河南省鄭州市中原區(qū)第一中學2024屆數(shù)學高二下期末聯(lián)考模擬試題含解析

河南省鄭州市中原區(qū)第一中學2024屆數(shù)學高二下期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若二次函數(shù)圖象的頂點在第四象限且開口向上，則導函數(shù)的圖象可能是A． B．C． D．2．用數(shù)學歸納法證明“”，則當時，應當在時對應的等式的左邊加上（）A． B．C． D．3．設復數(shù)z滿足，z在復平面內(nèi)對應的點為(x，y)，則A． B． C． D．4．已知集合則=（）A． B． C． D．5．設集合，|，則（）A． B． C． D．6．已知關(guān)于的方程為（其中），則此方程實根的個數(shù)為（）A．2 B．2或3 C．3 D．3或47．若能被整除，則的值可能為（）A． B． C．x="5,n=4" D．8．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)9．為了解某校一次期中考試數(shù)學成績情況，抽取100位學生的數(shù)學成績，得如圖所示的頻率分布直方圖，其中成績分組區(qū)間是，則估計該次數(shù)學成績的中位數(shù)是（）A．71.5 B．71.8 C．72 D．7510．甲、乙等五個人排成一排，要求甲和乙不能相鄰，則不同的排法種數(shù)為（）A．48 B．60 C．72 D．12011．()A． B． C． D．12．等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，且4≤S2≤6，15≤S4≤21，則a2的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在正方形內(nèi)有一扇形（見陰影部分），扇形對應的圓心是正方形的一頂點，半徑為正方形的邊長．在這個圖形上隨機撒一粒黃豆，它落在扇形外正方形內(nèi)的概率為___14．設向量，.其中.則與夾角的最大值為________.15．已知拋物線的焦點為，準線為，過的直線與交于，兩點，過作，垂足為，的中點為，若，則__16．若命題：是真命題，則實數(shù)的取值范圍是______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在底邊為等邊三角形的斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1AB，四邊形B1C1CB為矩形，過A1C作與直線BC1平行的平面A1CD交AB于點D．（Ⅰ）證明：CD⊥AB；（Ⅱ）若AA1與底面A1B1C1所成角為60°，求二面角B﹣A1C﹣C1的余弦值．18．（12分）已知四棱錐的底面為直角梯形，，，，，底面，為的中點.（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）設是棱上的一點，當平面時，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）三棱柱中，分別是、上的點，且，．設，，.（Ⅰ）試用表示向量；（Ⅱ）若，，，求MN的長.．20．（12分）已知函數(shù)的定義域為；（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設實數(shù)為的最大值，若實數(shù)，，滿足，求的最小值.21．（12分）已知橢圓（）的左右焦點為、，右頂點為，上頂點為，且.（1）求直線的方向方量；（2）若是橢圓上的任意一點，求的最大值；（3）過作的平行線交橢圓于、兩點，若，求橢圓的方程.22．（10分）已知直線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設點的直角坐標為，直線與曲線C的交點為，，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：先根據(jù)二次函數(shù)的判斷出的符號，再求導，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷所經(jīng)過的象限即可．詳解：∵函數(shù)的圖象開口向上且頂點在第四象限，∴函數(shù)的圖象經(jīng)過一，三，四象限，

∴選項A符合，

故選：A．點睛：本題考查了導數(shù)的運算和一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎題．2、C【解題分析】

由數(shù)學歸納法可知時，左端，當時，，即可得到答案.【題目詳解】由題意，用數(shù)學歸納法法證明等式時，假設時，左端，當時，，所以由到時需要添加的項數(shù)是，故選C.【題目點撥】本題主要考查了數(shù)學歸納法的應用，著重考查了理解與觀察能力，以及推理與論證能力，屬于基礎題.3、C【解題分析】

本題考點為復數(shù)的運算，為基礎題目，難度偏易．此題可采用幾何法，根據(jù)點（x，y）和點(0，1)之間的距離為1，可選正確答案C．【題目詳解】則．故選C．【題目點撥】本題考查復數(shù)的幾何意義和模的運算，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取公式法或幾何法，利用方程思想解題．4、D【解題分析】因為集合B中，x∈A，所以當x＝1時，y＝3－2＝1；當x＝2時，y＝3×2－2＝4；當x＝3時，y＝3×3－2＝7；當x＝4時，y＝3×4－2＝10.即B＝{1,4,7,10}．又因為A＝{1,2,3,4}，所以A∩B＝{1,4}．故選D.5、C【解題分析】

