2024屆山東省臨沂市第十九中新數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題含解析

2024屆山東省臨沂市第十九中新數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，則（）A． B． C．12 D．242．如圖，在正三棱柱中，底面邊長為2，側(cè)棱長為3，點(diǎn)是側(cè)面的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則直線與底面所成角的正切值為（）A． B． C． D．13．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一些數(shù)學(xué)用語，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，而“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，，，當(dāng)塹堵的外接球的體積為時(shí)，則陽馬體積的最大值為A．2 B．4 C． D．5．設(shè)函數(shù)，則（）A．9 B．11 C．13 D．156．設(shè)直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量，則直線與平面的位置關(guān)系是（）.A．垂直 B．平行C．直線在平面內(nèi) D．直線在平面內(nèi)或平行7．隨機(jī)變量的分布列如下：-101若，則的值是（）A． B． C． D．8．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若實(shí)數(shù)滿足，則下列關(guān)系中不可能成立的是（）A． B． C． D．10．設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，圓心為C，若為直角三角形，則（）A．0 B．2 C．4 D．0或411．集合，，則（）A． B． C． D．12．已知A2,3,B4,-3且APA．6,9 B．(3,0) C．6,-9 D．2,3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．阿基米德(公元前287年—公元前212年)不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他最早利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在y軸上，且橢圓C的離心率為，面積為，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．14．已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的表面上，平面，，，，，則球的表面積為__________．15．關(guān)于x的方程的解為_________.16．已知函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為____個(gè)．（參考數(shù)值：）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）解不等式．18．（12分）一輛汽車前往目的地需要經(jīng)過個(gè)有紅綠燈的路口.汽車在每個(gè)路口遇到綠燈的概率為（可以正常通過），遇到紅燈的概率為（必須停車）.假設(shè)汽車只有遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn)，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值.（1）求汽車在第個(gè)路口首次停車的概率；（2）求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求的解集.20．（12分）為了調(diào)查喜歡看書是否與性別有關(guān)，某校調(diào)查小組就“是否喜歡看書”這個(gè)問題，在全校隨機(jī)調(diào)研了100名學(xué)生.（1）完成下列列聯(lián)表：喜歡看書不喜歡看書合計(jì)女生1550男生25合計(jì)100（2）能否在犯錯(cuò)率不超過0.025的前提下認(rèn)為“喜歡看書與性別有關(guān)”.附：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中）21．（12分）已知函數(shù).（1）若在點(diǎn)處的切線方程為,求的值;（2）若是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn),試比較與的大小.22．（10分）已知函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）在（1）的條件下，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)，求出，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出．【題目詳解】解：數(shù)列是等比數(shù)列，各項(xiàng)均為正數(shù)，，所以，所以．所以，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比中項(xiàng)的性質(zhì)，正確運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2、C【解題分析】

通過作DH垂直BC，可知為直線與底面所成角，于是可求得答案.【題目詳解】如圖，過D作DH垂直BC于點(diǎn)H，連接DH，AH，于是DH垂直平面ABC，故為直線與底面所成角，而，,故，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面角的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度一般.3、A【解題分析】

化簡求得復(fù)數(shù)為，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得到本題答案.【題目詳解】因?yàn)?，所以在?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義，屬基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

由已知求出三棱柱外接球的半徑，得到，進(jìn)一步求得AB，再由棱錐體積公式結(jié)合基本不等式求最值．【題目詳解】解：塹堵的外接球的體積為，其外接球的半徑，即，又，．則．．即陽馬體積的最大值為．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查多面體的體積、均值定理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，是中檔題．5、B【解題分析】

根據(jù)自變量所在的范圍代入相應(yīng)的解析式計(jì)算即可得到答案.【題目詳解】∵函數(shù)，∴=2+9=1．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)值的求法，考查指對(duì)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】∵直線的一個(gè)方向向量，平面的一個(gè)法向量∴∴直線在平面內(nèi)或平行故選D.7、D【解題分析】由題設(shè)可得，，所以由隨機(jī)變量的方差公式可得，應(yīng)選答案D。8、B【解題分析】

把復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)形式，寫出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．【題目詳解】，對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在第二象限．故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解題分析】

根據(jù)題意，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，依次分析選項(xiàng)，綜合即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，實(shí)數(shù)，滿足，對(duì)于，若，均大于0小于1，依題意，必有，故有可能成立；對(duì)于，若，則有，故有可能成立；對(duì)于，若，均大于1，由，知必有，故有可能成立；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，，不能成立，故選．【題目點(diǎn)撥】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，注意分類討論、的值，屬于中檔題.10、D【解題分析】

是等腰三角形，若為直角三角形，則，求出圓心到直線的距離，則．【題目詳解】圓心為，半徑為，，∵為直角三角形，∴，而，∴，即，或4.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的位置關(guān)系．在直線與圓相交問題中垂徑定理常常要用到．11、B【解題分析】由，得，故選B.12、C【解題分析】

