8,cosB=±點P是邊BC上的動點,

5

以CP為半徑的圓C與邊AO交于點E、F（點尸在點￡的右側(cè)），射線CE與射線8A交于點G.

度2

(1)當圓C經(jīng)過點4時，求CP的長;

連接AP,當4P〃CG時，求弦E尸的長;

(3)當aAGE是等腰三角形時，求圓C的半徑長.

【分析】（1）當點4在。C上時，點E和點A重合，過點A作AH,8c于”，直接利用勾股定理求出

AC進而得出答案;

(2)首先得出四邊形APCE是菱形，進而得出CM的長，進而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出CP以及EF

的長；

(3)NGAE/NBGC,只能N4GE=NAEG,利用AO〃8C,得出△GAEs^GBC,進而求出即可.

【解析】(1)如圖1,設(shè)。。的半徑為一，

當點A在。C上時，點E和點A重合，過點A作AH,8c于H,

.?.B”=A8?cos8=4,

：.AH=3,CH=4,

???40=辦口2禮口2=5,

,此時CP=r=5；

(2)如圖2,若4P〃CE,APCE為平行四邊形，

:CE=CP,

四邊形APCE是菱形，

連接AC、EP,則AC_LEP,

：.AM=CM=^-,

2

由(1)知，AB=AC,則/4C8=/8,

CP=CE=—————=空，

cos/ACB8

*=2｛翁)2-32='

(3)如圖3：連接AC,過點C作CN_LA。于點M設(shè)AQJ_8C,

,.--52-=COSB,AB—5,

AB

；.8Q=4,AN=QC=BC-BQ=4.

VcosB=-i,

5

VZBCG<90°,

：.ZBGC>45a,

:.NBGC>NB=NGAE,即Z8GC/NGAE,

又NAEG=NBCG2ZACB^NB=ZGAE,

...當NAEG=/GAE時，A、E、G重合，則△AGE不存在.

即NAEGWNGAE

只能NAGE=/AEG,

,JAD//BC,

:AGAEs&jBC,

?AE_AG即AE_AE

,■CB-BG"'AE+5，

解得：AE=3,EN=AN-AE=l,

二C￡=VEN2+CN2=V32+I2=^Q-

圖3

4.（2015?上海）已知，如圖，AB是半圓。的直徑，弦CO〃A8,動點P,。分別在線段OC,CD上，且

DQ=OP,4尸的延長線與射線。。相交于點E,與弦CD相交于點F（點F與點C,。不重合），48=20,

cosZAC>C=-1,設(shè)。P=x,Z\CP尸的面積為y.

(1)求證：AP=OQ；

(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出它的定義域;

【分析】(1)連接0。，證得△AOP也△OOQ后即可證得AP=。。；

(2)作根據(jù)cos/AOC=且得到0H=三尸。=生一從而得到S_MOP=24O?P，=3X,利用△

5552

PFCs△必。得當對應(yīng)邊的比相等即可得到函數(shù)解析式；

(3)分當/POE=90°時、當N0PE=9(T時，當NOEP=90°時三種情況討論即可得到正確的結(jié)論.

【解答】(1)證明：連接0D,

在△A。尸和△OOQ中，

'A0=0D

<ZA0C=ZC=Z0DQ-

0P=DQ

.?.△AOPdO。。，

：.AP=OQ-.

(2)作PHLOA,

cosZAOC——,

5

/.OH——PO=—x,

55

SMOP=—AO*PH=3X,

2

又,：XPFCSXPAO,

：L=盧)2=2,

2AAOP「°*

整理得：3X2-60X+300

x

'：AP延長線與CD相交于點F,

:.CFWCD=T6,易知△CPFs4。網(wǎng),

?.?—CP二CF,

xAO

當尸與。重合時，x=弛，

13

的定義域為：—<x<10；

13

（3）當NPOE=90°時，CQ=——^4——=至，PO=DQ=CD-CQ=—（舍）；

cosZQCO22

當/OPE=90°時，PO=AO?cosZCOA=8；

當/OEP=90°時，如圖，由（1）知△AOPg/XO力Q,

NAPO=NOQD,

：.ZAOQ=ZOQD=AAPO,

'：ZAOQ<90°,ZAPO>90°（矛盾），

,此種情況不存在，

線段OP的長為8.

