復(fù)變函數(shù)第3講x

復(fù)變函數(shù)第3講x匯報(bào)人：AA2024-01-26目錄引言解析函數(shù)的性質(zhì)柯西-黎曼方程復(fù)變函數(shù)的積分泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)留數(shù)與輻角原理01引言復(fù)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容010203解析函數(shù)的性質(zhì)與判定初等復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)與圖像柯西-黎曼方程及其物理意義復(fù)變函數(shù)的積分概念與性質(zhì)解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系柯西積分公式及其應(yīng)用引入本節(jié)課主題02解析函數(shù)的性質(zhì)如果函數(shù)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)的每一點(diǎn)都可微，則稱$f(z)$在$D$內(nèi)解析。$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)可微$Leftrightarrowf(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)可導(dǎo)$Leftrightarrowf^{prime}(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)存在且連續(xù)。解析函數(shù)的定義解析函數(shù)的等價(jià)條件定義解析函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都具有局部性質(zhì)，即在該點(diǎn)的鄰域內(nèi)可以用冪級(jí)數(shù)表示。局部性質(zhì)唯一性定理最大模原理如果兩個(gè)解析函數(shù)在區(qū)域$D$內(nèi)的某個(gè)子區(qū)域內(nèi)相等，則它們?cè)?D$內(nèi)恒等。解析函數(shù)在區(qū)域$D$內(nèi)的模的最大值只能在邊界上取到。解析函數(shù)的性質(zhì)解析函數(shù)的充要條件柯西-黎曼條件函數(shù)$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$在區(qū)域$D$內(nèi)解析的充要條件是$u(x,y)$和$v(x,y)$在$D$內(nèi)可微且滿足柯西-黎曼方程組：$frac{partialu}{partialx}=frac{partialv}{partialy}$，$frac{partialu}{partialy}=-frac{partialv}{partialx}$。莫雷拉定理如果函數(shù)$f(z)$在區(qū)域$D$內(nèi)連續(xù)，且對(duì)$D$內(nèi)的任意簡(jiǎn)單閉曲線$C$，有$oint_{C}f(z)dz=0$，則$f(z)$在$D$內(nèi)解析。03柯西-黎曼方程柯西-黎曼方程的定義柯西-黎曼方程是復(fù)變函數(shù)中解析函數(shù)的必要條件，它表達(dá)了復(fù)變函數(shù)實(shí)部和虛部之間的偏導(dǎo)數(shù)關(guān)系。具體來說，如果函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么它的實(shí)部u(x,y)和虛部v(x,y)必須滿足柯西-黎曼方程組：?u/?x=?v/?y，?u/?y=-?v/?x?？挛?黎曼方程是線性偏微分方程組，因此具有疊加性，即如果兩個(gè)函數(shù)分別滿足柯西-黎曼方程，那么它們的和也滿足柯西-黎曼方程?？挛?黎曼方程在復(fù)變函數(shù)的解析性、可微性、連續(xù)性等方面有重要作用。例如，如果函數(shù)滿足柯西-黎曼方程，那么它在定義域內(nèi)解析，因此具有無窮階導(dǎo)數(shù)。柯西-黎曼方程的性質(zhì)柯西-黎曼方程在復(fù)變函數(shù)的積分計(jì)算中有重要應(yīng)用，特別是在計(jì)算復(fù)變函數(shù)的線積分時(shí)，可以利用柯西-黎曼方程將線積分轉(zhuǎn)化為面積分進(jìn)行計(jì)算?？挛?黎曼方程還可以用于判斷復(fù)變函數(shù)的解析性。例如，如果函數(shù)在某點(diǎn)處滿足柯西-黎曼方程，那么它在該點(diǎn)處解析；反之，如果函數(shù)在某點(diǎn)處不解析，那么它在該點(diǎn)處一定不滿足柯西-黎曼方程。此外，柯西-黎曼方程在物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域也有廣泛應(yīng)用，例如在電磁學(xué)、流體力學(xué)等領(lǐng)域中用于描述物理量的復(fù)變函數(shù)表示及其性質(zhì)?？挛?黎曼方程的應(yīng)用04復(fù)變函數(shù)的積分010203路徑無關(guān)性復(fù)變函數(shù)的積分與路徑的選擇無關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)?？挛鞫ɡ砣绻瘮?shù)在單連通域內(nèi)解析，則沿該域內(nèi)任意閉曲線的積分為零?？挛鞴浇o出了復(fù)變函數(shù)在其解析域內(nèi)任一點(diǎn)的積分值與該點(diǎn)的函數(shù)值及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。復(fù)變函數(shù)積分的定義03積分估值定理給出了復(fù)變函數(shù)積分的估值方法，即積分的模小于等于函數(shù)模的積分。01線性性質(zhì)復(fù)變函數(shù)的積分滿足線性性質(zhì)，即兩個(gè)函數(shù)的和的積分等于各自積分的和。