數(shù)學(xué)九年級下冊專題28.3 銳角三角函數(shù)章末重難點突破（人教版）（教師版）

專題28.3銳角三角函數(shù)章末重難點突破【人教版】【考點1銳角三角函數(shù)的定義】【例1】（2021秋?包河區(qū)期末）如圖，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD與CE相交于O，則圖中線段的比不能表示sinA的式子為（）A．BDAB B．CDOC C．AEAD【解題思路】根據(jù)BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行求解即可．【解答過程】解：A、∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，∴sinA=BDAB=B、∵∠A+∠ACE＝90°，∠ACE+∠COD＝90°，∴∠A＝∠COD，∴sinA＝sin∠COD=CDOC，故C、無法得出sinA=AED、∵∠BOE＝∠COD，∴∠A＝∠BOE，∴sinA＝sin∠BOE=BEBO，故???????故選：C．【變式1-1】（2021?吳興區(qū)一模）如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，則tanA的值為（）A．35 B．43 C．34【解題思路】先設(shè)AC＝3x，AB＝5x，則利用勾股定理可計算出BC＝4x，然后根據(jù)正切的定義求解．【解答過程】解：∵∠ACB＝90°，AC：AB＝3：5，設(shè)AC＝3x，AB＝5x，∴BC=AB2∴tanA=BC故選：B．【變式1-2】（2021秋?商河縣校級期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中，正確的是（）A．sinA=23 B．cosA=23 C．tanA=【解題思路】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義以及勾股定理分別求解，再進(jìn)行判斷即可．【解答過程】解：∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝4，∴AB=62+A、sinA=BCB、cosA=ACC、tanA=BCD、tanB=AC故選：D．【變式1-3】（2021?下城區(qū)模擬）如圖，△ACB中，∠ACB＝Rt∠，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，則BD的長可表示為（）A．a(chǎn)?（cosα﹣cosβ） B．a(chǎn)tanβ?tanαC．a(chǎn)cosα?a?sinαtanβ D．a(chǎn)?cosα﹣asinα?a【解題思路】利用銳角三角函數(shù)關(guān)系分別表示出BC，DC的長進(jìn)而得出答案．【解答過程】解：∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，∴cosB＝cosα=BC則BC＝a?cosα，sinB＝sinα=AC故AC＝a?sinα，則tanβ=AC故DC=AC則BD＝BC﹣DC＝a?cosα?a?sinα故選：C．【考點2網(wǎng)格中的銳角三角函數(shù)值計算】【例2】（2021秋?臥龍區(qū)校級月考）如圖，△ABC的頂點都在方格紙的格點上，則sinC為（）A．1010 B．13 C．14【解題思路】根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)連接格點AD、BD，利用勾股定理列式求出AC2、AD2、CD2，再利用勾股定理逆定理判斷出△ACD是直角三角形，然后根據(jù)銳角的正弦等于對邊比斜邊列式計算即可得解．【解答過程】解：如圖，連接格點AD、BD，由勾股定理得，AC2＝22+42＝20，AD2＝12+12＝2，CD2＝32+32＝18，∵AD2+CD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，∴sinC=AD故選：A．【變式2-1】（2021秋?高平市期末）如圖，點A、B、C在正方形網(wǎng)格的格點上，sin∠BAC＝（）A．1313 B．2613 C．2626【解題思路】如圖，取格點T，連接BT交AC于H，則BH⊥AC，設(shè)BH＝a，則AH＝5a，利用勾股定理求出AB，可得結(jié)論．【解答過程】解：如圖，取格點T，連接BT交AC于H，則BH⊥AC，設(shè)BH＝a，則AH＝5a，在Rt△AHB中，AB=BH∴sin∠BAC=BH故選：C．【變式2-2】（2021?建湖縣二模）在如圖所示8×8的網(wǎng)格中，小正方形的邊長為1，點A、B、C、D都在格點上，AB與CD相交于點E，則∠AED的正切值是（）A．2 B．12 C．23 【解題思路】如圖，取格點K，連接AK，BK．觀察圖形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，推出∠AED＝∠ABK，解直角三角形求出tan∠ABK即可．【解答過程】解：如圖，取格點K，連接AK，BK．