云南省大理州2021屆高三二模數(shù)學（理）試卷及答案

絕密★啟用前

云南省大理州2021屆高三二模數(shù)學（理）試題

注意事項：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2、請將答案

正確填寫在答題卡上

一、單選題

1.已知集合A=kM?2},8={x|y=lg（x-1）},則A|JB=（）

A.1x|l<x<2jB.{疝<xV2}C.{x|x>-2jD.{dxN2}

2.設復數(shù)z=2+3i,則z在復平面中對應的點為（）

1-1

A.（1,4）B.（2,5）C.（4,1）D.（5,2）

3.?”是“tan8=2cos（5+e）”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

4.在區(qū)間［」一］上任取一個數(shù)k，使直線y=/+3）與圓f+y2=l相交的概

22

率為

A.1B.交C.也D.交

2432

5.已知a=202,b=log20.2,c=log022,則a,）,c的大小關系為（）

A.a<b<cB.h<a<cC.c<b<aD,b<c<a

22

6.已知雙曲線C：二—二=l（a>0,b>0）的離心率為Q，則點（4,0）到C的漸近

CTb

線的距離為

A.V2B.2C.D.272

2

、?s

7.記S”為等比數(shù)列{""）的刖N項和.右。5-43=12,46-44=24,則n一=（）

an

A.2?-1B.2-2C.2-2"-'D.

8.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入k的值為3,則輸出S的值為

CW)

J

J

S=1

A.10B.15C.18D.21

9.已知四面體4一BCD所有頂點都在球。的球面上，且AB，平面BCD，若AB=2,

ZBCD=120°,BC=CD=1,則球。的表面積為()

A.44B.67rC.87rD.124

10.已知函數(shù)/(x)=sinox+bCOSGX(G>0)的零點依次構成一個公差為3的等差

數(shù)列，把函數(shù)/(%)的圖象沿x軸向右平移四個單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，則函數(shù)

6

g(x)()

7T

A.是偶函數(shù)B.其圖象關于直線x=g對稱

2

7171

C.在上是增函數(shù)D.在區(qū)間—上的值域為[-6,2]

[42J

11.設拋物線>2=8x的焦點為凡過尸的直線/與拋物線交于點A,B,與圓

/+,2一敘+3=0交于點匕Q,其中點A,P在第一象限，則2|AH+|QB|的最小值

為()

A.272+3B.272+5C.472+5D.472+3

12.已知函數(shù)/(X)=—父+。，g(x)=x2",若對于任意的存在唯一的

x,e[-p2],使得/(M)=g(X2)，則實數(shù)〃的取值范圍是()

A.(e,4)B.(eH—,4]C.(eH—,4)D.(一,4]

444

二、填空題

13.已知同=1,石=(0,2),且7B=1，則向量7與B夾角的大小為

14.中國古典數(shù)學有完整的理論體系，其代表作有《算數(shù)書》《九章算術》《周髀算經(jīng)》

《孫子算經(jīng)》等，有3名中學生計劃去圖書館閱讀這四種古典數(shù)學著作(這四種著作每

種各一本)，要求每人至少閱讀一種古典數(shù)學著作，每種古典數(shù)學著作只有一人閱讀，

則不同的閱讀方案的總數(shù)有種.(請用數(shù)字作答)

15.如圖，在正方體ABC。一A4G2中，點尸在線段A1上移動，有下列判斷：①

平面8DP〃平面8℃；②平面PA&_L平面g2。；③三棱錐P-片0c的體積不

變；④PG，平面目已。.其中，正確的是.(把所有正確的判斷的序號都填上)

16.我們把6=2"+1(〃=0,1,2?-)叫“費馬數(shù)”(費馬是十七世紀法國數(shù)學家)，設

勺=log2(/;,-1),S.表示數(shù)列｛4｝的前〃項之和，則使不等式

2223〈孚成立的最大正整數(shù)〃的值是

-----------1--------------!-???+

監(jiān)S2s3S￡+】127

三、解答題

17.ZkABC中，角A,B,C對邊的邊長分別是mb,c,且Q(cosB+cosC)=h+c.

