數(shù)學丨2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）數(shù)學試卷及答案

2023屆高考專家聯(lián)測卷(四)

理科數(shù)學

(全卷滿分150分，考試時間120分鐘)

注意事項：

L答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在本試卷和答題卡相應位置上。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑;如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答。答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域

內相應位置上;如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不

按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后,將試卷和答題卡一并交回。

第I卷(選擇題，共60分)

一、選擇題:本題共12小題,每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合

題目要求的.

1.已知A={y\y=aT(a>0,a^l')},B={川〃，則AClB=

A.(0,+oo)B.(1,H-oo)

C.(—8,0)D.(—8,0)U(l,+8)

2.已知復數(shù)z滿足z(l—==

A.1B.+*iC.掾H--D.1+i

3.睡眠很重要,教育部《關于進一步加強中小學生睡眠管理工作的通知》中強調“小學生每天睡

眠時間應達到10小時,初中生應達到9小時,高中生應達到8小時”.某機構調查了1萬個學

生時間利用信息得出下圖,則以下判斷正確的有

12.00----------------------------------------------------------------------------------------------

10.009.^^2^9.579.630”------------「用9.6397190-----------------------

g95879："二'飛9^09

\8.528.578163

8?吵2.64送鏟7.917.917.91

8.00

73?5--7.2-4-一7坐-線”?夕，

\6收8628

6.00

5.71

5.08

4.00

一二三四五六一二三一二三四

年年年年年年年年年年年年年年年年

級級級級級級級級級級級級級級級級

小學初中高中大學

----學習-----睡眠

A.高三年級學生平均學習時間最長

B.中小學生的平均睡眠時間都沒有達到《通知》中的標準，其中高中生平均睡眠時間最接近標準

2023屆高考專家聯(lián)測卷(四)?理科數(shù)學試題第1頁(共4頁)命題人：成都名師團

C.大多數(shù)年齡段學生平均睡眠時間少于學習時間

D.與高中生相比，大學生平均學習時間大幅下降,釋放出的時間基本是在睡眠

4.已知S?為等差數(shù)列｛%｝的前〃項和,2+S7=-16,（18=—，則S10=

A.5B.0C.-10D.-5

5.設像申第”]）的定義域為（-8,0）U（o,+8）,且滿足/（2）=0,對于任意乃，ge

（0,+8）,為豐m，都有名"[?）一‘"（"2）V0（〃SN）成立.

涇~X\

①不等式"2：+9>0的解集為6,4-ooju（-|,0）；

②不等式/（2：+D>O的解集為+8）〃一■11）;

③不等式黑>0的解集為（一8,-2）U（2,+℃）.

④不等式篝>0的解集為（-2,0）U（0,2）.

其中成立的是

A.①與③B.①與④C.②與③D.②與④

6.函數(shù)/（jr）=lo&7（a>0,且QW1）與函數(shù)g（i）=（a—1）久2—ax在同一坐標系中的圖象可

7.已知雙曲線C過點（3,四）且漸近線為？=士號7，則下列說法正確的個數(shù)是

①雙曲線c的方程為專-y=1；

②雙曲線C的離心率為西；

③曲線y-I經過雙曲線C的一個焦點；

④過雙曲線C的焦點且垂直于實軸的直線截雙曲線C的弦長為零.

O

A.1B.2C.3D.4

8.已知函數(shù)y=sin（3r+a）（3>0,0Va〈g）的部分圖象如圖所示，則

點P（3,）的坐標為

A率用B,（2,f）

0（1*3）D-（1,6）

9.十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堵發(fā)明的.明萬歷十二年（公元1584年），他

寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路

帶到了西方，對西方音樂產生了深遠的影響.十二平均律的數(shù)學意義是:在1和2之間插入11

個正數(shù)?使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，依此規(guī)則，新插入的第四個數(shù)應為

A.2+B.2+C.26D.2由

2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）?理科數(shù)學試題第2頁（共4頁）命題人:成都名師團

10.如圖,ZSA3c內接于圓0,A6為圓O的直徑,AB=10,BC=6,C。，

平面ABC,E為AD的中點，且，則點A到平面BCE的距離為

①異面直線BE與AC所成角為60°；

②三棱錐D-BEC的體積為16^3.