觀察圖形可知AK⊥BK，BK＝2AK，BK∥CD，∴∠AED＝∠ABK，∴tan∠AED＝tan∠ABK=AK故選：B．【變式2-3】（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，△ABC的頂點都在正方形網(wǎng)格紙的格點上，則sin∠C2=10【解題思路】如圖，取格點T，連接AT，BT，設(shè)BT的中點為H，連接CH．證明CB＝CT，利用等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【解答過程】解：如圖，取格點T，連接AT，BT，設(shè)BT的中點為H，連接CH．∵BC=12+72=52∴CB＝CT，∵BH＝HT，∴∠HCA＝∠HCB，CH⊥BT，∵HT=1∴sin∠C2故答案為：1010【考點3同角/互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】【例3】（2021?溫江區(qū)校級自主招生）已知sinα+cosα=75，0°＜α＜45°A．34 B．43 C．34【解題思路】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可．【解答過程】解：設(shè)直角三角形中，銳角α所對的邊為a，鄰邊為b，斜邊為c，則sinα=ac，cosα=bc因為sinα+cosα=75，即所以a+bc設(shè)c＝5k，則a+b＝7k，由勾股定理可得，a＝3k，b＝4k或a＝4k，b＝3k，因為0°＜α＜45°，所以tanα=a故選：A．【變式3-1】（2021?浙江自主招生）已知：實常數(shù)a、b、c、d同時滿足下列兩個等式：①asinθ+bcosθ﹣c＝0；②acosθ﹣bsinθ+d＝0（其中θ為任意銳角），則a、b、c、d之間的關(guān)系式是：a2+b2＝c2+d2．【解題思路】把兩個式子移項后，兩邊平方，再相加，利用sin2θ+cos2θ＝1，即可找到這四個數(shù)的關(guān)系．【解答過程】解：由①得asinθ+bcosθ＝c，兩邊平方，a2sin2θ+b2cos2θ+2absinθcosθ＝c2③由②得acosθ﹣bsinθ＝﹣d，兩邊平方，a2cos2θ+b2sin2θ﹣2absinθcosθ＝d2④③+④得a2（sin2θ+cos2θ）+b2（sin2θ+cos2θ）＝c2+d2∴a2+b2＝c2+d2．故答案為：a2+b2＝c2+d2．【變式3-2】（2021秋?虹口區(qū)校級期中）下列結(jié)論（其中α是銳角）：①sinα+cosα≤1；②cos2α＝2cosα；③當(dāng)0°＜α＜β＜90°時，0＜sinα＜sinβ＜1；④sinα＝cosα?tanα．其中正確的有③④（填序號）．【解題思路】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系及銳角三角函數(shù)的增減性進(jìn)行判斷即可．【解答過程】解：①0＜sinα+cosα＜2，故①錯誤；②cos2α≠2cosα，故②錯誤；③當(dāng)0°＜α＜β＜90°時，0＜sinα＜sinβ＜1，故③正確；④sinα＝cosα?tanα，故④正確．故答案為：③④．【變式3-3】（2021秋?常州期末）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足為D．給出下列四個結(jié)論：①sinα＝sinB；②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正確的結(jié)論有．【解題思路】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)∠A＝90°，AD⊥BC，可得∠α＝∠B，∠β＝∠C，再利用銳角三角函數(shù)的定義可列式進(jìn)行逐項判斷．【解答過程】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，∴sinα＝sinB，故①正確；sinβ＝sinC，故②正確；∵在Rt△ABC中sinB=ACBC，cosC∴sinB＝cosC，故③正確；∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，∴sinα＝cos∠β，故④正確；故答案為①②③④．【考點4特殊角的三角函數(shù)值計算及其新定義問題】【例1】（2021?安慶模擬）親愛的同學(xué)們，在我們進(jìn)入高中以后，將還會學(xué)到三角函數(shù)公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ例：sin75°＝sin（30°+45°）＝sin30°cos45°+cos30°sin45°=（1）試仿照例題，求出cos75°的準(zhǔn)確值；（2）我們知道：tanα=sinα（3）根據(jù)所學(xué)知識，請你巧妙地構(gòu)造一個合適的直角三角形，求出tan75°的準(zhǔn)確值（要求分母有理化），和（2）中的結(jié)論進(jìn)行比較．