《復變函數(shù)第3講》課件

《復變函數(shù)第3講》ppt課件目錄復數(shù)與復變函數(shù)復變函數(shù)的極限和連續(xù)性復變函數(shù)的導數(shù)與積分冪級數(shù)與泰勒級數(shù)解析函數(shù)與全純函數(shù)調和函數(shù)與次調和函數(shù)01復數(shù)與復變函數(shù)Part總結詞定義與性質詳細描述復數(shù)是由實數(shù)和虛數(shù)兩部分組成的數(shù)，形式為$z=a+bi$，其中$a$和$b$是實數(shù)，$i$是虛數(shù)單位，滿足$i^2=-1$。復數(shù)具有加法、減法、乘法和除法等運算性質。復數(shù)的概念總結詞：幾何表示詳細描述：復數(shù)在幾何上可以用平面上的點或向量來表示。實軸表示實數(shù)部分，虛軸表示虛數(shù)部分。復數(shù)的模表示點或向量到原點的距離，幅角表示點或向量在實軸上的投影與正實軸之間的夾角。復數(shù)的幾何意義總結詞：運算規(guī)則詳細描述：復數(shù)的乘法運算可以按照分配律進行，如$(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i$。除法運算可以通過乘以共軛復數(shù)的方法進行，如$frac{a+bi}{c+di}=frac{a+bi}{c+di}timesfrac{c-di}{c-di}=frac{ac+bd+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$。復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算02復變函數(shù)的極限和連續(xù)性Part復變函數(shù)的極限定義對于復數(shù)函數(shù)f(z)，若z0是z平面上的一點，當z趨于z0時，f(z)的極限存在，則稱f(z)在z0有極限。性質極限具有唯一性、有界性、局部有界性、局部保序性、局部四則運算性質。計算方法利用極限的運算法則和復合函數(shù)的極限運算法則進行計算。性質連續(xù)性具有傳遞性、局部性、可加性、可乘性和復合性。判定方法利用連續(xù)性的定義和性質進行判定。定義如果對于任意給定的正數(shù)ε，存在一個正數(shù)δ，使得當|z-z0|<δ時，有|f(z)-f(z0)|<ε，則稱f(z)在z0處連續(xù)。復變函數(shù)的連續(xù)性對于復數(shù)函數(shù)f(z)，若當z趨于無窮遠處時，f(z)的極限存在，則稱f(z)在無窮遠處有極限。定義無窮遠點的極限具有唯一性、局部有界性和局部保序性。性質利用極限的運算法則和復合函數(shù)的極限運算法則進行計算。計算方法復數(shù)函數(shù)在無窮遠點的極限03復變函數(shù)的導數(shù)與積分PartSTEP01STEP02STEP03復變函數(shù)的導數(shù)定義導數(shù)表示函數(shù)在某一點的切線斜率，即函數(shù)在該點的變化率。幾何意義計算方法通過極限定義，利用實部和虛部的導數(shù)計算復變函數(shù)的導數(shù)。復變函數(shù)的導數(shù)定義為函數(shù)在復平面上的切線的斜率。復數(shù)函數(shù)的積分定義為復平面上的曲線下的面積。定義積分表示函數(shù)在曲線下的面積，即函數(shù)在某個區(qū)間上的增量。幾何意義通過分割區(qū)間、近似函數(shù)、求和、取極限的方法計算復數(shù)函數(shù)的積分。計算方法復數(shù)函數(shù)的積分柯西積分公式定義柯西積分公式是復變函數(shù)中的一個基本公式，用于計算復數(shù)函數(shù)的積分。應用柯西積分公式在復變函數(shù)中有著廣泛的應用，可以用于求解一些復雜的積分問題，簡化計算過程。04冪級數(shù)與泰勒級數(shù)Part冪級數(shù)的定義冪級數(shù)是形如(a_0+a_1x+a_2x^2+ldots)的無窮級數(shù)，其中(a_0,a_1,a_2,ldots)是常數(shù)，(x)是變量。冪級數(shù)的性質冪級數(shù)具有很多重要的性質，如收斂性、可導性、可積性等。這些性質使得冪級數(shù)在數(shù)學和物理中有廣泛的應用。冪級數(shù)的應用冪級數(shù)在數(shù)學分析、微積分、復變函數(shù)等領域有廣泛的應用。例如，它可以用來求解微分方程、積分方程，以及研究函數(shù)的性質等。冪級數(shù)泰勒級數(shù)的定義泰勒級數(shù)是冪級數(shù)的一種特殊形式，它以一個函數(shù)為中心，展開成冪的形式。泰勒級數(shù)的性質泰勒級數(shù)具有很多重要的性質，如收斂性、可導性、可積性等。這些性質使得泰勒級數(shù)在數(shù)學和物理中有廣泛的應用。泰勒級數(shù)的應用泰勒級數(shù)在數(shù)學分析、微積分、復變函數(shù)等領域有廣泛的應用。例如，它可以用來求解微分方程、積分方程，以及研究函數(shù)的性質等。此外，泰勒級數(shù)還在數(shù)值分析、計算物理等領域有重要的應用。泰勒級數(shù)05解析函數(shù)與全純函數(shù)Part解析函數(shù)如果一個復函數(shù)在某區(qū)域內的每一點都可微，則稱該函數(shù)在該區(qū)域內解析。泰勒級數(shù)一個在某點解析的函數(shù)，可以展開為該點的泰勒級數(shù)。解析函數(shù)的幾何意義曲線在每點的切線斜率都存在。解析函數(shù)的概念定義域全純函數(shù)的定義域是復平面上的一個區(qū)域?？挛鞣e分公式對于全純函數(shù)，可以通過柯西積分公式計算其在任意點的值。值域全純函數(shù)的值域是實數(shù)域上的一個區(qū)域。全純函數(shù)的性質積分公式全純函數(shù)的積分表示為沿任意簡單閉曲線的積分?？挛鞣e分定理對于全純函數(shù)，其沿任意簡單閉曲線的積分等于零?？挛鞣e分公式與全純函數(shù)的積分表示全純函數(shù)的積分表示可以通過柯西積分公式得到。全純函數(shù)的積分表示06調和函數(shù)與次調和函數(shù)Part如果一個復平面上的可微函數(shù)f(z)的實部和虛部都是調和的，則稱f(z)是調和函數(shù)。調和函數(shù)如果一個復平面上的可微函數(shù)f(z)的實部和虛部都是可微的，則稱f(z)是解析函數(shù)。解析函數(shù)如果一個復平面上的可微函數(shù)f(z)滿足f'(z)=g'(z)，則稱f(z)和g(z)是共軛函數(shù)。共軛函數(shù)010203調和函數(shù)的概念次調和函數(shù)的性質次調和函數(shù)的導數(shù)仍然是調和的。次調和函數(shù)的實部和虛部都是次調和的。次調和函數(shù)的導數(shù)在邊界上為零。STEP01STEP02STEP