小學奧數數論知識總結

小學奧數數論專題知識總結

小學數學中，數論問題通常起源于除法算式：被除數?除

數=商……余數。這里我們將數論基礎知識進行總結，包括能

整除和不能整除兩個方面。

能整除的問題包括整除、因數與倍數、奇數與偶數、質數

與合數、公因數與公倍數、分解質因數等。不能整除的問題則

包括余數、余數的性質與計算、同余問題和物不知數問題。

先來看因數與倍數。因數與倍數是相互依存的關系，缺一

不可。如果一個整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就

叫做a的因數。如果非零自然數a、b、c之間存在axb=c,或

者c：a=b,那么稱a、b是c的因數，c是a、b的倍數。一個

數的因數個數是有限的，最小的因數是1,最大的因數是它本

身。一個數的倍數個數是無限的，最小的倍數是它本身，沒有

最大的倍數。另外，一個數的因數中，最小的是1,第二小的

是質數；最大的是它本身，第二大的是原數?第二小的因數。

完全平方數的因數個數是奇數個，有奇數個因數的數是完全平

方數。完全平方數的質因數出現次數都是偶數次。在1000以

內，完全平方數的個數是31個，在2000以內是44個，在

3000以內是54個。

數的整除（數的倍數）也是因數與倍數的一種。一般地，

三個整數a、b、c,且b聲，如有a：b=c,則我們就說，a能被

b整除，或b能整除a,或a能整除以b。如果一個整數a,除

以一個整數b（bW）,得到一個整數商c,而且沒有余數，那

么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。（a>b）整除還

有一些性質，例如如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-

b）也能被c整除；如果a能被b整除，c是整數，那么axe也

能被b整除；如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也

能被c整除；如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最

小公倍數整除。

最后，我們介紹一些常見數的整除特征，包括末位判別法

和截斷求和法。例如，2、5的倍數特征是末位上的數字是2、

5的倍數；4、25的倍數特征是末兩位上的數字是4、25的倍

數；8、125的倍數特征是末三位上的數字是8、125的倍數。

另外，9（及其因數3）的倍數特征是一位截斷求和。

本文介紹了數學中的一些常見知識點和特征。

首先是倍數特征。對于99及其因數3、9、11、33的倍數,

其特征是兩位數截斷后求和。對于999及其因數3、9、27、

37、111、333的倍數，其特征是三位數截斷后求和。對于11

的倍數，其特征是一位數截斷后求差；對于101的倍數，其特

征是兩位數截斷后求差；對于1001及其因數7、11、13、77、

91、143的倍數，其特征是三位數截斷后求差。

其次是公倍數法。對于6的倍數，其特征是2和3的公倍

數，先判斷是否是2的倍數，再判斷是否是3的倍數。對于

12的倍數，其特征是4和3的公倍數，先判斷是否是4的倍

數，再判斷是否是3的倍數。

然后是奇數和偶數。奇數是不是2的倍數的數，最小的奇

數是1;偶數是2的倍數的數，最小的偶數是2.在連續(xù)的偶數

中，奇偶各半；奇數個奇數的和是奇數，偶數個奇數的和是偶

數，任意多個偶數的和是偶數；兩個奇（偶）數的差是偶數，

一個偶數與一個奇數的差是奇數；若a、b為整數，則a+b與

a-b有相同的奇偶性；n個奇數的乘積是奇數，n個偶數的乘積

是2的倍數，算式中有一個是偶數，則乘積必是偶數；連續(xù)的

奇數或偶數差為2.奇偶相加為偶數，奇偶相減的結果為奇數，

奇數和偶數相乘的結果為偶數。

最后是質數和合數。質數只有1和它本身兩個因數，合數

除了1和它本身還有其它因數。常見質數特征是2是最小的質

數，4是最小的合數，2是質數中唯一的偶數，也是偶數中唯

一的質數。在100以內，有25個質數：2、3、5、7、11、13、

17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、

73、79、83、89、97.分解質因數時，可以使用唯一分解定理,

將一個大于1的自然數分解成有限個質數的乘積，其中質數是

這個數的質因數。例如，28可以分解為2x2x7或22x7.

