圓的基本性質(zhì)-2022年中考數(shù)學一輪復習幫(浙江專用)（解析版）

考點19圓的基本性質(zhì)

【命題趨勢】

圓的基本性質(zhì)是中考數(shù)學中“個人色彩”比較明顯的一類考點，當其他的考點和圓結(jié)

合的時候，很多結(jié)論的產(chǎn)生可能會更依賴與圓的基本性質(zhì)。在中考數(shù)學中，該考點通常會從

圓的基本概念、垂徑定理、圓周角定理等方向考察，還可以和相似、三角形函數(shù)等結(jié)合，難

度中等或偏上。在整個中考中的占比也不是很大，通常都是一道小題一道大題，分值在3~13

分左右，屬于中考中的中檔考題。

【中考考查重點】

一、圓的有關(guān)概念

二、垂徑定理及其推論

三、圓周角定理及其推論

四、圓內(nèi)接四邊形及其綜合

考向一：圓的有關(guān)概念

1.圓的有關(guān)概念

弦連接圓上任意兩點的線段叫做弦。

直徑經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。

弧圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

優(yōu)弧大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。

劣弧小于半圓的弧叫做劣弧。

2.圓的有關(guān)計算公式

常用公式：_rc〃兀/i

L=

，§扇形==LrJ弓形一J扇形二角形

1o2OnJoU2

1.已知。。的半徑為3,點P到圓心。的距離為4,則點P()

A.在內(nèi)B.在00上C.在。。外D.無法確定

【分析】根據(jù)點與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系即可確定點p與oo的位置關(guān)系.

【解答】解：的半徑分別是3,點P到圓心。的距離為4,

...點P與。。的位置關(guān)系是：點在圓外.

故選：C.

2.下列說法錯誤的是（）

A.直徑是圓中最長的弦B.長度相等的兩條弧是等弧

C.面積相等的兩個圓是等圓D.半徑相等的兩個半圓是等弧

【分析】根據(jù)直徑的定義對A進行判斷：根據(jù)等弧的定義對8進行判斷：根據(jù)等圓的定

義對C進行判斷；根據(jù)半圓和等弧的定義對。進行判斷.

【解答】解：A、直徑是圓中最長的弦，所以A選項的說法正確；

8、在同圓或等圓中，長度相等的兩條弧是等弧，所以8選項的說法錯誤；

C、面積相等的兩個圓的半徑相等，則它們是等圓，所以C選項的說法正確；

。、半徑相等的兩個半圓是等弧，所以。選項的說法正確.

故選：B.

3.已知O。中最長的弦為16”〃，則。。的半徑為cm.

［分析］。。最長的弦就是直徑從而不難求得半徑的長.

【解答】解：；O。中最長的弦為16c，"，即直徑為16?！?，

」.。。的半徑為3cm.

故答案為：8.

考向二：垂徑定理及其推論

三垂徑定理及其推環(huán)

垂徑定理垂直于弦的直徑必平分弦，并且平分弦所對的弧

推論平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧

平分弧的直徑。垂直于弧所對的弦。。

【方法提煉】

二圓中模型“知》得同

由圖可得以下5點：

/\①AB_LCD；②AE=EB；③AD過圓心O;④*=方3⑤

AD=BD

以上5個結(jié)論，知道其中任意2個，剩余的3個都可以作為結(jié)

論使用。

2.常做輔助線：連半徑、作弦心距、見直接連弦長得直徑所對圓周角

【同步練習】

1.如圖，。。中，半徑0C=2,弦AB垂直平分0C,則A8的長是（）

A.3B.4C.2V3D.473

【分析】連接。4,OC交A8于。點，如圖，利用弦A8垂宜平分OC得到O￡）=CZ）=1,

則利用勾股定理可計算出AD=M，然后根據(jù)垂經(jīng)定理得到AD=BD,從而得到AB的

長.

【解答】解：連接。4,OC交AB于。點，如圖，

?.?弦AB垂直平分OC,

：.OD=CD=1.OC=\,

2

在RtZVIOD中，40=,22-]2=?,

?.*OD±AB,

:.AD=BD,

：.AB=2AD=2y[3-

2.如圖所示，一圓弧過方格的格點AB,試在方格中建立平面直角坐標系，使點的坐標

【分析】連接AC,作出A8、AC的垂直平分線，其交點即為圓心.

