函數(shù)及其表示、定義域、解析式、值域的求法 - 副本

函數(shù)及解析式問題一：以下對(duì)應(yīng)中，哪些是映射？1-12-214f：平方12341964張三李四王五趙高劉邦關(guān)公ABBBAA圖1圖2圖35743194AB圖4對(duì)函數(shù)要注意：1、函數(shù)是映射，映射不一定是函數(shù)，只有兩非空數(shù)集之間的映射才是函數(shù)；2、要克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識(shí)，有此對(duì)應(yīng)法則很難甚至于無法用解析式表達(dá)（可用列表法圖象法表示出來）3、定義域=原象集合A，值域C象集合B。3、對(duì)函數(shù)符號(hào)f（X）的涵義的理解：f（X）是表示一個(gè)整體符號(hào)，而記號(hào)“f”可看作是對(duì)“x”施加的某種法則（或運(yùn)算）“f”可看作一部機(jī)器，把“x”輸入“f”中，輸出函數(shù)值。4、函數(shù)有三要素：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則。只有當(dāng)兩個(gè)函數(shù)的三要素相同時(shí)，它們才是同一函數(shù)。5、定義域優(yōu)先原則：函數(shù)定義域是函數(shù)的靈魂，它是研究函數(shù)的基礎(chǔ)依據(jù)，對(duì)函數(shù)性質(zhì)的討論，必須在定義域上進(jìn)行，堅(jiān)持定義域優(yōu)先的原則，之所以要做到這一點(diǎn)，不僅是為了防止出現(xiàn)錯(cuò)誤，有時(shí)，優(yōu)先考慮定義域還會(huì)解題帶來很大的方便。一、判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù)例1、下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是：（）變式：下列四組函數(shù)中，其函數(shù)圖像相同的是（）CD二、對(duì)函數(shù)概念的理解-22xy-22xy-22xy-22xyOOOO222ABCD變式：已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇-2，4]，在同一坐標(biāo)系下，函數(shù)y=f（x）的圖象與直線x=2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、0個(gè)或1個(gè)B三、對(duì)映射概念的理解例3、設(shè)f：M→N是集合M到集合N的映射，下列說法正確的是（）A、M中每一個(gè)元素在N中必有象；B、N中第一個(gè)元素在M中必有原象；C、N中每一個(gè)元素在M中的原象是唯一的；D、N是M中所有元素的象的集合。A變式：映射f：A→B，其中A={-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中元素都是A中的元素在映射f下的象，且對(duì)于任意的a∈A，在集合B中和它對(duì)應(yīng)的元素是|a|，則B中元素有（）

A、4個(gè)B、5個(gè)C、6個(gè)D、7個(gè)A五、對(duì)函數(shù)符號(hào)f（x）的理解CB求函數(shù)的定義域1.方法:

常規(guī)方法

分母

根式(開偶次方)

真數(shù)

底數(shù)

指數(shù)為零時(shí)，底數(shù)不為零例題:練習(xí):2.復(fù)合函數(shù)求定義域的幾種題型練習(xí)3:題型三：已知函數(shù)的定義域，求含參數(shù)的取值范圍(1)當(dāng)K=0時(shí),3≠0成立解:歸納小結(jié)：求定義域的方法：（1）常規(guī)求定義域的方法（1）分母（2）根式（開偶次方）（3）真數(shù)（4）底數(shù)（5）指數(shù)為零時(shí)，底數(shù)不為0（4）已知函數(shù)的定義域,求含參數(shù)的取值范圍布置作業(yè)：求函數(shù)的解析式求函數(shù)的解析式

把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫函數(shù)的解析式，簡(jiǎn)稱解析式。函數(shù)解析式的常用方法有：待定系數(shù)法換元法解函數(shù)方程組法代入法湊配法

在給定條件下求函數(shù)的解析式f(x),是高中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及的內(nèi)容,形式多樣,

沒有一定的程序可循,

綜合性強(qiáng),

解起來有相當(dāng)?shù)碾y度,

但是只要認(rèn)真仔細(xì)去探索,

還是有一些常用之法.下面談?wù)勄蠛瘮?shù)解析式

f(x)

的方法.（一）、待定系數(shù)法設(shè)二次函數(shù)滿足且圖象在軸上的截距為1，在軸截得的線段長(zhǎng)為，求的解析式。例1解法一、又解得設(shè)由得解法二、得的對(duì)稱軸為由設(shè)解法三、有對(duì)稱軸又與軸交點(diǎn)為故設(shè)變式:

設(shè)f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,求f(x).

解:

由原式可知

f[g(x)]

中的

g(x)

一個(gè)是

2x,

另一個(gè)是

3x+1,都是一次式.而右端是二次式，故

f(x)

是一個(gè)二次式,則可設(shè):f(x)=ax2+bx+c,從而有:f(2x)+f(3x+1)=13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c).比較系數(shù)得:a=1,b=0,c=-1.從而有:f(x)=x2-1.

評(píng)注:

先分析出

f(x)

的基本形式,再用待定系數(shù)法,求出各系數(shù).又由已知f(2x)+f(3x+1)=13x2+6x-1,∴13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)

與

13x2+6x-1

表示同一個(gè)式子,即

13ax2+(6a+5b)x+(a+b+2c)≡13x2+6x-1

.（二）、換元法例2、根據(jù)條件，分別求出函數(shù)的解析式（1）解：令則且即換元法湊配法用替代式中的又考慮到（2）解：所以f(x)=2lnx-3(x>0).