5.（2016?上海）已知：如圖，0。是△ABC的外接圓，AB=AC.點。在邊8c上，AE//BC,AE=BD.

（1）求證：AD=CE；

（2）如果點G在線段OC上（不與點。重合），且AG=AZ）,求證：四邊形AGCE是平行四邊形.

【分析】（1）根據(jù)等弧所對的圓周角相等，得出乙8=/48,再根據(jù)全等三角形的判定得

即可得出AD=CE；

(2)連接AO并延長，交邊BC于點H,由等腰三角形的性質(zhì)和外心的性質(zhì)得出A//_L3C,再由垂徑定

理得8”=。〃，得出CG與AE平行且相等.

【解答】證明：(1)在00中，

VAB=AC，

.'.AB=AC,

:?/B=/ACB,

YAE//BC、

：.ZEAC=NACB,

：.ZB=ZEAC,

'AB=CA

在△A3。和△C4E中，＜/B=NEAC，

BD=AE

/./\ABD^ACAE(SAS),

：.AD=CE,

(2)連接A。并延長，交邊BC于點H,

???篇=眾，0A為半徑，

:.AHLBC9

:?BH=CH,

9：AD=AG,

:,DH=HG,

：.BH-DH=CH-GH,即BD=CG,

9：BD=AE,

:?CG=AE,

*：CG//AEf

???四邊形AGCE是平行四邊形.

6.（2017?上海）如圖，己知。。的半徑長為1,AB、AC是。0的兩條弦，且AB=4C,8。的延長線交AC

于點。，聯(lián)結(jié)OA、OC.

（1）求證：

（2）當△OCD是直角三角形時，求B、C兩點的距離；

（3）記△AO8、△AO。、△C。。的面積分別為Si、S2、S3,如果S2是Si和S3的比例中項，求。力的

長.

【分析】（1）由△AOB絲△4OC,推出NC=N8,由0A=OC,推出N04C=NC=N8,由NAOO=N

ADB,即可證明△OAOS/^ABQ；

（2）如圖2中，當△OCZ）是直角三角形時，需要分類討論解決問題；

（3）如圖3中，作O”_LAC于”，設(shè)。。=工想辦法用x表示A。、AB.CD,再證明AQ2=AC?CO,

列出方程即可解決問題；

【解答】（1）證明：如圖1中，

在△408和中,

'OA=OA

-AB=AC>

OB=OC

.?.△408絲△AOC,

.,.ZC=ZB,

,：OA=OC,

.?./0AC=NC=/8,

ZADO=ZADB,

：./\OAD^/\ABD.

(2)如圖2中，①當/OOC=9()°時,

：.AD=^DC,

：.BA^BC^AC,

...△ABC是等邊三角形，

在RtZ\OAZ)中，'：OA=l,N040=30。，

：.OD=—OA=—,

22

,，MP=VoA2-OD2="y"

：.BC=AC=2AD=43-

②/COQ=90°,NBOC=90。，BC=Q0+i2=瓜

③NOCQ顯然W90°,不需要討論.

綜上所述，8c=百或加.

(3)如圖3中，作0/7_LAC于H,設(shè)。。=工

B

。

A\~HTyC

圖3

"：ADAO^/\DBA,

?AD=OD=OA

''DBAD而’

.AD_x_1

"74ADAB"

:.AD=Nx（x+1），AB=2/^13+.1）_,

x

：S2是51和S3的比例中項,

2

.?.52=SrS3,

,：S2=—AD*OH,S}^S^OAC^—?AC-OH,S3=LCD?OH,

222

：.C-^AD'OH）2=^AC'OH^'CD'OH,

222

:.AD2=AC-CD,

'：AC^AB.CD^AC-AD=S但+1）-八（x+1），

X

（VHTHJ）2=4X（X+I）.（七g■一百萬）,

XX

整理得/+x-1=0,

解得x=N5一1或.75-],

22

經(jīng)檢驗：x=返二1是原方程的根，且符合題意，

_2

：.OD=^T.

