專題05函數(shù)的基本性質(zhì)（12大考點知識串講熱考題型專題訓(xùn)練）

專題05函數(shù)的基本性質(zhì)知識聚焦考點聚焦知識點1函數(shù)的單調(diào)性1、單調(diào)函數(shù)的定義與圖象設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值，當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞增函數(shù)。當(dāng)時，都有，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是單調(diào)遞減函數(shù)。上升趨勢下降趨勢2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．3、單調(diào)性定義的等價形式:（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.（2）函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.4、定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟①取值：設(shè)，為該區(qū)間內(nèi)任意的兩個值，且②作差變形：做差，并通過通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差值符號的方向變形③定號：確定差值的符號，當(dāng)符號不確定時，可以分類討論④判斷：根據(jù)定義做出結(jié)論。5、函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)若函數(shù)與在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：（1）與（C為常數(shù)）具有相同的單調(diào)性.（2）與的單調(diào)性相反.（3）當(dāng)時，與單調(diào)性相同；當(dāng)時，與單調(diào)性相反.（4）若≥0，則與具有相同的單調(diào)性.（5）若恒為正值或恒為負(fù)值，則當(dāng)時，與具有相反的單調(diào)性；當(dāng)時，與具有相同的單調(diào)性.（6）與的和與差的單調(diào)性（相同區(qū)間上）:簡記為：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘.（7）對于符合函數(shù)，設(shè)在上單調(diào)，且在或上也單調(diào)，那么在的單調(diào)性簡記為“同增異減”.知識點2函數(shù)的奇偶性1、函數(shù)奇偶性的定義（1）奇函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱（2）偶函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱。偶函數(shù)的性質(zhì)：，可避免討論．2、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法（1）定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的，再判斷與之一是否相等.【注意】判斷與的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：=1\*GB3①如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；=2\*GB3②如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．（2）圖象法：奇（偶）函數(shù)等價于它的圖象關(guān)于原點（軸）對稱.（3）性質(zhì)法：設(shè)，的定義域分別是，，在它們的公共定義域上，一般具有下列結(jié)論：偶偶偶偶偶偶奇不確定奇偶奇偶不確定奇偶奇奇奇偶奇【注意】在中，的值域是定義域的子集（4）分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷.分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷與的關(guān)系。首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達(dá)式中，與對應(yīng)不同的表達(dá)式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行比較.3、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)奇偶性的一種方法，又是在已知函數(shù)奇偶性時可以運用的一個性質(zhì)，要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用。（1）由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)：若函數(shù)解析式中含參數(shù)，則根據(jù)或，利用待定系數(shù)法求參數(shù)；若定義域含參數(shù)，則根據(jù)定義域關(guān)于原點對稱，利用區(qū)間的端點值之和為0求參數(shù)。（2）由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值：由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時，若所給的函數(shù)具有奇偶性，則直接利用或求解；若所給函數(shù)不具有奇偶性，一般續(xù)利用所給的函數(shù)構(gòu)造一個奇函數(shù)或偶函數(shù)，然后利用其奇偶性求值。（3）由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)解析式的一般步驟第一步：在哪個區(qū)間上求解析是，就設(shè)在哪個區(qū)間上；第二步：把對稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，代入已知區(qū)間的解析式得第三步：利用函數(shù)的奇偶性把改寫成，從而求出.知識點3函數(shù)的周期性1、周期函數(shù)的定義：對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期．