小學(xué)奧數(shù)數(shù)論知識(shí)總結(jié)

小學(xué)奧數(shù)數(shù)論專題知識(shí)總結(jié)

小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)論問題通常起源于除法算式：被除數(shù)?除

數(shù)=商……余數(shù)。這里我們將數(shù)論基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行總結(jié)，包括能

整除和不能整除兩個(gè)方面。

能整除的問題包括整除、因數(shù)與倍數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)、質(zhì)數(shù)

與合數(shù)、公因數(shù)與公倍數(shù)、分解質(zhì)因數(shù)等。不能整除的問題則

包括余數(shù)、余數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算、同余問題和物不知數(shù)問題。

先來看因數(shù)與倍數(shù)。因數(shù)與倍數(shù)是相互依存的關(guān)系，缺一

不可。如果一個(gè)整數(shù)a能夠被b整除，a叫做b的倍數(shù)，b就

叫做a的因數(shù)。如果非零自然數(shù)a、b、c之間存在axb=c,或

者c：a=b,那么稱a、b是c的因數(shù)，c是a、b的倍數(shù)。一個(gè)

數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它本

身。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)個(gè)數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有

最大的倍數(shù)。另外，一個(gè)數(shù)的因數(shù)中，最小的是1,第二小的

是質(zhì)數(shù)；最大的是它本身，第二大的是原數(shù)?第二小的因數(shù)。

完全平方數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)，有奇數(shù)個(gè)因數(shù)的數(shù)是完全平

方數(shù)。完全平方數(shù)的質(zhì)因數(shù)出現(xiàn)次數(shù)都是偶數(shù)次。在1000以

內(nèi)，完全平方數(shù)的個(gè)數(shù)是31個(gè)，在2000以內(nèi)是44個(gè)，在

3000以內(nèi)是54個(gè)。

數(shù)的整除（數(shù)的倍數(shù)）也是因數(shù)與倍數(shù)的一種。一般地，

三個(gè)整數(shù)a、b、c,且b聲，如有a：b=c,則我們就說，a能被

b整除，或b能整除a,或a能整除以b。如果一個(gè)整數(shù)a,除

以一個(gè)整數(shù)b（bW）,得到一個(gè)整數(shù)商c,而且沒有余數(shù)，那

么叫做a能被b整除或b能整除a,記作b|a。（a>b）整除還

有一些性質(zhì)，例如如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-

b）也能被c整除；如果a能被b整除，c是整數(shù)，那么axe也

能被b整除；如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也

能被c整除；如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最

小公倍數(shù)整除。

最后，我們介紹一些常見數(shù)的整除特征，包括末位判別法

和截?cái)嗲蠛头ā＠纾?、5的倍數(shù)特征是末位上的數(shù)字是2、

5的倍數(shù)；4、25的倍數(shù)特征是末兩位上的數(shù)字是4、25的倍

數(shù)；8、125的倍數(shù)特征是末三位上的數(shù)字是8、125的倍數(shù)。

另外，9（及其因數(shù)3）的倍數(shù)特征是一位截?cái)嗲蠛汀?/p>

本文介紹了數(shù)學(xué)中的一些常見知識(shí)點(diǎn)和特征。

首先是倍數(shù)特征。對(duì)于99及其因數(shù)3、9、11、33的倍數(shù),

其特征是兩位數(shù)截?cái)嗪笄蠛?。?duì)于999及其因數(shù)3、9、27、

37、111、333的倍數(shù)，其特征是三位數(shù)截?cái)嗪笄蠛?。?duì)于11

的倍數(shù)，其特征是一位數(shù)截?cái)嗪笄蟛?；?duì)于101的倍數(shù)，其特

征是兩位數(shù)截?cái)嗪笄蟛?；?duì)于1001及其因數(shù)7、11、13、77、

91、143的倍數(shù)，其特征是三位數(shù)截?cái)嗪笄蟛睢?/p>

其次是公倍數(shù)法。對(duì)于6的倍數(shù)，其特征是2和3的公倍

數(shù)，先判斷是否是2的倍數(shù)，再判斷是否是3的倍數(shù)。對(duì)于

12的倍數(shù)，其特征是4和3的公倍數(shù)，先判斷是否是4的倍

數(shù)，再判斷是否是3的倍數(shù)。

然后是奇數(shù)和偶數(shù)。奇數(shù)是不是2的倍數(shù)的數(shù)，最小的奇

數(shù)是1;偶數(shù)是2的倍數(shù)的數(shù)，最小的偶數(shù)是2.在連續(xù)的偶數(shù)