（注:從以上兩個條件中任選一個，補充在橫線上并作答）

A8778721W7

3373

11.四棱錐P-OABC中，底面（MBC是正方形,02，04,。4=0P=°,。是棱0尸上的一動

點,E是正方形OABC內一動點，DE的中點為Q.當DE=a時，點Q的軌跡是球面的一部

分，其表面積為3小則a的值是

A.273B.2V6C.3V6D.6

12.設a=logo.62,6=log2。.6,c=0.6?,則a,6,c的大小關系為

A.b<c<ZaB.c<.b<.aC.a<J)<cD.b<a<Zc

第II卷（非選擇題，共90分）

二、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.設i,j是Z,》軸正方向上的單位向量,2a—8=i—3j,a+3b=lli+9j,則向量a.b的夾角為―A.

14.已知儂的展開式中的各項系數(shù)和為一3,則該展開式中的常數(shù)項為二—.

y^x+2,

15.已知點PCr,y）在不等式組1一3①<0,表示的平面區(qū)域D上運.

y^a

（1）若區(qū)域D表示一個三角形,則a的取值范圍是▲；

（2）若a=6,則z=一2+2?的最小值是▲.

16.已知拋物線C：V=4z的焦點為F,準線7寫了軸交于點M,點P在拋物線上.直線PF與拋

物線交于另一點A,設直線MP,MA的斜率分別為電，無，則b+k2的值為▲.

三、解答題:共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題,每個試

題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

（一）必考題:共60分.

17.（本小題滿分12分）在△八BC中，角A,B,C的對邊分別為a,仇一已知點D在邊AC上（不含

端點）,AB=BD=CD

（1）求證：加=。2—C2；

（U）若cosNABC=Ac=l,求△ABC的面積.

屋

18.（本小題滿分12分）2022年卡塔爾世界杯于北京時間11月20日在卡塔爾正式開賽，該比賽

吸引了全世界億萬球迷觀看.為了了解喜愛觀看世界杯是否與性別有關，某體育臺隨機抽取

200名觀眾進行統(tǒng)計，得到如下2X2列聯(lián)表.

男女合計

喜愛看世界杯602080

不喜愛看世界杯4080120

合計100100200

（I）根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為喜愛觀看世界杯與性別有關聯(lián)？

（11）在喜愛觀看世界杯的觀眾中，按性別用分層抽樣的方式抽取8人,再從這8人中隨機抽

取2人參加某電視臺的訪談節(jié)目，設參加訪談節(jié)目的女性觀眾與男性觀眾的人數(shù)之差為

X,求X的分布列.

2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）?理科數(shù)學試題第3頁（共4頁）命題人：成都名師團

附:M=(a+力(：僚(/)(〃+△)'其中”=a+"+'+”

19.（本小題滿分12分）如圖1,在△ABC中，NACB是直角，CA=CB=2四,P是斜邊AB的中

點,M,N分別是PB.PC的中點.沿中線CP將△CAP折起，連接AB,點Q是線段AC上的

動點，如圖2所示.

（I）求證:MN〃平面ABC；

（n）從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個條件作

為已知，當二面角Q—MN-C的余弦值為噂時,

>C

O亮條

求辭的值.

C

條件①：BP1AC；條件②：AB=AC.圖1

20.（本小題滿分12分）設B,Fz分別是橢圓D號+去=1（。>。>0）的左、右焦點，過點F2作傾

斜角為三的直線交橢圓。于A,B兩點，點居到直線AB的距離為3,連接橢圓D的四個頂

點得到的菱形面積為4.

（I）已知點M（—1,。），設E是橢圓D上的一點，過兩點的直線/交y軸于點C,若

屋=入市，求實數(shù)2的取值范圍；

（n）作直線h與橢圓D交于不同的兩點P,Q,其中點P的坐標為（-2,0）,若點N（0“）是

線段PQ垂直平分線上一點，且滿足福?而=4,求實數(shù)f的值.

21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f（工）=加%一sin（久）=azcosz—2sin?r（a>0）.

（I）若函數(shù)y=/（幻是（—8,+8）上的單調遞增函數(shù),求實數(shù)m的最小值；

（H）若=1，且對任意z€［0,史，都有不等式/（x）》g（x）成立,求實數(shù)a的取值范圍.

▲一

（二）選考題:共10分.請考生在第22.23題中任選一題作答.如果多做,那么按所做的第一題計分.

22.［選修4-4：坐標系與參數(shù)方程］（本小題滿分10分）在平面直角坐標系g中,已知曲線C的參數(shù)

方程為二一1y83°，（夕為參數(shù)），以原點O為極點軸正半軸為極軸建立極坐標系.

