2024屆河北省保定市長城高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆河北省保定市長城高級中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的焦點到雙曲線的漸近線的距離是（）A． B． C． D．2．二項式的展開式中的常數(shù)項是A．第10項 B．第9項 C．第8項 D．第7項3．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，給出下列四個說法：；函數(shù)的周期為；在區(qū)間上單調(diào)遞增；的圖象關(guān)于點中心對稱其中正確說法的序號是A． B． C． D．5．口袋中裝有5個形狀和大小完全相同的小球，編號分別為1，2，3，4，5，從中任意取出3個小球，以表示取出球的最大號碼，則()A． B． C． D．6．下列等式中，錯誤的是（）A． B．C． D．7．設(shè)是不同的直線，是不同的平面，有以下四個命題：①若，則②若，，則③若，，則④若，，則.其中真命題的序號為（）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④8．已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，對任意實數(shù)均有成立，且是奇函數(shù)，不等式的解集是（）A． B． C． D．9．在二維空間中，圓的一維測度（周長）l=2πr，二維測度（面積）S=πr2；在三維空間中，球的二維測度（表面積）S=4πr2，三維測度（體積）V=4A．4πr4 B．3πr410．已知集合，，則＝（）A． B． C． D．11．某幾何體的三視圖如圖所示，則其體積為（）A．80B．160C．240D．48012．某人射擊一次命中目標(biāo)的概率為，且每次射擊相互獨立，則此人射擊7次，有4次命中且恰有3次連續(xù)命中的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．方程的正整數(shù)解的個數(shù)__________.14．對于自然數(shù)方冪和（，），，，求和方法如下：23﹣13＝3＋3＋1，33﹣23＝3×22＋3×2＋1，……(n＋1)3﹣n3＝3n2＋3n＋1，將上面各式左右兩邊分別，就會有(n＋1)3﹣13＝＋＋n，解得＝n(n＋1)(2n＋1)，類比以上過程可以求得，A，B，C，D，E，F(xiàn)R且與n無關(guān)，則A＋F的值為_______．15．根據(jù)所示的偽代碼，若輸入的的值為-1,則輸出的結(jié)果為________.16．函數(shù)在區(qū)間的最大值為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）令，記數(shù)列的前項和為，證明：.18．（12分）設(shè)是橢圓上的兩點，已知向量，，若且橢圓的離心率，短軸長為2，為坐標(biāo)原點.（1）求橢圓的方程；（2）若直線過橢圓的焦點（為半焦距），求直線的斜率的值；（3）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.19．（12分）某儀器經(jīng)過檢驗合格才能出廠，初檢合格率為；若初檢不合格，則需要進(jìn)行調(diào)試，經(jīng)調(diào)試后再次對其進(jìn)行檢驗；若仍不合格，作為廢品處理，再檢合格率為.每臺儀器各項費用如表：項目生產(chǎn)成本檢驗費/次調(diào)試費出廠價金額（元）（1）求每臺儀器能出廠的概率；（2）求生產(chǎn)一臺儀器所獲得的利潤為元的概率（注：利潤=出廠價-生產(chǎn)成本-檢驗費-調(diào)試費）；（3）假設(shè)每臺儀器是否合格相互獨立，記為生產(chǎn)兩臺儀器所獲得的利潤，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與軸相交于點，與曲線相交于點，且（1）求拋物線的方程；（2）過拋物線的焦點的直線交拋物線于兩點，過分別作拋物線的切線，兩切線交于點，求證點的縱坐標(biāo)為定值.21．（12分）已知中，三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，滿足.（1）求；（2）若，的面積為，求，的值.22．（10分）已知直線，，，其中與的交點為P.（1）求點P到直線的距離；（2）求過點P且與直線的夾角為的直線方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

求得拋物線的焦點，雙曲線的漸近線，再由點到直線的距離公式求出結(jié)果.【題目詳解】依題意，拋物線的焦點為，雙曲線的漸近線為，其中一條為，由點到直線的距離公式得.故選C.【題目點撥】本小題主要考查拋物線的焦點坐標(biāo)，考查雙曲線的漸近線方程，考查點到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解題分析】展開式的通項公式Tr＋1＝，令＝0，得r＝8.展開式中常數(shù)項是第9項.選B.點睛：求二項展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項.可依據(jù)條件寫出第項，再由特定項的特點求出值即可.(2)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù).可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第項，由特定項得出值，最后求出其參數(shù).3、B【解題分析】

