微分方程數(shù)值解課件

微分方程數(shù)值解鄧斌合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院

2024/2/1.“計(jì)算數(shù)學(xué)”就是研究在計(jì)算機(jī)上解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的理論和數(shù)值方法。今天的數(shù)值計(jì)算方法，無(wú)論從形式到內(nèi)容，還是從工具到效果，已遠(yuǎn)非半世紀(jì)前VonNeumann、Lax等先驅(qū)們所處的環(huán)境和條件了，計(jì)算機(jī)技術(shù)和應(yīng)用軟件的發(fā)展，讓計(jì)算數(shù)學(xué)展開(kāi)了雙翼。許多迅速發(fā)展的其他學(xué)科和社會(huì)進(jìn)步給計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展開(kāi)拓出更為廣闊的新天地。.隨著計(jì)算機(jī)軟件硬件的不斷更新和計(jì)算方法的迅速發(fā)展，科學(xué)計(jì)算與實(shí)驗(yàn)以及理論研究成為現(xiàn)代科學(xué)研究的三大主要手段?？茖W(xué)計(jì)算還能解決實(shí)驗(yàn)及理論無(wú)法解決的問(wèn)題，并由此發(fā)現(xiàn)一些新的物理現(xiàn)象，加深人們對(duì)物理機(jī)理的理解和認(rèn)識(shí)，促進(jìn)科學(xué)的發(fā)展。作為三種科學(xué)研究手段之一的科學(xué)計(jì)算是一門(mén)工具性、方法性、邊緣性的新學(xué)科，發(fā)展迅速，它的物質(zhì)基礎(chǔ)是計(jì)算機(jī)(包括其軟硬件系統(tǒng))，其理論基礎(chǔ)主要是計(jì)算數(shù)學(xué)。.一.引言2..計(jì)算數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史回顧2.

1.從計(jì)算物理談起計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展與科學(xué)工程計(jì)算是緊密相聯(lián)的，計(jì)算數(shù)學(xué)的發(fā)展歷史也就是與其他學(xué)科結(jié)合，利用計(jì)算機(jī)不斷形成新的理論及數(shù)值方法并不斷形成新的學(xué)科的歷史，例如：“計(jì)算物理”。.１９５９年５月美國(guó)總統(tǒng)發(fā)布命令，可以揭開(kāi)曼哈頓計(jì)劃的內(nèi)幕，部分內(nèi)容可以解密。故以“計(jì)算物理方法”叢書(shū)的名義陸續(xù)編輯出版.我們常說(shuō):計(jì)算物理的物質(zhì)基礎(chǔ)是計(jì)算機(jī)；計(jì)算物理的關(guān)鍵技術(shù)是“計(jì)算方法”和“程序設(shè)計(jì)”;計(jì)算物理發(fā)展的原始動(dòng)力是美國(guó)核武器研制的刺激。.美國(guó)從1942年8月13日開(kāi)始曼哈頓計(jì)劃，到1945年制造出三顆原子彈：代號(hào)為：“三一”，用于試驗(yàn)（7月16日），“瘦子”投于廣島(8月6日)，“胖子”投于長(zhǎng)崎(8月9日)。歷時(shí)三年，涉及到理論物理、爆轟物理、中子物理、金屬物理、彈體彈道等大量的數(shù)值計(jì)算。.1949年8月蘇聯(lián)第一次原子彈爆炸后，杜魯門(mén)總統(tǒng)在1950年1月31日下令繼續(xù)研究各種類(lèi)型的原子彈武器，成立以氫彈之父特勒(E.Teller)為首的氫彈研制小組。直到1952年10月31日爆炸了代號(hào)為“麥克”的核試驗(yàn)。.在研制原子彈和氫彈過(guò)程中，許多物

理規(guī)律必須通過(guò)計(jì)算機(jī)上的計(jì)算摸清

楚。計(jì)算物理、理論物理與實(shí)驗(yàn)物理

相輔相成相互促進(jìn)共同發(fā)展，形成現(xiàn)

