同濟大學第五版高等數學下課件D84復合求導

同濟大學第五版高等數學下課件D84復合求導目錄復合函數的定義與性質復合函數的求導法則復合函數的應用習題與解析復合函數的定義與性質01復合函數是由兩個或多個函數通過復合關系組成的函數。復合函數通常表示為$f(g(x))$，其中$f$和$g$是兩個函數，$g(x)$是內層函數，$f(u)$是外層函數，$u$是中間變量。內層函數$g(x)$的輸出作為外層函數$f(u)$的輸入?？偨Y詞詳細描述復合函數的定義復合函數的性質總結詞復合函數具有一些重要的性質，如鏈式法則、指數法則等。詳細描述鏈式法則是復合函數求導的重要法則，表示為$fracyy4kw44{dx}f(g(x))=f'(u)cdotg'(x)$，其中$f'(u)$表示對中間變量$u$求導，$g'(x)$表示對內層函數$g(x)$求導。指數法則涉及到復合函數的指數運算，如$(uv)'=u'v+uv'$。復合函數的導數可以通過鏈式法則進行計算?？偨Y詞根據鏈式法則，如果已知內層函數$g(x)$和外層函數$f(u)$的導數，則復合函數$f(g(x))$的導數為$f'(g(x))cdotg'(x)$。具體地，首先對內層函數求導得到$g'(x)$，然后將其代入外層函數得到中間變量$u=g(x)$的導數$f'(u)$，最后將兩者相乘即可得到復合函數的導數。詳細描述復合函數的導數復合函數的求導法則02總結詞鏈式法則是復合函數求導的核心，它描述了復合函數中內層函數對中間變量的導數與外層函數對中間變量的導數之間的關系。詳細描述鏈式法則指出，如果一個復合函數由兩個函數組成，內層函數對某個變量求導，外層函數對同一變量也求導，則這兩個導數相乘就是復合函數對該變量的導數。鏈式法則是通過將內層函數的導數“傳遞”給外層函數來實現(xiàn)的。鏈式法則總結詞乘積法則是用來求兩個函數的乘積的導數的規(guī)則。詳細描述乘積法則指出，如果兩個函數相乘，則它們的乘積的導數等于第一個函數的導數乘以第二個函數加上第二個函數的導數乘以第一個函數。這個法則可以推廣到多個函數的乘積的情況。乘積法則商式法則商式法則是用來求兩個函數的商的導數的規(guī)則。總結詞商式法則指出，如果兩個函數相除，則它們的商的導數等于被除函數的導數除以除函數的導數乘以被除函數。這個法則可以用于任何非零的除數，但需要注意分母不能為零。詳細描述VS反函數求導法則是用來求反函數的導數的規(guī)則。詳細描述反函數求導法則指出，如果一個函數與其反函數都存在導數，則它們的導數互為逆運算。這個法則可以用于求解一些復雜的微分問題，特別是與隱函數相關的問題。總結詞反函數求導法則復合函數的應用03總結詞通過求導判斷函數的單調性，是研究函數的重要方法之一。復合函數的導數可以用來研究復合函數的單調性。要點一要點二詳細描述利用復合函數的導數，我們可以判斷函數的增減性。如果導數大于0，函數在該區(qū)間內單調增加；如果導數小于0，函數在該區(qū)間內單調減少。因此，通過求復合函數的導數，我們可以研究復合函數的單調性。利用復合函數求導研究函數的單調性極值是函數在某點附近取得的最大或最小值。通過求導數并令其為零，我們可以找到函數的極值點。對于復合函數，我們同樣可以利用求導數的方法來研究其極值。當一元函數在某點的導數為零時，該點可能是函數的極值點。對于復合函數，我們可以通過求導數并令其為零來找到可能的極值點。然后，通過判斷二階導數的符號，我們可以確定這些點是否為極值點。如果二階導數大于零，該點為極小值點；如果二階導數小于零，該點為極大值點?？偨Y詞詳細描述利用復合函數求導研究函數的極值總結詞曲線的凹凸性是指曲線在某段區(qū)間內是向上凸起還是向下凹下。通過求函數的二階導數，我們可以判斷曲線的凹凸性。對于復合函數，我們也可以利用求導數的方法來研究其凹凸性。詳細描述曲線的凹凸性可以通過函數的二階導數來判斷。如果函數的二階導數大于零，曲線在相應區(qū)間內向上凸起；如果二階導數小于零，曲線在相應區(qū)間內向下凹下。對于復合函數，我們可以通過求二階導數來研究其凹凸性。利用復合函數求導研究曲線的凹凸性習題與解析04題目1求函數$f(x,y)=x^2+y^2$在點$(1,2)$處關于$x$的偏導數。題目2求函數$f(x,y)=sin(x+y)$在點$(1,2)$處關于$y$的偏導數。題目3求函數$f(x,y)=x^2cdotsiny$在點$(1,2)$處關于$x$的偏導數?；A習題01求函數$f(x,y)=x^2+y^2$在點$(1,2)$處關于$x$的全導數。題目402求函數$f(x,y)=sin(x+y)$在點$(1,2)$處關于$y$的全導數。題目503求函數$f(x,y)=x^2cdotsiny$在點$(1,2)$處關于$x$的全導數。題目6進階習題題目7求函數$f(x,y)=x^2+y^2$在點$(1,2)$處的全導數，并驗證全導數的幾何意義。題目8求函數$f(x,y)=sin(