多元線性回歸與曲線擬合

第十章：多元線性回歸與曲線擬合――

Regression菜單詳解（上）回歸分析是處理兩個及兩個以上變量間線性依存關系的統(tǒng)計方法。在醫(yī)學領域中，此類問題很普遍，如人頭發(fā)中某種金屬元素的含量與血液中該元素的含量有關系，人的體表面積與身高、體重有關系；等等?；貧w分析就是用于說明這種依存變化的數(shù)學關系?！?0.1Linear過程10.1.1簡單操作入門調(diào)用此過程可完成二元或多元的線性回歸分析。在多元線性回歸分析中，用戶還可根據(jù)需要，選用不同篩選自變量的方法（如：逐步法、向前法、向后法，等）。例10.1：請分析在數(shù)據(jù)集Fatsurfactant.sav中變量fat對變量spovl的大小有無影響？顯然，在這里spovl是連續(xù)性變量，而fat是分類變量，我們可用用單因素方差分析來解決這個問題。但此處我們要采用和方差分析等價的分析方法--回歸分析來解決它。回歸分析和方差分析都可以被歸入廣義線性模型中，因此他們在模型的定義、計算方法等許多方面都非常近似，下面大家很快就會看到。這里spovl是模型中的因變量，根據(jù)回歸模型的要求，它必須是正態(tài)分布的變量才可以，我們可以用直方圖來大致看一下，可以看到基本服從正態(tài)，因此不再檢驗其正態(tài)性，繼續(xù)往下做。10.1.1.1界面詳解在菜單中選擇Regression==>liner，系統(tǒng)彈出線性回歸對話框如下：除了大家熟悉的內(nèi)容以外，里面還出現(xiàn)了一些特色菜，讓我們來一一品嘗?！綝ependent框】用于選入回歸分析的應變量?！綛lock按鈕組】由Previous和Next兩個按鈕組成，用于將下面Independent框中選入的自變量分組。由于多元回歸分析中自變量的選入方式有前進、后退、逐步等方法，如果對不同的自變量選入的方法不同，則用該按鈕組將自變量分組選入即可。下面的例子會講解其用法?！綢ndependent框】用于選入回歸分析的自變量?！綧ethod下拉列表】用于選擇對自變量的選入方法，有Enter（強行進入法）、Stepwise（逐步法）、Remove（強制剔除法）、Backward（向后法）、Forward（向前法）五種。該選項對當前Independent框中的所有變量均有效。模型系數(shù)b系數(shù)標準誤系數(shù)βt值P值1常數(shù)5.0970.42711.9230.000fat0.7000.2020.5783.4730.00210.1.2復雜實例操作10.1.2.1分析實例例10.2：請分析在數(shù)據(jù)集plastic.sav中變量extrusn、additive、gloss和opacity對變量tear_res的大小有無影響？已知extrusn對tear_res的大小有影響。顯然，這里是一個多元回歸，由于除了extrusn確有影響以外，我們不知道另三個變量有無影響，因此這里我們將extrusn放在第一個block，進入方法為enter（我們有把握extrusn一定有統(tǒng)計學意義）；另三個變量放在第二個block，進入方法為stepwise（讓軟件自動選擇判斷），操作如下：Analyze==>Regression==>LinerDependent框：選入tear_resIndependent框：選入extrusn；單擊next鈕Independent框：選入additive、gloss和opacity；Method列表框：選擇stepwise單擊OK鈕10.1.2.2結果解釋最終的結果如下：Regression上面的表格依次列出了模型的篩選過程，模型1用進入法引入了extrusn，然后模型2用stepwise法引入了additive，另兩個變量因沒有達到進入標準，最終沒有進入。上面的表格翻譯出來如下：模型進入的變量移出的變量變量篩選方法1extrusn進入法2additivestepwise法（標準：進入概率小于0.05，移出概率大于0.1）上表是兩個模型變異系數(shù)的改變情況，從調(diào)整的R2可見，從上到下隨著新變量的引入，模型可解釋的變異占總變異的比例越來越大。上表是所用兩個模型的檢驗結果，用的方法是方差分析，可見二個模型都有統(tǒng)計學意義。上表仍然為三個模型中各個系數(shù)的檢驗結果，用的是t檢驗，可見在模型2中所有的系數(shù)都有統(tǒng)計學意義，上表的內(nèi)容翻譯如下：

未標化的系數(shù)標化的系數(shù)

