專題10等比數(shù)列（知識(shí)梳理精講）

專題10等比數(shù)列知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的概念定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)（不為零），那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母表示，定義的表達(dá)式為．例1．（1）、（2023上·山東濰坊·高三?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，已知，，則該等比數(shù)列的公比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)公比為，根據(jù)建立關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】設(shè)公比為，由，，，得，即.故選：D.（2）、（2016上·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則.【答案】96【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，則得到.【詳解】在等比數(shù)列中，由，，得，故答案為：96.（3）、（2023上·天津南開·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的公比為，則“且”是“是遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別驗(yàn)證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，當(dāng)且時(shí)，則，且單調(diào)遞減，則是遞減數(shù)列，故充分性滿足；當(dāng)是遞減數(shù)列，可得或，故必要性不滿足；所以“且”是“是遞減數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A1．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）兩個(gè)數(shù)4和9的等比中項(xiàng)是（

）A．6 B．C． D．【答案】B【分析】利用等比中項(xiàng)的定義即可得出．【詳解】設(shè)4和9的等比中項(xiàng)為，則，所以.故選：B.2．（2024上·北京大興·高三統(tǒng)考期末）設(shè)是等比數(shù)列，，，則.【答案】16【分析】結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)，則，故.故答案為：16.3．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得與之間的關(guān)系，代入計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.例2．（2023上·上海普陀·高三曹楊二中?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的、、；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)證明見解析，(2)不存在，理由見解析【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義可證明出數(shù)列為等比數(shù)列，確定數(shù)列的首項(xiàng)和公比，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義出，假設(shè)存在滿足條件的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列），由已知可得出，根據(jù)等比數(shù)列的定義可得出，化簡得出，再利用作差法推出矛盾，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：因?yàn)閿?shù)列滿足，，則當(dāng)時(shí)，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以，，故.（2）解：在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，則，假設(shè)數(shù)列中是否存在不同的三項(xiàng)、、（其中、、成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即，即，由已知可得，所以，，事實(shí)上，，即，矛盾，假設(shè)不成立，故不存在這樣的三項(xiàng)、、成等比數(shù)列.1．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，是n、的等差中項(xiàng)，．(1)證明：是等比數(shù)列；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件得到時(shí)的遞推關(guān)系式，兩式作差得到新的遞推關(guān)系式，將其化簡可完成證明；（2）代入的通項(xiàng)公式于，將的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，然后采用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和并根據(jù)結(jié)果完成證明.【詳解】（1）因?yàn)槭堑牡炔钪许?xiàng)，所以，所以，兩式相減可得：，所以，又，所以，，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）、設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則它的通項(xiàng)公式．（2）、推廣形式：例4．（1）、（2023上·湖南岳陽·高二校考競賽）在數(shù)列中，，，則為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可以得到數(shù)列為等比數(shù)列，從而求解出數(shù)列的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋裕蕿槭醉?xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，所以，故.故選：B.（2）、（2023上·江蘇揚(yáng)州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知為等比數(shù)列，公比，，且成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式．【答案】【分析】由成等差數(shù)列，得，然后利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式，代入求出公比即可.【詳解】由成等差數(shù)列，且，得，解得或，又，所以，所以，故答案為：.（3）、（2023上·上海虹口·高三?？计谥校┮阎獢?shù)列是首項(xiàng)為2公差不為0的等差數(shù)列，且其中、、三項(xiàng)成等比數(shù)列，則數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)列方程，解方程得到，然后求通項(xiàng)即可.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則，即，解得或0（舍去），所以.故答案為：.（4）、（2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中校考期中）等比數(shù)列中，，，則.【答案】【分析】利用等比數(shù)列定義即可求得，代入計(jì)算可得.【詳解】根據(jù)題意可得設(shè)等比數(shù)列的公比為，則易知，可得，即；而.故答案為：1．（2017上·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┮阎缺葦?shù)列中，，，則該數(shù)列的通項(xiàng)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由已知列式求得等比數(shù)列的公比，進(jìn)一步求得首項(xiàng)，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．【詳解】在等比數(shù)列中，由，，得，，則，，故選：B．2．（2023上·廣東汕頭·高三汕頭市潮陽黃圖盛中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】由通項(xiàng)公式求得公比，再確定出首項(xiàng)，即可得通項(xiàng)公式．【詳解】設(shè)公比為，則，因此，又，因此，故解得，所以，．故答案為：．3．（2023上·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．【答案】【分析】降次作差得，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可得到答案.【詳解】①，②，兩式相減得，故，，令中得，，所以，而不適合上式，故答案為：.4．（2022上·浙江杭州·高二杭州高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎獢?shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，若，則．【答案】【分析】將替換為得到新等式，然后兩式作差得到時(shí)為等比數(shù)列，注意檢驗(yàn)是否滿足，由此可求的通項(xiàng)公式.【詳解】因?yàn)?，所?兩式相減可得，所以，又因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不符合的情況，所以，故答案為：.例4．（2024上·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期末）已知是公差不為零的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前1012項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比中項(xiàng)即可得解；（2）由裂項(xiàng)相消法可求出前1012項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，則，，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，得，又因?yàn)槭枪畈粸榱愕牡炔顢?shù)列，所以，即.（2）由（1）知，.1．（2023上·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）已知各項(xiàng)均不相同的等差數(shù)列的前四項(xiàng)和，且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差數(shù)列求和公式及等比中項(xiàng)計(jì)算即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)公差為，由題意得，解得舍或，所以，故；（2）由（1）知，.知識(shí)點(diǎn)三等比中項(xiàng)（1）等比中項(xiàng)：如果，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項(xiàng)．即是與的等比中項(xiàng)?，，成等比數(shù)列?．（2）若時(shí)，則，特別地，當(dāng)時(shí)，．例5．（1）、（2024上·河北保定·高二保定一中?？茧A段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，是方程的兩根，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】由，是方程的兩根，得，顯然，則，在等比數(shù)列中，同號(hào)，即，又，，所以.故答案為：（2）、（2023上·陜西西安·高二西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：數(shù)列是等差數(shù)列，，可得，即，數(shù)列是等比數(shù)列，，可得，可得，則.故選：B.（3）、（2023下·黑龍江大慶·高二大慶中學(xué)?？奸_學(xué)考試）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，則.【答案】4【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，所以，所以，.故答案為：.1．（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）記為公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，且，，成等比數(shù)列，則的值為.【答案】2022【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得，結(jié)合等比中項(xiàng)可得，結(jié)合等差數(shù)列的定義分析求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則，可得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)椋?，成等比?shù)列，則，即，解得或（舍去），所以.故答案為：2022.2．（2023上·湖北·高二期末）已知數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的概念（或等比數(shù)列的性質(zhì)）先求出，再根據(jù)等比數(shù)列的第二通項(xiàng)公式求出，最后根據(jù)對(duì)數(shù)的定義求值.【詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，所以，故選：B3．（2022下·四川南充·高一四川省南充高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)，若3是與的等比中項(xiàng)，則的最大值是.【答案】1【分析】利用等比中項(xiàng)的概念和基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?是與的等比中項(xiàng)，所以，所以，由基本不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，所以的最大值是1，故答案為:1.知識(shí)點(diǎn)四等比數(shù)列的綜合性質(zhì)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為例6．（1）、（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則的最小值為.【答案】/【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)及等比中項(xiàng)，結(jié)合基本不等式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)的公差為，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào).故答案為：（2）、（2017上·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學(xué)校考期中）若等比數(shù)列滿足，則等于（

