2024屆四川省樂山市井研縣井研中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆四川省樂山市井研縣井研中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)表示直線，是平面內(nèi)的任意一條直線，則“”是“”成立的（）條件A．充要 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要2．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若不等式的解集為，且的極小值等于，則的值是()。A． B． C．5 D．43．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則（）A． B． C． D．4．用反證法證明：若整系數(shù)一元二次方程有有理數(shù)根，那么、、中至少有一個(gè)偶數(shù)時(shí)，下列假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)、、都是偶數(shù)B．假設(shè)、、都不是偶數(shù)C．假設(shè)、、至多有一個(gè)偶數(shù)D．假設(shè)、、至多有兩個(gè)偶數(shù)5．定積分121xdxA．-34 B．3 C．ln6．在曲線的圖象上取一點(diǎn)及附近一點(diǎn)，則為（）A． B．C． D．7．已知隨機(jī)變量和，其中，且，若的分布列如下表，則的值為（）ξ1234PmnA． B． C． D．8．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是A． B． C． D．9．執(zhí)行如圖程序框圖，若輸入的，分別為12，20，則輸出的（）A．2 B．3 C．4 D．510．若復(fù)數(shù)滿足，則的值是（）A． B． C． D．11．如果（，表示虛數(shù)單位），那么()A．1 B． C．2 D．012．已知中，若，則的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該展開式的常數(shù)項(xiàng)是__________．14．關(guān)于的不等式的解集是，求實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.15．在的展開式中，的系數(shù)為__________（用數(shù)字作答）．16．多項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）對(duì)一切的時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．18．（12分）[選修4-4：坐標(biāo)系及參數(shù)方程]已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程及曲線上的動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值；（2）若曲線與曲線相交于，兩點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)，求的值.19．（12分）完成下列證明：（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求證：.20．（12分）山西省2021年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績(jī)將由3門統(tǒng)一高考科目成績(jī)和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績(jī)組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學(xué)、外語，自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績(jī)采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分。根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級(jí)考試科目中考生的原始成績(jī)從高到低分為共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī)。舉例說明1：甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，化學(xué)學(xué)科等級(jí)的原始分分布區(qū)間為，則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬等級(jí)，而等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為那么，甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為：設(shè)甲同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為，求得.四舍五入后甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)?yōu)?6分。舉例說明2：乙同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為69分，化學(xué)學(xué)科等級(jí)的原始分分布區(qū)間為則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬等級(jí).而等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為這時(shí)不用公式，乙同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)直接取下端點(diǎn)70分?，F(xiàn)有復(fù)興中學(xué)高一年級(jí)共3000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中物理考試原始成績(jī)基本服從正態(tài)分布。且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為（1）若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，小紅同學(xué)在這次考試中物理原始分為72分，求小明和小紅的物理學(xué)科賦分成績(jī)；（精確到整數(shù)）.（2）若以復(fù)興中學(xué)此次考試頻率為依據(jù)，在學(xué)校隨機(jī)抽取4人，記這4人中物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差.（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)）.附：若隨機(jī)變量滿足正態(tài)分布，給出以下數(shù)據(jù)，21．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的解集為R，求的取值范圍．22．（10分）傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩(shī)詞知識(shí)競(jìng)賽為主的《中國(guó)詩(shī)詞大會(huì)》火爆熒屏.將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，隨機(jī)從中抽取了100名選手進(jìn)行調(diào)查，如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)人數(shù)的條形圖.（1）若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱為合格等級(jí)，根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否有的把握認(rèn)為選手成績(jī)“優(yōu)秀”與文化程度有關(guān)？注：，其中.（2）若江西參賽選手共80人，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)其中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù)；（3）如果在優(yōu)秀等級(jí)的選手中取4名，在良好等級(jí)的選手中取2名，再?gòu)倪@6人中任選3人組成一個(gè)比賽團(tuán)隊(duì)，求所選團(tuán)隊(duì)中有2名選手的等級(jí)為優(yōu)秀的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分別進(jìn)行判斷即可?！绢}目詳解】因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)的任意一條直線，具有任意性，若，由線面垂直的判斷定理，則，所以充分性成立；反過來，若，是平面內(nèi)的任意一條直線，則，所以必要性成立，故“”是“”成立的充要條件。故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了充分條件、必要條件的判斷，意在考查考生對(duì)基本概念的掌握情況。2、D【解題分析】

求導(dǎo)數(shù)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合的極小值等于，即可求出的值，得到答案．【題目詳解】依題意，函數(shù)，得的解集是，于是有，解得，∵函數(shù)在處取得極小值，∴，即，解得，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，著重考查了學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ).3、D【解題分析】

求導(dǎo)數(shù)，將代入導(dǎo)函數(shù)解得【題目詳解】將代入導(dǎo)函數(shù)故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，把握函數(shù)里面是一個(gè)常數(shù)是解題的關(guān)鍵.4、B【解題分析】

根據(jù)反證法的概念，可知假設(shè)應(yīng)是所證命題的否定，即可求解，得到答案。【題目詳解】根據(jù)反證法的概念，假設(shè)應(yīng)是所證命題的否定，所以用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程有有理根，那么中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為“假設(shè)都不是偶數(shù)”，故選B?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查了反證法的概念及其應(yīng)用，其中解答中熟記反證法的概念，準(zhǔn)確作出所證命題的否定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。5、C【解題分析】

直接利用微積分基本定理求解即可．【題目詳解】由微積分基本定理可得，121x【題目點(diǎn)撥】本題主要考查微積分基本定理的應(yīng)用，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】

求得的值，再除以，由此求得表達(dá)式的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以．故選C.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，考查平均變化率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