模型

B標準誤Betat值P值1(常數(shù))5.900.265

22.278.000

extrusion.590.167.6393.522.0002(常數(shù))5.315.314

16.926.000

extrusion.590.144.6394.905.000

additive.390.144.4222.707.000這是新出現(xiàn)的一個表格，反映的是沒有進入模型的各個變量的檢驗結果，可見在模型1中，未引入模型的候選變量additive還有統(tǒng)計學意義，可能需要引入，而模型2中沒有引入的兩個變量其P值均大于0.05，無需再進行分析了。10.2CurveEstimation過程CurveEstimation過程可以用與擬合各種各樣的曲線，原則上只要兩個變量間存在某種可以被它所描述的數(shù)量關系，就可以用該過程來分析。但這里我們要指出，由于曲線擬合非常的復雜，而該模塊的功能十分有限，因此最好采用將曲線相關關系通過變量變換的方式轉(zhuǎn)化為直線回歸的形式來分析，或者采用其他專用的模塊分析。10.2.1界面詳解CurveEstimation過程中有特色的對話框界面內(nèi)容如下：下面我們分別解釋一下它們的具體功能?！綝ependent框】用于選入曲線擬和中的應變量，可選入多個，如果這樣，則對各個應變量分別擬合模型。【Independent單選框組】用于選入曲線擬和中的自變量，有兩種選擇，可以選入普通的自變量，也可以選擇時間作為自變量，如果這樣做，則所用的數(shù)據(jù)應為時間序列數(shù)據(jù)格式?！綧odels復選框組】是該對話框的重點，用于選擇所用的曲線模型，可用的有：Linear：擬合直線方程，實際上與Linear過程的二元直線回歸相同；Quadratic：擬合二次方程Y=b0+b1X+b2X2；Compound：擬合復合曲線模型Y=b0×b1X；Growth：擬合等比級數(shù)曲線模型Y=e(b0+b1X)；Logarithmic：擬合對數(shù)方程Y=b0+b1lnX；Cubic：擬合三次方程Y=b0+b1X+b2X2+b3X3；S：擬合S形曲線Y=e(b0+b1/X)；Exponential：擬合指數(shù)方程Y=b0eb1X；Inverse：數(shù)據(jù)按Y=b0+b1/X進行變換；Power：擬合乘冪曲線模型Y=b0Xb1；Logistic：擬合Logistic曲線模型Y=1/（1/u+b0×b1X），如選擇該線型則要求輸入上界。上面的幾種線型和其他的模塊有重復，如Logistic、Liner等，由于本模塊的功能有限，在重復的情況下建議用其它專用模塊來分析?！綢ncludeconstantinequation復選框】確定是否在方程中包含常數(shù)項?！綪lotmodels復選框】要求對模型做圖，包括原始數(shù)值的連線圖和擬合模型的曲線圖?！緎ave鈕】彈出SAVE對話框，用于定義想要存儲的中間結果，如預測值、預測值可信區(qū)間、殘差等。【DisplayANOVAtable復選框】要求顯示模型檢驗的方差分析表。10.2.2實例操作例10.3：錫克試驗陰性率（%）隨著年齡的增長而增高，某地查得兒童年齡（歲）X與錫克試驗陰性率Y的資料如下，試擬合曲線。年齡（歲）1234567錫克試驗陰性率（%）57.176.090.993.096.795.696.2首先對年齡和陰性率作散點圖，發(fā)現(xiàn)兩者有斜率逐漸放緩的曲線趨勢，因此選擇二次曲線模型、三次曲線模型和對數(shù)曲線模型，最終取其中結果最優(yōu)者，做法如下：Analyze==>Regression==>CurveestimationDependant框：選入陰性率Independant框：選入年齡Models復選框組：選擇Quadratic、Curbe、Logarithmatic，取消對Liner的選擇。單擊OK結果如下：CurveFitMODEL:MOD_11.Independent:年齡DependentMthRsqd.f.FSigfb0b1b2b3陰性率LOG.913552.32.00161.325920.6704陰性率QUA.970465.20.00139.271421.8250-2.0036陰性率CUB.9943165.37.00125.571437.4278-6.5702.3806上表給出了所擬合的三個模型的檢驗報告，包括擬合優(yōu)度、模型的檢驗結果和各個系數(shù)值，從檢驗結果看，三個模型均有統(tǒng)計學意義，但從擬合優(yōu)度看，三次方曲線的擬合優(yōu)度最高，似乎應選擇三次方曲線，但注意三次方曲線多一個參數(shù)，要復雜一些，而它的擬合優(yōu)度和二次方曲線相差不大，因此僅從這里的結果還不好對它們兩者作出判斷，下面我們還要看看模型曲線的情況。上圖是三個模型曲線和實際值連線的情況，可見在4歲以前，二次方和三次方曲線對模型的擬合相差不大，4歲以后三次方曲線則要明顯優(yōu)于二次方曲線，但我們的觀察值只有