大一高數(shù)課件第六章

大一高數(shù)課件第六章contents目錄第六章導(dǎo)言第六章基本概念第六章定理與公式第六章例題解析第六章習(xí)題及答案第六章導(dǎo)言01章節(jié)概述第六章主要介紹了微積分的基本概念，包括極限、連續(xù)性、可微性和積分等。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生將建立起對(duì)微積分的基本理解，為后續(xù)章節(jié)的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)目標(biāo)01掌握微積分的基本概念和性質(zhì)。02理解極限、連續(xù)性和可微性的定義和性質(zhì)。學(xué)會(huì)應(yīng)用微積分的基本定理和公式解決實(shí)際問(wèn)題。03提前預(yù)習(xí)在聽(tīng)課過(guò)程中，及時(shí)記錄重點(diǎn)和難點(diǎn)，便于復(fù)習(xí)。做筆記多做練習(xí)參與討論01020403積極參與課堂討論，與同學(xué)分享學(xué)習(xí)心得和解題經(jīng)驗(yàn)。建議學(xué)生在課前預(yù)習(xí)本章內(nèi)容，了解基本概念和定理。通過(guò)大量的練習(xí)題，加深對(duì)微積分基本概念的理解和應(yīng)用。學(xué)習(xí)方法建議第六章基本概念02極限是描述函數(shù)在某一點(diǎn)的變化趨勢(shì)的數(shù)學(xué)工具。對(duì)于函數(shù)$f(x)$，若在$xtoa$的過(guò)程中，$f(x)$的值無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)$L$，則稱$L$為函數(shù)$f(x)$在$xtoa$時(shí)的極限。極限的定義極限具有唯一性、有界性、局部保號(hào)性、四則運(yùn)算法則等性質(zhì)。這些性質(zhì)幫助我們更好地理解極限的概念，并能夠進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明。極限的性質(zhì)極限的定義與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)是描述函數(shù)在某一點(diǎn)切線斜率的數(shù)學(xué)工具。對(duì)于函數(shù)$f(x)$，若在$x=a$處的切線斜率為$f'(a)$，則稱$f'(a)$為函數(shù)$f(x)$在$x=a$處的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)數(shù)具有線性性質(zhì)、可加性、可乘性、鏈?zhǔn)椒▌t等性質(zhì)。這些性質(zhì)幫助我們更好地理解導(dǎo)數(shù)的概念，并能夠進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明。導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)積分的定義與性質(zhì)積分是計(jì)算函數(shù)與坐標(biāo)軸所夾圖形的面積的數(shù)學(xué)工具。對(duì)于函數(shù)$f(x)$，若函數(shù)與坐標(biāo)軸所夾圖形的面積為$A$，則稱$A$為函數(shù)$f(x)$在區(qū)間[a,b]上的定積分。積分的定義積分具有線性性質(zhì)、可加性、可乘性、積分中值定理等性質(zhì)。這些性質(zhì)幫助我們更好地理解積分的概念，并能夠進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明。積分的性質(zhì)第六章定理與公式03極限定理是微積分學(xué)中的基本定理之一，它描述了函數(shù)在某點(diǎn)的極限行為。根據(jù)極限定理，如果一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)附近的行為可以用其極限值來(lái)描述。單側(cè)極限定理是極限定理的一種特殊形式，它描述了函數(shù)在某一點(diǎn)的單側(cè)極限行為。根據(jù)單側(cè)極限定理，如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的左側(cè)或右側(cè)的極限存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)附近的行為可以用其單側(cè)極限值來(lái)描述。夾逼定理是極限定理的一種應(yīng)用，它描述了當(dāng)一個(gè)數(shù)列或函數(shù)被兩個(gè)更容易處理的數(shù)列或函數(shù)所夾逼時(shí)，該數(shù)列或函數(shù)的極限行為。根據(jù)夾逼定理，如果一個(gè)數(shù)列或函數(shù)被兩個(gè)更簡(jiǎn)單的數(shù)列或函數(shù)所夾逼，則該數(shù)列或函數(shù)的極限值可以用這兩個(gè)更簡(jiǎn)單的數(shù)列或函數(shù)的極限值來(lái)描述。極限定理單側(cè)極限定理夾逼定理極限定理導(dǎo)數(shù)定理導(dǎo)數(shù)定理是微積分學(xué)中的基本定理之一，它描述了函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)行為。根據(jù)導(dǎo)數(shù)定理，如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在，則該函數(shù)在該點(diǎn)附近的行為可以用其導(dǎo)數(shù)值來(lái)描述。中值定理中值定理是導(dǎo)數(shù)定理的一種特殊形式，它描述了函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值與該點(diǎn)附近的函數(shù)值之間的關(guān)系。根據(jù)中值定理，如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不為零，則該點(diǎn)附近一定存在一個(gè)點(diǎn)，使得該點(diǎn)的函數(shù)值等于其導(dǎo)數(shù)值。洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則是導(dǎo)數(shù)定理的一種應(yīng)用，它描述了當(dāng)一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)的極限值存在時(shí)，該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值可以用該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的極限值來(lái)描述。