中，奇偶各半；奇數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是奇數(shù)，偶數(shù)個(gè)奇數(shù)的和是偶

數(shù)，任意多個(gè)偶數(shù)的和是偶數(shù)；兩個(gè)奇（偶）數(shù)的差是偶數(shù)，

一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)奇數(shù)的差是奇數(shù)；若a、b為整數(shù)，則a+b與

a-b有相同的奇偶性；n個(gè)奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，n個(gè)偶數(shù)的乘積

是2的倍數(shù)，算式中有一個(gè)是偶數(shù)，則乘積必是偶數(shù)；連續(xù)的

奇數(shù)或偶數(shù)差為2.奇偶相加為偶數(shù)，奇偶相減的結(jié)果為奇數(shù)，

奇數(shù)和偶數(shù)相乘的結(jié)果為偶數(shù)。

最后是質(zhì)數(shù)和合數(shù)。質(zhì)數(shù)只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，合數(shù)

除了1和它本身還有其它因數(shù)。常見質(zhì)數(shù)特征是2是最小的質(zhì)

數(shù)，4是最小的合數(shù)，2是質(zhì)數(shù)中唯一的偶數(shù)，也是偶數(shù)中唯

一的質(zhì)數(shù)。在100以內(nèi)，有25個(gè)質(zhì)數(shù)：2、3、5、7、11、13、

17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、

73、79、83、89、97.分解質(zhì)因數(shù)時(shí)，可以使用唯一分解定理,

將一個(gè)大于1的自然數(shù)分解成有限個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，其中質(zhì)數(shù)是

這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。例如，28可以分解為2x2x7或22x7.

通常使用短除法來分解質(zhì)因數(shù)，因?yàn)槿魏我粋€(gè)合數(shù)的分解

質(zhì)因數(shù)結(jié)果都是唯一的。

如果要求出乘積中末尾的0的個(gè)數(shù)，只需要知道這些乘數(shù)

分解質(zhì)因數(shù)后2和5的個(gè)數(shù)，不需考慮其他質(zhì)因數(shù)。兩個(gè)數(shù)的

公因數(shù)只有1時(shí)，它們被稱為互質(zhì)數(shù)。常見的互質(zhì)數(shù)包括相鄰

自然數(shù)、相鄰奇數(shù)、2與任意奇數(shù)、不同的兩個(gè)質(zhì)數(shù)、1與任

意非零自然數(shù)以及當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)

質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

最大公因數(shù)是幾個(gè)數(shù)的公有因數(shù)中最大的一個(gè)，最小公倍

數(shù)是幾個(gè)數(shù)的公有倍數(shù)中最小的一個(gè)，分別用(a,b)和[a,b]

表示。最大公因數(shù)有幾個(gè)性質(zhì)，如幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公

因數(shù)，得到的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。最小公倍數(shù)也有幾個(gè)性質(zhì)，如

兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。

求最大公因數(shù)的方法包括列舉法、短除法、分解質(zhì)因數(shù)法

和輾轉(zhuǎn)相除法，求最小公倍數(shù)的方法包括列舉法、短除法和分

解質(zhì)因數(shù)法。分類求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)可以分為倍數(shù)關(guān)

系、互質(zhì)關(guān)系和一般關(guān)系。

分解質(zhì)因數(shù)可以用來求一個(gè)數(shù)的因數(shù)個(gè)數(shù)和所有因數(shù)的和。

例如，360可以分解為23x32x5,因此它的因數(shù)個(gè)數(shù)為

(3+1)x(2+1)x(1+1)=24個(gè)，所有因數(shù)的和可以通過分解質(zhì)因數(shù)

