2008年高考真題數(shù)學(xué)(山東卷)2

2008年山東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2008?山東）滿足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（5分）（2008?山東）設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是，若，，則等于（）A．i B．﹣i C．±1 D．±i3．（5分）（2008?山東）函數(shù)y=lncosx（）的圖象是（）A． B． C． D．4．（5分）（2008?山東）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x﹣a|的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則a的值為（）A．3 B．2 C．1 D．﹣15．（5分）（2008?山東）已知，則的值是（）A． B． C． D．6．（5分）（2008?山東）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（）A．9π B．10π C．11π D．12π7．（5分）（2008?山東）在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1，2，3，…，18的18名火炬手．若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．8．（5分）（2008?山東）如圖是根據(jù)《山東統(tǒng)計(jì)年鑒2007》中的資料作成的1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的莖葉圖．圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個(gè)位數(shù)字．從圖中可以得到1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平均數(shù)為（）A．304.6 B．303.6 C．302.6 D．301.69．（5分）（2008?山東）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．﹣1320 B．1320 C．﹣220 D．22010．（5分）（2008?山東）4．設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=111．（5分）（2008?山東）已知圓的方程為x2+y2﹣6x﹣8y=0，設(shè)該圓過點(diǎn)（3，5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A．10 B．20 C．30 D．4012．（5分）（2008?山東）設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是（）A．[1，3] B．[2，] C．[2，9] D．[，9]二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）（2008?山東）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若p=0.8，則輸出的n=．14．（4分）（2008?山東）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+c（a≠0），若f（x）dx=f（x0），0≤x0≤1，則x0的值為．15．（4分）（2008?山東）已知a，b，c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，向量=（，﹣1），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，則角B=．16．（4分）（2008?山東）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則b的取值范圍．三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）（2008?山東）已知函數(shù)（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．18．（12分）（2008?山東）甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對者對本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對的概率均為，乙隊(duì)中3人答對的概率分別為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊(duì)的總得分．（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P（AB）．19．（12分）（2008?山東）將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，b1=a1=1．Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，且滿足．（Ⅰ）證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)．當(dāng)時(shí)，求上表中第k（k≥3）行所有項(xiàng)的和．20．（12分）（2008?山東）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：AE⊥PD；（Ⅱ）若H為PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．21．（12分）（2008?山東）已知函數(shù)，其中n∈N*，a為常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，證明：對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時(shí)，有f（x）≤x﹣1．22．（14分）（2008?山東）如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py（p＞0），M為直線y=﹣2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣2p）時(shí)，．求此時(shí)拋物線的方程；（Ⅲ）是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線x2=2py（p＞0）上，其中，點(diǎn)C滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．2008年山東省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）（2008?山東）滿足M?{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}的集合M的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先根據(jù)M∩{a1，a2，a3}={a1，a2}可知a1，a2是M中的元素，a3不是M中的元素，由子集的定義即可得出答案．【解答】解：∵M(jìn)∩{a1，a2，a3}={a1，a2}∴a1，a2是M中的元素，a3不是M中的元素∵M(jìn)?{a1，a2，a3，a4}∴M={a1，a2}或M={a1，a2，a4}，故選B2．（5分）（2008?山東）設(shè)z的共軛復(fù)數(shù)是，若，，則等于（）A．