（I）求曲線C的極坐標方程；

（II）設射線。：9=叫侖0）和射線56=g+4）0,04遍）分別與曲線（？交于八，8兩

點，求△AOB面積的最大值.

23.［選修4-5：不等式選講］（本小題滿分10分）關于工的不等式|3^-11<2加的解集為1-1,1

（I）求加的值；

（H）若（?！?）（6—l）（c—1）=m,且。>1,6>1">1,求證：。％》8.

2023屆商考專家聯(lián)測卷（四）?理科數(shù)學試題第4頁（共4頁）命題人:成都名師團

§1”■友2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）

理科數(shù)學參考答案

雙向細目表

題號分值知識板塊考查內容知識點層次能力難度系數(shù)

15數(shù)與代數(shù)集合集合運算A運算求解0.90

25數(shù)與代數(shù)復數(shù)變數(shù)除法.發(fā)數(shù)的模A運算求解0.90

35概率統(tǒng)計統(tǒng)計折線統(tǒng)計圖A運算求解0.85

45數(shù)與代數(shù)數(shù)列等差數(shù)列A運算求解0.80

35數(shù)與代數(shù)函數(shù)函數(shù)的性質A運算求解0.80

65數(shù)與代數(shù)函數(shù)函數(shù)的圖象B運算求解0.70

75解析幾何圓錐曲線雙曲線的基本概念B運算求解0.65

85數(shù)與代數(shù)三角函數(shù)三角函數(shù)的圖象與性質B抽象概括0.60

95數(shù)與代數(shù)數(shù)列等比數(shù)列與數(shù)學文化B應用意識、運算求解0.55

推理論證、運算

105立體幾何點線面位置關系異面直線所成角，體積B0.55

求解、創(chuàng)新意識

點線面位置關系

115立體幾何球的表面積C運算求解0.45

與空間幾何體

125數(shù)與代數(shù)函數(shù)賽指對函數(shù)及其比較大小C運算求解0.35

135數(shù)與代數(shù)向量向量的夾角B運算求解0.75

145數(shù)與代數(shù)計數(shù)原理二項式定理B應用意識、運算求解0.70

155不等式線性規(guī)劃參數(shù)的范圍與最值B推理論證、創(chuàng)新意識0.65

165解析幾何圓錐曲線直線與拋物線的位置關系C運算求解0.45

17數(shù)與代數(shù)

17(I)6數(shù)與代數(shù)三角函數(shù)由正余弦定理證明等式B推理論證、運算求解0.75

17(II)6數(shù)與代數(shù)三角函數(shù)三角形面積B推理論證、運算求解0.65

18概率統(tǒng)計

推理論證、抽象

18(I)6概率統(tǒng)計統(tǒng)計獨立性檢驗A0.80

概括、運算求解

推理論證、抽象

18(H)6概率統(tǒng)計統(tǒng)計分布列B0.75

概括、運算求解

19立體幾何

運算求解、推理

19(I)3立體幾何點線面位置關系線面平行A0.85

論證、創(chuàng)新意識

運算求解、推理

19(H)9立體幾何點線面位置關系二面角（結構不良題）B0.65

論證、創(chuàng)新意識

2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）?理科數(shù)學參考答案第1頁（共11頁）

題皆分值知識板塊考查內容知識點層次能力難度系數(shù)

20解析幾何

運算求解、推理論證、

20(I)6解析幾何圓錐曲線參數(shù)的取值范圍B0.75

應用意識、創(chuàng)新意識

運算求解、推理論證、

20(n)6解析幾何圓錐曲線參數(shù)的值B0.65

應用意識、創(chuàng)新意識

21數(shù)與代數(shù)

21(I)2數(shù)與代數(shù)導數(shù)參數(shù)的最值A運算求解0.80

運算求解、推理論證、

21(II)10數(shù)與代數(shù)導數(shù)參數(shù)的范圍C0.35

應用意識、創(chuàng)新意識

坐標系與

22

參數(shù)方程

坐標系與參數(shù)方程.極坐標

22(I)5參數(shù)方程A運算求解0.8

參數(shù)方程方程.普通方程

坐標系與

22(11)5參數(shù)方程極坐標方程與三角形面積B運算求解0.7

參數(shù)方程

23不等式選講

23(I)5不等式選講絕對值不等式參數(shù)的值A運算求解0.8

23(II)5不等式選講絕對值不等式綜合不等式的證明B運算求解0.7

答案及解析

1.B【解析】易知A={y|y>0}.6=>?}={川日］—1）>0}=（-oo,0）U（l,+3）,所以AD

B=（l,+8）.故選B.