02積分區(qū)域的可加性如果積分區(qū)域可以劃分為兩個(gè)不相交的部分，則復(fù)變函數(shù)在這兩個(gè)區(qū)域上的積分之和等于在整個(gè)區(qū)域上的積分。復(fù)變函數(shù)積分的性質(zhì)參數(shù)化方法將復(fù)平面上的曲線參數(shù)化，將復(fù)變函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為實(shí)變函數(shù)的定積分進(jìn)行計(jì)算?？挛鞣e分公式法利用柯西積分公式，將復(fù)變函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為函數(shù)值或其導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。留數(shù)定理法對(duì)于在有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外解析的函數(shù)，可以利用留數(shù)定理計(jì)算其在包含這些奇點(diǎn)的閉曲線上的積分。復(fù)變函數(shù)積分的計(jì)算05泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)在復(fù)平面上的收斂性取決于函數(shù)$f(z)$的性質(zhì)。如果函數(shù)在某區(qū)域內(nèi)解析，則泰勒級(jí)數(shù)在該區(qū)域內(nèi)收斂于函數(shù)。收斂性對(duì)于給定的函數(shù)和展開點(diǎn)，泰勒級(jí)數(shù)是唯一的。唯一性泰勒級(jí)數(shù)的定義與性質(zhì)收斂性洛朗級(jí)數(shù)的收斂性同樣取決于函數(shù)$f(z)$的性質(zhì)。如果函數(shù)在環(huán)形區(qū)域內(nèi)解析，則洛朗級(jí)數(shù)在該區(qū)域內(nèi)收斂于函數(shù)。周期性洛朗級(jí)數(shù)展開的函數(shù)可能具有周期性，這是泰勒級(jí)數(shù)所不具備的性質(zhì)。洛朗級(jí)數(shù)的定義與性質(zhì)ABDC函數(shù)逼近泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)都可用于逼近復(fù)雜函數(shù)，簡(jiǎn)化函數(shù)的計(jì)算和分析過程。解析延拓通過泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)，可以將函數(shù)的定義域從一個(gè)區(qū)域解析延拓到另一個(gè)區(qū)域。求解微分方程泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)可用于求解某些類型的微分方程，特別是當(dāng)微分方程的解難以用初等函數(shù)表示時(shí)。物理和工程應(yīng)用在物理和工程領(lǐng)域，許多現(xiàn)象可以用復(fù)變函數(shù)描述。泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)提供了對(duì)這些現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)值分析和近似計(jì)算的工具。泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)的應(yīng)用06留數(shù)與輻角原理定義：設(shè)函數(shù)$f(z)$在點(diǎn)$z_0$的某鄰域內(nèi)解析，但在$z_0$處不解析，則稱$f(z)$在$z_0$處的留數(shù)為$text{Res}[f(z),z_0]$。性質(zhì)若$f(z)$在$z_0$處可微，則$text{Res}[f(z),z_0]=0$。若$f(z)$在$z_0$處的洛朗展開式為$sum_{n=-infty}^{infty}a_n(z-z_0)^n$，則$text{Res}[f(z),z_0]=a_{-1}$。留數(shù)具有線性性質(zhì)，即$text{Res}[alphaf(z)+betag(z),z_0]=alphatext{Res}[f(z),z_0]+betatext{Res}[g(z),z_0]$。0102030405留數(shù)的定義與性質(zhì)定義：設(shè)函數(shù)$f(z)$在簡(jiǎn)單閉曲線$\Gamma$及其內(nèi)部解析，且在$\Gamma$上不為零，則$f(z)$在$\Gamma$內(nèi)部的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（計(jì)重?cái)?shù)）與極點(diǎn)個(gè)數(shù)（計(jì)重?cái)?shù)）之差等于$\frac{1}{2\pi}\Delta{\Gamma}\argf(z)$，其中$\Delta{\Gamma}\argf(z)$表示$f(z)$沿$\Gamma$正向繞行一周時(shí)輻角的改變量。輻角原理的定義與性質(zhì)性質(zhì)若$f(z)$在$Gamma$內(nèi)部沒有零點(diǎn)和極點(diǎn)，則$Delta_{Gamma}argf(z)=0$。若$f(z)$在$Gamma$內(nèi)部有零點(diǎn)或極點(diǎn)，則$Delta_{Gamma}argf(z)neq0$。輻角原理可以用來判斷函數(shù)在給定區(qū)域內(nèi)的零點(diǎn)或極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。01020304輻角原理的定義與性質(zhì)通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)膹?fù)變函數(shù)，利用留數(shù)定理可以將某些實(shí)積分轉(zhuǎn)化為復(fù)積分進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算實(shí)積分利用輻角原理可