2、函數(shù)周期性的常用結(jié)論（是不為0的常數(shù)）（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若，則；（6）若，則（）；知識點4函數(shù)的對稱性1、函數(shù)對稱性的常用結(jié)論（1）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對稱；（2）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對稱；（3）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對稱；（4）若，則函數(shù)圖象關(guān)于對稱；2、函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的對稱性的關(guān)系（1）若函數(shù)滿足，則其函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時可以得出，函數(shù)為偶函數(shù)，即偶函數(shù)為特殊的線對稱函數(shù)；（2）若函數(shù)滿足，則其函數(shù)圖象關(guān)于點對稱，當(dāng)，時可以得出，函數(shù)為奇函數(shù)，即奇函數(shù)為特殊的點對稱函數(shù)；3、函數(shù)對稱性與周期性的關(guān)系（1）若函數(shù)關(guān)于直線與直線對稱，那么函數(shù)的周期是；（2）若函數(shù)關(guān)于點對稱，又關(guān)于點對稱，那么函數(shù)的周期是；（3）若函數(shù)關(guān)于直線，又關(guān)于點對稱，那么函數(shù)的周期是.4、函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的關(guān)系（1）=1\*GB3①函數(shù)是偶函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.（2）=1\*GB3①函數(shù)是奇函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于點對稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.（3）=1\*GB3①函數(shù)是奇函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.（4）=1\*GB3①函數(shù)是偶函數(shù)；=2\*GB3②函數(shù)圖象關(guān)于點對稱；=3\*GB3③函數(shù)的周期為.其中，上面每組三個結(jié)論中的任意兩個能夠推出第三個?？键c剖析考點1函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明【例1】（2022秋·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)在上為增函數(shù)，則下列結(jié)論一定正確的是A．在上為減函數(shù)B．在上為增函數(shù)C．在上為增函數(shù)D．在上為減函數(shù)【答案】D【解析】根據(jù)題意，在上為增函數(shù)，依次分析選項：對于，若，則，在上不是減函數(shù)，錯誤；對于，若，則，在上不是增函數(shù)，錯誤；對于，若，則，在上不是增函數(shù)，錯誤；對于，函數(shù)在上為增函數(shù)，則對于任意的、，設(shè)，必有，對于，則有，則在上為減函數(shù)，正確；故選：D.【變式11】（2020秋·高一課時練習(xí)）設(shè)，都是上的單調(diào)函數(shù)，有如下四個命題，正確的是（）①若單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞增；②若單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞增；③若單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則單調(diào)遞減；④若單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，則單調(diào)遞減.A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】C【解析】對于命題①，令，均為增函數(shù)，而為減函數(shù)，①錯誤；對于命題②，設(shè)，則，，∴，∴，故單調(diào)遞增，命題②正確；對于命題③，設(shè)，則，，∴，∴，故單調(diào)遞減，命題③正確.對于命題④，令，均為減函數(shù)，而為增函數(shù)，故④錯誤.故選：C【變式12】（2023·高一課時練習(xí)）已知定義在（0，）上的函數(shù)滿足：對任意正數(shù)a?b，都有，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確的是（）A．是增函數(shù)，且B．是增函數(shù)，且C．是減函數(shù)，且D．是減函數(shù)，且【答案】D【解析】法一：取，滿足題干條件，則是減函數(shù)，且；法二：當(dāng)時，.設(shè)，則，由已知，.所以，即，所以是減函數(shù)，故選：D.【變式13】（2023秋·黑龍江雙鴨山·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的圖像過點．（1）求實數(shù)m的值；（2）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；【答案】（1）；（2）單調(diào)遞增，證明見解析；【解析】（1）將點代入函數(shù)中，可得，解得.（2）單調(diào)遞增，證明如下.由（1）可得，任取，則，因為，則，，，即，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.【變式14】（2022秋·廣東東莞·高一校聯(lián)考期中）設(shè)是定義在上的函數(shù)，對任意的，恒有，且當(dāng)時，．（1）求．（2）證明：時，恒有．（3）求證：在上是減函數(shù)．【答案】（1）1；（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】（1）由題意，在中，∴解得：或當(dāng)時，令，則恒成立，故舍去，∴（2）由題意及（1）得，在中，令，若，則即，而當(dāng)時，，矛盾，∴∴∴時，恒有（3）由題意及（1）（2）得,在中，當(dāng)時，設(shè)任意的且∵，∴即∴∴在上是減函數(shù)考點2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)的單增區(qū)間為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.因為，，所以的增區(qū)間是．