專題11等差數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用歸類（原卷版）

專題11等差數(shù)列性質(zhì)及應(yīng)用歸類一、鞏固提升練【題型一】等差數(shù)列定義【題型二】等差數(shù)列“高斯計(jì)巧”【題型三】雙數(shù)列等差中項(xiàng)比值型【題型四】奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和型【題型五】等差數(shù)列單調(diào)性與最值【題型六】等差數(shù)列正負(fù)型不等式判斷【題型七】等差數(shù)列恒成立求參【題型八】跳項(xiàng)型等差數(shù)列【題型九】整數(shù)型比值【題型十】范圍型【題型十一】絕對(duì)值型求和【題型十二】等差數(shù)列與三角函數(shù)綜合二、能力培優(yōu)練熱點(diǎn)好題歸納【題型一】等差數(shù)列定義知識(shí)點(diǎn)與技巧：等差數(shù)列常用結(jié)論若{an}為等差數(shù)列，公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，則有：(1)下標(biāo)意識(shí)：若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an，特別地，若p＋q＝2k，則ap＋aq＝2ak；(2)隔項(xiàng)等差：數(shù)列ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列；(3)分段等差：數(shù)列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…是公差為nd的等差數(shù)列；(4)數(shù)列{eq\f(Sn,n)}是公差為eq\f(d,2)的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式eq\f(Sn,n)＝eq\f(d,2)n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))；1.（2023·河北唐山·模擬）設(shè)甲：為等比數(shù)列；乙：為等比數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2.（2022上·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）若數(shù)列為等差數(shù)列，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．?dāng)?shù)列，，，…，…為等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列，，，…，，…為等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列3.（2019·高二課時(shí)練習(xí)）現(xiàn)有下列命題：①若，則數(shù)列是等差數(shù)列；②若，則數(shù)列是等差數(shù)列；③若（b、c是常量），則數(shù)列是等差數(shù)列．其中真命題有（

）．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)4.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）若等差數(shù)列的公差為d，（c為常數(shù)且），則（

）A．?dāng)?shù)列是公差為d的等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列是公差為cd的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)為c的等差數(shù)列D．?dāng)?shù)列不是等差數(shù)列5.（2022高二課時(shí)練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則a+2，b+2，c+2成等差數(shù)列，D．若a，b，c成等差數(shù)列，則成等差數(shù)列【題型二】等差數(shù)列“高斯技巧”知識(shí)點(diǎn)與技巧：等差數(shù)列下標(biāo)公式性質(zhì)，稱為“高斯技巧”。若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋an，特別地，若p＋q＝2k，則ap＋aq＝2ak；1.（2023春·新疆喀什·高二校考期中）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（

）A．150 B．160 C．170 D．1802.（2023春·河南新鄉(xiāng)·高二?？茧A段練習(xí)）數(shù)列為等差數(shù)列，若，則（

）A．8 B．9 C．10 D．123.（2023春·河南南陽·高二校考階段練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．18 B．12 C．9 D．64.（2023春·廣東深圳·高二校聯(lián)考期中）若前項(xiàng)和為的等差數(shù)列滿足，則.5.（2022秋·上海奉賢·高二?？计谥校┮阎矫鎯?nèi)有四點(diǎn)，且任意三點(diǎn)不共線，點(diǎn)為平面外一點(diǎn)，數(shù)列為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，則.【題型三】雙數(shù)列等差中項(xiàng)比值型知識(shí)點(diǎn)與技巧：雙等差數(shù)列等差中項(xiàng)比值型性質(zhì)：、均為等差數(shù)列且其前項(xiàng)和為、則1.（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別記為與，若，則（）A． B． C． D．2.（2022秋·寧夏銀川·高二校考期中）已知分別是等差數(shù)列與的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．3.（2022春·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為、，且，則等于（

）A． B． C． D．4.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩等差數(shù)列，，前n項(xiàng)和分別是，，且滿足，則（

）A． B． C． D．5.（2021秋·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期中）已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則（）A． B． C． D．15【題型四】奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)和型知識(shí)點(diǎn)與技巧：含項(xiàng)的等差數(shù)列，其奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和之比為1.（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列共有99項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為300，則偶數(shù)項(xiàng)之和為（

）A．300 B．298 C．296 D．2942.（2021春·上海黃浦·高一上海市大同中學(xué)階段練習(xí)）已知某數(shù)列前項(xiàng)之和為，且前個(gè)偶數(shù)列的和為，則前個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．3.（2022·陜西·高二練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為310，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為300.則的值為.A．30 B．31 C．60 D．614.（2023·全國·高二專題練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則的值是（