71

(1)求證：A=—；

2

(2)若△ABC外接圓半徑為1,求△A5C周長的取值范圍.

18.如圖甲，在口45。中，ABA.BC,AB=6,BC=3,D，E分別在AC,AB

ArAn

上，且滿足一=——=2,將口4)￡沿OE折到2DE位置，得到四棱錐P—BCDE，

如圖乙.

甲乙

(1)已知Af,N為PB，PE上的動點，求證：MNJ.DE；

(2)在翻折過程中，當二面角P—匹一8為60。時，求直線CE與平面PCD所成角的

正弦值.

19.隨著中美貿(mào)易戰(zhàn)的不斷升級，越來越多的國內(nèi)科技巨頭加大了科技研發(fā)投入的力

度.中華技術有限公司擬對“麒麟”手機芯片進行科技升級，根據(jù)市場調(diào)研與模擬，得到

科技升級投入x(億元與科技升級直接收益y(億元)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：

序號i23456789101112

2346810132122232425

y1322314250565868.56867.56666

當0<xW17時，建立了y與尤的兩個回歸模型：模型①：9=4.*+11.8；模型②：

?=21.34—14.4；當x>17時，確定y與x滿足的線性回歸方程為e=-0.7x+a.

(1)根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較當0<xW17時模型①、②的相關指數(shù)收的大小,

并選擇擬合精度更高、更可靠的模型，預測對“麒麟”手機芯片科技升級的投入為17億

元時的直接收益.

回歸模型模型①模型②

回歸方程9=4.5+11.8y-21.3石-14.4

7

E(^-x)2

182.479.2

1=1

E(^-x-)2

(附：刻畫回歸效果的相關指數(shù)火2=1-々---------，J萬。4.1)

E(X-7)2

i=1

(2)為鼓勵科技創(chuàng)新，當科技升級的投入不少于20億元時，國家給予公司補貼5億元，

以回歸方程為預測依據(jù)，比較科技升級投入17億元與20億元時公司實際收益的大小.

(附：用最小二乘法求線性回歸方程$=晟+&的系數(shù)：

Z%/一欣?y了)

A_Jzl____________i=i______________aa=—y-b￡x—)、

za?-元)

/=1

(3)科技升級后，“麒麟”芯片的效率X大幅提高，經(jīng)實際試驗得X大致服從正態(tài)分布

N(0.52,0.012).公司對科技升級團隊的獎勵方案如下：若芯片的效率不超過50%,不

予獎勵：若芯片的效率超過50%,但不超過53%,每部芯片獎勵2元；若芯片的效率超

過53%,每部芯片獎勵4元記為每部芯片獲得的獎勵，求￡(丫)(精確到0.01).

(附：若隨機變量X~N(〃,cr2/b>0),則尸(〃—cr<X?〃+b)=0.6827,

P("-2cr<X<//4-2a)=0.9545)

22

20.已知橢圓C：1+斗=1(。>力>0)的兩個焦點為￡,居，焦距為2a，直線/：

3

^=%-1與橢圓。相交于人，5兩點，P4，-4為弦A3的中點.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)若直線/：丫=履+機與橢圓C相交于不同的兩點M，N,2(0,m),若

OM+AON=3OQ(。為坐標原點)，求加的取值范圍.

1,

21.已知函數(shù)/(x)=xsinx+cosx+5ax,xG[-71,7r].

(1)當a=0時，求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當a>0,討論f(x)的零點個數(shù)；

22.以直角坐標系的原點為極坐標系的極點，x軸的正半軸為極軸.已知曲線G的

極坐標方程為夕=4cos8+8sin。，p是G上一動點，而=2而，點。的軌跡為。2?

(1)求曲線。2的極坐標方程，并化為直角坐標方程；

(2)若點M(o,l),直線/的參數(shù)方程1.a為參數(shù))，直線/與曲線的

y=l+/sina

交點為AB,當取最小值時，求直線/的普通方程.

23.已知函數(shù)f(x)=|2x+4|-|2x-2|.