根據(jù)隨機(jī)變量和的關(guān)系得到，概率和為1，聯(lián)立方程組解得答案.【題目詳解】且，則即解得故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和概率，根據(jù)隨機(jī)變量和的關(guān)系得到是解題的關(guān)鍵.8、B【解題分析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則圓的半徑為，正方形的面積為，圓的面積為.由圖形的對(duì)稱性可知，太極圖中黑白部分面積相等，即各占圓面積的一半.由幾何概型概率的計(jì)算公式得，此點(diǎn)取自黑色部分的概率是，選B.點(diǎn)睛:對(duì)于幾何概型的計(jì)算，首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域（長(zhǎng)度、面積、體積或時(shí)間），其次計(jì)算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量，最后計(jì)算.9、C【解題分析】

由循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷，再執(zhí)行，分別計(jì)算當(dāng)前的值，即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：由，則.

由，則.

由，則.

由，則輸出．

故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了算法和程序框圖的應(yīng)用問題，也考查了古代數(shù)學(xué)文化的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

先用復(fù)數(shù)除法進(jìn)行化簡(jiǎn)，之后求共軛復(fù)數(shù)即可.【題目詳解】因?yàn)楣剩汗势涔曹棌?fù)數(shù)為：故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，涉及共軛復(fù)數(shù)，屬基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】分析：復(fù)數(shù)方程左邊分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為的形式，利用復(fù)數(shù)相等求出即可詳解：解得故選點(diǎn)睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件，運(yùn)用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)的表達(dá)式，令其實(shí)部與虛部分別相等即可求出答案．12、A【解題分析】

根據(jù)利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)、以及，即可求得的值，得到答案．【題目詳解】由題意，二項(xiàng)式，又由，所以，其中，由，可得：，即，即，解得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，其中解答中熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、15【解題分析】∵二項(xiàng)式的展開式中僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，，

則展開式中的通項(xiàng)公式為．

令，求得，故展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，

故答案為15.14、【解題分析】

利用判別式△＜0求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．【題目詳解】關(guān)于x的不等式的解集為R，∴△=k2-4×9＜0，解得∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了一元二次不等式恒成立問題，是基礎(chǔ)題．15、60【解題分析】，它展開式中的第項(xiàng)為，令，則，的系數(shù)為，故答案為.16、200【解題分析】

根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理可得，的通項(xiàng)公式為，令，求出對(duì)應(yīng)的值即可求解.【題目詳解】根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理可得，的通項(xiàng)公式為，當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，可得，所以多項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)為，故多項(xiàng)式的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)展開式中某項(xiàng)的系數(shù)；考查運(yùn)算求解能力；熟練掌握二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題、常考題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）f（x）的極小值是（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）對(duì)求導(dǎo)，并判斷其單調(diào)性即可得出極值。（Ⅱ）化簡(jiǎn)成，轉(zhuǎn)化成判斷的最值。【題目詳解】解：（Ⅰ），，，令，解得：，令，解得：，∴在遞減，在遞增，∴的極小值是；（Ⅱ）∵，由題意原不等式等價(jià)于在上恒成立，即，可得，設(shè)，則，令，得，（舍），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，h（x）取得最大值，，∴，即a的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)極值的判斷以及函數(shù)最值的問題，在解決此類問題時(shí)通常需要求二次導(dǎo)數(shù)或者構(gòu)造新的函數(shù)再次求導(dǎo)。本題屬于難題。18、（1），（2）【解題分析】【試題分析】(I)將方程展開后化為直角坐標(biāo)方程,利用勾股定理求得的長(zhǎng)度并求得其最大值.(II)求出直線的參數(shù)方程,代入橢圓方程,利用直線參數(shù)的幾何意義求得的值.【試題解析】（Ⅰ）由得，即曲線的直角坐標(biāo)方程為根據(jù)題意得，因此曲線上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為，曲線的參數(shù)方程為:，曲線的直角坐標(biāo)方程為聯(lián)立得……8分又，所以19、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）證明見解析.【解題分析】

（Ⅰ）運(yùn)用分析法，兩邊平方，化簡(jiǎn)配方即可得證；（Ⅱ）運(yùn)用變形和基本不等式，即可得證?！绢}目詳解】（I）要證：≥只需證：≥，即證：，即證：,即證：，即證：，這顯然成立，故.（II）依題意，因?yàn)?，故，故?dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等式的證明的方法——分析法和綜合法，意在考查學(xué)生運(yùn)用分析法和使用基本不等式時(shí)涉及到的變形能力，化簡(jiǎn)能力以及推理能力。20、(1)小明82分，小紅70分；(2)1.504，0.938【解題分析】

（1）根據(jù)題意列式求解（2）先確定區(qū)間，再根據(jù)正態(tài)分布求特定區(qū)間概率，最后根據(jù)二項(xiàng)分布求期望與方差.【題目詳解】解（1）小明同學(xué)且等級(jí)為,設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的物理等級(jí)分為，求得．小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)?yōu)?2小紅同學(xué)且等級(jí)為，且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，小紅為本等級(jí)最低分72,則轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)?yōu)?0分。（2）物理考試原始成績(jī)等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，人數(shù)所占比例為24%，又因?yàn)槲锢砜荚囋汲煽?jī)基本服從正態(tài)分布，當(dāng)原始分時(shí)，人數(shù)所占比例為則隨機(jī)抽取一個(gè)物理原始成績(jī)?cè)趨^(qū)間的概率為由題可得【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義理解、利用正態(tài)分布求特定區(qū)間概率以后利用二項(xiàng)分布求期望與方差，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21、（1）；（2）【解題分析】

（1）分段討論去絕對(duì)值解不等式即