）A． B． C． D．5.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則的值是A． B． C． D．【題型五】等差數(shù)列單調(diào)性與最值知識(shí)點(diǎn)與技巧：在處理等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值，從以下幾方面思考：①利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)；②利用性質(zhì)求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；③將等差數(shù)列的前n項(xiàng)和(A、B為常數(shù))看作關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值．1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則當(dāng)滿足成立時(shí)，n的最小值為.2.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和能取到最大值，且滿足：，對(duì)于以下幾個(gè)結(jié)論：①數(shù)列是遞減數(shù)列；②數(shù)列是遞減數(shù)列；③數(shù)列的最大項(xiàng)是；④數(shù)列的最小的正數(shù)是．其中正確的序號(hào)是．3.（2022·全國·高二專題練習(xí)）等差數(shù)列滿足：，則其公差的取值范圍為.4.（2020·寧夏銀川·銀川唐徠回民中學(xué)?？家荒＃┮阎铝兴膫€(gè)命題：（1）等差數(shù)列一定是單調(diào)數(shù)列（2）等差數(shù)列的前項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列一定不是單調(diào)數(shù)列（3）已知等比數(shù)列的公比為，若,則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列（4）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的最大值一定在處取到.其中錯(cuò)誤的有（填寫所有錯(cuò)誤的命題的序號(hào)）5.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)公差為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為.【題型六】等差數(shù)列正負(fù)型不等式判斷知識(shí)點(diǎn)與技巧：在處理等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值時(shí)，往往轉(zhuǎn)化為判定的符號(hào)變化：①若，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)最大；②若，當(dāng)時(shí)，則當(dāng)且僅當(dāng)最??；③若最大，則.1.（2023秋·新疆喀什·高二統(tǒng)考期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．2.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，下列為真命題的序號(hào)為（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．②④ D．③④3.（2023·高二課時(shí)練習(xí)）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列 D．4.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為d，為其前n項(xiàng)和，若滿足，給出下列說法：①；②；③；④當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確說法的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．45.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【題型七】等差數(shù)列恒成立求參1.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，若不等式，對(duì)恒成立，則整數(shù)的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．52.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，首項(xiàng)，公差，若對(duì)任意的，總存在，使．則的最小值為（

）A． B． C． D．3.首項(xiàng)為正數(shù)的遞減等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意項(xiàng)序數(shù)，總存在正整數(shù)，滿足，則的最小值為______．4.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和，若實(shí)數(shù)使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是________.5.已知是首項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，若是與無關(guān)的常數(shù)，則______.【題型八】跳項(xiàng)型等差數(shù)列1..知數(shù)列滿足,,記,則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．2.已知兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11，…和3，7，11，…都有200項(xiàng)，則它們的公共項(xiàng)的個(gè)數(shù)有________．3.等差數(shù)列中，，，則其公差的值為（

）A． B． C． D．4.將數(shù)列與的公共項(xiàng)從小到大排列得數(shù)列，則______.5.已知數(shù)列對(duì)任意的有，若,則_______.【題型九】整數(shù)型比值1.已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，且=，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．72.已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，若，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n共有（

）個(gè)A．3 B．4 C．5 D．63.已知兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．64.已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．55.已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且，則使得為整數(shù)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是A．2 B．3 C．4 D．5【題型十】范圍型1.在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．2.如果a1，a2，，a8為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，那么（

）A． B．C． D．3.已知等差數(shù)列滿足，若，則k的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．114.已知等差數(shù)列滿足，，，若對(duì)任意正整數(shù)，恒有，則正整數(shù)的值是（

）A．6 B．5 C．4 D．75.若是等差數(shù)列，首項(xiàng)，則使成立的最大自然數(shù)n是.A．20 B．37 C．38 D．40【題型十一】絕對(duì)值型求和1.已知數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝2，a1＝－5，則|a1|＋|a2|＋＋|a6|＝（

）A．9 B．15 C．18 D．302.設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且，則正整數(shù)m的最大值是A．4 B．5 C．6 D．73.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，，則其前項(xiàng)的和為______.吉林省長春市東北師大附中、黑龍江省大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)2022屆高二聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題4.已知等差數(shù)列滿足：，則正整數(shù)的最大值為________5.等差數(shù)列，滿足，則（）A．的最大值為50 B．的最小值為50C．的最大值為51 D．的最小值為51【題型十二】等差數(shù)列與三角函數(shù)綜合1..設(shè)等差數(shù)列滿足：，公差.若當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，則首項(xiàng)的取值范圍是（

）A． B．C． D．2.已知數(shù)列滿足，且，若函數(shù)，記，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A．2017 B．﹣2017 C．0 D．13..數(shù)列滿足，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為__________．4.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則________.5.設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為0的遞增數(shù)列，，滿足：對(duì)于任意的總有兩個(gè)不同的根，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_________.培優(yōu)練1.．（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2.（2016·山西·統(tǒng)考二模）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則.3.（2022·全國·高二假期作業(yè)）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（

）A． B． C．2 D．34.（2011春·江西吉安·高一階段練習(xí)）等差數(shù)列共有項(xiàng)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為310，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為300，則的值為（）A．30 B．31 C．60 D．615.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知{an}是等差數(shù)列，d為其公差，Sn是其前n項(xiàng)和，若只有S4是{Sn}中的最小項(xiàng)，則可得出的結(jié)論中正確的是．①d>0

②a4<0

③a5>0

④S7<0

⑤S8>06.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，若數(shù)列滿足，則m＝（

）A．9 B．10 C．19 D．207.（2023·四川自貢·統(tǒng)考）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公差為d，若，，則下列四個(gè)命題正確個(gè)數(shù)為（

）①為的最小值

②

③，

④為的最小值A(chǔ)．1 B．2