【解答】解：如圖所示，

連接AC,作出A8、AC的垂直平分線，其交點即為圓心.

:點A的坐標為（0,4）,

該圓弧所在圓的圓心坐標是（-1,1）.

故選：C.

3.如圖，CD是。0的直徑,AB是弦，CDYAB,若0B=10,48=12,則AC的長為

【分析】根據(jù)垂徑定理求出AE=BE=6,根據(jù)勾股定理求出OE,求出CE,再根據(jù)勾股

定理求出AC即可.

【解答】解：設AB和CQ交于E,

；CDLAB,CD過圓心。，AB=12,

：.AE=BE^6,NOEB=NCEA=90°,

由勾股定理得：OE=GB2_BE2r1。2_62=8,

CE=OC+OE=10+8=18,

由勾股定理得：AC—{CE2+卜區(qū)2—V182+62=6AHi，

故答案為：6VIo.

4.如圖，在。0中，半徑r=10,弦AB=16,P是弦AB上的動點，則線段。尸長的最小值

【分析】過。點作于”，連接08,如圖，根據(jù)垂徑定理得到A"=8//=8,再

利用勾股定理計算出OH,然后根據(jù)垂線段最短求解.

【解答】解：過。點作O//LAB于H,連接。B,如圖,

：.AH=BH=1AB=^X16=8,

22

在RtZ\BO〃中，CW={OB2_BH2=4］。2_82=6,

線段。。長的最小值為6.

5.《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學“群經(jīng)之首”，其卷九勾股定理篇記載：今有圓材埋于壁中,

不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺.問徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形

木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這個木材，鋸口深CD等于1寸，鋸道A8長

1尺，則圓形木材的直徑是（）（1尺=10寸）

【分析】連接。A、OC,由垂徑定理得AC=8C=LB=5寸，連接。A,設圓的半徑為

2

x寸，再在RtZkOAC中，由勾股定理列出方程，解方程可得半徑，進而直徑可求.

【解答】解：連接OA、0C,如圖：

由題意得：C為A8的中點，

則0、C、力三點共線，0C_L48,

.,.AC=8C=」A8=5（寸），

2

設圓的半徑為x寸，則0C=（x-1）寸.

在Rtz^OAC中，由勾股定理得：52+（x-1）2=/,

解得：x=13.

圓材直徑為2X13=26（寸）.

故選：D.

6.把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CO=6c/n,

444

【分析】設球的平面投影圓心為0,過點。作ONLAD于點N,延長NO交BC于點M,

連接0尸，由垂徑定理得：NF=EN=LEF=3(cm),設OF=xaw,則0M=(4-x)cm,

2

再在RtAMOF中由勾股定理求得OF的長即可.

【解答】解：設球的平面投影圓心為。，過點。作。NLAO于點N,延長N。交BC于

點例，連接。尸，如圖所示：

則(cw),

2

???四邊形A8C。是矩形，

.?.ZC=ZD=90°,

四邊形CDNM是矩形，

:.MN=CD=6cm,

設OF=xcm,則OM=OF,

：.ON=MN-OM=(6-x)cm,

在RtZ^ON尸中，由勾股定理得：0解+加尸=0產(chǎn)，

即：(6-x)2+32=A2,

解得：x=生，

4

即球的半徑長是至。布，

4

7.《九章算術(shù)》是我國古代第一部自成體系的數(shù)學專著，代表了東方數(shù)學的最高成就，它的

算法體系至今仍在推動著計算機的發(fā)展和應用.書中記載：“今有圓材埋在壁中，不知大

小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”

譯為：”今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這木材，鋸口深1寸(ED

=1寸)，鋸道長1尺(AB=1尺=10寸).問這塊圓形木材的直徑(AC)是多少？”如

圖所示，請根據(jù)所學的知識解答上述問題.

【分析】設。。的半徑為x寸.在RtAA。。中，AQ=5寸，OD=(x-1)寸，O4=x

寸，則有/=(x-1)2+52,解方程即可.