設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y，根據(jù)題意得到AP與PB的坐標(biāo)，由AP=-2【題目詳解】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y，因?yàn)锳2,3所以AP=(x-2,y-3)，BP因?yàn)锳P=-2PB，所以因此x-2=2(x-4)y-3=2(y+3)，解得x=6y=-9，即故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)橢圓的方程為，由面積公式以及離心率公式，求出，，即可得到答案?！绢}目詳解】設(shè)橢圓C的方程為，橢圓C的面積為，則,又，解得，.則C的方程為【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程，注意運(yùn)用離心率公式和，，的關(guān)系，考查學(xué)生基本的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題。14、【解題分析】分析：根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，求得三棱錐外接球半徑，由球表面積公式即可求得表面積。詳解：由，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式得，解得所以，因?yàn)椋?，由余弦定理代入得所以△ABC為等腰三角形，且，由正弦定理得△ABC外接圓半徑R為，解得設(shè)△ABC外心為，，過作則在中在中解得所以外接球面積為點(diǎn)睛：本題綜合考查了空間幾何體外接球半徑的求法，通過建立空間模型，利用勾股定理求得半徑；結(jié)合球的表面積求值，對(duì)空間想象能力要求高，綜合性強(qiáng)，屬于難題。15、0或2或4【解題分析】

因?yàn)?，所以：或，解方程可得．【題目詳解】解：因?yàn)?，所以：或，解得：，，，（舍）故答案為?或2或4【題目點(diǎn)撥】本題考查了組合及組合數(shù)公式．屬于基礎(chǔ)題．16、1．【解題分析】

原問題等價(jià)于函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx與函數(shù)y＝m，m∈（7，8）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)圖象觀察即可得出答案．【題目詳解】函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為﹣x2+8x＝6lnx+m的解的個(gè)數(shù)，亦即函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx與函數(shù)y＝m，m∈（7，8）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，，令y′＝0，解得x＝1或x＝1，故當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，y′＜0，此時(shí)函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（1，1）時(shí)，y′＞0，此時(shí)函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，y′＜0，此時(shí)函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx單調(diào)遞減，且y|x＝1＝7，y|x＝1＝15﹣6ln1＞8，作出函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx的草圖如下，由圖可知，函數(shù)y＝﹣x2+8x﹣6lnx與函數(shù)y＝m，m∈（7，8）有1個(gè)交點(diǎn)．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖象的運(yùn)用，考查函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷，考查了運(yùn)算能力及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以可得；，進(jìn)而求出解析式．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【題目詳解】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)所以；當(dāng)時(shí)，；所以（Ⅱ）易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又是定義在上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以不等式等價(jià)于，解得，所以原不等式的解集為．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是由奇偶性先求出解析式，屬于一般題．18、（1）;（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望.【解題分析】

（1）汽車在第3個(gè)路口首次停車是指汽車在前兩個(gè)路口都遇到綠燈，在第3個(gè)路口遇到綠燈，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出汽車在第3個(gè)路口首次停車的概率．（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值．的可能取值為0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】解：（1）由題意知汽車在前兩個(gè)路口都遇到綠燈，在第3個(gè)路口遇到綠燈，汽車在第3個(gè)路口首次停車的概率為：．（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值．則的可能取值為0，2，4，則，，，，的概率分布列為：024數(shù)學(xué)期望．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、二項(xiàng)分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.19、（1）在為增函數(shù)；（2）【解題分析】

（1）首先求出的導(dǎo)數(shù)，并且求出時(shí)的斜率，根據(jù)點(diǎn)處的切線與直線垂直即可求出，再對(duì)求二階導(dǎo)數(shù)即可判斷的單調(diào)區(qū)間。（2）根據(jù)（1）的結(jié)果轉(zhuǎn)化成求的問題，利用單調(diào)性求解即可。【題目詳解】（1）曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.令當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)。所以所以，所以在為增函數(shù)（2）令，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，所以在為增函數(shù)因?yàn)?，所以不等式的解集為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及兩條直角垂直時(shí)斜率的關(guān)系。在解決導(dǎo)數(shù)問題時(shí)通常需要取一些特殊值進(jìn)行判斷。屬于難題。20、(1)見解析;(2)不能在犯錯(cuò)率不超過0.025的前提下認(rèn)為“喜歡看書與性別有關(guān)”.【解題分析】分析：（1）根據(jù)題意，補(bǔ)充完整列聯(lián)表；（2根據(jù)題意，計(jì)算的值，即可得出結(jié)論；詳解：（1）列聯(lián)表如下：喜歡看書不喜歡看書合計(jì)女生351550男生252550合計(jì)6040100（2）根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算，對(duì)照臨界值知，不能在犯錯(cuò)率不超過0.025的前提下認(rèn)為“喜歡看書與性別有關(guān)”.點(diǎn)睛：本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)運(yùn)算是解決問題的關(guān)鍵．21、（1）；（2）.【解題分析】

（1）先求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用切點(diǎn)和斜率列方程組，解方程組求得的值.（2）將轉(zhuǎn)化為只含有的式子.對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用二次函數(shù)零點(diǎn)分布的知識(shí)求得的取值范圍并利用韋達(dá)定理寫出的關(guān)系式.化簡的表達(dá)式，并利用構(gòu)造函數(shù)法求得.用差比較法比較出與的大小關(guān)系.【題目詳解】（1）根據(jù)題意可求得切點(diǎn)為,由題意可得,,∴,即,解得.（2）∵,∴,則.根據(jù)題意可得在上有兩個(gè)不同的根.即,解得,且.∴.令,則,令,則當(dāng)時(shí),,∴在上為減函數(shù),即,∴在上為減函數(shù),即,∴,又∵,∴,即,∴.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解有關(guān)切線方程的問題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)問題，難度較大.22、（1）1；（2）證明見解析【解題分析】

（1）求導(dǎo)得到，討論和兩種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，解得答案.