后計(jì)算得出。

步驟：

1.分解質(zhì)因數(shù)：以180為例，可分解為22x32x5.它的所有

因數(shù)之和可用公式(2+2+2)X(3+3+3)(5+5)=7X13X6=546

計(jì)算得出。

2.余數(shù)性質(zhì)與同余問題:

1）余數(shù)小于除數(shù)。

2）若a、b除以c的余數(shù)相同，貝U（a-b）或（b-a）可以被c整

除。

3）a與b的和除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)加b除以

c的余數(shù)的和除以c的余數(shù)。（和的余數(shù)=余數(shù)的和）

4）a與b的差除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)減b除以

c的余數(shù)的差除以c的余數(shù)。（差的余數(shù)=余數(shù)的差）

5）a與b的積除以c的余數(shù)等于a除以c的余數(shù)與b除以

c的余數(shù)的積除以c的余數(shù)。（積的余數(shù)=余數(shù)的積）

3.余數(shù)的計(jì)算（求余數(shù)）：

1）末位判斷法適用于2、5、4、25、8、125等數(shù)字。

2）數(shù)字求和法適用于3、9等數(shù)字。各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和

除以3或9的余數(shù)=某數(shù)除以3或9的余數(shù)。

3）截?cái)嗲蠛头ㄟm用于99、999及其因數(shù)。例如，

345+12=357,357<XXX,所以:999余357.

4）截?cái)嗲蟛罘ㄟm用于11、101、1001及其因數(shù)7、11、13、

77、91、143.例如，奇數(shù)位數(shù)字之和3+5+9=位,偶數(shù)位數(shù)字

之和2+4+6=12,17-12=5,所以XI余5,即三5（modll）。

偶數(shù)，則它的十位數(shù)字一定是偶數(shù)。

4）一個(gè)數(shù)如果是完全平方數(shù)，則它的因數(shù)中，每個(gè)因數(shù)都

有一對(duì)相等的因數(shù)。

例如，16的因數(shù)為1、2、4、8、16,其中

1x16=2x8=4x4=16,都是16的因數(shù)對(duì)。

完全平方數(shù)是指一個(gè)數(shù)能夠表示成某個(gè)整數(shù)的平方的形式,

例如4、9、16等。它們有一些特征，如末位數(shù)字只能是0、1、

4、5、6、9,奇數(shù)的平方的個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)，十位數(shù)字是偶數(shù),

如果十位數(shù)字是奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)字一定是6,反之亦然。此外,

一個(gè)數(shù)如果是完全平方數(shù)，則它的因數(shù)中，每個(gè)因數(shù)都有一對(duì)

相等的因數(shù)。

在數(shù)論中，還有一些重要的概念和定理，如輾轉(zhuǎn)相除法、

歐幾里得算法、費(fèi)馬小定理、同余問題和中國剩余定理等。輾

轉(zhuǎn)相除法是求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的一種方法，歐幾里得算法

是輾轉(zhuǎn)相除法的一種改進(jìn)方法，費(fèi)馬小定理是一個(gè)關(guān)于質(zhì)數(shù)和

整數(shù)的定理，同余問題是求除數(shù)的問題，中國剩余定理是求被

除數(shù)的問題，其中口訣法適用于3、5、7這三個(gè)數(shù)。

最后，完全平方數(shù)和這些概念和定理在數(shù)學(xué)中有著廣泛的

應(yīng)用，如密碼學(xué)、編碼和計(jì)算機(jī)科學(xué)等領(lǐng)域。掌握它們的概念

和應(yīng)用，對(duì)于我們的數(shù)學(xué)研究和實(shí)際生活都有著重要的意義。

1.完全平方數(shù)的特征：

個(gè)位數(shù)字只能是0.1.456.9；

十位數(shù)字一定是奇數(shù)；

奇數(shù)的平方是8n+l型，偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)；

完全平方數(shù)的形式一定是3k或3k+l,4k或4k+l,16m,

16m+1,16m+4,16m+9；

質(zhì)數(shù)p能整除完全平方數(shù)a,則p2也能整除a；

一個(gè)自然數(shù)n是完全平方數(shù)的充要條件是n有奇數(shù)個(gè)因數(shù);

任何四個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積加1