(1)求不等式，(x)|V4的解集；

1113

(2)記/(k)的最大值為加，設〃"，c>0,且〃+2/?+3C=M,證明：—H----1--->—.

a2b3c2

參考答案

1.c

先分別求出集合A,B,再求兩集合的并集

解：

解：由兇<2,M-2<x<2,所以A={x|-2?x?2},

由x—l>0,得x>l,所以B={x|x>l},

所以A|JB={x\x>-2],

故選：C

2.A

利用復數(shù)的運算法則進行求解即可

解：

z=2+3i=2("p+3i=l+4i,對應的點為(1,4)

1-i1-i-

故選：A.

點評：

本題考查復數(shù)的運算，屬于基礎題

3.A

解：

27tI—2TC

由已知tan0=-2sin仇tan——=一=-2sin——,充分性成立；

33

由tane=2cos[]+。)不能得出。=等，如8=0也滿足.

故選:A.

4.D

求出直線與圓相交的我的取值范圍，求出區(qū)間的長度后可得概率.

解：

直線與圓相交，則<1,解得一正<左〈也,

yjl+k244

交交、

所求概率為p=J（4J=72

卜-；）2

故選：D.

5.D

根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；

解：

解：因為函數(shù)y=2、在定義域上單調(diào)遞增，所以2°-2>2°=1，所以。>1；y=log2%在定

義域上單調(diào)遞增，所以log2（）.2<log20.5=T,所以人<一1,y=log（）.2X在定義域上單

調(diào)遞減，所以-l=logo.25<logo.22<logo,21=0,即一l<c<0

所以a>c>b

故選：D

6.D

解：

b

分析：由離心率計算出一，得到漸近線方程，再由點到直線距離公式計算即可.

a

詳解：ve=-=^l+（1）2=V2

.心=1

a

所以雙曲線的漸近線方程為x±y=O

4

所以點（4,0）到漸近線的距離d=2后

V1+T

故選D

點睛：本題考查雙曲線的離心率，漸近線和點到直線距離公式，屬于中檔題.

7.B

根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，可以得到方程組，解方程組求出首項和公比，最后利用等比數(shù)列

的通項公式和前n項和公式進行求解即可.

解:

設等比數(shù)列的公比為夕,

42

a}q-a}q=121q=2

由%-%=12,%-。=24可得:

4ad-ad=241q=l

所以…0”—.=管=呂=2」,

n

因此q'=-?^=2—2i.

an2

故選：B.

點評：

本題考查了等比數(shù)列的通項公式的基本量計算，考查了等比數(shù)列前〃項和公式的應用，考查

了數(shù)學運算能力.

8.B

解：

由題意可得,〃=2,S=3;

〃=3,S=6;

〃=4,S=10;

n—5,S=15

程序結束，故選B.

9.C

由已知可得30、△BCD的外接圓半徑乙又AB，面BCD，由四面體外接球半徑R與

AB,，的幾何關系求R,進而求球的表面積.

解：

由NBC￡>=120°,BC=CD=1,即可知：BD=

設球。的半徑為R，△38的外接圓半徑為乙則2。=BD2,即廠=1,

sml20

又???AB_L平面BCD,AB=2,

=^/T+T=V2,

球。的表面積為s=4%R2=8萬.

故選：C.

點評：

關鍵點點睛：由四面體中一條棱垂直于一個面，根據(jù)四面體外接球半徑與該棱、及面的外接

圓半徑的關系求球體半徑，進而求球體表面積.

10.D

利用輔助角公式得出/(x)=2sin[/x+|J,由已知條件求得切的值，再利用函數(shù)圖象變

換求得函數(shù)>=g(x)的解析式，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷各選項的正誤.

解：

Q/(x)=sina)x+-j3cos=2sin<yx+y,

由于函數(shù)y=/(x)的零點構成一個公差為'的等差數(shù)列，則該函數(shù)的最小正周期為萬，

?.-6>>0,則刃=@=2,所以/(x)=2sin[2x+q),

將函數(shù)y=/(x)的圖象沿％軸向右平移2個單位，

得到函數(shù)g(x)=2sin2卜一奈)+?=2sin2x的圖象.