2.C【解析】因為復數(shù)z滿足之（1-i）=11-i|,即z（l—i）=慮，所以==舍=冬!±12=孝+考i.故

選C.

3.B【解析】根據(jù)圖象可知，高三年級學生平均學習時間沒有高二年級學生平均學習時間長，所以A選

項錯誤.根據(jù)圖象可知，中小學生平均睡眠時間都沒有達到《通知》中的標準，高中生平均睡眠時間最接

近標準，所以B選項正確.學習時間多于睡眠時間的有初二、初三、高一、高二、高三，占比得;而睡眠時

間多于學習時間的占比為荒，所以C選項錯誤.從高三到大學一年級，學習時間減少9.65-5.71-

3.94,睡眠時間增加8.52-7.91=0.61,所以D選項錯誤.故選B.

4.D【解析】設《a"的公差為/因為{”“}是等差數(shù)列，所以S?=7a/，則知+S?=8%=-16,得上=

一2.又恁=一%=2,所以d=與一?=1,從而a6=4-24=0,恁=%—4=-1,所以Sio=

o-q

l（）（a/電）=5（恁+恁）=-5.故選D.

5.A【解析】當?=0時產到八為）一如：）―>o,所以丁=/（外在（0,+8）上為增

JC2—為一#2

2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）?理科數(shù)學參考答案第2頁（共11頁）

函數(shù).因為偶函數(shù)/(①)的定義域為(-8,0)U(0,+8),所以》=/(文)在(一8,0)上為減函數(shù).當

Z>0時,/(2：+1)>0=>/⑵+1)>0=八2),所以2才+1>2,所以1>會當H<0時,八2：+1)>。=

/(2x+l)<0=/(-2),所以27+1>—2,所以一得。<0,所以①正確，②錯誤.設g(#)=蜜，則

/(①1)/'(22)

曲￥興:譚：=咚圖!477>。，所以g(1)=黑是偶函數(shù)，且在

(0,+8)上為增函數(shù).又因為/(2)=0,所以不等式篝>0=>g(|川)>g(2),所以|川>2,所以z>

2或工<一2,所以不等式黑>0的解集為(-8,—2)U(2,+8),所以③正確，④錯誤.故選A.

6.B【解析】g(7)=(a—1)/—ax過原點，排除AC；當0Va<l,f(x)=log,a單調遞減,g(z)開口向

下，排除D.故選B.

7.C【解析】因為漸近線為y=±條,所以可設雙曲線C的方程為[-7=義,將(3,⑶代入得孝-

2

(笈)2X,即a=1,故雙曲線C的方程為噂一/=1,所以①正確.由題意，得/=3+1=4,故c=2,故

離心率為2=言=竽,所以②錯誤.雙曲線C的焦點坐標為(±2,0),而f(2)=e-2—1=0,所以〉=

292

eL2-l經過雙曲線C的焦點(2,0),所以③正確.在全r一yz=l中，不妨令1=2,則g=],解得

5=土號.故過雙曲線C的焦點且垂直于實軸的直線截雙曲線C的弦長為等,所以④正確.故選C.

穴?57r

8.A【解析】由圖象可知，得=器一毋=￡=>T=n,所以7=紅=4=3=2.又\^=條,則y=

sin(2了+中)的圖象經過點(g,—1),所以2?得+<p=^+2ki^(p=^-2hr,k€Z.由于0<中0^,所

以火=號，所以點P的坐標為(2,手).故選A.

9.B【解析】根據(jù)題意，不妨設這13個數(shù)組成依次遞增的等比數(shù)列為{a,,},公比為q,則田=1,田3=2,所

以=詈=2冽<1=淮，所以新插入的第四個數(shù)為詼=3)"=23.故選B.

10.C【解析】選①：因為AB為圓O的直徑，且AB=10,BC=6,所以△ABCzjr)

為直角三角形,AC=8.如圖，建立空間坐標系，則C(0,0,0),A(8,0,0),￡/

3(0,6,0).設七(4,0,八)">0,則這=(8,0,0),&=(0,6,0),碇=

(4,—6,/?),所以cos<CX,BS>=----3.+0+Q=cos60°■，所以h=~~~O

2悟,所以這=(4,0,2偌)，所以4?國=0+0+0=0,所以CELCB,且CE=2".因為E為AD

的中點，所以心3=白△比E?以=nw=4SAABC--。，所以9X￡義6X2"?以=得又/X

OOJ乙。乙

6X8X2乃,所以〃八=&■等.故選C.