解出集合M中的不等式即可【題目詳解】因為，所以故選：C【題目點撥】本題考查的是解對數(shù)不等式及集合的運算，屬于基本題.6、C【解題分析】分析：將原問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點個數(shù)的問題，然后利用導函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可求得最終結(jié)果.詳解：很明顯不是方程的根，據(jù)此可將方程變形為：，原問題等價于考查函數(shù)與函數(shù)的交點的個數(shù)，令，則，列表考查函數(shù)的性質(zhì)如下：++-++單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增函數(shù)在有意義的區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性一致，且函數(shù)的極值繪制函數(shù)圖像如圖所示，觀察可得，與函數(shù)恒有3個交點，即題中方程實根的個數(shù)為3.本題選擇C選項.點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：(1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點．(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點．(3)利用圖象交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．7、C【解題分析】

所以當時，能被整除，選C.8、A【解題分析】

觀察折線圖可知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，且折線圖呈現(xiàn)增長趨勢，高峰都出現(xiàn)在7、8月份，1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月波動性更小.【題目詳解】對于選項A，由圖易知月接待游客量每年7，8月份明顯高于12月份，故A錯；對于選項B，觀察折線圖的變化趨勢可知年接待游客量逐年增加，故B正確；對于選項C，D，由圖可知顯然正確.故選A.【題目點撥】本題考查折線圖，考查考生的識圖能力，屬于基礎題.9、C【解題分析】的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：；的頻率為：.所以，得：.的頻率和為：.由，得中位數(shù)為：.故選C.點睛：用頻率分布直方圖估計總體特征數(shù)字的方法：①眾數(shù)：最高小長方形底邊中點的橫坐標；②中位數(shù)：平分頻率分布直方圖面積且垂直于橫軸的直線與橫軸交點的橫坐標；③平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和.10、C【解題分析】

因為甲和乙不能相鄰，利用插空法列出不同的排法的算式，得到答案.【題目詳解】甲、乙等五個人排成一排，要求甲和乙不能相鄰，故先安排除甲、乙外的3人，然后安排甲、乙在這3人之間的4個空里，所以不同的排法種數(shù)為，故選C項.【題目點撥】本題考查排列問題，利用插空法解決不相鄰問題，屬于簡單題.11、C【解題分析】

根據(jù)定積分的運算公式，可以求接求解.【題目詳解】解:，故選C.【題目點撥】本題考查了定積分的計算，熟練掌握常見被積函數(shù)的原函數(shù)是解題的關(guān)鍵.12、B【解題分析】

首先設公差為，由題中的條件可得和，利用待定系數(shù)法可得，結(jié)合所求的范圍及不等式的性質(zhì)可得.【題目詳解】設公差為，由，得，即；同理由可得.故可設，所以有，所以有，解得，即，因為，.所以，即.故選：B.【題目點撥】本題主要考查不等式的性質(zhì)及等差數(shù)列的運算，利用不等式求解范圍時注意放縮的尺度，運算次數(shù)越少，范圍越準確.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】設正方形的邊長為1,則扇形的面積為，所以，它落在扇形外正方形內(nèi)的概率為.14、【解題分析】

由兩向量中的已知坐標和未知坐標間的關(guān)系，得出兩向量的終點的軌跡，運用向量的夾角公式求解.【題目詳解】向量的終點都在以為圓心，1為半徑的圓上；向量的終點都在以為圓心，1為半徑的圓上；且為圓與圓的距離為1，如圖所示，兩向量的夾角最大，為.【題目點撥】本題考查動點的軌跡和空間直角坐標系中向量的夾角，屬于中檔題.15、16【解題分析】