由抽象函數(shù)的定義域，對數(shù)的真數(shù)大于零，分母不為零，列出不等式，從而求出的定義域?！绢}目詳解】由題可得：，解得且，所以函數(shù)的定義域為；故答案選B【題目點撥】本題主要抽象函數(shù)與初等函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題。4、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的周期性可排除，同時可以確定對．由，可去絕對值函數(shù)化為，可判斷對．由取特值，可確定錯．【題目詳解】，所以函數(shù)的周期不為，錯，，周期為．=，對．當(dāng)時，，，所以f(x)在上單調(diào)遞增．對．，所以錯．即對，填．【題目點撥】本題以絕對值函數(shù)形式綜合考查三角函數(shù)求函數(shù)值、周期性、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)，需要從定義角度入手分析，也是解題之根本．5、A【解題分析】

首先計算各個情況概率,利用數(shù)學(xué)期望公式得到答案.【題目詳解】故.故本題正確答案為A.【題目點撥】本題考查了概率的計算和數(shù)學(xué)期望的計算,意在考查學(xué)生的計算能力.6、C【解題分析】分析：計算每一選項的左右兩邊，檢查它們是否相等.詳解：通過計算得到選項A,B,D的左右兩邊都是相等的.對于選項C,,所以選項C是錯誤的.故答案為C.點睛：本題主要考查排列組合數(shù)的計算，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和基本計算能力.7、D【解題分析】

由題意結(jié)合立體幾何的結(jié)論逐一考查所給的說法是否正確即可.【題目詳解】逐一考查所給的命題：①如圖所示，正方體中，取平面為平面，平面，直線為，滿足，，但是不滿足，題中所給的命題錯誤；②由面面垂直的性質(zhì)定理可知若，，則，題中所給的命題正確；③如圖所示，正方體中，取平面為，直線為，直線為，滿足，，但是，不滿足，題中所給的命題錯誤；④由面面垂直的性質(zhì)定理可知若，，則，題中所給的命題正確.綜上可得：真命題的序號為②④.本題選擇D選項.【題目點撥】本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：（1）對于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵.8、A【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和已知條件判斷出在上遞增，由此求解出不等式的解集.【題目詳解】要求解的不等式等價于，令，，所以在上為增函數(shù)，又因為是奇函數(shù)，故，所以，所以所求不等式等價于，所以解集為，故選A.【題目點撥】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法解不等式，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的奇偶性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.9、B【解題分析】

根據(jù)所給的示例及類比推理的規(guī)則得出，高維度的測度的導(dǎo)數(shù)是低一維的測度，從而得到W'【題目詳解】由題知，S'=l,V'=S所以W=3πr4，故選【題目點撥】本題主要考查學(xué)生的歸納和類比推理能力。10、B【解題分析】

根據(jù)交集的概念，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【題目詳解】在數(shù)軸上畫出集合A和集合B，找出公共部分，如圖，可知故選B【題目點撥】本題主要考查集合交集的運(yùn)算，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.11、B【解題分析】由三視圖可知，該幾何體是由一個三棱柱截去一個三棱錐得到的，三棱柱的底面是直角三角形，兩直角邊邊長為6和8，三棱柱的高為10，三棱錐的底面是直角三角形，兩直角邊為6和8，三棱錐的高為10，所以幾何體的體積V=112、B【解題分析】

由于射擊一次命中目標(biāo)的概率為，所以關(guān)鍵先求出射擊7次有4次命中且恰有3次連續(xù)命中的所有可能數(shù)，即根據(jù)獨立事件概率公式得結(jié)果.【題目詳解】因為射擊7次有4次命中且恰有3次連續(xù)命中有種情況，所以所求概率為.選B.【題目點撥】本題考查排列組合以及獨立事件概率公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

本題轉(zhuǎn)化為把10個球放在三個不同的盒子里，有多少種方法，利用隔板法，即可求得答案.【題目詳解】問題中的看作是三個盒子，問題則轉(zhuǎn)化為把個球放在三個不同的盒子里，有多少種方法．將個球排一排后，中間插入兩塊隔板將它們分成三堆球，使每一堆至少一個球．隔板不能相鄰，也不能放在兩端，只能放在中間的個空內(nèi)．共有種．