【解答】解：設。。的半徑為x寸，

"：OEA.AB,A8=l0寸，

：.AD=BD=1AB^5寸，

2

在Rt/^AOD中，OA=x,。力=x-1,

由勾股定理得了=(x-1)2+52,

解得x=13,

.??OO的直徑AC=2x=26(寸)，

答：這塊圓形木材的直徑(AC)是26寸.

8.詩句“君到姑蘇見，人家盡枕河”所描繪的就是有東方威尼斯之稱的水城蘇州.小勇要

幫忙船夫計算一艘貨船是否能夠安全通過一座圓弧形的拱橋，現(xiàn)測得橋下水面AB寬度

16"?時，拱頂高出水平面4m，貨船寬12根，船艙頂部為矩形并高出水面3瓶.

(1)請你幫助小勇求此圓弧形拱橋的半徑；

(2)小勇在解決這個問題時遇到困難，請你判斷一下，此貨船能順利通過這座拱橋嗎？

說說你的理由.

【分析】(1)根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解；

(2)連接OM利用勾股定理求出EM得出MN的長，即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖，連接。艮

'：OC±AB,

.?.￡＞為A8中點，

'：AB=l6m,

：.BD=1AB=S(/n),

2

又,.?cn=4"?,

設OB=OC=r,則。力=(r-4)m.

在RtZXBOD中，根據(jù)勾股定理得：J=(,--4)2+82,

解得r=10.

答：此圓弧形拱橋的半徑為10/n.

(2)此貨船不能順利通過這座拱橋，理由如下：

連接ON,

?；CO=4m,船艙頂部為長方形并高出水面3m,

，CE=4-3=1(〃?)，

；.OE=r-CE=10-1=9(m),

在Rt^OEN中，由勾股定理得：Eyv=^0N2-0E2=V102-92,

：.MN=2EN=2<12m.

此貨船B不能順利通過這座拱橋.

N

考向三：圓周角定理及其推論

一.圓周角定理及其推論

圓周角定頂點在圓周上并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角

圓周角定一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半

理____________________________________________________________________________________

圓周角定—半徑(或直徑)所對的圓周角是90°；90°的圓周角所對的弦是直徑

理的推論在同圓或等圓同同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相

拓展提示圓的一條弧(弦)只對著一個圓心角，對應的圓周角有無數(shù)個，但圓周角的度

____________數(shù)只有兩個，這兩個度數(shù)和為180°

【方法提煉】

一圓甲模亶“知i得不廠

由圖可得以下5點：〃

①AB=CD；?AB=CD-,③OM=ON；④ZE=NF；⑤ZAOB=NCOD：

以上5個結(jié)論，知道其中任意1個，剩余的4個都可以作為結(jié)論使用。*

?_【同步練習】

1.下列有關(guān)圓的一些結(jié)論：①與半徑長相等的弦所對的圓周角是30°或150。；②圓是軸

對稱圖形，對稱軸是直徑；③垂直于弦的直徑平分這條弦；④平分弦的直徑垂直于弦.其

中正確的是（）

A.①②③B.①③④C.①③D.②④

【分析】利用圓的有關(guān)性質(zhì)、垂徑定理、平行四邊形的判定方法及平行線的性質(zhì)分別判

斷后即可確定正確的選項.

【解答】解：與半徑長相等的弦所對的圓周角是30。或150。，故①正確，符合題意；

圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑所在的直線，故②錯誤，不符合題意；

垂直于弦的直徑平分這條弦，故③正確，符合題意；

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故④錯誤，不符合題意；

故選：C.

2.如圖，AB為。。的直徑，點C在。。上，弦CO與AB相交于點E,連接A。，OC,若

A.63°B.72°C.84°D.86°

【分析】連接4C,連接。。并延長交4c于點F,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到

ZADO=ZDCO=ZODC,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出NAOO=2I°,根據(jù)圓周角定理即

可得解.

【解答】解：連接AC,連接。。并延長交AC于點凡

"：OA=OD,OD=OC,

，ZDAO=ZADO,ZDCO=NODC,

'：ZDAO=ZDCO,

：.ND4O=2AD0=/DCO=NODC,

VZBED=ZDAO+ZADE=3ZADO=63°,

.?.NAOO=21°,

，NA￡)C=2/AOO=42°,

AOC=2NADC=84°,

故選：C.