代物理學(xué)的三大分支。.由于核武器研制需要，1950年全球只有15臺(tái)，到了1962年9月僅美國(guó)就有16187臺(tái)計(jì)算機(jī)。.60年代中期開(kāi)始推出小型計(jì)算機(jī)，70年代末推出個(gè)人計(jì)算機(jī)，80年代中期又推出高性能的超級(jí)微機(jī)。而計(jì)算物理發(fā)展所涉及的大規(guī)?？茖W(xué)計(jì)算和模擬所需要的大型計(jì)算機(jī)卻未得到發(fā)展。.1981年以哈佛大學(xué)普雷斯(W.H.Press)為首的11位著名科學(xué)家聯(lián)名上書(shū)，向美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)(NSF)呈送“發(fā)展計(jì)算物理的建議書(shū)”，大聲疾呼計(jì)算物理發(fā)展正處于一個(gè)危機(jī)階段，是NSF采取實(shí)質(zhì)性行動(dòng)的時(shí)候了。.２.科學(xué)計(jì)算.1983年一個(gè)由美國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉克斯(P.Lax)為首的不同學(xué)科的專(zhuān)家委員會(huì)向美國(guó)政府提出的報(bào)告之中，強(qiáng)調(diào)“科學(xué)計(jì)算是關(guān)系到國(guó)家安全、經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科技進(jìn)步的關(guān)鍵性環(huán)節(jié)，是事關(guān)國(guó)家命脈的大事?！?1984年美國(guó)政府大幅度地增加對(duì)科學(xué)計(jì)算經(jīng)費(fèi)的支持,新建成五個(gè)國(guó)家級(jí)超級(jí)計(jì)算中心（分別在普林斯頓大學(xué)、圣地亞哥、伊里諾大學(xué)、康奈爾大學(xué)、匹茲堡），配備當(dāng)時(shí)最高性能的計(jì)算機(jī)，建立NSF-net新網(wǎng)絡(luò)。.80年代中期我國(guó)將“大規(guī)?？茖W(xué)與工程計(jì)算”列入國(guó)家資助重大項(xiàng)目。.1987年起美國(guó)NSF把“科學(xué)與工程計(jì)算”、“生物工程”“全局性科學(xué)”作為三大優(yōu)先資助的領(lǐng)域。.1990年美國(guó)國(guó)家研究委員會(huì)發(fā)表《振

興美國(guó)數(shù)學(xué)：90年代的計(jì)劃》的報(bào)告

，建議對(duì)由計(jì)算引發(fā)的數(shù)學(xué)給予特殊

的鼓勵(lì)和資助。.報(bào)告指出由于大存儲(chǔ)的高速計(jì)算機(jī)的使用已導(dǎo)致了科學(xué)和技術(shù)方面的兩大突出進(jìn)展：.一是大量用于設(shè)計(jì)工作的實(shí)驗(yàn)被數(shù)學(xué)模型的研究逐步取代，如航天飛機(jī)設(shè)計(jì)、反應(yīng)堆設(shè)計(jì)、人工心瓣膜設(shè)計(jì)等；二是能獲取和存儲(chǔ)大量的數(shù)據(jù)，并能提取隱秘的信息，如計(jì)算機(jī)層析X射線攝影，核磁共振等。.3．戰(zhàn)略計(jì)算

“戰(zhàn)略計(jì)算”一詞首次出現(xiàn)在1995年美國(guó)為了確保核庫(kù)存的性能、安全性、可靠性和更新需要而實(shí)施的“加速戰(zhàn)略計(jì)算創(chuàng)新（ASCI）計(jì)劃”。.這是因?yàn)槊绹?guó)克林頓總統(tǒng)在1995年8月11日宣布：“美國(guó)決定謀求真正的“零當(dāng)量”全面禁止試驗(yàn)核武器條約”。.這并不意味著核競(jìng)賽的結(jié)束，恰恰相反是核武器計(jì)劃新時(shí)代的開(kāi)始，要求通過(guò)逼真的建模和模擬計(jì)算來(lái)取代傳統(tǒng)的反復(fù)試驗(yàn)的工程處理方法。.這主要依賴于先進(jìn)的數(shù)值計(jì)算和模擬能力，為此應(yīng)用程序必須達(dá)到高分辯、三維、全物理和全系統(tǒng)的水平。.1995年8月22日（即美國(guó)總統(tǒng)宣布決定后的11天），能源部（DOE）

就采購(gòu)世界上最快的一臺(tái)計(jì)算機(jī)（運(yùn)算速度超過(guò)萬(wàn)億次）交付圣地亞實(shí)驗(yàn)室（96年12月安裝）。.１９９８年７月３０－３１日，美國(guó)的DOE（DepartmentofEnergy

）/FNS共同聯(lián)合組織召開(kāi)了關(guān)于“先進(jìn)科學(xué)計(jì)算”的全國(guó)會(huì)議。會(huì)議強(qiáng)調(diào)科學(xué)模擬的重要性，希望應(yīng)用科學(xué)模擬來(lái)攻克復(fù)雜的科學(xué)與工程難題。.１９９８年９月，美國(guó)ＤＯＥ在全國(guó)范圍內(nèi)倡議實(shí)施“科學(xué)模擬計(jì)劃”(SSP)，提出要加速“燃燒系統(tǒng)”與全球氣候系統(tǒng)“這兩大應(yīng)用領(lǐng)域的科學(xué)模擬研究。.