對于A選項，函數(shù)y=g(x)的定義域為R,g(-x)=2sin(-2x)=-2sin2x=-g(x),

函數(shù)y=g(x)為奇函數(shù)，A選項錯誤；

對于B選項，=2sin)=0。±2,所以，函數(shù)y=g(x)的圖象不關于直線x對

稱，B選項錯誤;

對于C選項，當XC時，-<2X<7V,則函數(shù)y=g(x)在上是減函數(shù)，C

選項錯誤；

jr2乃jrA■TJ/&f—

對于D選項，當一WxW——時，一<2x?——，則一處?sin2x4l，...—G?g(x)W2.

63332

所以，函數(shù)y=g(x)在區(qū)間PY上的值域為[-瓜2],D選項正確.

故選：D.

II.D

根據(jù)拋物線與圓的位置關系，利用拋物線的焦半徑公式，將2|AP|+|QB|表示為焦半徑與半

徑的關系，然后根據(jù)坐標乙,4的特點結合基本不等式求解出2\AP\+\QB\的最小值.

解：

如圖所示:

因為圓的方程為T2+y2—4x+3=0即為(X—2)2+y2=1,所以圓心為(2,0)即為拋物線

V=8x的焦點且半徑R=1

因為2|AP|+|QB|=2（|A月—/?）+（忸尸|-R）,所以2|朋+|。卻=2|竊|+|防|一3,

又因為|4尸|=4+y=xx+2,\BF\=XB+-^=XB+2,

所以21Api+|。即=2%+3,

X；+2,所以x?一（4+8加2）%+4=0,所以％A%B=4,

設/:%=沖+2,所以<2

所以2|A”+|Q8|=24+無B+322+3=40+3,取等號時

=\/2,XB=2A/2.

綜上可知：(2|AP|+|Q6|%=40+3.

故選：D.

點評：

本題考查拋物線與圓的綜合應用，著重考查了拋物線的焦半徑公式的運用，難度較難.(1)已

知拋物線y2=2px(〃>0)上任意一點以及焦點尸，則有|叱|=/+日；⑵

當過焦點的直線I與拋物線J/=2Px(p>0)相交于A&,y),y),則有

B(X2,2

P'2

\x2=-,yly2=-p-

12.B

結合導數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可求出/(X)和g(X)的值域，結合已知條件可得［0,可三［。-4,

“-J,從而可求出實數(shù)”的取值范圍.

解：

解：g(x)=/e'的導函數(shù)為((x)=2xe'+x2e'=x(x+2)eS當x=0時，g'(x)=0,

由xe［T0)時,g'(x)<0,xe(0,l］時,g'(x)>0,可得g(x)在［-1,0］上單調(diào)遞減,

在(0,1］上單調(diào)遞增，故g(x)在［-1,1］上的最小值為g(0)=0,最大值為g(1)=e,

所以對于任意的々€［一1，11，^U2)e［0,e］.因為y=-F+a開口向下，對稱軸為>軸，

又一:一0<|2—0］,所以當％=0時，/(x)max=a,當尤=2時，/U)min=?-4,

則函數(shù)/(xh-Y+a在2］上的值域為［a-4,a］,且函數(shù)/(x)在［一(；］,

圖象關于>軸對稱，在(g,2］上，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減.由題意，得［0,e］C-4,a-；),

可得a-4<0<e<a-■-,解得e+—<a<4.

44

故選:B.

點評：

本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)的最值，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.本題的難點是

/(Xi)=g(Z)這一條件的轉化.

先求出W，再利用平面向量的夾角公式求解即可

解：

解：因為石=(0,2),所以忖=2,

因為卜|=1，ab-\'

所以以^“)=雨=宙=/,

因為伍可引。/],所以

兀

故答案為：—

3

14.36

根據(jù)題意，分2步進行分析：先將4本著作分為3組，再將分好的三組全排列，分配給3

人，由分步計數(shù)原理計算可得答案.

解：

根據(jù)題意，分2步進行分析：

①將4本著作分為3組，有C“2=6種分法，

②將分好的三組全排列，分配給3人，有43=6種情況，

則有6x6=36種不同的閱讀方案,

故答案為：36.

點評：

本題考查排列與組合，先分組后排列，屬于基礎題.