3.如圖，ZXABC中，ZA=60°,以A8為直徑作。。，分別交AC、BC于點、。、E,若AQ

=C3,則NAOE的度數(shù)是（）

【分析】連接BO,根據(jù)圓周角定理求出/AE>8=90°,求出AB=8C,根據(jù)等邊三角形

的判定得出△ABC是等邊三角形，求出NA8C=60°,求出NOE8=NA8C=6（）°,再

求出答案即可.

是。。的直徑，

:.NADB=90°,

即BD1AC,

,:AD=CD,

：.AB=BC,

；NA=60°,

.,.△ABC是等邊三角形,

ZABC=60°,

'：OE=OB,

.,./OE3=N4BC=60°,

AZAOE=ZABC+ZOEB=600+60°=120°.

故選：A.

4.如圖，AB,BC為。。的兩條弦，連接04、OC,點。為AB的延長線上一點，若NCBD

=62°,則NAOC的度數(shù)為（)

B.124°C.114D.100°

【分析】根據(jù)NCBO的度數(shù)可先求出弧AC所對應的圓周角的度數(shù)，進而可得答案.

【解答】解：如圖，在優(yōu)弧AC上取點P,連接以，PC,

:NCBD=62°,

：.ZCPA=62°,

NA0C=2124°,

故選：B.

考向四：圓內(nèi)接四邊形及其綜合

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

圓內(nèi)接四圓內(nèi)接四邊形對角互補

邊形的性圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角

質(zhì)

圓內(nèi)接正

,?、".360。

多邊形圓的半徑為r,邊長為a的正n邊形的邊心距為、r2--,中心角為-----

3n

【方法提煉】

「圓幕定理.

如圖I,若圓內(nèi)任解AB、弦CD交于點正；則：P^xPB=PCXPD

二.割線定理

如圖n,連接AD、BC,亦可證：p>PB=PC>PD

三.切割線定理

弦切角：與圓相切的直線，同圓內(nèi)與圓相交的弦相交所形成的夾角叫做弦切角；

弦切角性質(zhì)：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半，等于它所夾的弧

所對的圓周角度數(shù)。

圖IU,連接AC、AD.NPAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，

貝ij：/XPAC^/XPDA（母子△）?

PA2PC>PD

【同步練習】

I.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于NC=100°,那么/4是（）

A.

A.60°B.50°C.80°D.100°

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補計算即可.

【解答】解：?.?四邊形A8CO內(nèi)接于O。，

AZA+ZC=180°,

VZC=100°,

ZA=1800-ZC=180°-100°=80°,

故選：c.

2.如圖，四邊形A5CD內(nèi)接于OO,對角線3。垂直平分半徑OC,若NA&)=45°,則N

ADC=()

A.100°B.105°C.110°D.115°

【分析】連接OD,如圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到拉。=。。，則可判斷△8C

為等邊三角形，所以NCOO=60°,再根據(jù)圓周角定理得到NC8O=30°,然后利用圓

內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算N4OC的度數(shù).

【解答】解：連接?！?gt;,如圖，

〈BO垂直平分半徑OC,

:?DO=DC,

*:OD=OC,

：.OD=OC=DC,

???△OOC為等邊三角形，

ZCOD=60°,

AZCBD=AZCOD=30°，

2

AZABC=ZABD+ZCBD=450+30°=75°,

???/4DC+/A8C=180°,

AZADC=IS()°-75°=105°.

故選：B.

3.如圖，四邊形ABC￡)內(nèi)接于E是BC延長線上一點，若/54。=105°,則NQCE

的度數(shù)是________

【分析】由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，可得N8AO+/8CZ)=18(r,又由鄰補角的定義可

得：ZBCD+ZDCE=\SOQ,可得/OCE=NBAD

【解答】解：；/區(qū)40=105°,

.".ZBCD=180°-N840=75°,

；.NDCE=180°-ZBCD=105°.

故答案為：105.

4.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于。。，AB=AC,BD±AC,垂足為￡.

(1)若/R4C=40°,則NADC=°；ZDAC=°

(2)求證：N8AC=2NZMC；

(3)若AB=10,CD=5,求BC的值.

