2024屆遼寧省遼陽市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題含解析

2024屆遼寧省遼陽市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲次，正面向上的次數(shù)為，則（）A． B．C． D．2．如圖，在△中,,是上的一點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值為()A． B． C． D．3．已知雙曲線的左頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．4．的值等于（）A．7351 B．7355 C．7513 D．73155．拋物線上的點(diǎn)到直線的最短距離為()A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則曲線在處的切線的傾斜角為（）A． B． C． D．7．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．或 B．或 C．或 D．或或8．是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)(

)A． B． C． D．9．已知是虛數(shù)單位，，則計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．10．將兩枚質(zhì)地均勻的骰子各擲一次，設(shè)事件{兩個(gè)點(diǎn)數(shù)互不相同}，{出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)}，則()A． B． C． D．11．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A． B． C．2 D．-212．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若，，則（）A． B．0 C．1 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點(diǎn)到直線：的距離等于3，則_______.14．已知滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)的最大值為7，則的最小值為_______．15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是______.16．用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的簡圖時(shí)，五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是，，，，，則_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）大型綜藝節(jié)目《最強(qiáng)大腦》中，有一個(gè)游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān)．為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，某興趣小組隨機(jī)抽取了100名魔方愛好者進(jìn)行調(diào)查，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：已知在全部100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡盲擰的概率為．喜歡盲擰不喜歡盲擰總計(jì)男10女20總計(jì)100表（1）并邀請(qǐng)這100人中的喜歡盲擰的人參加盲擰三階魔方比賽，其完成時(shí)間的頻率分布如表所示：完成時(shí)間（分鐘）[0，10）[10，20）[20，30）[30，40]頻率0.20.40.30.1表（2）（Ⅰ）將表（1）補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)？（Ⅱ）現(xiàn)從表（2）中完成時(shí)間在[30，40]內(nèi)的人中任意抽取2人對(duì)他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄，記完成時(shí)間在[30，40]內(nèi)的甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到為事件A，求事件A發(fā)生的概率．（參考公式：，其中）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）已知虛數(shù)滿足.（1）求的取值范圍；（2）求證：是純虛數(shù).19．（12分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個(gè)特征向量為α120．（12分）如圖，已知四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且求證：平面BDEF；求二面角的余弦值．21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，求證：.（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）22．（10分）證明下列不等式：（1）用分析法證明：；（2）已知是正實(shí)數(shù)，且.求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù)，由此能求出正面向上的次數(shù)的分布列詳解：將一枚硬幣連續(xù)拋擲5次，正面向上的次數(shù).故選D.點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．2、C【解題分析】

先根據(jù)共線關(guān)系用基底表示，再根據(jù)平面向量基本定理得方程組解得實(shí)數(shù)的值.【題目詳解】如下圖，∵三點(diǎn)共線，∴，∴，即,∴①,又∵，∴，∴②，對(duì)比①，②，由平面向量基本定理可得：．【題目點(diǎn)撥】本題考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.3、B【解題分析】

由已知方程即可得出雙曲線的左頂點(diǎn)、一條漸近線方程與拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的方程，再根據(jù)數(shù)量關(guān)系即可列出方程，解出即可．【題目詳解】解：∵雙曲線的左頂點(diǎn)（﹣a，0）與拋物線y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（，0）的距離為1，∴a＝1；又雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），∴漸近線的方程應(yīng)是yx，而拋物線的準(zhǔn)線方程為x，因此﹣1（﹣2），﹣2，聯(lián)立得，解得a＝2，b＝1，p＝1．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握?qǐng)A錐曲線的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4、D【解題分析】原式等于，故選D.5、B【解題分析】分析：設(shè)拋物線上點(diǎn)，由點(diǎn)到直線距離公式，得點(diǎn)A到直線的距離，由二次函數(shù)的性質(zhì)，可求最小距離.詳解：設(shè)拋物線上的任意一點(diǎn)，由拋物線的性質(zhì)點(diǎn)A到直線的距離易得由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，最小距離.故選B.點(diǎn)睛：本題考查拋物線的基本性質(zhì)，點(diǎn)到直線距離公式，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力.6、B【解題分析】

求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由直線的斜率公式，可得所求傾斜角．【題目詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得在處的切線的斜率為，即，為傾斜角，可得．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，是解題的關(guān)鍵，屬于容易題．7、D【解題分析】

就和分類討論即可.【題目詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，若，所以或.綜上，的值為0或1或2.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題，解題時(shí)注意利用集合中元素的性質(zhì)（如互異性、確定性、無序性）合理分類討論.8、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡z，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到答案.【題目詳解】因?yàn)?，所以，故選B.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則，以及共軛復(fù)數(shù)，正確解題的關(guān)鍵是靈活掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則.9、A【解題分析】

根據(jù)虛數(shù)單位的運(yùn)算性質(zhì)，直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡求值．【題目詳解】解：，，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．10、A【解題分析】由題意事件A={兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同}，包含的基本事件數(shù)是36?6=30，事件B:出現(xiàn)一個(gè)5點(diǎn)，有10種，∴，本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：條件概率的計(jì)算方法：(1)利用定義，求P(A)和P(AB)，然后利用公式進(jìn)行計(jì)算；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件A與事件B的交事件中包含的基本事件數(shù)n(AB)，然后求概率值.11、D【解題分析】試題分析：題中的條件乍一看不知如何下手，但只要明確了是一個(gè)常數(shù)，問題就很容易解決了．對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)：=，所以，-1.考點(diǎn)：本題考查導(dǎo)數(shù)的基本概念及求導(dǎo)公式．點(diǎn)評(píng)：在做本題時(shí)，遇到的主要問題是①想不到對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)；②的導(dǎo)數(shù)不知道是什么．實(shí)際上是一個(gè)常數(shù)，常數(shù)的導(dǎo)數(shù)是0.12、C【解題分析】