【解題思路】從題中給出的信息進(jìn)行答題：（1）把75°化為30°+45°直接代入三角函數(shù)公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ計算即可；（2）把tan75°代入tanα=sinα（3）根據(jù)題意畫出圖形，利用三角函數(shù)的定義解答即可．【解答過程】解：（1）∵cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，∴cos75°＝cos（30°+45°）＝cos30°cos45°﹣sin30°sin45°，=3（2）∵tanα=sinα∴tan75°=sin75°cos75°=（3）如下圖：tan75°＝tan∠CBD=CD【變式4-1】（2021秋?臨澤縣校級月考）（1）2sin60°+3tan30°（2）sin260°+cos260°﹣tan45°（3）cos60°?tan45°+sin60°（4）22【解題思路】（1）把sin60°=32，tan30°（2）根據(jù)同角的正弦、余弦的平方和等于1，以及tan45°＝1進(jìn)行計算即可得解；（3）把cos60°=12，tan45°＝1，sin60°=32，tan30°（4）把sin45°=22，sin60°=3【解答過程】解：（1）2sin60°+3tan30°＝2×32=3＝23；（2）sin260°+cos260°﹣tan45°＝1﹣1＝0；（3）cos60°?tan45°+sin60°=1＝9﹣53（4）22=22×=1【變式4-2】（2021?叢臺區(qū)校級一模）嘉琪在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin27°+sin283°≈0.122+0.992＝0.9945，sin222°+sin268°≈0.372+0.932＝1.0018，sin229°+sin261°≈0.482+0.872＝0.9873，sin237°+sin253°≈0.602+0.802＝1.0000，sin245°+sin245°＝（22）2+（22）據(jù)此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A＝α，有sin2α+sin2（90°﹣α）＝1．（1）當(dāng)α＝30°時，驗證sin2α+sin2（90°﹣α）＝1是否成立．（2）請你對嘉琪的猜想進(jìn)行證明．【解題思路】（1）將α＝30°代入，根據(jù)三角函數(shù)值計算可得；（2）設(shè)∠A＝α，則∠B＝90°﹣α，根據(jù)正弦函數(shù)的定義及勾股定理即可驗證．【解答過程】解：（1）當(dāng)α＝30°時，sin2α+sin2（90°﹣α）＝sin230°+sin260°＝（12）2+（32=1＝1；（2）嘉琪的猜想成立，證明如下：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設(shè)∠A＝α，則∠B＝90°﹣α，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝（BCAB）2+（ACAB=B=A＝1．【變式4-3】（2021?溫州模擬）對于鈍角α，定義它的三角函數(shù)值如下：sinα＝sin（180°﹣α），cosα＝﹣cos（180°﹣α）（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；（2）若一個三角形的三個內(nèi)角的比是1：1：4，A，B是這個三角形的兩個頂點，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1＝0的兩個不相等的實數(shù)根，求m的值及∠A和∠B的大?。窘忸}思路】（1）按照題目所給的信息求解即可；（2）分三種情況進(jìn)行分析：①當(dāng)∠A＝30°，∠B＝120°時；②當(dāng)∠A＝120°，∠B＝30°時；③當(dāng)∠A＝30°，∠B＝30°時，根據(jù)題意分別求出m的值即可．【解答過程】解：（1）由題意得，sin120°＝sin（180°﹣120°）＝sin60°=3cos120°＝﹣cos（180°﹣120°）＝﹣cos60°=?1sin150°＝sin（180°﹣150°）＝sin30°=1（2）∵三角形的三個內(nèi)角的比是1：1：4，∴三個內(nèi)角分別為30°，30°，120°，①當(dāng)∠A＝30°，∠B＝120°時，方程的兩根為12，?將12代入方程得：4×（12）2﹣m解得：m＝0，經(jīng)檢驗?12是方程4x∴m＝0符合題意；②當(dāng)∠A＝120°，∠B＝30°時，兩根為32，3③當(dāng)∠A＝30°，∠B＝30°時，兩根為12，3將12代入方程得：4×（12）2﹣m解得：m＝0，經(jīng)檢驗32不是方程4x2綜上所述：m＝0，∠A＝30°，∠B＝120°．【考點5解直角三角形】【例5】（2021?淄博）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜邊AB上的中線，過點E作EF⊥AB交AC于點F．若BC＝4，△AEF的面積為5，則sin∠CEF的值為（）A．