15.①②③

①在正方體中可證平面BDP//平面BRC,又點尸在線段AtB上移動，所以平面BDPH

平面片所以①正確；

②先證AC,1平面BRC，再根據(jù)面面垂直的判定定理可證平面PA&1平面B,D,C,所

以②正確；

③根據(jù)48//平面可得三棱錐的體積不變，所以③正確：

④由AG，平面6Q。，而PC與AG交于4,可得④不正確.

解：

①因為在正方體中有A8//2C,,且Afz平面g￡)c，〃Cu平面5RC，所以48//

平面,同理得30//平面B}DtC,

又48門8。=民所以平面48。//平面片。。，

又點P在線段AB上移動，所以平面89P//平面片"C,所以①正確；

②因為AB_L平面BB￡C,所以Aq在平面BB?C內(nèi)的射影為BC,,

因為5,C±BC,,根據(jù)三垂線定理可得ACt15,C,

同理可得AG人BR,

因為B]CcB[D[=B],

所以AG_L平面片RC,

因為AGu平面PACi所以平面PAG，平面片。C,所以②正確；

③由①知AB”平面BRC,所以點尸到平面BRC的距離為定值，所以三棱錐P-BRC

的體積不變，所以③正確；

④由②知AG，平面4。。，而PG與AG交于G，所以PG與平面不垂直，所

以④不正確。

故答案為:①②③

點評：

本題考查了直線與平面，平面與平面平行的判定定理，考查了直線與平面垂直的判定定理,

考查了平面與平面垂直的判定定理，考查了三棱錐的體積公式，屬于中檔題.

16.5

由對數(shù)的運算性質(zhì)求得%,由等比數(shù)列的求和公式可得S,，再由數(shù)列的裂項相消求和，解

不等式可得所求最大值.

解：

2

解：由題意得,an=log2(/^—1)=log22=2"，

2'用2,1+111

所以"三=2人2,則------=------------------=-----------------

n+ln+2n+1+2

SnSn+](2-2)(2-2)2-22"-2

2"+i

所以H----------

S"S"+]

63

2~2"+2-2而

可得一—>------,解得〃<6,

2n+2-22x127

所以最大正整數(shù)〃的值為5,

故答案為：5

點評：

關鍵點點睛：此題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，以及數(shù)列的裂項相消求和法，解題

2

的關鍵是由已知條件求出an=log2(/;,-1)=log22"=2%從而可得

2(1-2")2”+i2/1??

進而可求出-(2,,+l-2)(2n+2-2)-2n+l-2-2"+2-2

考查轉化思想和計算能力，屬于中檔題.

17.(1)見解析(2)(4,2+20]

(1)根據(jù)余弦定理求得cosB,和cosC代入題設等式中，整理得(。+。)(a2-b2-c2)=0

rr

進而求得〃2=〃+c2.判斷出A=—.

2

(2)根據(jù)直角三角形外接圓的性質(zhì)可求得〃，進而求得從的表達式，進而根據(jù)5的范圍

確定加"C的范圍，進而求得三角形周長的范圍.

解：

解：(1)證明：,:a(cosB+cosC)=b+c

?u-,人才…pe/日+c2—b~cr+b~—c~.

..由余弦定理得Q.------------------F----------------=b+c.

2ac2ah

：.整理得(b+c)(屏-b2-c2)=0.

71

VZ?+c>0,???。2=按+。2.故4=一.

2

IT

(2)?:△ABC外接圓半徑為1,A=—,???〃=2.

2

/?+c=2(sinB+cosB)=2&sin(B+—).

…，冗.4J式,3萬

?0V8V—，??一<BT—V,：.2<b+c<2y/2.

2444

.*?4<Ctz+Z?+c<2+2-y/2，

故△ABC周長的取值范圍是(4,2+272J.

點評：

本題主要考查了余弦定理的應用.解題的關鍵是利用余弦定理把關于角的問題轉化為關于邊

的問題.

18.(1)證明見解析；(2)叵.

13

(1)通過DE±BE和DE_L尸￡證明，平面PBE即可得出MNJ_；

(2)以點B為坐標原點，分別以BE,BC,BP為x,y,z軸正方向建立坐標系，利用

向量法求解.