2

（也可以利用角平分線的性質(zhì)定理：AD=AD=DO（黃金分割點的性質(zhì)解決這個問題）

ACABOB

方法2、設(shè)OO=x,設(shè)△A08的邊上的高為人，則△40。的邊。。邊上的高也為兒

c-BOXh

?dAA0BJ2._________BQ_1

，SD0X

AAODlD0Xh

設(shè)S/\AOB=a,

S^AOD=dXf

?.,△AOB9/\AOC,

S^AOC=SMOB=a

SMOC=SMOD+S^COD?

^?S^C0D=a-ax—a(1-x),

VS2M51和S3的比例中項，

.■.522=Sl*S3，

/.(ar)2=aXa(1-x)>

.“一-1±V5

??A—“,

2

VOD>0,

0￡)=近二1.

2

7.(2018?上海)已知。。的直徑A8=2,弦AC與弦8。交于點E.且OQLAC,垂足為點尸.

(1)如圖1,如果AC=8。，求弦AC的長；

(2)如圖2,如果E為弦B力的中點，求NAB。的余切值；

(3)聯(lián)結(jié)BC、CD、DA,如果BC是。。的內(nèi)接正〃邊形的一邊，CQ是。。的內(nèi)接正(〃+4)邊形的

一邊，求△A8的面積.

【分析】(1)由AC=8O知箴而=而+前，得標=血，根據(jù)4c知俞=而，從而得益=而=

BC>即可知/40力=/。0。=/80。=60°,利用AF=AOsin/AOF可得答案；

(2)連接BC,設(shè)OF=t,證OF為△ABC中位線及△。砂0△BEC得BC=DF=2t,由DF=1-t可得

f=工，即可知8C=O尸=2,繼而求得￡尸=工4?=亞，由余切函數(shù)定義可得答案；

3343

（3）先求出BC、CD.AZ）所對圓心角度數(shù)，從而求得8c=AO=J，、OF;號,從而根據(jù)三角形面積

公式計算可得.

【解析】（1）YOOLAC,

AD=CD.ZAFO=90°,

又?；AC=8。，

AAC=BD-即俞+而=而+征，

??-AD=BC-

AD=CD=BC-

/.乙4。。=4D0C=N8OC=60",

'：AB=2,

：.AO=BO^\,

：.AF=40sinNAOF=1X返=近,

22

則AC=2AF=愿；

；AB為直徑，OC_LAC,

AZAFO=ZC=90°,

：.OD//BC,

:.ND=NEBC,

?；DE=BE、NDEF=NBEC,

.?.△?！晔z△BEC(ASA)，

:.BC=DF、EC=EF,

又：AO=OB,

尸是△48C的中位線，

設(shè)OF=f,則BC=DF=2t,

"：DF^DO-OF^l-t,

1-/=2r,

解得：尸工

3

則OF=8C=2、4C={AB2_B)2=

3

￡F=」LFC=工人C=亞，

243

'：OB=OD,

NABD=ND,

2_

則cot/4B￡)=cotN￡)=更=二-=我；

EF：72_

3

(3)如圖2,

：8C是OO的內(nèi)接正“邊形的-邊，C￡>是。。的內(nèi)接正(〃+4)邊形的一邊,

：.ZBOC=-^->ZAOD=ZCOD=^-,

nn+4

則迦_+2X遜-=180,

nn+4

解得：〃=4或-2,-2舍去.

.?.N8OC=90°、NAOO=NCOD=45°,

：.BC=AC=近,

；NAFO=90°,

：.OF=AOcosZAOF=y-^~,

2

則DF=OD-OF=1-亞，

?,.5A4CD=—AC?DF=AXV2X(1-返):近一、.