35 B．55 C．45【解題思路】根據(jù)直角三角形的斜邊中線等于斜邊一半可得CE＝AE＝BE=12AB，進(jìn)而得到∠BEC＝2∠A＝∠BFC，從而有∠CEF＝∠CBF，根據(jù)三角形的面積公式求出AF，由勾股定理，在Rt△BCF中，求出【解答過程】解：連接BF，∵CE是斜邊AB上的中線，EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分線，∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，∴S△AFB＝10=12AF?∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，∴CF=5∵CE＝AE＝BE=12∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，∴∠CEF＝∠FBC，∴sin∠CEF＝sin∠FBC=CF故選：A．【變式5-1】（2021?蚌埠模擬）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，如果BD＝9，DC＝5，cosB=35，E為AC的中點，那么sin∠A．15 B．513 C．1213【解題思路】由cosB=35，BD＝9求出AB長度，再由勾股定理求出AD，再由勾股定理求出AC，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半可得EC＝ED，即sin∠EDC＝sin【解答過程】解：在Rt△ABD中，cosB=BDAB=∴AB=53由勾股定理得AD=A在Rt△ADC中，由勾股定理得AC=A∵E為AC中點，∴ED＝EC=12AC∴sin∠EDC＝sinC=AD故選：C．【變式5-2】（2021秋?東明縣期末）如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD、AE分別是BC邊的中線和高，若cosB=35，（1）求AB的長；（2）求AE的長；（3）求sin∠ADB的值．【解題思路】（1）在Rt△ABC中，通過解直角三角形可求出AB的長；（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AC的長，再利用面積法可求出AE的長；（3）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出AD的長，在Rt△AED中，利用正弦的定義可求出sin∠ADB的值．【解答過程】解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，cosB=ABBC，∴AB＝BC?cosB＝10×3（2）在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，∴AC=B∵AE是BC邊的高，∴12AC?AB=12BC?AE，即12×∴AE=24（3）Rt△ABC中，AD是BC邊的中線，BC＝10，∴AD=12在Rt△AED中，∠AED＝90°，AD＝5，AE=24∴sin∠ADB=AE【變式5-3】（2021秋?解放區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，cosA=35，BC＝12，D是AB的中點，過點B作直線CD的垂線，垂足為點求：（1）線段CD的長；（2）cos∠ABE的值．【解題思路】（1）在△ABC中根據(jù)正弦的定義得到cosA=ACAB=35，則可計算出AB＝15，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可得到（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理計算出AC＝6，在根據(jù)三角形面積公式得到S△BDC＝S△ADC，則S△BDC=12S△ABC，即12CD?BE=12?12AC?BC【解答過程】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴cosA=AC∴可以假設(shè)AC＝3k，AB＝5k，則BC＝4k，而BC＝12，∴k＝3，∴AB＝15∵D是AB中點，∴CD=12AB（2）在Rt△ABC中，∵AB＝15，BC＝12，AC＝9，∵D是AB中點，∴BD=152，S△BDC＝S△∴S△BDC=12S△ABC，即12CD?BE=12?∴BE=9×12在Rt△BDE中，cos∠ABE=BE即cos∠ABE的值為2425【考點6構(gòu)造直角三角形解直角三角形（作垂線）】【例6】（2021?寧波模擬）如圖，AC，BD為四邊形ABCD的對角線，AC⊥BC，AB⊥AD，CA＝CD．若tan∠BAC=33．則tan∠A．2114 B．13 C．