故選：D【變式21】（2022·高一單元測試）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】的圖象是由的圖象沿軸向右平移個單位，然后沿軸向下平移個單位得到，如下圖的單調(diào)增區(qū)間是．故選：C.【變式22】（2023秋·重慶·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.【答案】【解析】令，解得，故函數(shù)定義域為，其中，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中在上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，的單調(diào)遞減區(qū)間為.【變式23】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）若定義在上的函數(shù)滿足，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．和B．和C．和D．和【答案】B【解析】當(dāng)時，，則，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，，在上單調(diào)遞增；綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為和.故選：B.考點3已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)【例3】（2023秋·浙江寧波·高一?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，設(shè)，則為減函數(shù)，且在區(qū)間上大于零恒成立.所以，故選：A【變式31】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）是函數(shù)在單調(diào)遞減的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要【答案】A【解析】，顯然函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以時，函數(shù)在單調(diào)遞減；若函數(shù)在單調(diào)遞減，則，所以是函數(shù)在單調(diào)遞減的充分不必要條件.故選：A.【變式32】（2023秋·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】函數(shù)的圖象的對稱軸為，因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，解得，所以的取值范圍為.【變式33】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是R上的單調(diào)減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A．[0，＋∞)B．C．D．(－∞，0)∪【答案】B【解析】當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，即有，解得；當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)，分界點處的值應(yīng)滿足，解得，∴．故選：B.【變式34】（2023秋·貴州貴陽·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)對，都有，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍是.考點4利用函數(shù)單調(diào)性求值域【例4】（2023秋·江蘇無錫·高一?？茧A段練習(xí)）求下列函數(shù)的值域（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1），根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上函數(shù)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，所以；（2）易知函數(shù)的定義域為，令，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知時，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，即時，，函數(shù)無最小值，故.【變式41】（2023秋·四川眉山·高一仁壽一中校考階段練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.（1）（2）【答案】（1）；（2）【解析】（1）,函數(shù)的定義域為，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，,又因為，所以.所以函數(shù)的值域為（2）,當(dāng)且僅當(dāng)取等號,函數(shù)的值域為.【變式42】（2023秋·浙江嘉興·高一?？茧A段練習(xí)）記表示中三個數(shù)的最小值，若，則的最大值為.【答案】1【解析】由題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，；從而，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：由圖可知時，函數(shù)有最大值1.【變式43】（2023秋·黑龍江雙鴨山·高一校考階段練習(xí)）若a，R，記，則函數(shù)(R)的最大值為（）A．0B．C．1D．3【答案】C【解析】比較函數(shù)與函數(shù)值的大小，取較小值，得到如圖所示的圖像：當(dāng)時，令，則解得，；當(dāng)時，令，則，解得，所以函數(shù)與的交點坐標(biāo)為，，由圖可知時，函數(shù)有最大值1.故選：C.【變式44】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知二次函數(shù)，且，且的解集為．（1）求的解析式．（2）求在區(qū)間的最大值記為，并求的最大值．【答案】（1）；（2），最大值為8【解析】（1）∵，∴函數(shù)的對稱軸為，∵二次函數(shù)，∴①，又的解集為，，∴的兩個根是，；并且．即②，③，聯(lián)立①②③，解得，，．∴函數(shù)的解析式為：．（2）由（1）知開口向下，且對稱軸為，在區(qū)間的最大值記為，當(dāng)，即時，在上是增函數(shù)，函數(shù)的最大值為．當(dāng)時，在上是減函數(shù)，函數(shù)的最大值為．