2023屆高考專家聯(lián)測卷(四)?理科數(shù)學參考答案第3頁(共11頁)

選②:因為AB為圓O的直徑，口AB—10,BC—6,所以AABC為直角三角形,AC—8.乂CDJ_平面

ABC,所以CDLACCDLBC.設CD=/i.因為E為AD的中點，且三棱錐D—3EC的體積為16乃,

===-

所以^D-AI3C2V/>_/iKc^^E-Aiic32>/3，所以匕）-加紀?CD—[X-yX6X8?CD325/3,

所以CD=4悟，所以AD=/AC'+CD?=/64+48=4",所以在RtAACD中,CE=qAD=2".

因為BCJ_AC,BC，CD,ACnBC=C,所以BC,平面ACD.又因為CEU平面ACD,所以BC1CE,

所以匕EE=ySA￡rE?/“=匕,_甌=16點，所以《xaX6X2"?儲=16悟，所以hA=%筍.故

選C.

11.B【解析】假設OPLOC不成立.如圖1,當點O,Q重合時.此時點Q的軌跡為平面ABCD內的一段

弧，且以。為圓心，故球心在過點。且垂直于平面ABCD的直線/上.如圖2,當點D在OP上變化

時,對于確定的點D,當點E變化時.點Q的軌跡為一段弧，球心在過點D且垂直于弧所在的平面的

直線上，該直線與直線/的交點即為球心.因為（）PJ_OC不成立，所以球心會隨著點D的變化而變

化.這與點Q的軌跡是球面的一部分矛盾，所以假設不成立，故。P_LOC,如圖3所示.乂OP1OA,

OA,OCu平面0ABe,OAnOC=O,所以故OP,底面OABC.因為D是。P上的動點，所以ODJ_底

面（MBC,得OD±OE.又Q為DE的中點，所以。2=+?！辏旱胊,即點Q的軌跡是以（）為球心擊

為半徑的看球面，其表面積為s=*X4G%=3",得a=26.故選B.

oo4

12.C【解析】（=0.6?>0,即r>0；6=log2（）.6<log2l=0且6=log20.6>log20.5=-1,即一1V6V0；

a=logo,62=*G（—8,—1）,即a<-l,因此,aV6Vc.故選C.

13.g【解析】因為2°-6=i—3j①,a+3b=lli+9j②，所以由①X3+②得7a=14，，則a=2i；由—2義

②+①得-7b=-217—21j,則b=3i+3J.因此，a?b=2i?（3z+3j）=6i2T6i?j=6,|a|=2,

\b\'=732+32=3A/2，所以cos〈a,b〉=q—f若訂==§,所以〈*6〉=寧,

1?1*62X37224

14.—120【解析】因為（2衛(wèi)+于乂1一-I"）的展開式中的各項系數(shù)的和為一3,令1=1,得（2+a）X

（_1）-3,所以。=1,所以（2%+等卜一町=（2]+!）（無一看）’=2兀卜一春）'+

!卜一，其中卜―的展開式中才的項為C4（-彳），即40?；（①—1）的展開式中片?的

項為C我2（一1]，即—所以（2①+與卜—1）’展開式中的常數(shù)項為2X（—80）+40=—120.

2023屆高考專家聯(lián)測卷（四）?理科數(shù)學參考答案第4頁（共11頁）

15.(1)(3,+8)(2)5【解析】因為宜線y―力+2與丁一3①=0的交點為(1,3),如圖1所示，所以要使

戶以+2,

不等式組1y—3/40,表示的平面區(qū)域是一個三角形，則Q的取值范圍是。＞3.當。=6時，作出可行

16.0【解析】設過焦點廠（1,0）的直線為7="9+1，且該直線交拋物線于點P（力，M）,A（502）.由已

[x=my-l,

知，得M（-1,0）.聯(lián)立方程組《得y2-472?J/-4=0,于是有v+”=4〃?,以”=一4.乂因

[y=4處

為M+心=丹]戔斤=+.V，且-\-y2Xi+）2=）1（〃?丁2-1）+?（〃2yl+

JC1-1JC2'15十??？十十1

=,=

1）+（v+”）2???7I32+2（V+）2）2mX（—4）+2X4〃z=0,所以k}^k2=0.