由題意畫出圖形，利用幾何知識得到直線的斜率，進一步求得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，由弦長公式即可得答案．【題目詳解】由題意畫出圖形如圖，，為的中點，且，，則直線的傾斜角為，斜率為．由拋物線，得，則直線的方程為．聯(lián)立，得．則，．【題目點撥】本題主要考查拋物線的定義，直線與拋物線位置關(guān)系的應用，以及弦長的求法．16、.【解題分析】試題分析：命題：“對，”是真命題.當時，則有；當時，則有且，解得.綜上所示，實數(shù)的取值范圍是.考點：1.全稱命題；2.不等式恒成立三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）連接AC3交A3C于點E，連接DE．推導出BC3∥DE，由四邊形ACC3A3為平行四邊形，得ED為△AC3B的中位線，從而D為AB的中點，由此能證明CD⊥AB．（Ⅱ）過A作AO⊥平面A3B3C3垂足為O，連接A3O，以O為原點，以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣A3C﹣C3的余弦值．【題目詳解】（Ⅰ）連接AC3交A3C于點E，連接DE．因為BC3∥平面A3CD，BC3?平面ABC3，平面ABC3∩平面A3CD＝DE，所以BC3∥DE．又因為四邊形ACC3A3為平行四邊形，所以E為AC3的中點，所以ED為△AC3B的中位線，所以D為AB的中點．又因為△ABC為等邊三角形，所以CD⊥AB．（Ⅱ）過A作AO⊥平面A3B3C3垂足為O，連接A3O，設AB＝3．因為AA3與底面A3B3C3所成角為60°，所以∠AA3O＝60°．在Rt△AA3O中，因為，所以，AO＝2．因為AO⊥平面A3B3C3，B3C3?平面A3B3C3，所以AO⊥B3C3．又因為四邊形B3C3CB為矩形，所以BB3⊥B3C3，因為BB3∥AA3，所以B3C3⊥AA3．因為AA3∩AO＝A，AA3?平面AA3O，AO?平面AA3O，所以B3C3⊥平面AA3O．因為A3O?平面AA3O，所以B3C3⊥A3O．又因為，所以O為B3C3的中點．以O為原點，以的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖．則，C3（0，﹣3，0），A（0，0，2），B3（0，3，0）．因為，所以，，因為，所以，，，，．設平面BA3C的法向量為＝（x，y，z），由得令，得z＝3，所以平面BA3C的一個法向量為．設平面A3CC3的法向量為＝（a，b，c），由得令，得b＝﹣2，c＝3，所以平面A3CC3的一個法向量為．所以，因為所求二面角為鈍角，所以二面角B﹣A3C﹣C3的余弦值為．【題目點撥】本題考查線線垂直的證明，考查二面角、空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)數(shù)結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．18、（1）;（2）.【解題分析】

以點為坐標原點，以直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系（1）由可得異面直線與所成角的余弦值．（2）當平面時，設，要使平面，只需即可．即可得即為的中點，即，由即可求得直線與平面所成角的正弦值．【題目詳解】解：以點為坐標原點，以直線，，分別為，，軸建立空間直角坐標系.則，，，，，.（1），．則異面直線與所成角的余弦值為．（2）當平面時，設.，，，面．要使平面，只需即可．，．即為的中點，即,，平面的法向量為，則．直線與平面所成角的正弦值為.【題目點撥】本題考查了異面直線所成角，考查了線面角.本題的易錯點是第二問中，錯把當成了線面角.19、（1）（2）【解題分析】分析：（1）直接利用三角形加法和減法法則得到.(2)先求，再求MN的長.詳解：（Ⅰ）（Ⅱ），，.：本題主要考查向量的運算法則和基底法，考查向量的模，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析轉(zhuǎn)化能力.20、（1）；（2）【解題分析】

（1）由定義域為R，只需求解|x﹣3|+|x|的最小值，即可得實數(shù)m的取值范圍（2）根據(jù)（1）實數(shù)t的值，利用柯西不等式即可求解最小值．【題目詳解】(1)函數(shù)的定義域為R，那么|x﹣3|+|x|﹣m≥0對任意x恒成立，∴只需m≤（|x﹣3|+|x|）min，根據(jù)絕對值不等式|x﹣3|+|﹣x|≥|x﹣3﹣x|＝3∴3﹣m≥0，所以m≤3，故實數(shù)m的取值范圍（﹣∞，