當(dāng)，即時，在上函數(shù)的最大值為．綜上：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以函數(shù)的最大值為8．考點5根據(jù)函數(shù)的值域求參數(shù)【例5】（2023·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上有最小值1，則實數(shù)m的取值范圍是．【答案】【解析】，要想取到最小值1，則，所以.【變式51】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是.【答案】【解析】由題意，在中，∵函數(shù)有最小值，∴函數(shù)應(yīng)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增或常函數(shù)，∴，解得：，∴有最小值時，實數(shù)a的取值范圍是.【變式52】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，記函數(shù)，其中實數(shù)，若的值域為，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以，由雙勾函數(shù)的性質(zhì)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，，，所以的取值范圍是：.故選：B.【變式53】（2023秋·福建漳州·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)，對使成立，則的取值范圍是.【答案】【解析】由函數(shù)，則其單調(diào)性為單調(diào)遞增，所以其在上的值域為；由函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，其在上的值域為；根據(jù)題意，，可得不等式組，解得，所以可得.【變式54】（2022秋·貴州遵義·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)對于一切實數(shù)x，y，都有成立，且當(dāng)時，．（1）求．（2）求的解析式．（3）若函數(shù)，試問是否存在實數(shù)a，使得的最小值為？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，【解析】（1）令，則，解得或（舍去），所以．（2）令，則，．所以的解析式為．（3）由，即．令，記函數(shù)，對稱軸為．①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，所以，解得，不符合題意，舍去；②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，解得，不符合題意，舍去；③當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，所以，解得，符合題意．綜上，存在，使得的最小值為．考點6函數(shù)奇偶性的判斷與證明【例6】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）偶函數(shù)；（2）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；（3）非奇非偶函數(shù)【解析】（1）因為的定義域為，且，所以函數(shù)為偶函數(shù).（2）因為，所以，則有，解得，則函數(shù)定義域為，且，所以和同時成立，故既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).（3），其定義域為，其定義域不關(guān)于原點對稱，所以是非奇非偶函數(shù)．【變式61】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，該函數(shù)是由（該函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱，即為奇函數(shù)）向右平移2個單位，然后再沿軸向下平移1個單位得到的，故將的圖像向左平移2個單位，然后再沿軸向上平移1個單位得到關(guān)于原點對稱的奇函數(shù)的圖像，可知．故選：D．【變式62】（2023秋·福建福州·高一?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象（）A．關(guān)于軸對稱B．關(guān)于原點對稱C．關(guān)于軸對稱D．關(guān)于直線對稱【答案】B【解析】的定義域為，關(guān)于原點對稱，，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.故選項B正確.故選：B.【變式63】（2023秋·新疆·高一校聯(lián)考期中）（多選）已知是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（）A．是奇函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是奇函數(shù)【答案】CD【解析】是奇函數(shù)，；是偶函數(shù)，；對于A，，不是奇函數(shù)，A錯誤；對于B，，不是奇函數(shù)，B錯誤；對于C，，是奇函數(shù)，C正確；對于D，，是奇函數(shù)，D正確.故選：CD.【變式64】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為，并且滿足，且，當(dāng)時，．（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；【答案】（1）；（2）奇函數(shù)【解析】（1）由，令，得，所以；（2）奇函數(shù)，理由如下：由，令，則，又的定義域為，所以函數(shù)為奇函數(shù).考點7根據(jù)函數(shù)奇偶性求參求值【例7】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則．【答案】/【解析】由題意可知，即.又是奇函數(shù)，故，即，∴對任意都成立，則，∴.所以.【變式71】（2023秋·重慶·高一?？茧A段練習(xí)）已知且，則=.【答案】【解析】由題意，設(shè)，又，所以函數(shù)是奇函數(shù)，可得，即，又，則.【變式72】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，且，則的值為.【答案】【解析】，令，函數(shù)定義域為R，，為奇函數(shù)，，則，.【變式73】（2023秋·浙江寧波·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則．