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)寫出答案即可；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；

(3)過A作A”J_BC于”，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到N54H=NC4"=工NC48,CH

2

=BH,過C作CGJ_4D交AC*的延長線于G,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=AH,CG

=CH,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到E3」，設BH=k,AH=2k,根據(jù)勾股定理即可得

AH2

到結(jié)論.

【解答】(1)ft?：'：AB=AC,ZA=40°,

AZABC=ZACB=70°,

.*.NADC=180°-/ABC=180°-70°=110°；

,：AC±BD,

.\ZCBD=90"-ZACB=20°,

：.ZDAC=ZDBC=20°；

故答案為：110,20；

(2)證明：'JBDLAC,

：.ZAEB=ZBEC=90Q,

：.ZACB=90a-NCBD,

'：AB=AC,

：.NABC=NAC8=90°-NCBD,

：.NBAC=1800-2ZABC=2ZCBD,

■:NDAC=NCBD,

:.NBAC=2NDAC；

(3)解：過A作AHJ_8c于H,

'：AB=AC,

：.ZBAH=ZCAH=^ZCAB,CH=BH,

2

'：ZBAC^2ZDAC,

：.ZCAG=ZCAH,

過C作CGJ_A。交AD的延長線于G,

.?.NG=NA，C=9(T,

"：AC=AC,

：./\AGC^/\AHC(AAS),

：.AG=AH,CG=CH,

ZCDG^ZABC,

-CGCD=5_=1

"AH"ABIO~2

??BH=—1?

AH2

設BH=k,AH=2k,

.""五評+人十二遍2I。，

:.k=2娓,

:.BC=2k=4后

5.如圖，圓內(nèi)接四邊形A8OC中，AB=AC=4,AD=5,E為弧CD的中點，AE交CD于

點凡“為A。上一點，且4M=4.

(1)求證：NDBM=NDAF；

【分析】(1)設ND4E=a,NAOC=0,根據(jù)圓周角定理得到ND4E=NE4C=a,ZADC

=NADB=B，再利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/8DC+/BAC=180°,則ZBAM=I80

-2a-20,接著利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到N8A7A=a+B，然后根據(jù)三

角形外角性質(zhì)得到/CBM=a,從而得到結(jié)論：

(2)證明△8￡>MSA4OF,利用相似比得到BD?DF=5,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到

AD=DF_^,則。/=ScF,所以。尸=^QC,于是可計算出8D?DC=9.

ACCF449

【解答】(1)證明：設ND4E=a,ZADC=^,

為弧C。的中點，

：.ZDAE=ZEAC=a,

'：AB^AC,

...引RAB=S<AC,

'：ZBDC+ZBAC=}SO°,

.*.ZBAA/=180-2a-2p,

"：AB=AM,

...NBMA=L(1800-NBAM)=a+0,

2

而ZBMA=ZDBM+ZADB,

；.NDBM=a,

：.ZDBM=ZDAF；

(2)解：:NDBM=NDAF,NADC=NADB,

:ABDMs/\ADF,

?BPDA

；.BD-DF=DM?DA=1X5=5,

平分ND4C,

?ADDF5

"AC'CF"7

：.DF=^-CF,

4

.\DF=^-DC,

9

：.BD-DF=BD*^-DC=5,

9

?盡跟蹤訓練.

1.如圖，A8是。。的直徑，/。=40°,則/AOC=()

A.80°B.100°C.120°D.140°

【分析】根據(jù)圓周角定理求出/80C,然后由鄰補角的定義即可解決問題.

【解答】解:：/。=40°,

...NBOC=2/￡>=80°,

，N4OC=100°.

故選：B.

2.如圖，在△A8C中，已知/ACB=130°,N8AC=20°,BC=2,以點C為圓心，CB

為半徑的圓交AB于點D,則BD的長為()

A

A.MB.2V3c.xlD.4

3

【分析】連接。C,過點C作CEL8。交8。于點E,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/B,

根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CE,根據(jù)勾股定理求出BE,根據(jù)垂徑定理計算.

