專(zhuān)題01 空間基底與綜合應(yīng)用 （原卷版）

專(zhuān)題01空間基底及綜合應(yīng)用一、鞏固提升練【題型一】基地判斷【題型二】基底求參【題型三】?jī)商谆椎淖鴺?biāo)互化【題型四】空間幾何體基地發(fā)求向量【題型五】空間三點(diǎn)共線(xiàn)求參【題型六】空間點(diǎn)共面求參【題型七】空間向量共面求參數(shù)【題型八】利用基底求數(shù)量級(jí)【題型九】利用基底求數(shù)量積的范圍【題型十】基底求空間向量長(zhǎng)度【題型十一】利用基底求空間長(zhǎng)度最值【題型十二】空間向量基底型大題1：兩點(diǎn)距離【題型十三】空間向量基底型大題2：向量夾角【題型十四】空間向量基底型答題3：綜合證明二、能力培優(yōu)練好題歸納【題型一】基底判斷知識(shí)點(diǎn)與技巧：如果三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使得

．其中，把叫做空間的一個(gè)基底，，，都叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．1.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間基底的是（

）A． B． C． D．2.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知是空間的一個(gè)基底，若，，則下列與，構(gòu)成一組空間基底的是（

）A． B．C． D．3.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是（

）A． B． C． D．4.（2022秋·浙江金華·高二校聯(lián)考期末）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間另一個(gè)基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，5.（2022秋·江西南昌·高二校聯(lián)考期末）若構(gòu)成空間向量的一組基底，則下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，6.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）若是空間向量的一組基底，向量，，則可以與，構(gòu)成空間向量的另一組基底的向量是（

）A． B． C． D．【題型二】基底求參1.（2023春·福建福州·高一校聯(lián)考期中）已知與不共線(xiàn)，是一組基底，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.（2023秋·湖北隨州·高二隨州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，，若三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則實(shí)數(shù)的值為.3.（2022秋·浙江·高二浙江省余姚市第五中學(xué)校聯(lián)考期中）已知，，，如果，，三個(gè)向量不能構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系上的一組基底，則實(shí)數(shù)為（

）A．0 B．9 C．5 D．34.（2022秋·北京西城·高二北師大二附中校考階段練習(xí)）已知，，，若，，三向量不能構(gòu)成空間向量的一組基底，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．0 B．5 C．9 D．5.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若是空間的一個(gè)基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（

）A． B． C． D．【題型三】?jī)商谆椎淖鴺?biāo)互化知識(shí)點(diǎn)與技巧：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檎较?、以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、之軸，它們都叫做坐標(biāo)軸．這時(shí)就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，O叫做原點(diǎn)，，，都叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為平面，平面，平面，它們把空間分成八個(gè)部分．（1）空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)：在單位正交基底下與向量對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組，叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)_．（2）空間直角坐標(biāo)系中向量的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系中，給定向量，作．由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，使．有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標(biāo)系之中的坐標(biāo)，上式可簡(jiǎn)記作．1.（2022秋·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知向量是空間向量的一組基底，向量，，是空間向量的另外一組基底，若一向量在基底下的坐標(biāo)為，，，則向量在基底，，下的坐標(biāo)為（

）A．，， B．，， C．，， D．，，2.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)是空間中的一個(gè)單位正交基底，已知向量，其中，，，則向量在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．3．（2022秋·廣東珠海·高二珠海市第一中學(xué)?？计谀┮阎蛄吭诨紫碌淖鴺?biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．4.（2022秋·安徽滁州·高二校考階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，若，則向量在基底下的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．5.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知是空間的一個(gè)單位正交基底，向量，是空間的另一個(gè)基底，向量在基底下的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【題型四】空間幾何體基底法求向量知識(shí)點(diǎn)與技巧：用基底表示向量的步驟(1)定基底：根據(jù)已知條件，確定三個(gè)不共面的向量構(gòu)成空間的一個(gè)基底．(2)找目標(biāo)：用確定的基底(或已知基底)表示目標(biāo)向量，需要根據(jù)三角形法則及平行四邊形法則，結(jié)合相等向量的代換、向量的運(yùn)算進(jìn)行變形、化簡(jiǎn)，最后求出結(jié)果．(3)下結(jié)論：利用空間的一個(gè)基底{a，b，c}可以表示出空間所有向量．表示要徹底，結(jié)果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．1.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在三棱錐中，設(shè)，，，若，，則（

）A． B． C． D．2.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，OABC是四面體，G是的重心，是OG上一點(diǎn)，且，則（

）A． B．=C．= D．=3.（2022·河北省唐縣第一中學(xué)高一期中）如圖，已知空間四邊形OABC，其對(duì)角線(xiàn)為OB，AC.M，N分別是對(duì)邊OB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線(xiàn)段MN上，，現(xiàn)用基向量表示向量，設(shè)，則的值分別是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，4.（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在三棱錐中，P為內(nèi)一點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．5.（2022·河南新鄉(xiāng)·高二期末（理））在正方體中，P為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，O為EF的中點(diǎn)，直線(xiàn)PE交直線(xiàn)于點(diǎn)Q，直線(xiàn)PF交直線(xiàn)于點(diǎn)R，則（