）A．6 B．±6 C．5 D．±5【答案】B【分析】由等比數(shù)列性質(zhì)得，由此能求出的值.【詳解】解：∵等比數(shù)列滿足，∴，∴.故選：B.（3）、（2024上·河北邢臺(tái)·高二河北省博野中學(xué)校聯(lián)考期末）現(xiàn)有一根4米長的木頭，第一天截掉它的，以后每一天都截掉它前一天留下的木頭的，到第天時(shí)，共截掉了米，則（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由題意，歸納出截掉的長度和天數(shù)成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列求解即可.【詳解】設(shè)第天截掉的木頭長度為，則是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的前項(xiàng)和.由，得，得.故選：B.1．（2024上·吉林白山·高二統(tǒng)考期末）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前項(xiàng)和為，已知，則.【答案】16【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件求出首項(xiàng)、公比可得答案.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以，可得，解得，（舍去），，所?故答案為：.2．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，成等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，又，所以，顯然，所以，即，所以，又，所以.故選：B3．（2023上·江蘇南通·高二統(tǒng)考期末）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，公比．若是數(shù)列的前n項(xiàng)積，則取得最大值時(shí)n的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】先求出的通項(xiàng)公式，利用函數(shù)的性質(zhì)即可求得取得最值時(shí)的值.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，，公比，所以，所以，當(dāng)時(shí)，最大，即，解得：，所以當(dāng)時(shí)，最大.故選：B.例7．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項(xiàng)求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯(cuò)位相減法的一種替代方法，方法四利用導(dǎo)數(shù)