提問(wèn)：數(shù)值計(jì)算方法是做什么用的？研究對(duì)象：數(shù)值問(wèn)題——有限個(gè)輸入數(shù)據(jù)（問(wèn)題的自變量、原始數(shù)據(jù)）與有限個(gè)輸出數(shù)據(jù)（待求解數(shù)據(jù)）之間函數(shù)關(guān)系的一個(gè)明確無(wú)歧義的描述。如一階微分方程初值問(wèn)題求函數(shù)解析表達(dá)式數(shù)學(xué)問(wèn)題求函數(shù)在某些點(diǎn)的近似函數(shù)值數(shù)值問(wèn)題.程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算設(shè)計(jì)高效、可靠的數(shù)值方法數(shù)值問(wèn)題求解近似結(jié)果輸出重點(diǎn)討論數(shù)值問(wèn)題的來(lái)源：實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型數(shù)值問(wèn)題.數(shù)值方法的設(shè)計(jì)原則收斂性：方法的可行性穩(wěn)定性：初始數(shù)據(jù)等產(chǎn)生的誤差對(duì)結(jié)果的影響便于編程實(shí)現(xiàn)：邏輯復(fù)雜度要小計(jì)算量要?。簳r(shí)間復(fù)雜度要小，運(yùn)行時(shí)間要短存貯量要盡量?。嚎臻g復(fù)雜度要小可靠性分析計(jì)算復(fù)雜性誤差估計(jì)：運(yùn)算結(jié)果不能產(chǎn)生太大的偏差且能夠控制誤差.

誤差

/*Error*/一、誤差的來(lái)源與分類(lèi)

/*Source&Classification*/

1、從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型

——模型誤差

/*ModelingError*/

2、通過(guò)觀測(cè)得到模型中某些參數(shù)（或物理量）的值

——觀測(cè)誤差

/*MeasurementError*/

3、數(shù)學(xué)模型與數(shù)值算法之間的誤差求近似解

——方法誤差

(截?cái)嗾`差

/*TruncationError*/)

4、由于機(jī)器字長(zhǎng)有限，原始數(shù)據(jù)和計(jì)算過(guò)程會(huì)產(chǎn)生新的誤差

——舍入誤差

/*RoundoffError*/.二、誤差分析的基本概念

/*BasicConcepts*/設(shè)為真值（精確值），為的一個(gè)近似值稱為近似值的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。

注：

誤差可正可負(fù)，常常是無(wú)限位的

絕對(duì)誤差限/*accuracy*/——絕對(duì)值的上界如：

絕對(duì)誤差還不能完全表示近似值的好壞（絕對(duì)誤差/*absoluteerror*/）.近似值的誤差與準(zhǔn)確值的比值：稱為近似值的相對(duì)誤差，記作

注：

實(shí)際計(jì)算時(shí)，相對(duì)誤差通常取因?yàn)椋ㄏ鄬?duì)誤差/*relativeerror*/）.一個(gè)算法如果輸入數(shù)據(jù)有擾動(dòng)（即誤差），而計(jì)算過(guò)程中舍入誤差不增長(zhǎng),則稱此算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否則此算法就稱為不穩(wěn)定的。（數(shù)值穩(wěn)定性/*NumericalStability*/）對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題本身如果輸入數(shù)據(jù)有微小擾動(dòng)，引起輸出數(shù)據(jù)（即問(wèn)題真解）的很大擾動(dòng)，這就是病態(tài)問(wèn)題。（病態(tài)問(wèn)題/*ill-posedproblem*/）

它是數(shù)學(xué)問(wèn)題本身性質(zhì)所決定的，與算法無(wú)關(guān)，也就是說(shuō)對(duì)病態(tài)問(wèn)題，用任何算法（或方法）直接計(jì)算都將產(chǎn)生不穩(wěn)定性。

.此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!例計(jì)算

公式一：.考察第n步的誤差我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法

/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增趨勢(shì)。初始的小擾動(dòng)

公式二：注意此公式與公式一在理論上等價(jià)。方法：先估計(jì)一個(gè)IN

,再反推要求的In(n<<N)?？扇?取.考察反推一步的誤差：以此類(lèi)推，對(duì)n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法

/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性將會(huì)是一個(gè)非常重要的話題。.例：蝴蝶效應(yīng)

