2024屆四川省內(nèi)江市球溪中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

2024屆四川省內(nèi)江市球溪中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為（）A． B．C． D．2．已知拋物線（是正常數(shù)）上有兩點、，焦點，甲：；乙：；丙：；丁：.以上是“直線經(jīng)過焦點”的充要條件有幾個（）A． B． C． D．3．高三(1)班需要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目、2個舞蹈節(jié)目和l個曲藝節(jié)目的演出順序要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同排法的種數(shù)是（）A．800 B．5400 C．4320 D．36004．命題“對任意實數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的一個必要不充分條件是A． B． C． D．5．一物體做直線運動，其位移s(單位:m)與時間t(單位:s)的關(guān)系是s=5t-t2，則該物體在A．-1m/s B．1m6．設(shè)兩個正態(tài)分布和的密度函數(shù)圖像如圖所示．則有（）A．B．C．D．7．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為930，下雨的概率為1130，既吹東風(fēng)又下雨的概率為A．89 B．25 C．98．下列推理是歸納推理的是（）A．，為定點，動點滿足，得的軌跡為橢圓.B．由，，求出，，，猜想出數(shù)列的前項和的表達(dá)式.C．由圓的面積，猜出橢圓的面積.D．科學(xué)家利用鳥類的飛行原理制造飛機.9．若，則的值為（）A． B． C． D．10．已知隨機變量的概率分布如下表，則（）A． B． C． D．11．已知橢圓的兩個焦點為,且,弦過點,則的周長為()A． B． C． D．12．是第四象限角，,，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一組數(shù)據(jù)1，3，2，5，4，那么這組數(shù)據(jù)的方差為____．14．已知集合，且下列三個關(guān)系：有且只有一個正確，則函數(shù)的值域是_______．15．如果球的體積為，那么該球的表面積為________16．如圖為某幾何體的三視圖，則其側(cè)面積為_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的普通方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(Ⅰ)求直線的參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程；(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點，求的值.18．（12分）已知函數(shù)，其中為實數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個極值點，求證：.19．（12分）已知復(fù)數(shù)與都是純虛數(shù)，復(fù)數(shù)，其中i是虛數(shù)單位.（1）求復(fù)數(shù)；（2）若復(fù)數(shù)z滿足，求z.20．（12分）阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻.為調(diào)查中學(xué)生對這一偉大科學(xué)家的了解程度，某調(diào)查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結(jié)果如下：0項1項2項3項4項5項5項以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)？比較了解不太了解合計理科生文科生合計（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.（i）求抽取的文科生和理科生的人數(shù)；（ii）從10人的樣本中隨機抽取3人，用表示這3人中文科生的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.21．（12分）如圖，圓錐的展開側(cè)面圖是一個半圓，、是底面圓的兩條互相垂直的直徑，為母線的中點，已知過與的平面與圓錐側(cè)面的交線是以為頂點、為對稱軸的拋物線的一部分．（1）證明：圓錐的母線與底面所成的角為；（2）若圓錐的側(cè)面積為，求拋物線焦點到準(zhǔn)線的距離．22．（10分）如圖，已知海島與海岸公路的距離為，，間的距離為，從到，需先乘船至海岸公路上的登陸點，船速為，再乘汽車至，車速為，設(shè).（1）用表示從海島到所用的時間，并指明的取值范圍；（2）登陸點應(yīng)選在何處，能使從到所用的時間最少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式，即可得到答案．【題目詳解】由曲線的極坐標(biāo)方程，兩邊同乘，可得，再由，可得：，所以曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)為故答案選B【題目點撥】本題考查把極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的方法，熟練掌握直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理驗證四個選項結(jié)論成立時，實數(shù)的值，可以得出“直線經(jīng)過焦點”的充要條件的個數(shù).【題目詳解】設(shè)直線的方程為，則直線交軸于點，且拋物線的焦點的坐標(biāo)為.將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去得，，由韋達(dá)定理得，.對于甲條件，，得，甲條件是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件；對于乙條件，，得，此時，直線過拋物線的焦點，乙條件是“直線經(jīng)過焦點”的充要條件；對于丙條件，，即，解得或，所以，丙條件是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件；對于丁條件，，化簡得，得，所以，丁條件是“直線經(jīng)過焦點”的必要不充分條件.綜上所述，正確的結(jié)論只有個，故選B.【題目點撥】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，以及直線與拋物線的綜合問題，同時也考查了充分必要條件的判定，解題時要假設(shè)直線的方程，并將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中等題.3、D【解題分析】先排4個音樂節(jié)目和1個曲藝節(jié)目共有種排法，再從5個節(jié)目的6隔空插入兩個不同的舞蹈節(jié)目有種排法，∴共有種排法，故選D4、B【解題分析】