2222

1模擬精練】押題必刷，巔峰沖刺，提分培優(yōu)

一、解答題

1.(2022?上海楊浦?二模)已知在扇形40B中，點C、￡＞是AB上的兩點，且C?=2AC,/.AOB=130°,OA=10.

(1)如圖1,當0DJL04時，求弦CD的長；

(2)如圖2,聯(lián)結(jié)4D,交半徑OC于點E,當0D//4C時，求經(jīng)的值；

ED

(3)當四邊形BOCD是梯形時，試判斷線段AC能否成為。0內(nèi)接正多邊形的邊？如果能，請求出這個正多邊

形的邊數(shù)；如果不能，請說明理由.

【答案】(DC。=10

⑵9=Vs-i

DE2

(3)線段4C能成為。。的內(nèi)接正多邊形的邊，邊數(shù)為18

【解析】

【分析】

(1)取第的中點E,連接OE,根據(jù)圓的有關(guān)性質(zhì)可得NCOE=4EOD=乙40。=a,然后由余角的性質(zhì)及

等邊三角形的判定與性質(zhì)可得答案；

(2)由平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得440。=108°.然后根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案;

(3)根據(jù)圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理分兩種情況進行解答：?BD//OC；?CD//OB.

(1)

解：設(shè)NAOC=a,取6的中點E,連接OE,

E

D

AB

O

：.CD=2CE=2ETE,

XVCD=2AC,

?*.CE==AC,

/-Z-COE=乙EOD=Z.AOC=a,

?；0D10Af

，乙AOD=90°,

：.Z.AOC+(COE+乙EOD=90°,

a4-a4-a=90°,

：.a=30°,

二人COD=60°,

VOC=OD,

...AC。。是等邊三角形，

:.CD=OC=OA,

又。4=10,

：.CD=10；

(2)

解：

o

VOD||AC,

??/.OCA=(COD=2a,

'：0A=OC,

?\Z-OCA=Z.OAC=2a,

在△40C中，

'：/.OAC+Z.OCA+Z.AOC=180°,

:?2a+2a+a=180°,

：.a=36°,

：.Z.AOC=36°,/.COD=72°,

：.Z.AOD=108°,

在△4。。中，

*：OA=OD,

Z.OAD=4ODA,

*：Z.OAD+乙ODA+Z.AOD=180°,

：.Z.OAD=Z.ODA=36°,

：.Z.OED=Z.OAD+Z.AOC=36°+36°=72°,

：.Z.OED=乙COD,

/?ED=OD=10,

*：Z-OAE=^OAD,Z.AOE=Z.ADOf

*??△AOEADO,

?OAAE

??—=—,

ADOA

設(shè)AE=x,則4。=10+x,

...言/余解之得x=5通-5，

.AE__5遍-5_V5-1

,?OE-10-2

(3)

解：當四邊形BOCD是梯形時，①BDIIOC,

Z.ODB=乙COD=2a,

VOB=OD,

:?乙OBD—Z-ODB-2a,

LAOB=乙AOC+乙COD+乙DOB=130%

J.Z.BOD=130°-3a,

在△BOD中，

VLOBD+乙ODB+乙BOD=180°,

???2a+2a+130°-3a=180°,

?'?a=50°.

當a=50。時，/-BOD=130°-3a<0,不合題意，舍去.

@CD||OB,

:,乙ODC=乙BOD=130°-3a,

VOC=OD,

：.z.OCD=Z.ODC=130°-3a,

在仆COD中，

■:乙OCD+（ODC+乙COD=180°,

A130-3a+130°-3a+2a=180°,

：.a=20°,

?3600[

?.n=--=1o8.

20°

.?.線段AC能成為。。的內(nèi)接正多邊形的邊，邊數(shù)為18.

【點睛】

本題考查的是圓的弧、弦、角之間的關(guān)系、三角形的內(nèi)角和定理、圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)等知識，正確作出

輔助線是解決此題的關(guān)鍵.

2.（2022?上海普陀?二模）如圖，已知矩形ABCD中，AD=5,以力D上的一點E為圓心，EA為半徑的圓，

經(jīng)過點C,并交邊BC于點F（點F不與點C重合）.