57【解題思路】根據(jù)tan∠BAC=33，得出∠BAC的度數(shù)，則在Rt△ACB中，設(shè)BC＝1，則AC=3；證明△CAD為等邊三角形，過點D作DE⊥CA，交CA于點E，設(shè)CA與BD交于點F，則DE∥BC，從而∠DBC＝∠FDE，設(shè)CF＝x，則EF=32?x，根據(jù)tan∠DBC＝tan∠FDE列出關(guān)于【解答過程】解：∵tan∠BAC=3∴∠BAC＝30°，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴設(shè)BC＝1，則AC=3∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝60°，∵CA＝CD，∴△CAD為等邊三角形，過點D作DE⊥CA，交CA于點E，設(shè)CA與BD交于點F，如圖，則有：CE=12AC=32，DE＝設(shè)CF＝x，則EF=32∵AC⊥BC，DE⊥CA，∴DE∥BC，∴∠DBC＝∠FDE，∴tan∠DBC＝tan∠FDE，∴CF∴x1解得：x=3∴tan∠DBC=x故選：D．【變式6-1】（2021?宜賓）如圖，在△ABC中，點O是角平分線AD、BE的交點，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（）A．12 B．2 C．63 【解題思路】∠OBD放在Rt△OBD中利用三角函數(shù)定義即可求．【解答過程】解：如圖：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根據(jù)勾股定理得：AD=100?36∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．設(shè)OD＝OF＝x，則AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根據(jù)勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD=OD故選：A．【變式6-2】（2021?紹興）如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB=14，點D是邊BC的中點，以AD為底邊在其右側(cè)作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，連結(jié)CE，則A．32 B．3 C．152【解題思路】設(shè)DE交AC于T,過點E作EH⊥CD于H.首先證明EA＝ED＝EC,再證明∠B＝∠ECD,可得結(jié)論?！窘獯疬^程】解：設(shè)DE交AC于T,過點E作EH⊥CD于H．∵∠BAC＝90°,BD＝DC,∴AD＝DB＝DC,∴∠B＝∠DAB,∵∠B＝∠ADE,∴∠DAB＝∠ADE,∴AB∥DE,∴∠DTC＝∠BAC＝90°,∵DT∥AB,BD＝DC,∴AT＝TC,∴EA＝EC＝ED,∴∠EDC＝∠ECD,∵EH⊥CD,∴CH＝DH,∵DE∥AB,∴∠EDC＝∠B,∴∠ECD＝∠B,∴cos∠ECH＝cosB=1∴CHEC∴ECAD故選：D．【變式6-3】（2021?宜興市模擬）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC=12，AD＝2，BD＝4，連接CD，則A．25+34 B．25+1 C．25【解題思路】如圖，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，連接CT，則AT=5，證明△DAB∽△TAC，推出DBTC=ADAT=25，推出TC＝25，再根據(jù)CD≤【解答過程】解：如圖，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，連接CT，則AT=5∵ADDT∴ADAB∵∠ADT＝∠ABC＝90°，∴△ADT∽△ABC，∴∠DAT＝∠BAC，AD∴∠DAB＝∠TAC，∵ADAT∴△DAB∽△TAC，∴DBTC∴TC＝25，∵CD≤DT+CT，∴CD≤1+25，∴CD的最大值為1+25，故選：B．【考點7解直角三角形的應(yīng)用（實物建模問題）】【例7】（2021?歷下區(qū)三模）3月26日，濟(jì)南軌道交通2號線開始初期運營，路線如圖所示，已知臘山南站到北園站直線距離AD長約21千米，從臘山南站到二環(huán)西路站的長AB約為4千米，路線的轉(zhuǎn)彎角∠B為157.5°，∠C為150°，又測得∠D＝30°，則從二環(huán)西路站到濟(jì)濼路站的距離BC的長為（）（tan22.5°≈0.6，sin22.5°≈0.4，cos22.5°≈0.9，3≈A．14.62千米 B．14.64千米 C．14.66千米 D．14.68千米【解題思路】過點B作BN⊥AD，過點C作CM⊥AD，構(gòu)造直角三角形，利用銳角三角函數(shù)求出BN、AN，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出CM，進(jìn)而求出DM，即可計算出BC．【解答過程】解：過點B作BN⊥AD于N，過點C作CM⊥AD于M，∵∠B＝157.5°，∠C＝150°，∠D＝30°，∴∠A＝22.5°，在△ABN中，AB＝4千米，∴BN＝AB×sin22.5°≈4×0.4＝1.6千米，AN＝AB×cos22.5°≈4×0.9＝3.6千米，∠ABN＝67.5°,∴∠NBC＝90°,∵∠NBC＝∠BND＝∠CMA＝90°,∴四邊形BNMC是矩形，∴CM＝BN＝1.6千米，BC＝MN，在△CDM中，DM=CM∴MN＝AD﹣AN﹣DM＝14.68千米，∴BC＝MN＝14.68千米．