【答案】2【解析】，設(shè)，則，函數(shù)為奇函數(shù)，，，.【變式74】（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，.若，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由是奇函數(shù)，得，即，由是偶函數(shù)，得，令，得：，，而，于是，解得，令，得，即，則，解得，因此，又，于是，所以.故選：C考點8利用函數(shù)奇偶性求解析式【例8】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）為上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則．【答案】【解析】當(dāng)時，，則．由于是上的奇函數(shù)，故，所以當(dāng)時，．因為為上的奇函數(shù)，故．綜上，.【變式81】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，求函數(shù)的解析式．【答案】【解析】設(shè)，則，所以，又是上的奇函數(shù)，則，又函數(shù)定義域為，則，綜上可知，函數(shù)的解析式為．【變式82】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，求的解析式．【答案】【解析】因為當(dāng)時，，所以因為是R上的偶函數(shù)，所以，，所以.【變式83】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)滿足為奇函數(shù)，則函數(shù)的解析式可能為（寫出一個即可）．【答案】(答案不唯一)【解析】取，則符合題意．【變式84】（2023秋·江蘇南通·高一校考階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則．【答案】【解析】∵，∴.由是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，可有，，代入上式，，則有，；則.【變式85】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知奇函數(shù)則．【答案】【解析】當(dāng)時，，，則．考點9利用單調(diào)性奇偶性解不等式【例9】（2023秋·湖南郴州·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)為偶函數(shù)，且對任意都有，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為任意都有所以函數(shù)在上單調(diào)增，又為偶函數(shù)，，所以，解得，解集為.故選：B.【變式91】（2023秋·福建福州·高一校考階段練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由函數(shù)在上為增函數(shù)，且為奇函數(shù)，可得在上為增函數(shù)，又由，可得，因為不等式，即，當(dāng)時，不等式等價于，解得；當(dāng)時，不等式等價于，解得，所以不等式的解集為.故選：D.【變式92】（2023秋·重慶·高一?？茧A段練習(xí)）若函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為.【答案】【解析】，，即為偶函數(shù)，設(shè)，函數(shù)為偶函數(shù)，并且在單調(diào)遞增，不等式，即，則，所以，兩邊平方后得，解得：，所以不等式的解集為.【變式93】（2023秋·寧夏銀川·高一?？计谥校┤舳x在上的偶函數(shù)滿足：對任意的，，有，且，則滿足的x的取值范圍為．【答案】【解析】因為對任意的，，有，所以在上單調(diào)遞減，又因為在R上為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又因為，所以，則的草圖如圖所示，所以或或，，又因為，所以或，即或，解得或，所以x的取值范圍為.【變式94】（2023秋·江蘇南通·高一?？茧A段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【解析】令，因為定義在上的函數(shù)滿足，所以定義在上的函數(shù)滿足，所以在上單調(diào)遞減，由，得，所以，所以，解得，所以原不等式的解集為.考點10利用單調(diào)性奇偶性比大小【例10】（2022秋·河北邯鄲·高一?？计谥校ǘ噙x）已知為區(qū)間上的減函數(shù)，且，則()A．B．C．D．【答案】ACD【解析】因為，則，又為區(qū)間上的減函數(shù)，故，故A正確；因為與0的大小關(guān)系不定，無法比較與的大小，故B錯；因為＝2＋＞0，所以＋1＞a，又f(x)為(－∞,＋∞)上的減函數(shù)，所以，故C正確；因為，，又f(x)為(－∞,＋∞)上的減函數(shù)，所以，故D正確．故選：ACD【變式101】（2022秋·廣東梅州·高一?？茧A段練習(xí)）定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意有則當(dāng)時，有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依題意，對任意有，則對任意有所以在上遞減，由于是偶函數(shù)，所以在上遞增，則，因為，所以，即.故選：B.【變式102】（2023·全國·高一專題練習(xí)），，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，即,,即，故選:A.【變式103】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)，若，則，，的大小關(guān)系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，為上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得在上是減函數(shù)，若，則．故選：C．【變式104】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，在上單調(diào)遞減，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對于A，，但無法判斷的正負(fù)，故A不正確；對于B，，但無法判斷的正負(fù)，故B不正確；對于C，，在上單調(diào)遞減，所以，故C不正確；對于D，，在上單調(diào)遞減，，故D正確.故選：D.