評(píng)注:

通過換元,用“新元”代替原表達(dá)式中的“舊元”,從而求得

f(x).又如:已知f(cosx-1)=cos2x.求f(x).變式:

已知f(ex)=2x-3,求f(x).解:

設(shè)t=ex,則x=lnt且t>0,有:

f(t)=2lnt-3(t>0).f(x)=2x2+4x+1(-2≤x≤0)（三）、解函數(shù)方程組法例3、已知，求解：由解得變式已知f(x)+f()=1+x(x≠0,1),求f(x).xx-1解:

記題中式子為①式,用代替①中的

x,整理得:xx-1f()+f()=②,xx-11-x1x2x-1再用代替①中的

x,整理得:1-x1f()+f(x)=③,1-x11-x2-x解由

①,②,③

組成的方程組,得:2x(x-1)x3-x2-1f(x)=.

評(píng)注:

把f(x),f(),f()都看作“未知數(shù)”,把已知條件化為方程組的形式解得f(x).又如:已知af(x)+bf()=cx,其中,|a|≠|(zhì)b|,求f(x).xx-11-x

11xf(x)=(ax-

).a2-b2cbx（四）、代入法例4、設(shè)函數(shù)的圖象為，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的圖象為，

求對(duì)應(yīng)的函數(shù)的表達(dá)式。

設(shè)圖象上任一點(diǎn)，則關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)為在上，解：即即故例5

已知

f{f[f(x)]}=27x+13,且

f(x)

是一次式,求

f(x).解:

由已知可設(shè)

f(x)=ax+b,則:

五、迭代法f[f(x)]=a2x+ab+b.∴f{f[f(x)]}=a3x+a2b+ab+b.由題意知:a3x+a2b+ab+b≡27x+13.比較系數(shù)得:a=3,b=1.故f(x)=3x+1.評(píng)注:

本題的解法除了用迭代法,還用了待定系數(shù)法.★課堂練習(xí)1.已知f(x)是一次函數(shù),且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式.5.若3f(x-1)+2f(1-x)=2x,求f(x).2.已知f(4x+1)=,求f(x)的解析式.

4x+616x2+14.已知2f(x)+f(-x)=10x,求f(x).

6.已知f(0)=1,f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x).7.已知

f(x)

是

R

上的偶函數(shù),且f(x+4)=f(-x),當(dāng)x∈(-2,2)時(shí),f(x)=-x2+1,求當(dāng)x∈(-6,-2)時(shí)f(x)的解析式.f(x)=-2x+1

或

2x-

13x+5x2-2x+2f(x)=f(x)=x2-1(x≥1)f(x)=

10x

-

10-x

1323f(x)=2x+

25f(x)=x2+x+1f(x)=-x2-8x-158.已知函數(shù)f(x)=求f(x+1).x2,x∈[0,+∞),,x∈(-∞,0),1xf(x+1)=(x+1)2,x∈[-1,+∞).,x∈(-∞,-1),x+113.已知f(

x

+1)=x+2

x

,求f(x).

9.已知

F(x)=f(x)-g(x),其中

f(x)=loga(x-b),當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)

(x0,y0)在

f(x)

的圖象上時(shí),點(diǎn)

(2x0,2y0)

在

y=g(x)

的圖象上(b>1,a>0

且a≠1),(1)求

y=g(x)

的解析式;(2)當(dāng)

F(x)≥0

時(shí),求

x

的范圍.解:(1)

由已知y0=loga(x0-b),2y0=g(2x0)

g(x)=2loga(-b).x2(2)

由(1)

知:F(x)=f(x)-g(x)=loga(x-b)-2loga(-b).x2故由

F(x)≥0

可得:loga(x-b)≥2loga(-b).x2當(dāng)

a>1

時(shí),x-b≥(-b)2,x2-b>0,x2解得:2b<x≤2b+2+2b+1.解得:x≥2b+2+2b+1.當(dāng)

0<a<1

時(shí),x-b≤(-b)2,x2

-b>0,x2綜上所述:當(dāng)

a>1

時(shí),2b<x≤2b+2+2

b+1;當(dāng)

0<a<1

時(shí),x≥2b+2+

2

b+1.函數(shù)值域的常見解法1．函數(shù)的值域的定義在函數(shù)y=f(x)中，與自變量x的值對(duì)應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域。知識(shí)點(diǎn)2．確定函數(shù)的值域的原則

①當(dāng)函數(shù)y=f(x)用表格給出時(shí)，函數(shù)的值域是指表格中實(shí)數(shù)y的集合；

②當(dāng)函數(shù)y=f(x)用圖象給出時(shí)，函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實(shí)數(shù)y的集合；

③當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析式給出時(shí)，函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則唯一確定；

④當(dāng)函數(shù)y=f(x)由實(shí)際問題給出時(shí)，函數(shù)的值域由問題的實(shí)際意義確定。

3．求函數(shù)值域的方法①直接法:從自變量x的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍②二次函數(shù)法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域③反函數(shù)法：將求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求它的反函數(shù)的值域④判別式法：運(yùn)用方程思想，依據(jù)二次方程有根，求出y的取值范圍；⑤單調(diào)性法：利用函數(shù)的單調(diào)性求值域；⑥不等式法：利用平均不等式求值域；⑦圖象法：當(dāng)一個(gè)函數(shù)圖象可作時(shí)，通過圖象可求其值域⑧求導(dǎo)法：當(dāng)一個(gè)函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時(shí)，可據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值，再得值域；⑨幾何意義法：由數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化斜率、距離等求值域。例1．求下列函數(shù)的值域①②③應(yīng)用舉例形如：的函數(shù)可令，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值。形如含