(1)當4E=4時，求矩形對角線4c的長；

(2)設(shè)邊4B=x,CF=y,求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；

(3)設(shè)點G是尤的中點，且4GEF=45。，求邊4B的長.

【答案】⑴AC=2V10

(2)y=^Z^.(o<x<5)

(3)10-5V3

【解析】

【分析】

(1)聯(lián)結(jié)CE,AC,由勾股定理可求出答案：

(2)過點E作于點兒連接CE,由矩形的性質(zhì)得出A8==AE=5方,由勾股定理可求出答

案；

(3)當點G在弧CF上時，設(shè)EF與AC的交點為M,連接CE,求出NZ)EC=3O。，由直角三角形的性質(zhì)可

得出答案；當點G在弧A尸上時，則點尸與點C重合，不合題意.

(1)

解：聯(lián)結(jié)EC,AC.

ACE=4,ED=1.

在Rt△CDE中，由勾股定理得CD?=CE2_DE2=42-/=15.

在RM4CD中，同理得，

：.AC=y/AD2+CD2=,25+15=2710

(2)

過點E作EHIBC,垂足為點兒

圖2

由徑定理可得C”=[CF=[y.那么BH=5-]y.

由四邊形48HE為矩形，得EH=x,4E=5-：y.

那么EC=5-1y.

在RtACHE中，由股定理得：

/+("2=(5一初。

化簡得y=(0<%<5)；

(3)

①當點G在弧CF上時，設(shè)EF與4c的交點為M.

G

圖3

丁點G是4c的中點，

：.EGLAC.由4GEF=45。，

得乙EMC=45°.

9：EA=EC

?"EAC=LECA.

同理得4EFC=乙ECF.

9：AD||BC,

：.^LEAC=乙ACF.

：.^LECA=4ACF.

?:乙EMC=乙EFC+乙ACF,

."EMC=3/.ACF,

：.Z-EFC=2/.ACF=30°.

9：AD||BC,Z.DEC=30°.

???CE=2CD

：.5--y=2x,

2）

解得Xi=10—5V3,X2=10+5V3（不合題意，舍去）

即邊48的長為10-5b.

②當點G在弧4尸上時，則點尸與點C重合，不符合題意.

【點睛】

本題是圓的綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三

角形的性質(zhì)，熟練掌握圓的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?上海松江?二模）如圖，已知。。是△ABC的外接圓，AB=AC=8,OA=5.

（1）求4BA。的正弦值；

（2）求弦BC的長.

【答案】⑴|

⑵g

【解析】

【分析】

（1）過點。作0。?LAB,垂足為點。；根據(jù)圓的性質(zhì)，即可求NB4。的正弦值；

（2）過點。作OF_L4C,垂足為點F；由圓的性質(zhì)得4B4。=4。4。，延長4。交BC于點E,4。1BC,BC=2BE,

根據(jù)sin/BA。=|即可求弦BC的長；

（1）

解：（1）過點。作。。14B,垂足為點。.

v0D1AB,AB=8,

AD=-AB=4,

???OA=5,

???OD=3,

在R￡ZM。。中，

3

AsinZ-BAO=[

(2)

過點。作。FlAC,垂足為點F.

-AB=AC,

.?.OD—OFr

Z.BAO=Z.CAO

延長4。交BC于點E.

:,AO±BC,BC=2BE,

在RtUBE中，

3

vAB=8,s\nz.BAO=-

BcEl=—24,

:.BcCc=y48.

【點睛】

本題主要考查圓的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識，正確做出輔助線是解題的關(guān)

鍵.

4.（2022?上海虹口?二模）已知：如圖，AB.4c是。。的兩條弦，4B=4C,點M、N分別在弦48、4c上,

且4M=CN,AM<AN,聯(lián)結(jié)OM、ON.

⑴求證：0M=ON；

(2)當4BAC為銳角時，tin^AO2=AM-AC,求證：四邊形AMON為等腰梯形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)證明△AOM=△CON即可；

(2)由4。2=4M??!(?可得△A。"~Zk4C。，可得0M=0N=4M,再證明OM〃4C即可.

