2024屆景德鎮(zhèn)市重點中學高二數學第二學期期末復習檢測模擬試題含解析

2024屆景德鎮(zhèn)市重點中學高二數學第二學期期末復習檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．的展開式中常數項為()A．-240 B．-160 C．240 D．1602．已知函數的部分圖象如圖所示，其中N，P的坐標分別為，，則函數f（x）的單調遞減區(qū)間不可能為（）A． B． C． D．3．已知數據的中位數為，眾數為，平均數為，方差為，則下列說法中，錯誤的是（）A．數據的中位數為B．數據的眾數為C．數據的平均數為D．數據的方差為4．魏晉時期數學家劉徽首創(chuàng)割圓術，他在《九章算術》中指出：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失矣”．這是一種無限與有限的轉化過程，比如在正數中的“…”代表無限次重復，設，則可以利用方程求得，類似地可得到正數=（）A．2 B．3 C．4 D．65．設.若函數，的定義域是.則下列說法錯誤的是（）A．若，都是增函數，則函數為增函數B．若，都是減函數，則函數為減函數C．若，都是奇函數，則函數為奇函數D．若，都是偶函數，則函數為偶函數6．函數的最小正周期是（）A． B． C． D．7．設，，則“”是“”的（）A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件8．若集合，，則（）A． B． C． D．9．從一批蘋果中抽出5只蘋果，它們的質量分別為125、a、121、b、127(A．4 B．5 C．2 D．510．執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的（）A． B．C． D．11．設復數，則復數的共軛復數是()A． B． C． D．12．如圖，在棱長為的正方體中，為的中點，為上任意一點，、為上兩點，且的長為定值，則下面四個值中不是定值的是（）A．點到平面的距離B．直線與平面所成的角C．三棱錐的體積D．△的面積二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正四面體O－ABC中，，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝______________(用表示)．14．甲、乙設備生產某產品共500件，采用分層抽樣的方法從中抽取容量為30的樣本進行檢測.若樣本中有12件產品由甲設備生產，則由乙設備生產的產品總數為_______件.15．在ΔABC中，內角A、B、C所對的邊分別為a,b,c，D是AB的中點，若CD=1且(a-16．中，，則的最大值為____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設等差數列的前項和為，已知.（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前項和為，并求使得取得最大值的序號的值.18．（12分）甲、乙、丙三名音樂愛好者參加某電視臺舉辦的演唱技能海選活動，在本次海選中有合格和不合格兩個等級．若海選合格記1分，海選不合格記0分．假設甲、乙、丙海選合格的概率分別為，他們海選合格與不合格是相互獨立的．（1）求在這次海選中，這三名音樂愛好者至少有一名海選合格的概率；（2）記在這次海選中，甲、乙、丙三名音樂愛好者所得分之和為隨機變量,求隨機變量的分布列和數學期望．19．（12分）對于集合,,,,定義.集合中的元素個數記為.規(guī)定：若集合滿足,則稱集合具有性質.(1)已知集合,,寫出,的值；(2)已知集合,其中,證明：有性質；(3)已知集合,有性質,且求的最小值.20．（12分）設拋物線Γ的方程為y2＝4x，點P的坐標為（1，1）．（1）過點P，斜率為﹣1的直線l交拋物線Γ于U，V兩點，求線段UV的長；（2）設Q是拋物線Γ上的動點，R是線段PQ上的一點，滿足2，求動點R的軌跡方程；（3）設AB，CD是拋物線Γ的兩條經過點P的動弦，滿足AB⊥CD．點M，N分別是弦AB與CD的中點，是否存在一個定點T，使得M，N，T三點總是共線？若存在，求出點T的坐標；若不存在，說明理由．21．（12分）在四棱錐中，，，，為棱上一點（不包括端點），且滿足.（1）求證：平面平面；（2）為的中點，求二面角的余弦值的大小.22．（10分）已知等差數列的公差為，等比數列的公比為，若，且，，，成等差數列．（1）求數列，的通項公式；（2）記，數列的前項和為，數列的前項和為，若對任意正整數，恒成立，求實數的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

求得二項式的通項，令，代入即可求解展開式的常數項，即可求解.【題目詳解】由題意，二項式展開式的通項為，當時，，即展開式的常數項為，故選C.【題目點撥】本題主要考查了二項式的應用，其中解答中熟記二項展開式的通項，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.2、D【解題分析】

利用排除法，根據周期選出正確答案．【題目詳解】根據題意，設函數的周期為T，則,所以.因為在選項D中，區(qū)間長度為

∴在區(qū)間上不是單調減函數．所以選擇D【題目點撥】本題考查了余弦函數的圖象與性質的應用問題，解決此類問題需要結合單調性、周期等．屬于中等題．3、D【解題分析】