【解答】解：連接DC,過點C作CE工BD交8。于點E,

則DE=EB,

ZB=180°-ZACB-ZBAC=180°-130°-20°=30°,

.?.CE=LC=I,

2

由勾股定理得，5印=椒2小2=代,

:.BD=2BE=2M，

3.如圖，A2是半圓。的直徑，四邊形CDMN和OEFG都是正方形，其中點C,D,E在

AB上，點F,N在半圓上.若半圓。的半徑為10,則正方形CDMN的面積與正方形DEFG

的面積之和是()

【分析】連接ON,OF,設正方形CQMN的邊長為“，正方形DEFG邊長為b,OD=c.

根據(jù)正方形的性質(zhì)DE—EF-b,根據(jù)勾股定理得出＜?+22

CN=CZ)=a,(o+c)=10@,

222

b+(b-c)2=1。2②,①-②得出/+(a+c)-b-(b-c)2=0,把等式的左邊分解

因式后得出2(a+b)(?-b+c)=0,求出8=“+c,再代入①，即可求出答案.

【解答】解：連接OMOF,設正方形COWV的邊長為“，正方形OEFG邊長為從OD

=c,則CN=CD=a,DE=EF=b,

四邊形CDMN和O￡FG都是正方形，

：,ZNCD=90°,ZFED=90°,

???半圓。的半徑為10,

???ON=OF=]09

由勾股定理得：NC2+CO2=ON2,OE?+E產(chǎn)=OF2,

/.d2+(a+c)2=102@,h2+(b-c)2=102(2),

①-②，得J+(一+c)2-h2-(h-c)2=0,

(d2-Z?2)+[(〃+c)2-(b-c)2)]=0,

(a+b)(a-b)+(a+c+b-c)(a+c-b+c)=0,

(a+b)(a-b)+(a+b)(a-b+2c)=0,

(a+b)(a-h+a-b+2c)=0,

2(〃+〃)(a-b+c)=0,

???〃+0W0,

:,a-b+c=0,

即b=a+c,

把b=q+c代入①，得42+/=102=]00,

即正方形CDMN的面積與正方形DEFG的面積之和是100,

故選：C.

4.如圖，拱橋可以近似地看作直徑為250〃?的圓弧，橋拱和路面之間用數(shù)根鋼索垂直相連,

其正下方的路面AB長度為150優(yōu)，那么這些鋼索中最長的一根的長度為()

、橋拱

A.50〃？B.40/7?C.30niD.25m

【分析】設圓弧的圓心為。，過。作。CLA8于C,交源于。，連接04,先由垂徑定

理得AC=8C=LB=75(w),再由勾股定理求出。C=1006”)，然后求出CO的長即

2

可.

【解答】解：設圓弧的圓心為。，過。作。CLA8于C,交源于。，連接04如圖所

示：

則0A=0Q=?1x250=125(，”)，AC=5C=2A8=-lx150=75(m),

=22=22=1

OCVOA-ACV125-75O°。力

：.CD=OD-OC-=\25-100=25(m),

即這些鋼索中最長的一根為25m,

故選：D.

o

5.如圖所示，已知中，弦A8的長為10a〃，測得圓周角/AC8=45°,則直徑AO為

()

C

A.55/2c/nB.C.I5y[2cmD.20^/2c/n

【分析】連接B￡),如圖，根據(jù)圓周角定理得到NA8Z)=90°,/4￡>B=/ACB=45°,

然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求AD的長.

【解答】解：連接8力，如圖，

為直徑，

ZABD=90Q,

；乙408-8=45°,

：./\ABD為等腰宜角三角形,

：.AD^=y/2AB,

\'AB的長為10c/n,

."￡>=10企(cm),

故選：B.

6.如圖，四邊形A8CD內(nèi)接于。。，48為直徑，BC=CD,連接AC.若/D48=40°,則

ZD的度數(shù)為（)

B.120°C.140D.110°

【分析】根據(jù)圓周角定理求出/BAG根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算即可.

【解答】解：：BC=CD,

???BC=CD.

VZDAB=40°,

NBAC=」NZM8=20°,

2

???A8為直徑，

.'./AC"90°,

：.ZS=900-NBAC=70°,

???四邊形A8CZ)內(nèi)接于。。，

.,.ZD=180°-NB=I10°,

故選：D.