解：

（1）證明：在圖甲中,

..AEAD

'~BE~~DC二DEIIBC,

又：AB，BC,，_L且DE，AE,

即在圖乙中，DEA.BE，DE工PE，又BEcPE=E，

故有￡>E_L平面尸BE,

而MNu平面PBE,故有MN上DE；

（2）解：:DE工BE,DEYPE,

所以NPEB為二面角2一￡。一8的平面角，則NP￡3=60°,

在中，BE=2,PE=4,NPEB=60°,

由余弦定理，可知PB=2百，滿足依2+8￡2=依2,則有尸

由（1）知，BC_L平面P8E,則

如圖，以點3為坐標原點，分別以BE,BC,BP為x,y,z軸正方向建立坐標系,

則￡（2,0,0）,尸（0,0,26）,C（0,3,0）,D（2,2,0）,

則定=（0,3,—26）,CD=（2,-l,0）,CE=（2,-3,0）,

設平面PCD的法向量為。=（x,y,z）,

定?乃=3y—20z=0

取為=（1,2,⑹,

CDn=2x-y=

|CE-n|4V26

所以直線CE與平面PCO所成角。滿足sin。

|cE|-|n|-V13-2V27T

點評:

本題考查線線垂直的證明，考查向量法求線面角，屬于中檔題.

19.(1)見解析(2)技術升級投入20億元時，公司的實際收益更大.(3)2.27元

182.479.2

(1)由表格中的數(shù)據(jù)，182.4>79.2,所以_了y苗，

/=!；=1

182.4179.2

--------------<1---------------

Z(x--y)2Z(x--y)2利用相關指數(shù)的定義即得解;

r=l/=1

(2)當x>17時，由已知可得元可得。=歹+0.7元，可得y與x滿足的線性回歸方程,

代入計算即得結論；

(3)由〃-2cr=0.50,〃+cr=0.53,所以P(0.50<X40.53)

=P(〃-2cr<X<//+cr)=P(〃-2b<X<〃-cr)+P(〃一X<//+a),即得解.

解：

182.479.2

解：(1)由表格中的數(shù)據(jù)，182.4>79.2,所以￡(),_了『￡(),_,『，

1=11=1

182.4?79.2

1t----------------<1-----------------

所以i(y,-y)2i(y,-y)2-

f=lf=l

可見模型①的相關指數(shù)用小于模型②的相關指數(shù)周.

所以回歸模型②的擬合效果更好.

所以當尤=17億元時，科技升級直接收益的預測值為

y=21.3xV17-14.4?21.3x4.1-14.4=72.93(億元).

21+22+23+24+25

(2)當尤>17時，由已知可得了=23.

5

_68.5+68+67.5+66+66_

y=------------------------------=67.2.

-5

所以a=9+0.7元=67.2+0.7x23=83.3.

所以當x>17時，y與x滿足的線性回歸方程為￡=-0.7X+83.3.

當％=20時，科技升級直接收益的預測值為夕=-0.7x20+83.3=69.3億元.

當》=2()億元時，實際收益的預測值為69.3+5=74.3億元>72.93億元，

所以技術升級投入20億元時，公司的實際收益更大.

(3)因為〃-2b=0.50,〃+cr=().53,所以

P(0.50<X<0.53)=—2b<XV〃+b)

=P卬-2<y<X<cr)+P(〃一CT<X<//+cr)

0.9545-0.6827

+0.6827=0.8186；

2

1—0.6827

P(X>0.53)=P(X>〃+cr)=-----------

1_MZSOQ,y

所以￡(Y)=0+2x0.8186+4x二^一=2.2718?2.27(元).

點評：

本題考查了線性回歸方程、回歸系數(shù)，正態(tài)分布等知識點，考查了學生綜合分析，轉化劃歸,

數(shù)學運算能力，屬于中檔題.

v-2J]

20.(1)—+y2=1；(2)一</〃<1或一1<加<——.

333

(1)0(；,一￡|為弦A3的中點，設A(玉,凹)，8(々,為)，代入橢圓方程利用點差法可求

解.

_.12―?12

(2)由M,Q,N三點共線，0Q=—0M+―0N,根據(jù)三點共線性質(zhì)可得：一+—=1,

3333

則％=2,將直線/的方程和橢圓。方程聯(lián)立，利用韋達定理即可求得答案.

