廣西南寧市馬山縣金倫中學、華僑、新橋、羅圩中學2024屆高二數學第二學期期末檢測試題含解析

廣西南寧市馬山縣金倫中學、華僑、新橋、羅圩中學2024屆高二數學第二學期期末檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．2．設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則實數等于（）A． B． C． D．3．已知曲線的參數方程為：，且點在曲線上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．已知等差數列中，，則（）A．20 B．30 C．40 D．505．曲線在處的切線斜率是()A． B． C． D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入的值為,則輸出的的值為（）A． B． C． D．7．正方體中，若外接圓半徑為，則該正方體外接球的表面積為()A． B． C． D．8．已知，是第四象限角，則（）A． B． C． D．79．已知，，則A． B． C． D．10．已知10件產品中，有7件合格品，3件次品，若從中任意抽取5件產品進行檢查，則抽取的5件產品中恰好有2件次品的抽法有()A．種 B．種 C．種 D．種11．已知，，則“”是“表示橢圓”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的，分別為63，98，則輸出的（）A．9 B．3 C．7 D．14二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若隨機變量的分布列如表所示，則______.01Pa14．《孫子算經》是我國古代重要的數學著作，約成書于四、五世紀，傳本的《孫子算經》共三卷，其中下卷“物不知數”中有如下問題：“今有物，不知其數.三三數之，剩二；五五數之，剩三；七七數之，剩二.問：物幾何？”其意思為：“現有一堆物品，不知它的數目.3個3個數，剩2個；5個5個數，剩3個；7個7個數，剩2個.問這堆物品共有多少個？”試計算這堆物品至少有__________個．15．若的展開式中常數項為96，則實數等于__________．16．已知復數滿足（是虛數單位），則______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）橢圓長軸右端點為，上頂點為，為橢圓中心，為橢圓的右焦點，且，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）直線交橢圓于、兩點，判斷是否存在直線，使點恰為的垂心？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.18．（12分）已知函數的圖象過點.(1)求的值并求函數的值域；(2)若關于的方程有實根，求實數的取值范圍；(3)若函數，則是否存在實數，使得函數的最大值為?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.19．（12分）在復平面內，復數（其中）.（1）若復數為實數，求的值；（2）若復數為純虛數，求的值；（3）對應的點在第四象限，求實數的取值范圍．20．（12分）已知函數，.(1)若曲線與曲線在點處的切線方程相同，求實數的值；(2)若恒成立，求證：當時，.21．（12分）甲、乙兩隊進行一場排球比賽，根據以往經驗，單局比賽甲隊勝乙隊的概率為.本場比賽采用五局三勝制，即先勝三局的隊獲勝，比賽結束.設各局比賽相互間沒有影響且無平局.求：（1）前三局比賽甲隊領先的概率；（2）設本場比賽的局數為，求的概率分布和數學期望.(用分數表示)22．（10分）如圖所示的幾何，底為菱形，，.平面底面，，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由題意得在上恒成立，利用分離參數思想即可得出結果．【題目詳解】∵，∴，又∵函數在上是增函數，∴在恒成立，即恒成立，可得，故選D.【題目點撥】本題主要考查了已知函數的單調性求參數的取值范圍，屬于中檔題．2、B【解題分析】分析：根據隨機變量符合正態(tài)分布，又知正態(tài)曲線關于x=4對稱，得到兩個概率相等的區(qū)間關于x=4對稱，得到關于a的方程，解方程即可．詳解：∵隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（4，3），∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），∴x=a﹣5與x=a+1關于x=4對稱，∴a﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故選：C．點睛：關于正態(tài)曲線在某個區(qū)間內取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.3、C【解題分析】分析：由題意得曲線C是半圓，借助已知動點在單位圓上任意動，而所求式子，的形式可以聯想成在單位圓上動點P與點C（0，1）構成的直線的斜率，進而求解．詳解：∵即

其中由題意作出圖形，，

令，則可看作圓上的動點到點的連線的斜率而相切時的斜率，

由于此時直線與圓相切，

在直角三角形中，，由圖形知，的取值范圍是則的取值范圍是．

故選C．點睛：此題重點考查了已知兩點坐標寫斜率，及直線與圓的相切與相交的關系，還考查了利用幾何思想解決代數式子的等價轉化的思想．4、A【解題分析】等差數列中，，，．故選A．5、C【解題分析】

根據已知對求導，將代入導函數即可.【題目詳解】∵y′=(cosx)′=-sinx，∴當時，.故選C.【題目點撥】本題考查利用導數求切線斜率問題，已知切點求切線斜率問題，先求導再代入切點橫坐標即可，屬于基礎題.6、B【解題分析】開始運行，，滿足條件，，；第二次運行，，滿足條件，s=1+1=1．i=3；第三次運行，，滿足條件，，；第四次運行，，滿足條件，，；第五次運行，，滿足條件，，；第六次運行，，滿足條件，，，不滿足條件，程序終止，輸出，故選B.7、C【解題分析】

設正方體的棱長為，則是邊長為的正三角形，求得其外接圓的半徑，求得的值，進而求得球的半徑，即可求解球的表面積，得到答案．【題目詳解】如圖所示，設正方體的棱長為，則是邊長為的正三角形，設其外接圓的半徑為，則，即，由，得，所以正方體的外接球的半徑為，所以正方體的外接球的表面積為，故選C．【題目點撥】本題主要考查了求得表面積與體積的計算問題，同時考查了組合體及球的性質的應用，其中解答中根據幾何體的結構特征，利用球的性質，求得球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于基礎題．8、A【解題分析】