7.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中四塊碎片如圖所示，為了配到與原來大小一樣

的圓形鏡子，小明帶到商店去的一塊碎片應該是（）

~~~_

A.第一塊B.第二塊C.第三塊D.第四塊

【分析】要確定圓的大小需知道其半徑.根據(jù)垂徑定理知第①塊可確定半徑的大小.

【解答】解：第①塊出現(xiàn)一段完整的弧，可在這段弧上任做兩條弦，作出這兩條弦的垂

直平分線，兩條垂直平分線的交點就是圓心，進而可得到半徑的長.

故選：A.

8.如圖，△ABC是。。的內(nèi)接三角形，AB=AC,NBAC=40°,過點B作8O〃AC,交

于點￡＞，連接CD,則/OCB的大小為（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理可求解NAC8=70°,利用圓周角

定理可求得N8OC=40°,結(jié)合平行線的性質(zhì)可求解NACQ=40°,進而可求解.

【解答】解：-：AB^AC,

：.ZABC=ZACB,

VZABC+ZACB+ZBAC=ISO°,ZBAC=40Q,

AZ/\BC=ZACB=70°,ZBDC=ZBAC=40°,

'：HD//AC,

：.ACD=ZBDC=40°,

/.ZDCB=ZACB-ZACD=10°-40°=30°,

故選：B.

9.如圖，。。是△ABC的外接圓，NB=60°,OPLAC于點P,0P=2立，則。。的直徑

【分析】由圓周角定理得出/AOC=2NB=120°,由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和

定理得出/O4C=NOC4=30°,在RtZLAOP中可求出半徑AO,進而得到答案.

【解答】解：VZB=60°,

.?.NAOC=2NB=120°,

又OA=OC,

，NQ4C=/OCA=30°,

OPA.AC,

...NAPO=90°,

在Rt^AOP中，OP=2炳,ZOAC=30°,

：.OA=2OP=4如,

...圓。的直徑為8ds.

故選：B.

10.如圖是某蔬菜基地搭建一座圓弧型蔬菜棚，跨度AB=3.2米，拱高CD=0.8米(C為

AB的中點，。為弧A8的中點).

(1)求該圓弧所在圓的半徑；

(2)在距蔬菜棚的一端0.4米處豎立支撐桿EF,求支撐桿EF的高度.

D

【分析】(1)設弧48所在的圓心為O,。為弧AB的中點，CDLAB于C,延長。C至

。點，設。。的半徑為R,利用勾股定理求出即可：

(2)利用垂徑定理以及勾股定理得出“下的長，再求出所的長即可.

【解答】解：(1)設弧48所在的圓心為O,。為弧A8的中點，CDJ_A8于C,延長0c

經(jīng)過。點,

則HC=1AB=1.6（米），

2

設OO的半徑為七

在RtZkOBC中，OB2=OC2+CB2,

/./?2=（R-0.8）2+1.62,

解得R=2,

即該圓弧所在圓的半徑為2米；

（2）過。作OHLFE于H,

則0〃=CE=1.6-0.4=1.2=2（米），。尸=2米，

5

在Rtz\。“尸中，^=VoF2-OH2=J22-（y）2=16（米），

\'HE^OC=OD-CD^2-0.8=1.2（米），

/.EF=HF-HE=1.6-1.2=0.4（米），

即支撐桿E尸的高度為0.4米.

II.已知：RtzXACB中，NC=90°,以AC為直徑的。。交AB于E,點F為弧EC的中點,

OF的延長線交CB于D

(1)求證：CD=BD；

(2)連接EC交0。于G,若AC=6,CZ)=4,求GF的長.

CDB

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到NAEC=90°,F為弧EC的中點得到NOGC=90°,

從而得到OD//AB,從而根據(jù)平行線分線段成比例即可得證：

（2）在RtZXOCO中，勾股定理得出0。長，等面積法得到CG長，從而可在RtZiOCG

中勾股定理求出0G,即可得GF的長.

【解答】（I）證明是直徑，

.?./AEC=90°,

?.?尸為弧EC的中點，

：.0FVCE,

；.NOGC=90°,

/.ZAEC=ZOGC,

：.OD//AB,

：.CD=BD-.

(2)解：VAC=6,

：.0C=3,

在RtAOCD中,°￡>=62+42=5,

..11

?yX3X4=yX5XCG>

.rr-12