利用中位數、眾數、平均數、方差的性質求解．【題目詳解】若數據的中位數為，眾數為，平均數為,則由性質知數據的中位數,眾數，平均數均變?yōu)樵瓉淼?倍，故正確；則由方差的性質知數據的方差為4p,故D錯誤；故選D．【題目點撥】本題考查中位數、眾數、平均數、方差的應用，解題時要認真審題，是基礎題．4、B【解題分析】

先閱讀理解題意，再結合題意類比推理可得：設，解得，得解．【題目詳解】解：依題意可設，解得，故選：．【題目點撥】本題考查類比推理，屬于基礎題．5、C【解題分析】

根據題意得出，據此依次分析選項，綜合即可得出答案．【題目詳解】根據題意可知，，則，據此依次分析選項：對于A選項，若函數、都是增函數，可得圖象均為上升，則函數為增函數，A選項正確；對于B選項，若函數、都是減函數，可得它們的圖象都是下降的，則函數為減函數，B選項正確；對于C選項，若函數、都是奇函數，則函數不一定是奇函數，如，，可得函數不關于原點對稱，C選項錯誤；對于D選項，若函數、都是偶函數，可得它們的圖象都關于軸對稱，則函數為偶函數，D選項正確．故選C．【題目點撥】本題考查分段函數的奇偶性與單調性的判定，解題時要理解題中函數的定義，考查判斷這些基本性質時，可以從定義出發(fā)來理解，也可以借助圖象來理解，考查分析問題的能力，屬于難題．6、D【解題分析】

根據正切型函數的周期公式可求出函數的最小正周期.【題目詳解】由題意可知，函數的最小正周期，故選D.【題目點撥】本題考查正切型函數周期的求解，解題的關鍵在于利用周期公式進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.7、C【解題分析】不能推出，反過來，若則成立，故為必要不充分條件.8、A【解題分析】

分別化簡集合和，然后直接求解即可【題目詳解】∵，，∴.【題目點撥】本題考查集合的運算，屬于基礎題9、C【解題分析】

本題由題意可知，首先可以根據a、b中一個是124，得出另一個是：【題目詳解】從一批蘋果中抽出5只蘋果，它們的質量分別為125、a、該樣本的中位數和平均值均為124，所以a，b中一個是另一個是：5×124-125-124-121-127=123，所以樣本方差s2所以該樣本的標準差s是2，故選：C。【題目點撥】本題考查樣本的標準差的求法，考查平均數、中位數、方差、標準差等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題，本題主要是能夠讀懂題目，能從題目所給條件中找出a、10、D【解題分析】分析：由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各個變量值的變化情況，可得結論.詳解：模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各個變量值的變化情況，可得程序的作用是求和，即，故選D.點睛：本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結論，是中檔題.算法是新課標高考的一大熱點，其中算法的交匯性問題已成為高考的一大亮，這類問題常常與函數、數列、不等式等交匯自然，很好地考查考生的信息處理能力及綜合運用知識解決問題的能力，解決算法的交匯性問題的方：（1）讀懂程序框圖、明確交匯知識，(2）根據給出問題與程序框圖處理問題即可.11、B【解題分析】分析：根據復數模的定義化簡復數，再根據共軛復數概念求結果.詳解：因為，所以,所以復數的共軛復數是,選B.點睛：首先對于復數的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為12、B【解題分析】

試題分析：將平面延展到平面如下圖所示，由圖可知，到平面的距離為定值.由于四邊形為矩形，故三角形的面積為定值，進而三棱錐的體積為定值.故A，C，D選項為真命題，B為假命題.考點：空間點線面位置關系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】因為在四面體中，為的中點，為的中點，，故答案為.14、300【解題分析】

分層抽樣中，樣本容量與總體容量是成比例的．由此計算．【題目詳解】設乙設備生產的產品總數為件，則，解得．故答案為：300.【題目點撥】本題考查分層抽樣，屬于基礎題．15、15【解題分析】