解：

(1)；焦距為2&，則c=VL設A(x，x),3(乙,%)，

丁尸為弦A3的中點，根據(jù)中點坐標公式可得：王+%=]，兇+必=-5，

22

又?.?將4(%,y),代入橢圓°：*+方=1

9a29oj2

.心-芍+Q-y1=a-b

"考+爪=//

，將兩式作差可得：+%)(西一%2)+/(%+%)(%—>2)=°，

所以怎

a(*+%)a

所以/=3〃.①.

Va2-b2=c2②

a1-3

由①②得：，

b2=\

2

所以橢圓的標準方程為r二+y2=1.

3

―.1____4―?

(2)'：M,。，N三點共線，OQ^-OM+-ON

1J

???根據(jù)三點共線性質(zhì)可得：一+—=1,則2=2

33

12

設M(X，X),N8,yj,則§%+§工2=0，

/.%=-2X2.

y=kx+m,

將直線/和橢圓。聯(lián)立方程〈°,.消掉九

x2+3y2=3

可得：［1+3k2^x2+6kmx+3m2-3=0.

A>0^3A:2-W2+1>0.③,

6kmQa

根據(jù)韋達定理：玉+z=-不為=也二

-1+3&21-1+322

小、加6km2

代入*=—C，-可r得：*K，c,3m-3

c36k2m23m2-3

--2x-------=------GP（9nr-1）-3左2=l-m2.

1,（1+3公）71+3公

,21

?9〃廣一IHO，m~

9

12

???女3。............④,

[2[2

代入③式得上?一一/?2+1>0,即:"+(1-病)>0,

W-l9/n2-1、7

m2(〃?？-1乂9機2-I)<0,器<n?<1滿足④式，

；.1<加<1或一1<m<――.

33

點評：

本題考查橢圓的中點弦問題，考查直線與橢圓的綜合問題，聯(lián)立方程，韋達定理的應用，屬

于中檔題.

77H

21.(1).f(x)單調(diào)遞減區(qū)間為一式,0,-,71.單調(diào)遞增區(qū)間為一肛一彳，°，不；

12」[2」L2JL2J

(2)答案見解析.

⑴根據(jù)函數(shù)奇偶性，只研究/(x)在[0,可上單調(diào)性，利用導數(shù)根據(jù)其函數(shù)值的正負，即

可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)對參數(shù)。進行分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及最值，即可求得函數(shù)的零點個數(shù).

解：

??,/(一X)=f(X).\f(x)為偶函數(shù),

只需先研究xe[0,%],

/(x)=xsinx+cosx,

f'(x)=sin%+xcosx-sinx=xcosx,

冗JI

當xeQ,~,f'(x)>0,當xe—,n,f\x)<0,

nJI

所以/(x)在XG0,5單調(diào)遞增，在XG-,71,單調(diào)遞減，

所以根據(jù)偶函數(shù)圖象關于>軸對稱，

7T~\「7T

得f(x)在無G一匹一,單調(diào)遞增，在XG-萬，0單調(diào)遞減,

7TTTTTTT

故“X)單調(diào)遞減區(qū)間為：一二,0,乃；單調(diào)遞增區(qū)間為：一?！溉?0,-

2222

(2)f\x)=xcosx+ax=x(cosx+a),

①aN1時，/'(x)=x(cosx+a)20在xG［0,%］恒成立，

二/(x)在xe［0,%］單調(diào)遞增

又/(0)=1,所以/&)在XG［一肛幻上無零點

②0<a<l時，訓G(0㈤,

使得毛(cos/+a)=0,upcosxa=-a.

又cos尤在(0,乃)單調(diào)遞減，

所以xe(O,Xo)，f\x)>0,XG(X0,^-),/'(x)<0

所以XG(O,Xo)，/(X)單調(diào)遞增，xe(xo,7r),/(幻單調(diào)遞減,

又/(0)=1，/(乃)=ga/T

1,2

(i)—Q7T-—1>0,即——<Q<1時

2711

/(X)在［0,兀］上無零點，

又/(?為偶函數(shù)，所以/(X)在