5

在RtaOCG中，OG=j32_(絲)2=9

V55

:.GF=0F-OG=&.

5

:臉真題再現(xiàn)

1.（2021?浙衢州）已知扇形的半徑為6,圓心角為150°,則它的面積是（）

A.—ITB.3TTC.5TTD.15n

2

【分析】把己知數(shù)據(jù)代入扇形面積公式計算，即可得到答案.

【解答】解：扇形面積=國工2SA—=15冗，

360

故選：

2.（2021?浙江溫州）若扇形的圓心角為30°,半徑為17,則扇形的弧長為

【分析】根據(jù)弧長公式代入即可.

【解答】解：根據(jù)弧長公式可得:

-n兀r_30?兀?1717”

1801806

故答案為：馬.

3.（2021?浙江紹興）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。0,點P在篇上，則/8PC的度數(shù)為

（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到8c弧所對的圓心角為90°,則/BOC=90°,然后根

據(jù)圓周角定理求解.

【解答】解：連接02、OC,如圖，

:正方形ABCD內(nèi)接于。。,

前所對的圓心角為90。，

.?.NBOC=90°,

：.ZBPC=AZBOC=45°.

故選:B.

4.（2021?浙江麗水）如圖，A8是。。的直徑，弦C￡）J_OA于點E,連結(jié)。C,OD.若。0

的半徑為相，ZAOD=Za,則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.OE=fn*tanaB.CD=2m9s\na

C.AE=m*cosa

【分析】根據(jù)垂徑定理和銳角三角函數(shù)計算則可進行判斷.

【解答】解：是。。的直徑，弦CZ5_LOA于點E,.,.OE=』C￡>,

在RtZ\E￡>0中，OD=m,NAOO=Na,

??lana=±*,

OE

OE=-_DE_=_CD_,

tanCI2tanCL

故選項4不符合題意：

是O。的直徑，CDLOA,

，CD=2DE,

YOO的半徑為NAOO=Na,

99

/.DE=ODsina=ms\naf

CD=2DE=2m?sina，

故選項8正確，符合題意；

；cosa=匝，

OD

OE—OD?cosa=m9cosa,

'：AO=DO=mt

.\AE=AO-OE=m-/z?*cosa,

故選項c不符合題意；

VCD—2m,sina,OE=m*cosa,

SACOD=—CDXOE——X2，"?sinaXm*cosa=m2sina,cosa,

22

故選項力不符合題意；

故選：B.

5.（2021?浙江金華）如圖，在RtZVIBC中，ZACB=90°,以該三角形的三條邊為邊向外

作正方形，正方形的頂點E,F,G,H,M,N都在同一個圓上.記該圓面積為S,△

S,

A8C面積為S2,則一L的值是()

s2

尸、一YE

C.5ixD.H2L

A.B.3n

22

【分析】先設Rt^ABC的三邊長為a,b,c,其中c為斜邊，設。。的半徑為r,根據(jù)圖

形找出a,b,c,廠的關(guān)系，用含c的式子表示S1和S2,即可

告

F----

求出比值.

【解答】解：如圖，

設AB=c,AC=b,BC=a,

則a2+b2=cz,①

取AB的中點為0,

???△ABC是直角三角形，

：.OA=OB=OC,

?..圓心在MN和HG的垂直平分線上，

，。為圓心，

連接0C,0G,0E,W.0DLAC,則0G,0E為半徑,

由勾股定理得：

222

r2=(a+y)+(y)=c2+(>|-)'②

由①②得a=b,

?飛奇兀。2,

故選：C.

6.(2021?浙江湖州)如圖，已知AB是。。的直徑，ZACD是俞所對的圓周角，ZACD

=30°.

(1)求ND48的度數(shù)；

(2)過點。作垂足為E,OE的延長線交于點凡若AB=4,求力F的長.

【分析】(1)連接BQ,根據(jù)A8是。。的直徑，可得NA￡)8=90°,進而可以求ND48

的度數(shù)；

(2)根據(jù)直角三角形3()度角所對直角邊等于斜邊的一半可得AD的長，再根據(jù)垂徑定

理和特殊角三角函數(shù)值可得EF=DE的值，進而可得DF的長.

【解答】解：(1)如圖，連接80，

.,.NB=NACD=30°,

是。。