復(fù)變函數(shù)第一章講義

引言復(fù)數(shù)理論的產(chǎn)生、發(fā)展經(jīng)歷了漫長(zhǎng)而又艱難的歲月。復(fù)數(shù)是16世紀(jì)人們?cè)诮獯鷶?shù)方程時(shí)引入的。1545年意大利數(shù)學(xué)物理學(xué)家在所著《重要的藝術(shù)》一書中列出并解出將分成兩部分，使其積為的問題，即求方程的根。他求出形式的根為和，積為。但由于這只是單純從形式上推廣而引進(jìn)，并且人們?cè)染鸵褦嘌载?fù)數(shù)開平方是沒有意義的。因而復(fù)數(shù)在歷史上長(zhǎng)期不能為人們所接受。“虛數(shù)”這一名詞就恰好反映了這一點(diǎn)。直到十八世紀(jì)，，等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義與物理意義，建立了系統(tǒng)的復(fù)數(shù)理論，從而使人們綞接受并理解了復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)函數(shù)和理論基礎(chǔ)是在十九世紀(jì)奠定的，主要是圍繞、和三人的工作進(jìn)行的。到本世紀(jì)，復(fù)數(shù)函數(shù)論是數(shù)學(xué)的重要分支之一，隨著它的領(lǐng)域不斷擴(kuò)大而發(fā)展成龐大的一門學(xué)科，在自然科學(xué)其它學(xué)科及數(shù)學(xué)的其它分支中，復(fù)數(shù)函數(shù)論都有著重要應(yīng)用。第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)平面上點(diǎn)集的個(gè)概念教學(xué)基本要求：1、了解復(fù)數(shù)定義及其幾何意義，熟練掌握復(fù)數(shù)運(yùn)算2、知道無窮遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域3、了解單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域4、理解復(fù)變函數(shù)、極限與連續(xù)§1復(fù)數(shù)1、復(fù)數(shù)域形如或的數(shù)，稱為復(fù)數(shù)，其中和均是實(shí)數(shù)，分別稱為的實(shí)部和虛部，記作，；稱為虛單位。兩個(gè)復(fù)數(shù)，，.虛部為零的復(fù)數(shù)可看作實(shí)數(shù)。因此，全體實(shí)數(shù)是全體復(fù)數(shù)的一部分。和稱為互為共軛復(fù)數(shù)，記為或.復(fù)數(shù)四則運(yùn)算規(guī)定為：易驗(yàn)證復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算滿足與實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算相應(yīng)的運(yùn)算規(guī)律。全體復(fù)數(shù)并引進(jìn)上述運(yùn)算后稱為復(fù)數(shù)域，必須特別提出的是，在復(fù)數(shù)域中，復(fù)數(shù)是不能比較大小的。2、復(fù)平面一個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)際上是由一對(duì)有序?qū)崝?shù)唯一確定，因此，若平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)，就建立了平面上全部的點(diǎn)和全體復(fù)數(shù)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。由于軸上的點(diǎn)和軸上非原點(diǎn)的點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)著實(shí)數(shù)和純虛數(shù)，因而通常稱軸為實(shí)軸，軸為虛軸，這樣表示復(fù)數(shù)的平面稱為復(fù)平面或平面。3、復(fù)數(shù)的模與幅角由圖1-1中可以知道，與從原點(diǎn)到點(diǎn)所引的向量也構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。從而，我們能夠借助于的極坐標(biāo)和來確定點(diǎn)，的長(zhǎng)度稱為復(fù)數(shù)的模，記為根據(jù)向量的運(yùn)算及幾何知識(shí)，得到兩個(gè)重要的不等式：與實(shí)軸正向間的夾角滿足稱為的幅角（），記作，任一非復(fù)數(shù)均有無窮多個(gè)幅角，以表示其中一個(gè)特定值，并稱滿足條件的一個(gè)值為的主值或的主幅角，則有注：當(dāng)時(shí)，，幅角無意義從直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系有（三角形式）（1）若引進(jìn)著名的公式：，則（1）可化為（指數(shù)形式）（2），由（2）及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可推得,因此，，,特別地，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有（公式）例1.1求及用與表示的式子。4、曲線的復(fù)數(shù)方程例1.2連接及兩點(diǎn)的線段的參數(shù)方程為：連接及兩點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為：例1.3平面上以原點(diǎn)心，為半徑的圓周的方程為，平面上以為心，為半徑的圓周的方程為例1.4平面上實(shí)軸的方程為虛軸的方程為§2復(fù)平面上的點(diǎn)集1、幾個(gè)基本概念定義1.1滿足不等式的所有點(diǎn)組成的平面點(diǎn)集稱為的-鄰域，記為.定義1.2設(shè)為一平面點(diǎn)集，若點(diǎn)的任意鄰域內(nèi)均有的無窮多個(gè)點(diǎn)，則稱為的聚點(diǎn)；若使得則稱為的內(nèi)點(diǎn)。定義1.3若上的每個(gè)聚點(diǎn)都屬于，則稱為閉集；若的所有點(diǎn)均為內(nèi)點(diǎn)，則稱為開集。定義1.4若，均有，則稱為有界集，否則稱為無界集。2、區(qū)域與曲線定義1.5若非空點(diǎn)集滿足下列兩個(gè)條件：（1）為開集（2）中任意兩點(diǎn)均可用全在中的折線連接起來，則稱為區(qū)域。得也是一條射線.且與射線L重合。