由題意及正弦定理得到a2+b2-c2=ab2，于是可得cosC=14，sin【題目詳解】如圖，設∠CDA=θ，則∠CDB=π-θ,在ΔCDA和ΔCDB中，分別由余弦定理可得cosθ=兩式相加，整理得c2∴c2由(a-12b)整理得a2由余弦定理的推論可得cosC=a2把①代入②整理得a2又a2+b所以4≥2ab+ab2=所以SΔABC即ΔABC面積的最大值是155故答案為155【題目點撥】本題考查解三角形在平面幾何中的應用，解題時注意幾何圖形性質的合理利用．對于三角形中的最值問題，求解時一般要用到基本不定式，運用時不要忽視等號成立的條件．本題綜合性較強，考查運用知識解決問題的能力和計算能力．16、【解題分析】分析：先求出，再利用正弦定理求出，再利用三角變換和基本不等式求其最大值.詳解：由題得,由正弦定理得所以的最大值為.故答案為：點睛：（1）本題主要考查平面向量的數量積，考查正弦定理和三角變換，考查基本不等式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的解題關鍵有兩點，其一是求出，其二是化簡得到，再利用基本不等式求最大值.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或時，取得最大值.【解題分析】試題分析：（1）在等差數列中，由，即可求得首項和公差，從而得通項公式；（2）由等差數列求和公式可得，結合二次函數的單調性可求最值.試題解析：（1）在等差數列中，由，解得，所以數列的通項公式為.（2）由（1），因為，所以或時，取得最大值.18、（1）．（2）的分布列為

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．【解題分析】試題分析：概率與統計類解答題是高考?？嫉念}型，以排列組合和概率統計等知識為工具，主要考查對概率事件的判斷及其概率的計算，隨機變量概率分布列的性質及其應用：對于（1），從所求事件的對立事件的概率入手即；對于（2），根據的所有可能取值：0，1，2，1；分別求出相應事件的概率Ｐ，列出分布列，運用數學期望計算公式求解即可.（1）記“甲海選合格”為事件Ａ，“乙海選合格”為事件Ｂ，“丙海選合格”為事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名海選合格”為事件Ｅ．．（2）的所有可能取值為0,1,2,1．；；；．所以的分布列為

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．考點：離散型隨機變量的概率、分布列和數學期望.19、(1)(2)證明過程見解析；(3).【解題分析】

(1)利用定義,通過計算可以求出,的值；(2)可以知道集合中的元素組成首項為,公比為的等比數列,只要證明這個等比數列中的任意兩項(包括本身與本身)的和不在這個數列中即可.(3)根據,有性質了,可以知道集合中元素的性質,這樣可以求出的最小值.【題目詳解】(1)根據定義可得：,.所以(2)數列的通項公式為：.若存在成立，則,因此有,即有.等式的左邊是2的倍數,右邊是3的倍數,故等式不成立,因此等比數列中的任意兩項(包括本身與本身)的和不在這個數列中所以中的元素的個數為：,即,所以有性質；(3)集合具有性質,所以集合中的任意兩個元素的和都不在該集合中,也就是集合中的任意兩個元素的和都不相等,對于任意的有,也就是任意兩個元素的差的絕對值不相等.設,所以集合具有性質,集合,有性質,且(當且僅當時,取等號).所以的最小值為.【題目點撥】本題考查了新定義題,考查了等比數列的性質,考查了反證法的應用.20、（1）4（2）（3y﹣1）2＝8（3x﹣1）（3）存在，T（3，0）【解題分析】

（1）根據條件可知直線l方程為x+y﹣2＝0，聯立直線與拋物線，根據弦長公式可得結果；（2）設R（x0，y0），Q（x，y），根據2可得x，y，將其代入拋物線方程即可得到結果；（3）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），設AB的方程為y＝k（x﹣1）+1，聯立，根據韋達定理和中點公式可得點的坐標，同理可得的坐標，由斜率公式得的斜率，由點斜式可得的方程，根據方程可得結果.【題目詳解】（1）根據條件可知直線l方程為y＝﹣（x﹣1）+1，即x+y﹣2＝0，聯立，整理得x2﹣8x+4＝0，則xU+xV＝8，xUxV＝4，所以線段UV?|xU﹣xV|?4；（2）設R（x0，y0），Q（x，y），則（x0﹣1，y0﹣1），（x﹣x0，y﹣y0），根據2，則有2（x﹣x0）＝x0﹣1，2（y﹣y0）＝y0﹣1，所以x，y，因為點Q在拋物線Γ上，所以（）2＝4?，整理得（3y0﹣1）2＝8（3x0﹣1），即點R的運動軌跡方程為（3y﹣1）2＝8（3x﹣1）；（3）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），根據題意直線AB，CD的斜率存在且不為0，不妨設AB的方程為y＝k（x﹣1）+1，聯立，整理得k2x2﹣2（k2﹣k+2）x+（1﹣k）2＝0，則x1+x2，所以可得M（，），同理可得N（1+k+2k2，﹣k），則kMN所以直線MN的方程為y[x﹣（1+k+2k2）]﹣k（x﹣3），即直線MN過點（3，0），故存在一個定點T（3，0），使得M，N，T三點總是共