i B．﹣i C．±1 D．±i【分析】可設(shè)，根據(jù)即得．【解答】解：本小題主要考查共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算．可設(shè)，由得4+b2=8，b=±2.選D3．（5分）（2008?山東）函數(shù)y=lncosx（）的圖象是（）A． B． C． D．【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除一些選項(xiàng)，利用函數(shù)的有界性可排除一些個(gè)選項(xiàng)．從而得以解決．【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx，∴是偶函數(shù)，可排除B、D，由cosx≤1?lncosx≤0排除C，故選A．4．（5分）（2008?山東）設(shè)函數(shù)f（x）=|x+1|+|x﹣a|的圖象關(guān)于直線x=1對稱，則a的值為（）A．3 B．2 C．1 D．﹣1【分析】函數(shù)f（x）=|x﹣a|+|x﹣b|的圖象為軸對稱圖形，其對稱軸是直線x=，可利用這個(gè)性質(zhì)快速解決問題【解答】解：|x+1|、|x﹣a|在數(shù)軸上表示點(diǎn)x到點(diǎn)﹣1、a的距離，他們的和f（x）=|x+1|+|x﹣a|關(guān)于x=1對稱，因此點(diǎn)﹣1、a關(guān)于x=1對稱，所以a=3故選A5．（5分）（2008?山東）已知，則的值是（）A． B． C． D．【分析】從表現(xiàn)形式上看不出條件和結(jié)論之間的關(guān)系，在這種情況下只有把式子左邊分解再合并，約分整理，得到和要求結(jié)論只差π的角的三角函數(shù)，通過用誘導(dǎo)公式，得出結(jié)論．【解答】解：∵，∴，∴．故選C6．（5分）（2008?山東）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是（）A．9π B．10π C．11π D．12π【分析】由題意可知，幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成的，依次求表面積即可．【解答】解：從三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成的，其表面為S=4π×12+π×12×2+2π×1×3=12π故選D．7．（5分）（2008?山東）在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動中，有編號為1，2，3，…，18的18名火炬手．若從中任選3人，則選出的火炬手的編號能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為（）A． B． C． D．【分析】由題意知本題是古典概型問題，試驗(yàn)發(fā)生的基本事件總數(shù)為C183，選出火炬手編號為an=a1+3（n﹣1），分類討論當(dāng)a1=1時(shí)可得4種選法；a1=2時(shí)得4種選法；a1=3時(shí)得4種選法．【解答】解：由題意知本題是古典概型問題，∵試驗(yàn)發(fā)生的基本事件總數(shù)為C183=17×16×3．選出火炬手編號為an=a1+3（n﹣1），a1=1時(shí)，由1，4，7，10，13，16可得4種選法；a1=2時(shí)，由2，5，8，11，14，17可得4種選法；a1=3時(shí)，由3，6，9，12，15，18可得4種選法．∴．故選B．8．（5分）（2008?山東）如圖是根據(jù)《山東統(tǒng)計(jì)年鑒2007》中的資料作成的1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的莖葉圖．圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個(gè)位數(shù)字．從圖中可以得到1997年至2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平均數(shù)為（）A．304.6 B．303.6 C．302.6 D．301.6【分析】平均數(shù)=，總數(shù)的計(jì)算可分成個(gè)位數(shù)字的和，百位數(shù)字與十位數(shù)字的和兩部分分別計(jì)算．【解答】解：故選B．9．（5分）（2008?山東）展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．﹣1320 B．1320 C．﹣220 D．220【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為0求出常數(shù)項(xiàng)．【解答】解：，令得r=9∴．故選項(xiàng)為C10．（5分）（2008?山東）4．設(shè)橢圓C1的離心率為，焦點(diǎn)在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點(diǎn)到橢圓C1的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對值等于8，則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【分析】在橢圓C1中，由題設(shè)條件能夠得到，曲線C2是以F1（﹣5，0），F(xiàn)2（5，0），為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8的雙曲線，由此可求出曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：在橢圓C1中，由，得橢圓C1的焦點(diǎn)為F1（﹣5，0），F(xiàn)2（5，0），曲線C2是以F1、F2為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為8的雙曲線，故C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為：﹣=1，故選A．11．（5分）（2008?山東）已知圓的方程為x2+y2﹣6x﹣8y=0，設(shè)該圓過點(diǎn)（3，5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A．10 B．20 C．30 D．40【分析】根據(jù)題意可知，過（3，5）的最長弦為直徑，最短弦為過（3，5）且垂直于該直徑的弦，分別求出兩個(gè)量，然后利用對角線垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半求出即可．【解答】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由題意得最長的弦|AC|=2×5=10，根據(jù)勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四邊形ABCD的面積S=|AC|?|BD|=×10×4=20．故選B12．（5分）（2008?山東）設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)镸，使函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的圖象過區(qū)域M的a的取值范圍是（）A．[1，3] B．[2，] C．[2，9] D．[，9]【分析】先依據(jù)不等式組，結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用函數(shù)y=ax（a＞0，a≠1）的圖象特征，結(jié)合區(qū)域的角上的點(diǎn)即可解決問題．【解答】解析：平面區(qū)域M如如圖所示．