通常使用短除法來分解質因數，因為任何一個合數的分解

質因數結果都是唯一的。

如果要求出乘積中末尾的0的個數，只需要知道這些乘數

分解質因數后2和5的個數，不需考慮其他質因數。兩個數的

公因數只有1時，它們被稱為互質數。常見的互質數包括相鄰

自然數、相鄰奇數、2與任意奇數、不同的兩個質數、1與任

意非零自然數以及當合數不是質數的倍數時，這個合數和這個

質數互質。

最大公因數是幾個數的公有因數中最大的一個，最小公倍

數是幾個數的公有倍數中最小的一個，分別用(a,b)和[a,b]

表示。最大公因數有幾個性質，如幾個數都除以它們的最大公

因數，得到的幾個商是互質數。最小公倍數也有幾個性質，如

兩個數的最大公因數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。

求最大公因數的方法包括列舉法、短除法、分解質因數法

和輾轉相除法，求最小公倍數的方法包括列舉法、短除法和分

解質因數法。分類求最大公因數和最小公倍數可以分為倍數關

系、互質關系和一般關系。

分解質因數可以用來求一個數的因數個數和所有因數的和。

例如，360可以分解為23x32x5,因此它的因數個數為

(3+1)x(2+1)x(1+1)=24個，所有因數的和可以通過分解質因數

后計算得出。

步驟：

1.分解質因數：以180為例，可分解為22x32x5.它的所有

因數之和可用公式(2+2+2)X(3+3+3)(5+5)=7X13X6=546

計算得出。

2.余數性質與同余問題:

1）余數小于除數。

2）若a、b除以c的余數相同，貝U（a-b）或（b-a）可以被c整

除。

3）a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加b除以

c的余數的和除以c的余數。（和的余數=余數的和）

4）a與b的差除以c的余數等于a除以c的余數減b除以

c的余數的差除以c的余數。（差的余數=余數的差）

5）a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以

c的余數的積除以c的余數。（積的余數=余數的積）

3.余數的計算（求余數）：

1）末位判斷法適用于2、5、4、25、8、125等數字。

2）數字求和法適用于3、9等數字。各個數位上數字之和

除以3或9的余數=某數除以3或9的余數。

3）截斷求和法適用于99、999及其因數。例如，

345+12=357,357<XXX,所以:999余357.

4）截斷求差法適用于11、101、1001及其因數7、11、13、

77、91、143.例如，奇數位數字之和3+5+9=位,偶數位數字

之和2+4+6=12,17-12=5,所以XI余5,即三5（modll）。

偶數，則它的十位數字一定是偶數。

4）一個數如果是完全平方數，則它的因數中，每個因數都

有一對相等的因數。

例如，16的因數為1、2、4、8、16,其中

1x16=2x8=4x4=16,都是16的因數對。

完全平方數是指一個數能夠表示成某個整數的平方的形式,

例如4、9、16等。它們有一些特征，如末位數字只能是0、1、

4、5、6、9,奇數的平方的個位數字是奇數，十位數字是偶數,

如果十位數字是奇數，則個位數字一定是6,反之亦然。此外,

一個數如果是完全平方數，則它的因數中，每個因數都有一對

相等的因數。

在數論中，還有一些重要的概念和定理，如輾轉相除法、

歐幾里得算法、費馬小定理、同余問題和中國剩余定理等。輾

轉相除法是求兩個數的最大公約數的一種方法，歐幾里得算法

是輾轉相除法的一種改進方法，費馬小定理是一個關于質數和

整數的定理，同余問題是求除數的問題，中國剩余定理是求被

除數的問題，其中口訣法適用于3、5、7這三個數。

最后，完全平方數和這些概念和定理在數學中有著廣泛的

應用，如密碼學、編碼和計算機科學等領域。掌握它們的概念

和應用，對于我們的數學研究和實際生活都有著重要的意義。

1.完全平方數的特征：

個位數字只能是0.1.456.9；

十位數字一定是奇數；

奇數的平方是8n+l型，偶數的平方是4的倍數；

完全平方數的形式一定是3k或3k+l,4k或4k+l,16m,

16m+1,16m+4,16m+9；

質數p能整除完全平方數a,則p2也能整除a；

一個自然數n是完全平方數的充要條件是n有奇數個因數;

任何四個連續(xù)整數的乘積加1