(3)設(shè).因，故，因故u=4，又當(dāng)Z在雙曲線上變動(dòng)時(shí)在（-∞，+∞）上變動(dòng)。因此.Z的象是這樣的點(diǎn)：其實(shí)部U恒為4.其實(shí)部∈（-∞，+∞），因此滿足上述條件的點(diǎn)所成立之集是平行于虛軸的一條直線U=4。2.復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性定義1.16設(shè)于點(diǎn)集上有定義，為的聚點(diǎn)。如果存在一復(fù)數(shù)，使對(duì)任給的，有，只要,。就有則稱函數(shù)沿于有極限。并記為。注極限與趨于的方式無關(guān)。即要沿從四面八方通向的任何路徑趨于。這是與實(shí)函數(shù)的極限的不同之處。

下述定理給出了復(fù)變函數(shù)極限與其實(shí)部和虛部極限的關(guān)系

定理1.2設(shè)函數(shù)于點(diǎn)集上有定義，，則

的充要條件是

證由極限定義易證。

下面再引入復(fù)變函數(shù)連續(xù)性的概念，其定義與實(shí)函數(shù)的連續(xù)性是相似的。

定義1.17設(shè)子點(diǎn)集上有定義，為的聚點(diǎn)，且。若

即對(duì)任給的，只要，，就有

則稱沿于連續(xù)。

定理1.3設(shè)函數(shù)于點(diǎn)集上有定義，，則沿在點(diǎn)連續(xù)的充要條件是：二元實(shí)變函數(shù)，沿于點(diǎn)連續(xù)。

上述定理告訴我們：判斷復(fù)變函數(shù)是否連續(xù)，只需看其實(shí)部、虛部是否連續(xù)。例設(shè)試證在原點(diǎn)無極限，從而在原點(diǎn)不連續(xù)。

證令變點(diǎn)，則

從而（沿正實(shí)軸）而沿第一象限的平分角線，時(shí)，。故在原點(diǎn)無確定的極限，從而在原點(diǎn)不連續(xù)。例試證不存在。證設(shè)，則，于是顯然，k取不同值時(shí)，值也不同，故極限不存在。定義1.18如函數(shù)在點(diǎn)集上各點(diǎn)均連續(xù)，則稱在上連續(xù)。例設(shè)在點(diǎn)連續(xù)，且，則在點(diǎn)的某以鄰域內(nèi)恒不為0.

證因在點(diǎn)連續(xù)，則，只要，就有特別，取，則由上面的不等式得

因此，在鄰域內(nèi)就恒不為0。在數(shù)學(xué)分析中，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有三個(gè)重要性質(zhì)：有界性、達(dá)到最值及一致連續(xù)性，對(duì)復(fù)變函數(shù)也有類似性質(zhì)。定理1.4聚點(diǎn)定理：每一個(gè)有界無窮點(diǎn)集至少有一個(gè)聚點(diǎn)。定理1.5閉集套定理：無窮閉集列至少有一個(gè)為有界且是的直徑,則必有唯一的一點(diǎn)。定理1.6覆蓋定理：設(shè)有界閉集的每一點(diǎn)