——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北京就刮起臺(tái)風(fēng)來(lái)了？！紐約北京這是一個(gè)病態(tài)問(wèn)題.蝴蝶效應(yīng)在社會(huì)學(xué)界用來(lái)說(shuō)明：一個(gè)壞的微小的機(jī)制，如果不加以及時(shí)地引導(dǎo)、調(diào)節(jié)，會(huì)給社會(huì)帶來(lái)非常大的危害，戲稱為“龍卷風(fēng)”或“風(fēng)暴”；一個(gè)好的微小的機(jī)制，只要正確指引，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的努力，將會(huì)產(chǎn)生轟動(dòng)效應(yīng)，稱為“革命”。蝴蝶效應(yīng)是氣象學(xué)家洛倫茲1963年提出來(lái)的。其大意為：一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動(dòng)幾下翅膀，可能在兩周后引起美國(guó)德克薩斯引起一場(chǎng)龍卷風(fēng)。.幾點(diǎn)注意事項(xiàng)

/*Remarks*/1、

避免相近二數(shù)相減例：a1=0.12345，a2=0.12346，各有5位有效數(shù)字。而a2

a1=0.00001，只剩下1位有效數(shù)字。

幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：當(dāng)|x|<<1時(shí)：.2、避免小分母:分母小會(huì)造成浮點(diǎn)溢出

/*overflow*/3、避免大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計(jì)算的根。精確解為

算法1：利用求根公式在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為0.11010，1存為0.1101。做加法時(shí)，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對(duì)齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1的指數(shù)部分須變?yōu)?010，則：1=0.00000000011010，取單精度時(shí)就成為：

109+1=0.100000001010+0.000000001010=0.100000001010大數(shù)吃小數(shù).算法2：先解出再利用注：求和時(shí)從小到大相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計(jì)算1+2+3+…+40+1094、

先化簡(jiǎn)再計(jì)算，減少步驟，避免誤差積累。一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為5、選用穩(wěn)定的算法。.二.計(jì)算數(shù)學(xué)的兩大分支.1.微分方程及其數(shù)值解計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟建立數(shù)學(xué)模型選擇數(shù)值方法編寫(xiě)程序上機(jī)計(jì)算.現(xiàn)實(shí)世界中絕大多數(shù)事物的內(nèi)外聯(lián)系是及其復(fù)雜的，其狀態(tài)隨著時(shí)間、地點(diǎn)、條件的不同而不同，我們只能通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)化和作某些假定，從中找出其狀態(tài)和狀態(tài)的變化規(guī)律之間的關(guān)系，也即一個(gè)或一些函數(shù)與它們的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，這種關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)就是微分方程。

.偏微分方程數(shù)值解主要是有限差分法和有限元法。

.偏微分方程發(fā)展史：(1)十八世紀(jì)初,Taylor:(2)十九世紀(jì)中期，三類(lèi)偏微分方程：

(3)十九世紀(jì)末到二十世紀(jì)初，其它方程：

高階方程：KDV方程：.如果能找到一個(gè)（或一族）具有所要求階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的解析函數(shù)，將它代入微分方程（組）中，恰好使得方程（組）的所有條件都得到滿足，我們就將它稱為這個(gè)方程（組）的解析解（也稱古典解）。“微分方程的真解”或“微分方程的解”就是指解析解。尋找解析解的過(guò)程稱為求解微分方程。

微分方程的解在數(shù)學(xué)意義上的存在性可以在非常一般的條件下得到證明，這已有許多重要的結(jié)論。但從實(shí)際上講，人們需要并不是解在數(shù)學(xué)中的存在性，而是關(guān)心某個(gè)定義范圍內(nèi)，對(duì)應(yīng)某些特定的自變量的解的取值或是近似值-這樣一組數(shù)值稱為這個(gè)微分方程在該范圍內(nèi)的數(shù)值解，尋找數(shù)值解的過(guò)程稱為數(shù)值求解微分方程。

.為什么要研究數(shù)值求解方法呢？

1）在實(shí)際問(wèn)題中我們所能獲取的或感興趣的，往往只是一個(gè)特定點(diǎn)上的數(shù)據(jù)。如空間的溫度分布只能一個(gè)點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)地測(cè)定，火箭升空傳回的控制信息只能以某個(gè)確定的時(shí)間為間隔，一個(gè)個(gè)地發(fā)送和接受，如此等等。這些離散點(diǎn)上的函數(shù)值對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題，已經(jīng)足夠了，尋找解析解的一般形式未必必要。

.2）在很多情況下，尋找解析解也并無(wú)可能?，F(xiàn)實(shí)問(wèn)題中歸結(jié)的微分方程不滿足解析解的存在條件的比比皆是，方程中出現(xiàn)的有些函數(shù)連續(xù)性都無(wú)法保證，它們并不存在前述意義的解析解。于是，求數(shù)值解便成了在這種情況下解決問(wèn)題的重要手段了。