根據(jù)題意可知，利用參數(shù)分離的方法求出使命題“對任意實數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題的的取值范圍，的取值范圍構(gòu)成的集合應(yīng)為正確選項的真子集，從而推出正確結(jié)果．【題目詳解】命題“對任意實數(shù)，關(guān)于的不等式恒成立”為真命題根據(jù)選項滿足是的必要不充分條件只有，故答案選B．【題目點撥】本題主要考查了簡單的不等式恒成立問題以及求一個命題的必要不充分條件．5、A【解題分析】

先對s求導(dǎo)，然后將t=3代入導(dǎo)數(shù)式，可得出該物體在t=3s時的瞬時速度?！绢}目詳解】對s=5t-t2求導(dǎo)，得s'因此，該物體在t=3s時的瞬時速度為-1m/s，故選：A?！绢}目點撥】本題考查瞬時速度的概念，考查導(dǎo)數(shù)與瞬時變化率之間的關(guān)系，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。6、A【解題分析】根據(jù)正態(tài)分布函數(shù)的性質(zhì)：正態(tài)分布曲線是一條關(guān)于對稱，在處取得最大值的連續(xù)鐘形曲線；越大，曲線的最高點越底且彎曲較平緩；反過來，越小，曲線的最高點越高且彎曲較陡峭，選A．7、A【解題分析】

利用條件概率的計算公式即可得出．【題目詳解】設(shè)事件A表示某地四月份吹東風(fēng)，事件B表示四月份下雨．根據(jù)條件概率計算公式可得在吹東風(fēng)的條件下下雨的概率P(B|A)=8故選：A【題目點撥】本題主要考查條件概率的計算，正確理解條件概率的意義及其計算公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

根據(jù)歸納推理的定義即可選出答案?！绢}目詳解】歸納推理是由個別事實概括出一般結(jié)論的推理。A為演繹推理B為歸納推理C為類比推理D為類比推理故選B【題目點撥】本題考查歸納推理，屬于簡單題。9、A【解題分析】(a0+a2+a4)2－(a1+a3)2選A10、C【解題分析】由分布列的性質(zhì)可得：，故選C.11、D【解題分析】

求得橢圓的a，b，c，由橢圓的定義可得△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，計算即可得到所求值．【題目詳解】由題意可得橢圓+=1的b=5，c=4，a==，由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故選D．【題目點撥】本題考查三角形的周長的求法，注意運用橢圓的定義和方程，定義法解題是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】

根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，得到，求解，再根據(jù)題意，即可得出結(jié)果.【題目詳解】因為，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得：，解得：，又是第四象限角，所以.故選：D.【題目點撥】本題主要考查已知正切求正弦，熟記同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可，屬于常考題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2；【解題分析】

先求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再代入方差公式，求方差.【題目詳解】因為，方差.【題目點撥】本題考查平均數(shù)與方差公式的簡單應(yīng)用，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.14、【解題分析】分析：根據(jù)集合相等的條件，列出a、b、c所有的取值情況，再判斷是否符合條件，求出a，b，c的值，結(jié)合的最值即可求出函數(shù)的值域．詳解：由{a，b，c}={2，3，4}得，a、b、c的取值有以下情況：當(dāng)a=2時，b=3、c=4時，a≠3，b=3，c≠4都正確，不滿足條件．當(dāng)a=2時，b=4、c=3時，a≠3成立，c≠4成立，此時不滿足題意；當(dāng)a=3時，b=2、c=4時，都不正確，此時不滿足題意；當(dāng)a=3時，b=4、c=2時，c≠4成立，此時滿足題意；當(dāng)a=4時，b=2，c=3時，a≠3，c≠4成立，此時不滿足題意；當(dāng)a=4時，b=3、c=2時，a≠3，b=3成立，此時不滿足題意；綜上得，a=3、b=4、c=2，則函數(shù)=，當(dāng)x＞4時，f（x）=2x＞24=16，當(dāng)x≤4時，f（x）=（x﹣2）2+3≥3，綜上f（x）≥3，即函數(shù)的值域為[3，+∞），故答案為[3，+∞）．點睛：本題主要考查函數(shù)的值域的計算，根據(jù)集合相等關(guān)系以及命題的真假條件求出a，b，c的值是解決本題的關(guān)鍵．15、【解題分析】