17.(1)證明:若6=°時，則點。與點A重合，不滿足題意，故6Wc......................................................1分

因為AB=BD=CD,所以NA=NADB=2NC,

所以sinA=sin2c=2sinC?cosC?..........................................................................................................3分

由正弦定理及余弦定理，得a=2c?0晨、

即a2b=a2c-\-b2c—c3,

所以Q2(6-c)=((62-/),即(/(心—。)=c(6+c)(6—c)...................................................................5

因為所以b~c^=0,

所以Y=(、㈠+(、)，即a2=hcHr2,

所以6c=/—/..........................................................................................................................................6分

（口）解：由*=a2+c2-2ac?cosZABC及cosNABC=0,c=l,

lb

得62=1+1--ya......................................................................................................................................8分

o

由（I）知秘=/一汽，所以6=〃2-1,

所以（/—1）2=Y+1一

整理得8a3-24a+9=0.

令2a=f,得/一⑵+9=0,........................................................................................................................9分

即（f-3）（7+31-3）=0,解得力=3也=-3；儂“3=-3]莊＜0（舍去）..............io分

2023屆高考專家聯(lián)測卷(四)?理科數(shù)學參考答案第5頁(共11頁)

由h=a2-1>0,。>0,得故a=y=一VI舍去，所以a=y,.............................11分

所以S△他，?sinNABC=*XIXJ1-.........................................12分

18.解：(I)零假設為H。：喜愛觀看世界杯與性別無關聯(lián)....................................1分

根據(jù)列表中的數(shù)據(jù)，經計算得到*=空凝普舞段器？=號g33.333>10.828=^,001.

.......................................................................................................................................................4分

根據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，推斷Ho不成立，.................................5分

所以喜愛觀看世界杯與性別有關聯(lián)....................................................6分

(II)按照分層抽樣的方式抽取8人,其中男性觀眾6人，女性觀眾2人，

X的可能取值為-2,0,2,.............................................................................................................7分

P(X=-2)喑=1|,P(X=0)=譬=J,P(X=2)=粉表,..........................P分

所以X的分布列為：

X-202

15_3_1

P

28728

.......................................................................................................................................................12分

19.(I)證明:在△PBC中，因為M,N分別是P8.PC的中點，所以MN〃BC..............................1分

因為MNU平面A8CBCU平面ABC,......................................................................................2分

所以MN〃平面ABC......................................................................................................................3分

(口)解:在△ABC中，NACB是直角,CA=CB=2叔,P是斜邊AB的中點，

所以CPLAB,即CP，AP,CPJ_BP...........................................................................................4分

選條件①:BPJ_AC.

因為BPJLAC,CP_LBP,ACnCP=C,ACu平面ACP,CPu平面ACP,

所以BP_L平面ACP......................................................................................................................5分

又CPLAP,則以P為原點，可5,拓，可分別為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.

在△ABC中，ZACB是直角,CA=CB=2笈,P是斜邊AB的中點,所以CP=AP=BP=2,

所以P(0,0,0),A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2,0),.......................................................................6分

則第=(0,—2,2),9(0,0,2).

因為M,N分別是PB,PC的中點，

所以M(1.0.0),N(0.1,0),

所以就=(—1,1,0),就=(0,1,0)...........................................................................................7分

因為點Q是線段AC上的動點,所以可設芭=fCt=(0,-2t,2t),0WfWl,

所以范=就+0=(0,1,0)+(0,—2￡,2/)=(0,1—2如2$).....................................................8分

不妨設“(z，wz)為平面QMN的一個法向量，

\m,M?=(x,y,z)?(-1,1.0)=-J?-"->+0=0,

Iin,NQ=(T,y,z),(0,1-2/,2/)=0+(1—2i)y+2tz=0,

2023屆高考專家聯(lián)測卷(四)?理科數(shù)學參考答案第6頁(共11頁)

取丁=1,則m=(1,1,與

顯然談=(0,0,2)為平面CMN的一個法向量，.........................................9分

2t—1

I-p-\I0+0+2XF-

所以二面角Q-MN-C的余弦值為|cos〈孫豆4〉|=?7需—.……

..............................................................................................................................................................10分

河0+0+2X胃r-

由題意，得Icos</n,P^>I=好,即,—=好，

c+】y)&

解得￡=],........................................................................11分

所以奈=*......................................................................12分

選條件②:AS=AC.

在AABC中，ZACB是直角,CA=CB=2夜,P是斜邊AB的中點，

所以CP=AP=BP=2,CP_LAP,CP_LBP.....................................................................