根據(jù)洛必達(dá)法則，如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)的極限值存在，則該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的極限值。導(dǎo)數(shù)定理積分定理是微積分學(xué)中的基本定理之一，它描述了函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的積分行為。根據(jù)積分定理，如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的積分存在，則該函數(shù)在該區(qū)間上的行為可以用其積分值來(lái)描述。牛頓-萊布尼茨公式是積分定理的一種特殊形式，它描述了如何計(jì)算一個(gè)函數(shù)的定積分。根據(jù)牛頓-萊布尼茨公式，一個(gè)函數(shù)的定積分等于該函數(shù)在積分區(qū)間上的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值的差值除以2，加上該函數(shù)在積分區(qū)間上的所有零點(diǎn)處的函數(shù)值的和。微積分基本定理是積分定理的一種應(yīng)用，它描述了當(dāng)一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的定積分存在時(shí)，該函數(shù)的定積分可以用其原函數(shù)的定積分的極限值來(lái)描述。根據(jù)微積分基本定理，如果一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的定積分存在，則該函數(shù)的定積分等于其原函數(shù)的定積分的極限值。積分定理牛頓-萊布尼茨公式微積分基本定理積分定理第六章例題解析04極限例題一題目描述了數(shù)列極限的求解方法，通過(guò)觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)，利用極限的定義進(jìn)行求解。極限例題三題目考察了函數(shù)在無(wú)窮大處的極限，通過(guò)分析函數(shù)的變化趨勢(shì)，利用極限的定義進(jìn)行求解。極限例題二題目涉及到了函數(shù)在某一點(diǎn)的極限求解，通過(guò)分析函數(shù)在該點(diǎn)的左右兩側(cè)的變化情況，利用極限的定義進(jìn)行求解。極限例題四題目涉及到了復(fù)合函數(shù)的極限，通過(guò)分析復(fù)合函數(shù)的變化趨勢(shì)，利用極限的定義進(jìn)行求解。極限例題解析題目描述了導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)，通過(guò)分析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)例題一題目涉及到了高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，通過(guò)分析高階導(dǎo)數(shù)的變化規(guī)律，研究函數(shù)的形態(tài)和性質(zhì)。導(dǎo)數(shù)例題二題目考察了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)例題三題目涉及到了復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)分析復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的形態(tài)和性質(zhì)。導(dǎo)數(shù)例題四導(dǎo)數(shù)例題解析積分例題二題目涉及到了變上限積分的計(jì)算，通過(guò)分析變上限積分的性質(zhì)和計(jì)算方法，研究函數(shù)的形態(tài)和性質(zhì)。積分例題四題目涉及到了反常積分的計(jì)算，通過(guò)分析反常積分的性質(zhì)和計(jì)算方法，研究函數(shù)的形態(tài)和性質(zhì)。積分例題三題目考察了積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，利用積分解決實(shí)際問(wèn)題。積分例題一題目描述了定積分的概念和性質(zhì)，通過(guò)分析定積分的幾何意義，研究曲邊梯形的面積問(wèn)題。積分例題解析第六章習(xí)題及答案05計(jì)算題1.求函數(shù)極限；2.求導(dǎo)數(shù)；3.計(jì)算定積分。證明題1.證明羅爾定理；2.證明拉格朗日中值定理。應(yīng)用題1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.利用定積分求平面圖形的面積。習(xí)題答案及解析010203極限題答案及解析答案：$lim_{xto0}frac{sinx}{x}=1$計(jì)算題答案及解析答案及解析解析：根據(jù)極限的性質(zhì)，當(dāng)$x\to0$時(shí)，$\sinx\approxx$，所以$\lim{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\lim{x\to0}\frac{x}{x}=1$。答案$f'(x)=fracotkxobk{dx}(x^2)=2x$要點(diǎn)一要點(diǎn)二解析根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(x)=lim_{Deltaxto0}frac{Deltay}{Deltax}=lim_{Deltaxto0}frac{(x+Deltax)^2-x^2}{Deltax}=lim_{Deltaxto0}frac{2xDeltax+(Deltax)^2}{Deltax}=lim_{Deltaxto0}(2x+Deltax)=2x$。答案及解析VS$int_{0}^{1}x^2dx=frac{1}{3}x^3Big|_{0}^{1}=frac{1}{3}$解析根據(jù)定積分的計(jì)算法則，$int_{0}^{1}x^2dx=frac{1}{3}x^3Big|_{0}^{1}=frac{1}{3}(1^3-0^3)=frac{1}{3}$。答案答案及解析應(yīng)用題答案及解析答案：當(dāng)$a>0$時(shí)，函數(shù)$f(x)=x+a-{(x-a)}^2$在區(qū)間$(-infty,a)$上單調(diào)遞增，在區(qū)間$(a,+infty)$上單調(diào)遞減。極限題答案及解析答案及解析答案及解析解析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，求導(dǎo)得$f'(x)=1-2(x-a)$，令$f'(x)=0$得$x=a$，當(dāng)$f'(x)>0$時(shí)，即$x<a$，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)$f'(x)<0$時(shí)，即$x>a$，函數(shù)單調(diào)遞減。$int_{0}^{2pi}|x|dx=4int_{0}^{pi/2}xdx=4(frac{1}{2}x^2