）A． B．C． D．【題型五】空間三點(diǎn)共線(xiàn)求參知識(shí)點(diǎn)與技巧：1、對(duì)任意兩個(gè)空間向量，的充要條件是存在實(shí)數(shù)，使．2、A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)條件：存在實(shí)數(shù)，使1.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在四面體OABC中，點(diǎn)M，N分別為OA、BC的中點(diǎn)，若，且G、M、N三點(diǎn)共線(xiàn)，則______．2.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）設(shè)，是空間中兩個(gè)不共線(xiàn)的向量，已知，，，且三點(diǎn)共線(xiàn)，則的值為（

）A． B． C． D．3.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）在四面體中，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，若，且，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則A． B． C． D．4.（2019·全國(guó)·高三競(jìng)賽）設(shè)P，A，B，C為空間不同的四點(diǎn)，且a+β+γ=(a、β、γ∈R).則a+β+γ=0且aβγ≠0是A、B、C三點(diǎn)共線(xiàn)的.A．充要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既不充分又不必要條件5.（2020秋·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)，，三點(diǎn)共線(xiàn)，則．【題型六】空間點(diǎn)共面求參數(shù)知識(shí)點(diǎn)與技巧：（1）共面向量：平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（2）空間向量共面的充要條件：向量與不共線(xiàn)向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使．1.（2020秋·遼寧大連·高二大連八中?？茧A段練習(xí)）已知為空間任意一點(diǎn)，若，則四點(diǎn)（

）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無(wú)法判斷2.（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，是空間向量的一組基底，，，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面．則實(shí)數(shù)的值為．3.（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)P與不共線(xiàn)的三點(diǎn)A，B，C共面，且對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，都有，則＝4．（2023·全國(guó)·高二假期作業(yè)）已知A，B，C，D四點(diǎn)共面且任意三點(diǎn)不共線(xiàn)，平面外一點(diǎn)O，滿(mǎn)足，則．5.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知是不共面向量，，若三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù).【題型七】空間向量共面求參數(shù)1.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在四面體中，空間的一點(diǎn)滿(mǎn)足，若，，共面，則．2.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知、、不共面，若，則．3.（2022秋·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？奸_(kāi)學(xué)考試）有以下命題：①若（），則與、共面；②若與、共面，則（）；③若（），則M、P、A、B共面；④若M、P、A、B共面，則（）.則所有真命題的序號(hào)為.4.（2021·高二課時(shí)練習(xí)）已知向量，，是三個(gè)不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，則．5.（2022·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)λ等于.【題型八】利用基底求數(shù)量積知識(shí)點(diǎn)與技巧：（1）已知兩個(gè)非零向量，，則向量的模長(zhǎng)與在向量方向上的投影的乘積叫做，的數(shù)量積，記作．即．零向量與任意向量的數(shù)量積為0．（2）由數(shù)量積的定義，可以得到：；_1.（2022秋·北京·高二北京十五中?？计谥校┰陂L(zhǎng)方體中，設(shè)，，則．2.（2023秋·新疆·高二校聯(lián)考期末）如圖，在棱長(zhǎng)為的正四面體中，分別為棱的中點(diǎn)，則．

3.（2023·全國(guó)·高二課堂例題）如圖所示，空間四邊形每條邊和對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)都為a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn)，則．

4.（2023春·安徽六安·高一六安一中?？计谀┢叫辛骟w中，，，，動(dòng)點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1，且兩兩夾角為，求的值是．【題型九】基底求數(shù)量積范圍最值1.（2023·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若、、是棱長(zhǎng)為的正四面體棱上互不相同的三點(diǎn)，則的取值范圍是.2.（2023秋·湖北荊州·高二沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，平面ABC，于點(diǎn)E，M是AC的中點(diǎn)，，則的最小值為．3.（2023·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若MN是該四面體外接球的一條直徑，則的最小值是.4.（2022·浙江溫州·高二?？茧A段練習(xí)）正四面體的棱長(zhǎng)為，空間動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則的取值范圍是.5.（2022秋·河北張家口·高二校聯(lián)考期中）球O為正四面體的內(nèi)切球，，是球O的直徑，點(diǎn)M在正四面體的表面運(yùn)動(dòng)，則的最大值為．【題型十】基底求空間長(zhǎng)度知識(shí)點(diǎn)與技巧：1.在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，則兩點(diǎn)間的距離___．2.1.（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在平形六面體，其中，，，，，則的長(zhǎng)為2.．（2022·上海·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，已知線(xiàn)段AB在平面內(nèi)，線(xiàn)段AC⊥，線(xiàn)段BD⊥AB，線(xiàn)段⊥，=30°，如果AB=a，AC=BD=b，則C、D間的距離為；3.（2021秋·福建三明·高二?？茧A段練習(xí)）圖，的二面角的棱上有A?B兩點(diǎn)，直線(xiàn)?分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于.已知，則長(zhǎng)度為.4.（2021秋·福建南平·高二?？计谥校⑦呴L(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角，若點(diǎn)P滿(mǎn)足，則的值為．5.（2022秋·陜西銅川·高二校考階段練習(xí)）已知空間向量的模長(zhǎng)分別為，且兩兩夾角均為.點(diǎn)為的重心，若，，則.【題型十一】利用基底求空間向量長(zhǎng)度最值1.（2022·高二課時(shí)練習(xí)）正方體的棱長(zhǎng)為3，為空間一點(diǎn)，為底面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，異面直線(xiàn)與所成角為30°，則線(xiàn)段長(zhǎng)度最小值為（