故選：D．【變式7-1】（2021秋?潛山市期末）為慶祝國慶，某公司要在如圖所示的五角星中（圖中所有線段的長度均相等，且∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝36°），從頂點A開始，沿邊每隔25厘米裝一盞閃光燈，如果F、J兩點間的距離等于（5?1）米，則需要安裝閃光燈的盞數(shù)是（）（參考數(shù)據(jù)：sin18°=A．70 B．80 C．79 D．71【解題思路】本題需要求出五角星的邊長，即求出AF的長．由于五角星是由正五邊形各邊的延長線相交所得，可得∠A的度數(shù)．在等腰△FJ中，根據(jù)BC的長和∠ABC的度數(shù)，可求出AB的長．即可求出五角星的周長，由此可求出需安裝閃光燈的數(shù)量．【解答過程】解：如圖：連接FJ，作AM⊥FJ于點M，∵∠FAJ＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝36°，∴∠FAM＝18°，F(xiàn)M=12FJ∵sin18°=FM∴5?12∴AF＝2（米），∴AF+AJ+JE+EI+ID+DH+HC+CG+BG+BF＝2000cm，則需安裝閃光燈：2000÷25＝80（盞）．故選：B．【變式7-2】（2021春?北碚區(qū)校級月考）某網(wǎng)紅地驚現(xiàn)震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了廣大游客前來打卡．小麗想了解該LED屏AB的高度，進(jìn)行了實地測量，她從大樓底部C點沿水平直線步行30米到達(dá)臺階底端D點，在D點測得屏幕下端點B的仰角為27°，然后她再沿著i＝4：3長度為35米的自動扶梯到達(dá)扶梯頂端E點，又沿水平直線行走了45米到達(dá)F點，在F點測得屏幕上端點A的仰角為50°（A，B，C，D，E，F(xiàn)，G在同一個平面內(nèi)，且E、F和C、D、G分別在同一水平線上），則該LED屏AB的高度約為（）（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）A．86.2米 B．114.2米 C．126.9米 D．142.2米【解題思路】作EM⊥GC于M，設(shè)FE交AC于N，則EN＝MC＝DM+DC，EM＝NC＝NB+BC，由三角函數(shù)定義求出BC，由坡度求出EM＝28米，MD＝21米，得出CM＝51米，F(xiàn)N＝96米，再由三角函數(shù)定義求出AN，即可得出答案．【解答過程】解：作EM⊥GC于M，設(shè)FE交AC于N，如圖所示：則EN＝MC＝DM+DC，EM＝NC＝NB+BC，由題意得：∠AFN＝50°，F(xiàn)E＝45米，DC＝30米，DE＝35米，∠BDC＝27°，ED的坡度i＝4：3，∵tan∠BDC=BC∴BC＝DC×tan27°≈30×0.51＝15.3（米），∵DE的坡度為4：3=EM∴EM＝NC=45ED＝28（米），DM=∴EN＝MC＝DM+DC＝21+30＝51（米），∴FN＝FE+EN＝45+51＝96（米），∵tan∠AFN=AN∴AN＝FN×tan50°≈96×1.19≈114.24（米），∴AB＝AC﹣BC＝AN+NC﹣BC＝114.24+28﹣15.3≈126.9（米）．故選：C．【變式7-3】（2021?義烏市模擬）如圖1是一張雙擋位可調(diào)節(jié)靠背椅，擋位調(diào)節(jié)示意圖如圖2．兩腳AB，AC以及靠背DE，座位FG，其中D，F(xiàn)分別為AC，DE上固定連接點，GF在點A上移動實現(xiàn)靠背的調(diào)節(jié)，DC＝4AD，EF＝4DF，已知AB＝AC＝DE＝50分米，tan∠ABC＝2．（1）當(dāng)GF∥BC時，點E離水平地面BC的高度為185分米．（2）當(dāng)靠背DE′⊥AC時，有G′E′∥BC，則GF的長為402分米．【解題思路】（1）如圖2中，延長ED交BC于點J，過點E作EH⊥BC于點H．解直角三角形求出EH即可．（2）如圖2中，延長AF交DE′于點T．解直角三角形求出AF′，F(xiàn)′T，E′F′，再利用平行線分線段成比例定理求出G′F′即可．【解答過程】解：（1）如圖2中，延長ED交BC于點J，過點E作EH⊥BC于點H．∵AF∥BC，∴∠AFJ＝∠FJC，∵DC＝4AD，EF＝4DF，AB＝AC＝DE＝50分米，∴AD＝DF＝10（分米），EF＝40（分米），∴∠DFA＝∠DAF，∠ABC＝∠ACD，∵∠FAD＝∠ACB，∴∠ABC＝∠FJC，∴AB∥FJ，∴四邊形ABJF是平行四邊形，∴AB＝FJ＝50（分米），∴EJ＝EF+FJ＝90（分米），∵tan∠EJH＝tan∠ABC＝2，∴EHJH∴可以假設(shè)JH＝m，EH＝2m，∴4m2+m2＝902，解得m＝185（負(fù)根已經(jīng)舍棄），∴EH＝365分米，∴點E離水平地面BC的高度為365分米．故答案為：365．（2）如圖2中，延長AF交DE′于點T．