.3）即使微分方程的解析解存在，以并不意味可以將它表示為初等函數(shù)，如多項(xiàng)式、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)三角函數(shù)及它們的不定積分的有限組合形式——顯式解。

事實(shí)上，有顯式解的微分方程只占解析解存在的微分方程中的非常小的一部分。

..由于數(shù)字電子計(jì)算機(jī)只能存儲(chǔ)有限個(gè)數(shù)據(jù)和作有限次運(yùn)算，所以任何一種適用于計(jì)算機(jī)解題的方法，都必須把連續(xù)問(wèn)題離散化，最終化成有限形式的代數(shù)方程組。.數(shù)值求解方法概述1）區(qū)域剖分把整個(gè)定義域分成若干個(gè)小塊，以便對(duì)每小塊上的點(diǎn)或片求出近似值，這樣按一定規(guī)律對(duì)定義域分切的過(guò)程稱為區(qū)域剖分。2）微分方程的離散區(qū)域剖分完畢后，依據(jù)原來(lái)的微分方程去形成關(guān)于這些離散點(diǎn)或片的函數(shù)值的遞推公式或方程。這是它們的未知量已不是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，而成了若干個(gè)離散的未知值的某種組合了，這個(gè)步驟稱為微分方程離散。.3）初始和邊界條件處理離散后系統(tǒng)是一個(gè)遞推公式，那它需要若干個(gè)初值才能啟動(dòng)。若是一個(gè)方程組，那它所含的方程個(gè)數(shù)一般少于未知量的個(gè)數(shù)，要想求解還需要補(bǔ)充若干個(gè)方程。這些需要補(bǔ)充的初值和方程往往可以通過(guò)微分方程的初始條件和邊界條件來(lái)得到，這就是初始和邊界條件處理過(guò)程。.4）離散系統(tǒng)的性態(tài)研究我們主要研究：這個(gè)系統(tǒng)是否可解，即解的存在性、唯一性問(wèn)題；它與精確解的差距有多大，這個(gè)差距當(dāng)區(qū)域剖分的尺寸趨于零時(shí)，是否也會(huì)趨于零，趨于零的速度多快，即解的收斂性和收斂速度問(wèn)題；當(dāng)外界對(duì)數(shù)據(jù)有所干擾時(shí)，所得的解是否會(huì)嚴(yán)重背離離散系統(tǒng)的固有的解，即解的穩(wěn)定性問(wèn)題。.上述問(wèn)題說(shuō)道底是一個(gè)誤差分析問(wèn)題，因?yàn)槿绻麖膶?shí)際問(wèn)題到得出數(shù)值解的每一步都沒(méi)有任何誤差的話（當(dāng)然，這是不可能的），那么數(shù)值解就應(yīng)該是離散點(diǎn)上的精確值，也就不用煞費(fèi)苦心去討論上面的問(wèn)題了。.數(shù)值求解微分方程過(guò)程示意微分方程區(qū)域剖分離散系統(tǒng)的性態(tài)研究遞推計(jì)算或解線性代數(shù)方程組微分方程離散初始和邊界條件處理解的存在性、唯一性解的收斂性和收斂速度解的穩(wěn)定性得到數(shù)值解.求解過(guò)程中產(chǎn)生的誤差現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)模型離散格式模型誤差建模離散舍入誤差觀測(cè)模型截?cái)嗾`差數(shù)值解計(jì)算.2.數(shù)值代數(shù)數(shù)值線性代數(shù)又稱矩陣計(jì)算，它是科學(xué)與工程計(jì)算的核心?？梢院敛豢鋸埖刂v，大部分科學(xué)與工程問(wèn)題最終都要?dú)w結(jié)為一個(gè)矩陣計(jì)算問(wèn)題，其中具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題是大規(guī)模矩陣計(jì)算問(wèn)題。.數(shù)值線性代數(shù)主要包括如下三個(gè)大問(wèn)題：（1）求解線性方程組的問(wèn)題。（2）矩陣特征值問(wèn)題。即給定一個(gè)矩陣，求它的部分或全部特征值以及對(duì)應(yīng)的特征向量（3）線性最小二乘問(wèn)題。.求解線性方程組的問(wèn)題。

若(1.1)為相容方程組(即b∈R(A)),則一定有解.但當(dāng)其解有無(wú)數(shù)個(gè)時(shí),通常我們關(guān)心一個(gè)范數(shù)極小的解.若(1.1)為矛盾方程組,通常我們求解使殘差