）A． B． C． D．2..（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知的頂點(diǎn)平面,點(diǎn)B,C在平面異側(cè),且,,若,與所成的角分別為,,則線(xiàn)段長(zhǎng)度的取值范圍為.3.（2023·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）已知空間向量，，，滿(mǎn)足：，，，，則的最大值為．4.（2023秋·遼寧錦州·高二渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，在四棱臺(tái)中，，，則的最小值為.【題型十二】空間向量基底型大題1:兩點(diǎn)距離1.（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，在平行六面體中，點(diǎn)M是線(xiàn)段的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段上，且，．

(1)求滿(mǎn)足的實(shí)數(shù)x，y，z的值．(2)求MN的長(zhǎng)．2.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四面體ABCD中，，，，.(1)求的值；(2)已知F是線(xiàn)段CD中點(diǎn)，點(diǎn)E滿(mǎn)足，求線(xiàn)段EF的長(zhǎng).3.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，M、N分別是四面體OABC的棱OA、BC的中點(diǎn)，P、Q是MN的三等分點(diǎn)（點(diǎn)P靠近點(diǎn)N），若，解答下列問(wèn)題：(1)以為基底表示；(2)若，，，求的值．【題型十三】空間向量基底型大題2:向量夾角知識(shí)點(diǎn)與技巧：夾角（1）求異面直線(xiàn)所成的角若兩異面直線(xiàn)所成角為，它們的方向向量分別為，則有=.（2）求直線(xiàn)和平面所成的角設(shè)直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，直線(xiàn)與平面所成的角為，與的角為，則有=.（3）求二面角如圖，若于A，于B，平面PAB交于E，則為二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°.若二面角的平面角的大小為，其兩個(gè)面的法向量分別為，則==（4）求平面與平面的夾角平面與平面相交，形成四個(gè)二面角，把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱(chēng)為平面與平面的夾角=.1.（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高二東北師大附中?？计谥校┤鐖D，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，，，，，，為中點(diǎn).

(1)用空間的一個(gè)基底表示，；(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值.2.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，正四面體的高的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為.

(1)求證：，，兩兩垂直；(2)求.3.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，平行六面體中，，，(1)求對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度；(2)求異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．【題型十四】空間向量基底型大題3:綜合證明1.（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在四面體中，設(shè).(1)若是的中點(diǎn)，用表示；(2)若兩兩垂直，證明：為銳角三角形.2.（2022·高二單元測(cè)試）在正四面體中，，，，分別是，，，的中點(diǎn)．設(shè)，，．(1)用，，表示，；(2)求證：，，，四點(diǎn)共面；(3)求證：四邊形為矩形．3.（2023秋·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點(diǎn)．(1)用，，表示向量；(2)在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的位置，若不存在，說(shuō)明理由．一、單選題1．（2023秋·福建莆田·高三校考開(kāi)學(xué)考試）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱(chēng)為陽(yáng)馬．如圖，四棱錐為陽(yáng)馬，平面，且，若，則（

）A． B．C． D．2．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)，，則（

）

A．B．C．D．3．（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知，如圖，在平行六面體中，，則用向量可表示向量為（

）A． B． C． D．4．（2023秋·河北保定·高二校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，5．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若P是與的交點(diǎn)，M是的中點(diǎn)，則（

）

A．5 B．7 C．3 D．6．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若是空間的一個(gè)基底，且向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則（

）A． B． C． D．7．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）在四面體中（如圖），平面平面，是等邊三角形，，，M為的中點(diǎn)，N在側(cè)面上（包含邊界），若，則下列正確的是（

）

A．若，則∥平面 B．若，則C．當(dāng)最小時(shí)， D．當(dāng)最大時(shí)，8．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）在正四棱錐中，若，，平面與棱交于點(diǎn)，則四棱錐與四棱錐的體積比為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是（

）A．B．C．D．10．（2023春·湖南岳陽(yáng)·高二校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體ABCD-A1B1C1D1，其中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)均為6，且它們彼此的夾角都是60°，下列說(shuō)法中正確的是（

）

A． B．向量與的夾角是60°C．AC1⊥DB D．BD1與AC所成角的余弦值為11．（2023春·湖北荊門(mén)·高二統(tǒng)考期末）在正方體中，，則（

）A．B．與平面所成角為C．當(dāng)點(diǎn)在平