(1)

'：AB.4c是。0的兩條弦，AB=AC,

."(MB=Z.OAC=/.OCA

在△4。時和小CON中

OA=OC

Z.OAM=Z.OCN

.AM=CN

：.^AOMMACON(SAS)

：.OM=ON；

(2)

"：AO2=AM-AC

.?.-A-O-=—AC

AMAO

VZ.OAB=乙OAC

?MAOM?△AC。

.'.Z.AOM=/.ACO

'：WAB=AOAC=乙OCA

：.^OAB="AC=/.OCA^AOM

.'.AM=MO,OM//AC

：.AM=MO=ON

二四邊形AMON為等腰梯形.

【點睛】

本題考查圓的弧弦關(guān)系、全等三角形的證明、等腰梯形、相似三角形的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是由弦4B=

4C得至JI/L04B=/.OAC=Z.OCA.

5.(2022?上海金山?二模)如圖，已知：RM4BC中，乙4cB=90。，AB=10,sin^BAC=|,。是邊4c上

一點，以點。為圓心，。4為半徑的圓。與邊AC的另一個交點是點D,與邊4B的另一個交點是點E,過點。作

AB的平行線與圓。相交于點P,與BC相交于點Q,DP的延長線交于點F,連接FQ.

(1)求證：DP=EP；

(2)設(shè)OA=x,的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

(3)如果AFPQ是以FQ為腰的等腰三角形，求力。的長.

【答案】⑴見解析

27o

(2)y=——x24-3x(0<%<4)

(3)如果AFPQ是以FQ為腰的等腰三角形，40的長為工，詈

【解析】

【分析】

(1)連接0E,根據(jù)“心8,可得4。。2=乙4,Z.POE=LOEA,從而得到/COP="0E,即可求證；

(2)作。Ml48,FNLPQ,垂足分別為M、N,則0M=FN,再由銳角三角函數(shù)可得BC=6,AC=8,

FN=|x,再證得△COQs/\C48,可得0Q=10從而得到PQ=0Q-OP=10-3x,即可求解；

(3)分兩種情況討論：若FQ=PQ,若FQ=/P,即可求解.

(1)

證明：連接。E,

9：OPnAB,

；?乙DOP=ZJ1,乙POE=Z-OEA,

V0A=0E,

/.Z.A=乙OEA,

?"DOP=乙POE,

：.DP=EP.

(2)

解：作OM_LAB,FN上PQ,垂足分別為M、N,

c

TOQllgOMLAB,FN1PQ,

：.OM=FN,

?.?在RM4BC中，44cB=90。，AB=10,sin/BAC==,

：.BC~6,AC=8,

在AAMO中，Z.AMO=90°,

3

：.OM=OAsin^BAC

：.FN=|x,

???OQ||g

:.XCOQs*c\B,

.OQ_CO

??=f

ABCA

?..-O-Q-=--8-—--X,

108

：.OQ=10-1x,

：.PQOQ-OP=10--x-x=10--x,

44

y=：(i°一2.凱

根據(jù)題意得：2爛8,

?X4,

Ay=-^%2+3x(0<%<4).

(3)

解：若FQ=PQ,

:?乙QPF=(QFP=40Po=乙0DP,

：.QFnAC,

丁OQ//AB,

???四邊形4R?。是平行四邊形，NOPD=NAFD,

：.AF=QO,

：.Z.ADF=Z.OPD=4力尸0,

?\AF=AD=2%,

**.OQ=2%,

：.2x=10--X,

4

?40

??X—.

若FQ=FP,作。MlAB,FN1PQ,垂足分別為M、N,則PN=QN,

c

a

八、〃j/rB

'：OQ//AB,

：.NMOgNONF=NMFN=90°,

.,?四邊形OMFN是矩形，

在△AM。中，44Mo=90。，OM=-x,AM=-x,

55

??OQ//AB,

：.ZOPD=ZAFD,

,:OD=OP,

：?/ODP=/OPD,

：.^ADF=Z.OPD=UFD,

：.AF=AD=2%,

：,MF=ON=2x-lx=lx,

：.PN=0N-OP=^xt

2

：.PQ=1x,

7

：.OQ=-x,

W=10一7，

解得：x=等.