首先根據(jù)得到數(shù)列為等差數(shù)列，再根據(jù)，即可算出的值.【題目詳解】因?yàn)椋詳?shù)列為等差數(shù)列.因?yàn)?，所?..因?yàn)?，所?故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，同時(shí)考查了等差中項(xiàng)，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

直接利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程，即可得到答案．【題目詳解】由題意可得：，解得或．故答案為：或．【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．14、7【解題分析】試題分析：作出不等式表示的平面區(qū)域，得到及其內(nèi)部，其中把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，表示的斜率為，截距為，由于當(dāng)截距最大時(shí)，最大，由圖知，當(dāng)過時(shí)，截距最大，最大，因此，，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，.

考點(diǎn)：1、線性規(guī)劃的應(yīng)用；2、利用基本不等式求最值.15、【解題分析】分析：當(dāng)時(shí)，求得；當(dāng)時(shí)，類比寫出，兩式相減整理得，從而確定數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出通項(xiàng)公式.詳解：當(dāng)時(shí)，，得當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減，，得數(shù)列是以1為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列通項(xiàng)公式故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查已知數(shù)列的前項(xiàng)和與關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法.其求解過程分為三步：（1）當(dāng)時(shí)，求出；（2）當(dāng)時(shí)，用替換中的得到一個(gè)新的關(guān)系，利用便可求出當(dāng)時(shí)的表達(dá)式；（3）對(duì)時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合時(shí)的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分與兩段來寫．16、【解題分析】

根據(jù)五點(diǎn)法得出函數(shù)的最小正周期，再由公式計(jì)算出的值.【題目詳解】由題意可知，函數(shù)的最小正周期，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用周期公式求參數(shù)的值，解題的關(guān)鍵在于求出函數(shù)的最小正周期，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）表（1）見解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜歡盲擰與性別有關(guān)；（II）【解題分析】

（I）根據(jù)題意計(jì)算出在全部的100人中喜歡盲擰的人數(shù)，可將表（1）補(bǔ)充完整，利用公式求得,與臨界值比較，即可得到結(jié)論；（II）首先計(jì)算出成功完成時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)，再利用列舉法和古典概型的概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率?！绢}目詳解】（I）在全部的100人中喜歡盲擰的人數(shù)為人，根據(jù)題意列聯(lián)表如下：喜歡盲擰不喜歡盲擰總計(jì)男401050女203050總計(jì)6040100由表中數(shù)據(jù)計(jì)算所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為喜歡盲擰與性別有關(guān)；（Ⅱ）成功完成時(shí)間在[30，40]內(nèi)的人數(shù)為設(shè)為甲、乙、丙，A,B,C,依題意：從該6人中選出2人，所有可能的情況有：甲乙，甲丙，甲A，甲B,甲C，乙丙，乙A，乙B，乙C，丙A，丙B，丙C，AB,AC,BC.共15種，其中甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到有：甲A，甲B,甲C，乙A，乙B，乙C，丙A，丙B，丙C，共9種，故事件A發(fā)生的概率為【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)以及古典概型的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。18、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

先設(shè)，（且），由得；可將看作以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)；（1）由表示點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離，根據(jù)定點(diǎn)到圓上的動(dòng)點(diǎn)的距離，即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，直接計(jì)算，即可得出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)，（且），因?yàn)?，所以，因此可看作以坐?biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓上的點(diǎn)；（1）表示點(diǎn)與定點(diǎn)之間的距離；又點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，所以（為單位圓半徑），因此；（2），因此是純虛數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求復(fù)數(shù)的模，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，熟記復(fù)數(shù)運(yùn)算法則，以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可，屬于常考題型.19、A=【解題分析】

運(yùn)用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【題目詳解】由特征值、特征向量定義可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩陣【題目點(diǎn)撥】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運(yùn)用定義得出方程組即可求出結(jié)果，較為簡單20、（1）見證明；（2）.【解題分析】

設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF、DF，推導(dǎo)出，，，由此能證明平面BDEF．以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角的余弦值．【題目詳解】設(shè)AC、BD交于點(diǎn)O，連結(jié)OF、DF，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，且，，，，四邊形ABCD與四邊形BDEF均為菱形，，，平面BDEF．，，平面ABCD，以O(shè)A為x軸，OB為y軸，OF為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則0，，0，，1，，0，，，1，，，設(shè)平面ABF的法向量y，，則，取，得，設(shè)平面BCF的法向量y，，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，由圖可知為鈍角則．二面角的余弦值為．【題目點(diǎn)撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．21、（1）當(dāng)時(shí)，只有增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解題分析】分析：⑴求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間⑵問題等價(jià)于，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)果詳解：（1），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，只有增區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，減區(qū)間為.（2）等價(jià)于.令，而在單調(diào)遞增，