根據(jù)球的體積公式：求出球的半徑，然后由表面積公式：即可求解?！绢}目詳解】，又因為，所以故答案為：【題目點撥】本題考查球的體積、表面積公式，屬于基礎(chǔ)題。16、【解題分析】

根據(jù)三視圖可知幾何體為圓錐，利用底面半徑和高可求得母線長；根據(jù)圓錐側(cè)面積公式可直接求得結(jié)果.【題目詳解】由三視圖可知，幾何體為底面半徑為，高為的圓錐圓錐的母線長為：圓錐的側(cè)面積：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查圓錐側(cè)面積的求解問題，關(guān)鍵是能夠根據(jù)三視圖準(zhǔn)確還原幾何體，考查學(xué)生對于圓錐側(cè)面積公式的掌握情況.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))極坐標(biāo)方程為()(Ⅱ)5【解題分析】

(Ⅰ)直線的普通方程為，可以確定直線過原點，且傾斜角為，這樣可以直接寫出參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程；(Ⅱ)利用，把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，然后把直線的參數(shù)方程代入曲線的普通方程中，利用根與系數(shù)的關(guān)系和參數(shù)的意義，可以求出的值.【題目詳解】解:(Ⅰ)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))極坐標(biāo)方程為()(Ⅱ)曲線的普通方程為將直線的參數(shù)方程代入曲線中，得，設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別是，則，【題目點撥】本題考查了直線的參數(shù)方程化為普通方程和極坐標(biāo)方程問題，同時也考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及直線參數(shù)方程的幾何意義.18、（1）見解析；（2）證明見解析【解題分析】

（1）計算導(dǎo)數(shù)，采用分類討論的方法，，與，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號判定原函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，然后構(gòu)造新函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，并計算最值，然后與比較大小，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）函數(shù)的定義域為，①若，即時，則，此時的單調(diào)減區(qū)間為；②若，時，令的兩根為，，，所以的單調(diào)減區(qū)間為，，單調(diào)減區(qū)間為.③當(dāng)時，，，此時的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點，且，.則則要證，只需證.構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增，又，，且在定義域上不間斷，由零點存在定理可知：在上唯一實根，且.則在上遞減，上遞增，所以的最小值為.因為，當(dāng)，，則，所以恒成立.所以，所以，得證.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，難點在于分類討論思想的應(yīng)用，同時掌握構(gòu)造函數(shù)，化繁為簡，考驗分析能力以及極強的邏輯推理能力，綜合性較強，屬難題.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用純虛數(shù)的定義設(shè)出并表示即可求解.（2）代入和，利用復(fù)數(shù)的四則運算求解即可.【題目詳解】（1）設(shè)，則由題意得.∴∴（2）∵∴【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)四則運算，純虛數(shù)的概念等知識，是基礎(chǔ)題20、(1)見解析；(2)（i）文科生3人，理科生7人（ii）見解析【解題分析】

（1）寫出列聯(lián)表后可計算，根據(jù)預(yù)測值表可得沒有的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān).（2）（i）文科生與理科生的比為，據(jù)此可計算出文科生和理科生的人數(shù).（ii）利用超幾何分布可計算的分布列及其數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】解：（1）依題意填寫列聯(lián)表如下：比較了解不太了解合計理科生422870文科生121830合計5446100計算，沒有的把握認(rèn)為，了解阿基米德與選擇文理科有關(guān).（2）（i）抽取的文科生人數(shù)是（人），理科生人數(shù)是（人）.（ii）的可能取值為0,1,2,3，則，，，.其分布列為0123所以.【題目點撥】本題考查獨立性檢驗、分層抽樣及超幾何分布，注意在計算離散型隨機變量的概率時，注意利用常見的概率分布列來簡化計算（如二項分布、超幾何分布等）．21、（1）答案見解析（2）【解題分析】

（1）設(shè)底面圓的半徑為,圓錐的母線,因為圓錐的側(cè)