求得A（2，10），C（3，8），B（1，9）．由圖可知，欲滿足條件必有a＞1且圖象在過B、C兩點(diǎn)的圖象之間．當(dāng)圖象過B點(diǎn)時(shí)，a1=9，∴a=9．當(dāng)圖象過C點(diǎn)時(shí)，a3=8，∴a=2．故a的取值范圍為[2，9=．故選C．二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13．（4分）（2008?山東）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若p=0.8，則輸出的n=4．【分析】根據(jù)流程圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用可知：該程序的作用是判斷S=＞0.8時(shí)，n+1的值．【解答】解：根據(jù)流程圖所示的順序，該程序的作用是判斷S=＞0.8時(shí)，n+1的值．當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)n=3時(shí)，，此時(shí)n+1=4．故答案為：414．（4分）（2008?山東）設(shè)函數(shù)f（x）=ax2+c（a≠0），若f（x）dx=f（x0），0≤x0≤1，則x0的值為．【分析】求出定積分∫01f（x）dx，根據(jù)方程ax02+c=∫01f（x）dx即可求解．【解答】解：∵f（x）=ax2+c（a≠0），∴f（x0）=∫01f（x）dx=[+cx]01=+c．又∵f（x0）=ax02+c．∴x02=，∵x0∈[0，1]∴x0=．15．（4分）（2008?山東）已知a，b，c為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，向量=（，﹣1），=（cosA，sinA）．若⊥，且acosB+bcosA=csinC，則角B=．【分析】由向量數(shù)量積的意義，有，進(jìn)而可得A，再根據(jù)正弦定理，可得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，結(jié)合和差公式的正弦形式，化簡可得sinC=sin2C，可得C，由A、C的大小，可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，，由正弦定理可得，sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，又由sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，化簡可得，sinC=sin2C，則C=，則，故答案為．16．（4分）（2008?山東）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則b的取值范圍5＜b＜7．【分析】首先分析題目已知不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，求b的取值范圍，考慮到先根據(jù)絕對值不等式的解法解出|3x﹣b|＜4含有參數(shù)b的解，使得解中只有整數(shù)1，2，3，即限定左邊大于0小于1，右邊大于3小于4．即可得到答案．【解答】解：因?yàn)?，又由已知解集中的整?shù)有且僅有1，2，3，故有．故答案為5＜b＜7．三、解答題（共6小題，滿分74分）17．（12分）（2008?山東）已知函數(shù)（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．【分析】（Ⅰ）先用兩角和公式對函數(shù)f（x）的表達(dá)式化簡得f（x）=2sin（ωx+φ﹣），利用偶函數(shù)的性質(zhì)即f（x）=f（﹣x）求得ω，進(jìn)而求出f（x）的表達(dá)式，把x=代入即可．（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變化可得函數(shù)g（x）的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）==．∵f（x）為偶函數(shù)，∴對x∈R，f（﹣x）=f（x）恒成立，∴．即，整理得．∵ω＞0，且x∈R，所以．又∵0＜φ＜π，故．∴．由題意得，所以ω=2．故f（x）=2cos2x．∴．（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象．∴．當(dāng)（k∈Z），即（k∈Z）時(shí)，g（x）單調(diào)遞減，因此g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（k∈Z）．18．（12分）（2008?山東）甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識競賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問題，答對者對本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分．假設(shè)甲隊(duì)中每人答對的概率均為，乙隊(duì)中3人答對的概率分別為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響．用ξ表示甲隊(duì)的總得分．（Ⅰ）求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求P（AB）．【分析】（1）由題意甲隊(duì)中每人答對的概率均為，故可看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故，（2）AB為“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”和“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”同時(shí)滿足，有兩種情況：“甲得（2分）乙得（1分）”和“甲得（3分）乙得0分”這兩個(gè)事件互斥，分別求概率，再取和即可．【解答】解：（Ⅰ）解法一：由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，且，，，．所以ξ的分布列為ξ0123Pξ的數(shù)學(xué)期望為．解法二：根據(jù)題設(shè)可知，，因此ξ的分布列為，k=0，1，2，3．因?yàn)?，所以．（Ⅱ）解法一：用C表示“甲得（2分）乙得（1分）”這一事件，用D表示“甲得（3分）乙得0分”這一事件，所以AB=C∪D，且C，D互斥，又=，，由互斥事件的概率公式得．解法二：用Ak表示“甲隊(duì)得k分”這一事件，用Bk表示“乙隊(duì)得k分”這一事件，k=0，1，2，3．由于事件A3B0，A2B1為互斥事件，故有P（AB）=P（A3B0∪A2B1）=P（A3B0）+P（A2B1）．由題設(shè)可知，事件A3與B0獨(dú)立，事件A2與B1獨(dú)立，因此P（AB）=P（A3B0）+P（A2B1）=P（A3）P（B0）+P（A2）P（B1）=．19．（12分）（2008?山東）將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，b1=a1=1．Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，且滿足．（Ⅰ）證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）上表中，若從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)．當(dāng)時(shí)，求上表中第k（k≥3）行所有項(xiàng)的和．