故答案為：【題目點撥】本題解題關(guān)鍵是掌握將正整數(shù)解的問題轉(zhuǎn)化為組合數(shù)問題，考查了分析能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.14、.【解題分析】分析：先根據(jù)推導(dǎo)過程確定A,F取法，即得A＋F的值.詳解：因為,，所以,所以,,所以.點睛：本題考查運(yùn)用類比方法求解問題，考查歸納觀察能力.15、【解題分析】

通過讀條件語句，該程序是分段函數(shù)，代入即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)偽代碼，可知，當(dāng)時，，故答案為.【題目點撥】本題主要考查條件程序框圖的理解，難度不大.16、【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)，以及二倍角的正弦公式，判斷函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)果【題目詳解】由，所以又，所以所以，故在單調(diào)遞增所以故答案為：【題目點撥】本題考查函數(shù)在定區(qū)間的最值，關(guān)鍵在于利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1).(2)證明見解析.【解題分析】試題分析：（I）當(dāng)時，，整理得，當(dāng)n=1時，有.數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．即可求數(shù)列的通項公式．（II）由（I）有，則,用裂項相消法可求其前n項和.試題解析：（I）當(dāng)時，有，解得.當(dāng)時，有，則整理得：數(shù)列是以為公比，以為首項的等比數(shù)列．即數(shù)列的通項公式為：．（II）由（I）有，則故得證.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）三角形的面積為定值1．【解題分析】試題分析：（1）根據(jù)條件可得，再設(shè)直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和已知條件，即可求出的值；（2）先考慮直線斜率不存在的情況，即，，根據(jù)，求得和的關(guān)系式，代入橢圓的方程求得點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的絕對值，進(jìn)而求得△AOB的面積的值；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線的方程，與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理表示出和，再利用，弦長公式及三角形面積公式求得答案.試題解析：（1）由題可得：，，所以，橢圓的方程為設(shè)的方程為：，代入得：∴，，∵，∴，即：即，解得：（2）①直線斜率不存在時，即，∵∴，即又∵點在橢圓上∴，即∴，∴，故的面積為定值1②當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立得：∴，，∴所以三角形的面積為定值1.點睛：本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓錐曲線的定值問題，解題時要注意解題技巧的運(yùn)用，如常用的設(shè)而不求，整體代換的方法；探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據(jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個這個值與變量無關(guān)；②直接推理、計算，借助韋達(dá)定理，結(jié)合向量所提供的坐標(biāo)關(guān)系，然后經(jīng)過計算推理過程中消去變量，從而得到定值.19、（1）；（2）（3）見解析【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）每臺儀器能出廠的對立事件為不能出廠，根據(jù)對立事件的概率可得結(jié)果；（Ⅱ）由表可知生產(chǎn)一臺儀器所獲得的利潤為元即初檢不合格再次檢測合格，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率可得結(jié)果；（Ⅲ）由題意可得可取，，，，，，根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算出概率，可得分布列及期望.試題解析：（Ⅰ）記每臺儀器不能出廠為事件，則，所以每臺儀器能出廠的概率．（Ⅱ）生產(chǎn)一臺儀器利潤為1600的概率．（Ⅲ）可取，，，，，．，，，，，．的分布列為：380035003200500200．20、(1)；(2)證明見解析【解題分析】

（1）根據(jù)拋物線定義得，再根據(jù)點N坐標(biāo)列方程，解得結(jié)果，（2）利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率，再根據(jù)切線方程解得A點縱坐標(biāo)，最后利用直線與方程聯(lián)立方程組，借助韋達(dá)定理化簡的縱坐標(biāo).【題目詳解】解：（1）由已知拋物線的焦點，由，得，即因為點，所以，所以拋物線方程：（2）拋物線的焦點為設(shè)過拋物線的焦點的直線為．設(shè)直線與拋物線的交點分別為，由消去得：,根據(jù)韋達(dá)定理得拋物線,即二次函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得，所以拋物線在點處的切線斜率為可得切線方程為，化簡得，同理，得到拋物線在點處切線方程為，兩方程消去，得兩切線交點縱坐標(biāo)滿足,，，即點的縱坐標(biāo)是定值．【題目點撥】本題考查拋物線方程、拋物線切線方程以后利用韋達(dá)定理求值，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.21、(1)(2).【解題分析】分析：（1）