通過和差公式變形，然后可直接得到答案.【題目詳解】根據題意，是第四象限角，故，而，故答案為A.【題目點撥】本題主要考查和差公式的運用，難度不大.9、A【解題分析】，故選A.10、C【解題分析】

根據題意，分2步進行分析，第一步從3件次品中抽取2件次品，第二步從7件正品中抽取3件正品，根據乘法原理計算求得結果．【題目詳解】根據題意，分2步進行分析：①.從3件次品中抽取2件次品，有種抽取方法，;②.從7件正品中抽取3件正品，有種抽取方法，則抽取的5件產品中恰好有2件次品的抽法有種；故選：C．【題目點撥】本題考查排列組合的實際應用，注意是一次性抽取，抽出的5件產品步需要進行排列．11、B【解題分析】

先要理解橢圓方程的基本形式，再利用兩個命題的關系即可得出必要不充分．【題目詳解】當且時，表示圓，充分性不成立；當表示橢圓時，且，必要性成立，所以“”是“表示橢圓”的必要不充分條件，故選B．【題目點撥】本題考查了橢圓方程的基本形式，以及命題之間的關系．12、C【解題分析】由，不滿足，則變?yōu)?，由，則變?yōu)?，由，則，由，則，由，則，由，則，由，退出循環(huán)，則輸出的值為，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先由分布列，根據概率的性質求出，再求出期望，根據方差的計算公式，即可得出結果.【題目詳解】由分布列可得：，解得，所以，因此，所以.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查求離散型隨機變量的方差，熟記計算公式即可，屬于?？碱}型.14、23【解題分析】除以余且除以余的數是除以余的數.和的最小公倍數是.的倍數有除以余且除以余的數有，…其中除以余的數最小數為，這些東西有個，故答案為.【方法點睛】本題主要考查閱讀能力及建模能力，屬于難題.弘揚傳統文化與實際應用相結合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點是通過中國古代數學名著及現實生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關鍵是耐心讀題、仔細理解題，只有吃透題意，才能將實際問題轉化為數學模型進行解答.15、【解題分析】的展開式的通項是，令，的展開式中常數項為可得故答案為.【方法點晴】本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開式定理的應用.16、【解題分析】

利用復數的除法運算化簡，進而求得.【題目詳解】依題意，故故答案為：.【題目點撥】本小題主要考查復數除法運算，考查復數的模的計算，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）存在直線：滿足要求.【解題分析】

（1）由條件布列關于a，b的方程組，即可得到橢圓的標準方程；（2）由為的垂心可知，利用韋達定理表示此條件即可得到結果.【題目詳解】解：（1）設橢圓的方程為，半焦距為.則、、、、由，即，又，解得，橢圓的方程為（2）為的垂心，又，，設直線：，，將直線方程代入，得，，且又，，，即由韋達定理得：解之得：或（舍去）存在直線：使為的垂心.【題目點撥】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系、三角形垂心的性質、相互垂直的直線斜率之間的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．18、（1），值域為（2）（3）【解題分析】試題分析：（1）根據在圖象上，代入計算即可求解，因為，所以，所以，可得函數的值域為；（2）原方程等價于的圖象與直線有交點，先證明的單調性，可得到的值域，從而可得實數的取值范圍；（3）根據，，轉化為二次函數最大值問題，討論函數的最大值，求解實數即可.試題解析：（1）因為函數的圖象過點，所以，即，所以，所以，因為，所以，所以，所以函數的值域為.（2）因為關于的方程有實根，即方程有實根，即函數與函數有交點，令，則函數的圖象與直線有交點，又任取，則，所以，所以，所以，所以在R上是減函數（或由復合函數判斷為單調遞減），因為，所以，所以實數的取值范圍是.（3）由題意知，，令，則，當時，，所以，當時，，所以（舍去），綜上，存在使得函數的最大值為0.19、（1）或4；（2）；（3）【解題分析】

（1）根據復數為實數條件列方程解得結果，（2）根據純虛數定義列式求解，（3）根據復數幾何意義列不等式解得結果【題目詳解】（1）因為復數為實數，所以，所以或4；（2）因為復數為純虛數，所以，所以（3）因為對應的點在第四象限，所以解不等式組得，，即的取值范圍是.【題目點撥】本題考查復數相關概念以及復數幾何意義，考查基本分析求解能力，屬基礎題.20、(1)，.(2)答案見解析?！窘忸}分析】試題分析：(1)由題意得到關于實數a,b的方程組，求解方程組可得，.(2)由題意結合恒成立的結論分類討論即可證得題中的結論.試題解析：(1)由，.得，解得，.(2)證明：設，則，①當時，，函數在上單調遞增，不滿足恒成立.②當時，令，由，得，或(舍去)，設，知函數在上單調遞減，在上單調遞增，故，即，得.又由，得，所以，令，.當時，，函數單調慈善當時，，函數單調遞增；所以，即，故當時，得.21、（1）；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）分為甲隊勝三局和甲隊勝二局兩種情況，概率相加得到答案.（2）本場比賽的局數為有3,4,5三種情況，分別計算概率得到分布列，最后計算得到答案.【題目詳解】解：（1）設“甲隊勝三局”為事件，“甲隊勝二局”為事件，則，，所以，前三局比賽甲隊領先的概率為（2）甲隊勝三局或乙勝三局，甲隊或乙隊前三局勝局，第局獲勝甲隊或乙隊前四局勝局，第局獲勝的分部列為：數學期望為【題目點撥】本題考查了概率的計算，分布列，數學期望，意在考查學生的計算能力和解決問題的能力.22、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）推導出，從而平面，進而.再由，得平面，推導出，從而平面，由此能證明平面平面；

（2）取中點G，從而平面，以、、所在直線分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，利用向