∵E′D⊥AC，∴∠ADT＝90°，∵tan∠TAD＝tan∠ACB＝tan∠ABC＝2，∴DTAD∴DT＝20（分米），∴TE′＝50﹣20＝30（分米），∵DF′＝10（分米），∴TF′＝DF′＝10（分米），∴AF′=AD2∵AT∥G′E′，∴F'AF'G'∴102∴F′G′＝402（分米），∴GF＝G′F′＝402（分米）．故答案為：402．【考點8解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡腳問題）】【例8】（2021秋?萊蕪區(qū)期中）如圖，山區(qū)某教學(xué)樓后面緊鄰著一個土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比為i＝1：512，且AB（1）求改造前坡頂與地面的距離BE的長；（2）為了消除安全隱患，學(xué)校計劃將斜坡AB改造成AF（如圖所示），那么BF至少是多少米？（結(jié)果精確到1米）【參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，cot53°≈0.75】【解題思路】（1）根據(jù)i的值，設(shè)出BE與AE，由AB的長求出k的值，即可確定出AE與BE；（2）過點F作FG⊥AD于點G，由題意，利用銳角三角函數(shù)定義求出AG的長，由AG﹣AE求出BF的長即可．【解答過程】解：（1）在Rt△ABE中，AB＝26，i=BE設(shè)BE＝12k，AE＝5k，則AB＝13k＝26，k＝2，∴AE＝10（米），BE＝24（米）；（2）過點F作FG⊥AD于點G，由題意可知：FG＝BE＝24，∠FAD＝53°，在Rt△AFG中，cot53°=AG∴AG＝18（米），∴BF＝GE＝AG﹣AE＝8（米），答：改造前坡頂與地面的距離BE為24米；BF至少是8米．【變式8-1】（2021?濟(jì)寧二模）鄭州市農(nóng)業(yè)路高架橋二層的開通，較大程度緩解了市內(nèi)交通的壓力，最初設(shè)計南陽路口上橋匝道時，其坡角為15°，后來從安全角度考慮將匝道坡角改為5°（見示意圖），如果高架橋高CD＝6米，匝道BD和AD每米造價均為4000元，那么設(shè)計優(yōu)化后修建匝道AD的投資將增加多少元？（參考數(shù)據(jù)：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09．tan15°≈0.27，結(jié)果保留整數(shù)）【解題思路】根據(jù)銳角三角函數(shù)可以分別表示出AD和BD的長，從而可以求得設(shè)計優(yōu)化后修建匝道AD的投資將增加多少元．【解答過程】解：由題意可得，∵∠DCA＝90°，CD＝6米，∴在Rt△ACD中，∠CAD＝5°，∴AD=6在Rt△BCD中，∠CBD＝15°，∴BD=6∴設(shè)計優(yōu)化后修建匝道AD的投資將增加：（6sin5°即設(shè)計優(yōu)化后修建匝道AD的投資將增加204000元．【變式8-2】（2021?市南區(qū)二模）在2020年5月27日，我國派遣了一支登山隊成功地登上了珠峰之巔，再次以中國人的身份，站上了珠峰頂部．已知一個人登山時的動作可以簡化成下圖所示，他的大腿長AB＝AC＝45cm，上坡時大腿之間的夾角∠BAC＝65°，某段山坡DF的坡度為i=8（結(jié)果保留整數(shù)，sin65°≈910，tan65°≈15【解題思路】過點C作CH⊥AD于點H，延長CE交DG于點M，得矩形CHDM，根據(jù)三角函數(shù)可得登山隊員每走一步，海拔提高大約提高1085cm【解答過程】解：如圖，過點C作CH⊥AD于點H，延長CE交DG于點M，得矩形CHDM，∴CH＝DM，根據(jù)題意可知：山坡DF的坡度為i=EMDM=815，AB＝AC∴sin∠BAC＝sin65°=CH∴CH≈45×910=∴EMDM∴EM=1085（∵登山隊員每走一步，海拔提高大約提高1085cm∵50m＝5000cm，∴5000÷108【變式8-3】（2021?灌云縣模擬）如圖，水壩的橫截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α為30°，背水坡AD的坡度i為1：1.2，壩頂寬DC＝2.5米，壩高5米．求：（1）壩底寬AB的長（結(jié)果保留根號）；（2）在上題中，為了提高堤壩的防洪能力，市防汛指揮部決定加固堤壩，要求壩頂CD加寬0.5米，背水坡AD的坡度改為1：1.4，已知堤壩的總長度為5km，求完成該項工程所需的土方（結(jié)果保留根號）．【解題思路】（1）作DF⊥AB，根據(jù)坡度的概念求出AF，根據(jù)正切的定義求出BE，得到壩底寬AB的長；（2）作D′G⊥A′B，求出CD′、A′B，求出梯形的面積公式計算，得到答案．【解答過程】解：（1）作DF⊥AB，垂足為F，∵DC∥EF，DF∥CE，DF⊥AB，∴四邊形DFEC為矩形，∴FE＝DC＝2.5，DF＝CE＝5，在Rt△AFD中，坡AD的坡度i為1：1.2，∴AF＝1.2DF＝1.2×5＝6，在Rt△CEB中，tanα=CE∴BE=CEtan30°=∴AB＝AF+FE+EB=172+（2）如圖，作D′G⊥A′B于G，在Rt△A'GD′中，A′G＝1.4D′G＝7，∴A′A＝A′G+GF﹣AF＝1.5，∴梯形D′A′AD的面積=1∴完成該項工程所需的土方＝5×5000＝25000，答：完成該項工程所需的土方為25000立方米．