考點11利用周期性求函數(shù)值【例11】（2023秋·湖北孝感·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為為偶函數(shù)，所以，因為為奇函數(shù)，所以，即，以替代得，所以，故，可知是周期為的周期函數(shù)，由得，所以關(guān)于對稱，所以，所以A選項正確，BCD選項無法判斷.故選：A【變式111】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，且的圖象關(guān)于點對稱，當(dāng)時，，則的值為（）A．2B．1C．0D．1【答案】D【解析】因為函數(shù)是上的偶函數(shù)，所以，因為的圖象關(guān)于點對稱，所以，即，所以，所以，所以函數(shù)是上周期為4的函數(shù)，當(dāng)時，，所以，，又，，所以，所以.故選：D.【變式112】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意都有，若，則（）A．B．0C．1D．【答案】D【解析】因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，又由可得，，所以有，則，所以，所以是周期函數(shù)，周期.又，所以，又，，所以.故選：D.【變式113】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)為R上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】因為為R上的奇函數(shù)，所以；因為為偶函數(shù)，所以，故B正確；由可得，所以；因為，其結(jié)果不一定為零，故A不正確；由得，所以，故C正確；由得，所以周期為4，所以，因為從題目無法得出，故D不正確；故選：BC.考點12函數(shù)對稱性的應(yīng)用【例12】（2023秋·江蘇南通·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)的對稱中心是．【答案】【解析】函數(shù)，顯然函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移2個單位，再向上平移1個單位而得，而函數(shù)的圖象的對稱中心為，所以函數(shù)的圖象的對稱中心為.【變式121】（2022秋·福建廈門·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，則函數(shù)具有下列性質(zhì)（）A．函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D．函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱【答案】BD【解析】由題意，，函數(shù)圖象由的圖象向左平移1個單位，再向下平移1個單位可得，如下圖由圖可知，函數(shù)在和上是減函數(shù)，所以選項A錯誤；函數(shù)的值域為，所以選項B正確；函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以選項C錯誤，選項D正確.故選：BD.【變式122】（2023秋·河南鄭州·高一?？茧A段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，正確的說法是（）A．與x軸有一個交點B．的定義域為C．在單調(diào)遞增D．的圖象關(guān)于點對稱【答案】ABD【解析】，作出函數(shù)圖象如圖：由圖象可知，函數(shù)只有一個零點，定義域為，在上單調(diào)遞減，圖象關(guān)于對稱，故C錯誤，故選：ABD．【變式123】（2023秋·重慶·高一月考）已知函數(shù)，則．【答案】【解析】由題意可得：，令，則，可得，所以．【變式124】（2023秋·江蘇南京·高一?？茧A段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，則.【答案】7【解析】因為定義在R上的函數(shù)滿足，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，∴.過關(guān)檢測1．（2022秋·陜西渭南·高一校考階段練習(xí)）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，且，故既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，A正確；定義域為，，故是奇函數(shù)，故B錯誤；，定義域為R，，故是偶函數(shù)，故C錯誤；定義域為，又，故是偶函數(shù)，故D錯誤.故選：A2．（2023秋·寧夏石嘴山·高一?？计谥校┰O(shè)是定義在上的奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由題意是定義在上的奇函數(shù)，則由奇函數(shù)的性質(zhì)可得，解得，所以，從而.故選：C.3．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）若偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為為偶函數(shù)，所以，所以，且，因為在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，則，故，當(dāng)時，則，故，綜上：的解集為.故選：B4．（2022秋·貴州·高一校考階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最大值、最小值分別是（）A．，4B．無最大值，最小值為7C．4，0D．最大值為4，無最小值【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，在處取得最大值4，而取不到，則最小值取不到.故選：D5．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）若函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意得，要使在上是減函數(shù)，需滿足：解得.故選：A.6．（2023秋·安徽淮南·高一校考階段練習(xí)）已知是定義域為的奇函數(shù)，滿足，若，則（）A．2023B．C．3D．【答案】B【解析】因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，，因為，所以，可得，所以的周期為4，因為，，，所以，，所以，則.故選：B.7．（2022秋·四川·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)滿足，且，則（）A．B．C．的解析式可能為D．為奇函數(shù)【答案】ACD【解析】