綜上所述，如果△"（?是以FQ為腰的等腰三角形，4。的長為工，等.

【點睛】

本題主要考查了圓周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握圓周角定理，解

直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關(guān)鍵.

6.（2022?上海靜安?二模）如圖，已知AABC外接圓的圓心。在高A。上，點E在BC延長線上，EC=AB.

A

(2)當OA=2,COSNBAO=當時，求DE的長.

【答案】(1)見解析

(2)373

【解析】

【分析】

(1)先根據(jù)題意得到4。垂直平分BC,得至ljA8=AC,則再證明EC=AC,得至ljNAEC=NCAE,

即可利用三角形外角的性質(zhì)證明結(jié)論；

(2)先求出N8AO=30。，從而求出/8OZ)=60。，然后解直角三角形求出B。，AB的長即可得到答案.

(1)

解：:△ABC的外接圓圓心在高AO上，

.?.AO垂直平分BC,

：.AB^AC,

,ZB=ZACB,

'：EC=AB,

：.EC=AC,

：.NAEC=NCAE,

VZACB=ZAEC+ZCAE,

：.ZB=ZAEC+ZCAE=2ZAEC；

(2)

解：連接03,

'-'cosz.BAO=—,

2

：.ZBAO=30°,

OB=OA,

...NOAB=/OA8=30°,

:.ZBOD=ZOBA+ZOA8=60°,

"-BD=OB-sinzBOD=V3.

'：AB=AC,ADIBC,

：.BD=CD,

DEDC+CEBD+AC=3聒.

【點睛】

本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求度數(shù)，解直角三角形，三角形外角的

性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等等，確定AB=AC是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?上海黃浦?二模)如圖，已知A、B、C是圓。上的三點，AB=AC,M、N分別是AB、AC的中點，

E、F分別是OM、ON上的點.

(1)求證：ZAOM—ZAON^

(2)如果A*ON,AF^OM,求證：0后.。用="。2.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)垂徑定理的推論，得出0M148,ONA.AC,再證RAAOM絲RAAON(HL),即可得出結(jié)論;

（2）連接EF,交AO于點P.先證四邊形AEOF是平行四邊形，再證四邊形AEOF是菱形，根據(jù)菱形的性

質(zhì)得EF14。，PO=\AO.然后證△EPOSAAM。.得穿=亮，代入即可得出結(jié)論.

2AOOM

(1)

證明：,:M、N分別是A3、AC的中點,OM.ON過圓心，

：.OMLAB,ON1AC.

又???48=4C,

：.AM=AN.

V在Rt^AOM和RdAON中,

(AM=AN

lOA=OA'

:?Rt&AOM9Rt&AON(HL),

：.Z.AOM=乙AON.

(2)

解：連接EF，交AO于點P.

?明。N,%0M,

???四邊形AEO廠是平行四邊形.

V/1F||O/V,

：.Z.EAO=乙AON,

:tAOM="ON,

?"AOM=Z.EAO.

：.AE=EO,

???四邊形AEO廠是菱形.

：.EFA.AO,PO=-AO.

2

?；0M1AB,

：.Z.EPO=^AMO=90°.

9：Z.AOM=乙AOM,

:?>EPO?bAMO.

?OEOP

??--=---，

AOOM

：.OE-OM=AO-OP=\AO2,即。E-OM=|/1O2.

【點睛】

本題考查垂徑定理的推論，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱

形的判定與性質(zhì)，證四邊形AEOF是菱形是解題的關(guān)鍵.

8.(2022?上海寶山?二模)如圖，在半徑為3的圓。中，。4、OB都是圓。的半徑，且乙4OB=90。，點C是劣

弧腦上的一個動點(點C不與點4、B重合)，延長4c交射線OB于點D.

(1)當點C為線段A