【分析】（Ⅰ）由題意所給的已知等式特點(diǎn)應(yīng)考慮應(yīng)用已知數(shù)列的前n項(xiàng)和求其通項(xiàng)這一公式來尋求出路，得到Sn與SSn﹣1之間的遞推關(guān)系，先求出Sn的通項(xiàng)公式即可得證，接下來求{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由題意第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構(gòu)成的數(shù)列為{bn}，b1=a1=1，又已知{bn}的通項(xiàng)公式和a81的值，應(yīng)該現(xiàn)有規(guī)律判斷這一向位于圖示中的具體位置，有從第三行起，第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)進(jìn)而求解．【解答】解：（Ⅰ）證明：由已知，當(dāng)n≥2時(shí)，，又Sn=b1+b2+…+bn，所以，又S1=b1=a1=1．所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．由上可知，．所以當(dāng)n≥2時(shí)，．因此（Ⅱ）設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為q，且q＞0．因?yàn)?，所以表中?行至第12行共含有數(shù)列{an}的前78項(xiàng)，故a81在表中第13行第三列，因此．又，所以q=2．記表中第k（k≥3）行所有項(xiàng)的和為S，則．20．（12分）（2008?山東）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：AE⊥PD；（Ⅱ）若H為PD上的動點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【分析】（1）要證明AE⊥PD，我們可能證明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我們只要能證明AE⊥AD即可，由于底面ABCD為菱形，故我們可以轉(zhuǎn)化為證明AE⊥BC，由已知易我們不難得到結(jié)論．（2）由EH與平面PAD所成最大角的正切值為，我們分析后可得PA的值，由（1）的結(jié)論，我們進(jìn)而可以證明平面PAC⊥平面ABCD，則過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E﹣AF﹣C的平面角，然后我們解三角形ASO，即可求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，所以PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD．又PD?平面PAD，所以AE⊥PD．解：（Ⅱ）設(shè)AB=2，H為PD上任意一點(diǎn)，連接AH，EH．由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，，所以當(dāng)AH最短時(shí)，∠EHA最大，即當(dāng)AH⊥PD時(shí)，∠EHA最大．此時(shí)，因此．又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2．因?yàn)镻A⊥平面ABCD，PA?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD．過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連接ES，則∠ESO為二面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，，，又F是PC的中點(diǎn)，在Rt△ASO中，，又，在Rt△ESO中，，即所求二面角的余弦值為．21．（12分）（2008?山東）已知函數(shù)，其中n∈N*，a為常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)n=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，證明：對任意的正整數(shù)n，當(dāng)x≥2時(shí)，有f（x）≤x﹣1．【分析】（1）欲求：“當(dāng)n=2時(shí)，”的極值，利用導(dǎo)數(shù)，求其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)及單調(diào)性進(jìn)行判斷即可；（2）欲證：“f（x）≤x﹣1”，令，利用導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，只要證明函數(shù)f（x）的最大值是x﹣1即可．【解答】解：（Ⅰ）解：由已知得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x＞1}，當(dāng)n=2時(shí)，，所以．（1）當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0得，，此時(shí)．當(dāng)x∈（1，x1）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（x1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）無極值．綜上所述，n=2時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在處取得極小值，極小值為．當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）無極值．（Ⅱ）證法一：因?yàn)閍=1，所以．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，令，則（x≥2）．所以當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，g（x）單調(diào)遞增，又g（2）=0，因此恒成立，所以f（x）≤x﹣1成立．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要證f（x）≤x﹣1，由于，所以只需證ln（x﹣1）≤x﹣1，令h（x）=x﹣1﹣ln（x﹣1），則（x≥2），所以當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，h（x）=x﹣1﹣ln（x﹣1）單調(diào)遞增，又h（2）=1＞0，所以當(dāng)x≥2時(shí)，恒有h（x）＞0，即ln（x﹣1）＜x﹣1命題成立．綜上所述，結(jié)論成立．證法二：當(dāng)a=1時(shí)，．當(dāng)x≥2時(shí)，對任意的正整數(shù)n，恒有，故只需證明1+ln（x﹣1）≤x﹣1．令h（x）=x﹣1﹣（1+ln（x﹣1））=x﹣2﹣ln（x﹣1），x∈[2，+∞），則，當(dāng)x≥2時(shí)，h'（x）≥0，故h（x）在[2，+∞）上單調(diào)遞增，因此當(dāng)x≥2時(shí)，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x﹣1）≤x﹣1成立．故當(dāng)x≥2時(shí)，有．即f（x）≤x﹣1．22．（14分）（2008?山東）如圖，設(shè)拋物線方程為x2=2py（p＞0），M為直線y=﹣2p上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B．（Ⅰ）求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣2p）時(shí)，．求此時(shí)拋物線的方程；（Ⅲ）是否存