【考點9解直角三角形的應(yīng)用（俯角仰角問題）】【例9】（2021?東港區(qū)校級二模）應(yīng)用所學(xué)知識，解決實際問題．（1）近年來，我市大力發(fā)展城市快速交通，小王開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線A為全程25km的普通道路，路線B包含快速通道，全程30km，走路線B比走路線A平均速度提高50%，時間節(jié)省6min，求走路線B的平均速度；（2）如圖，在距某居民樓AB樓底B點左側(cè)水平距離60m的C點處有一個山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C點到坡頂D點的距離CD＝50m，在坡頂D點處測得居民樓樓頂A點的仰角為28°，居民樓AB與山坡CD的剖面在同一平面內(nèi)，求居民樓AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（3）已知飛機著陸后滑行的距離y（單位：m）關(guān)于滑行時間t（單位：s）的函數(shù)解析式是y＝60t?32t2．求在飛機著陸滑行中最后4【解題思路】（1）設(shè)走路線A的平均速度為xkm/h，則走路線B的平均速度為（1+50%）xkm/h，根據(jù)時間＝路程÷速度結(jié)合走路線B比走路線A少用6min，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論；（2）構(gòu)造直角三角形，利用坡比的意義和直角三角形的邊角關(guān)系，分別計算出DE、EC、BE、DF、AF，進(jìn)而求出AB；（3）由于飛機著陸，不會倒著跑，所以當(dāng)y取得最大值時，t也取得最大值，求得t的取值范圍即可，結(jié)合取值范圍求得最后4s滑行的距離．【解答過程】（1）解：設(shè)走路線A的平均速度為xkm/h，則走路線B的平均速度為（1+50%）x＝（1+0.5）xkm/h，依題意，得：25x解得：x＝50，經(jīng)檢驗，x＝50是原方程的解，且符合題意，∴（1+50%）x＝75．答：走路線B的平均速度為75km/h；（2）解：如圖，過點D作DF⊥AB，垂足為F，作DE⊥BC交BC的延長線于點E，由題意得，∠ADF＝28°，CD＝50m，BC＝60m，在Rt△DEC中，∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，∴DEEC設(shè)DE＝4xm，則EC＝3xm，由勾股定理可得CD＝5xm，又CD＝50m，即5x＝50，∴x＝10（m），∴EC＝3x＝30（m），DE＝4x＝40（m）＝FB，∴BE＝BC+EC＝60+30＝90（m）＝DF，在Rt△ADF中，AF＝tan28°×DF≈0.53×90≈47.7（m），∴AB＝AF+FB＝47.7+40≈87.7（m），即居民樓AB的高度約為87.7m．（3）解：當(dāng)y取得最大值時，飛機停下來，則y＝60t﹣1.5t2＝﹣1.5（t﹣20）2+600，此時t＝20，飛機著陸后滑行600米才能停下來．因此t的取值范圍是0≤t≤20；即當(dāng)t＝16時，y＝576，所以600﹣576＝24（米）．答：在飛機著陸滑行中最后4s滑行的距離為24米．【變式9-1】（2021?鹿邑縣二模）無影塔位于河南汝南城南，俗傳冬至正午無塔影，故稱無影塔；相傳為唐代和尚悟穎所建，故又稱“悟穎塔”，該塔應(yīng)建于北宋中、早期，為豫南地區(qū)現(xiàn)存最古老磚塔某數(shù)學(xué)小組為了度量塔高進(jìn)行了如下操作：用一架無人機在距離塔基（B）某處垂直起飛30米至點C處，測得塔基B處的俯角為75°，將無人機沿水平方向向右飛行8.6米至點D，在此處測得塔頂A的俯角為30°，請依據(jù)題中數(shù)據(jù)計算無影塔的高度．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，3≈【解題思路】過點C作CM⊥BO，垂足為M，過點D作DN⊥BO，垂足為N，設(shè)DC與BA的延長線交于點E，設(shè)AB為x米．由三角函數(shù)定義求出CE≈8.04，在Rt△AED中，由三角函數(shù)定義得出DE=3(30?x)，由CD＝DE﹣【解答過程】解：過點C作CM⊥BO，垂足為M，設(shè)DC與BA的延長線交于點E，如圖：設(shè)AB為x米．∵∠E＝∠ABM＝∠BMC＝90°，∴四邊形EBMC為矩形，∴MC＝BE＝30，∵∠BCE＝75°，tan∠BCE=BE∴CE≈30在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AE＝30﹣x，tan∠ADE=AE∴DE=3∵CD＝DE﹣CE，∴8.6=3解得：x≈20.38，答：無影塔的高度約為20.38米．【變式9-2】（2021春?吳興區(qū)校級期中）第十一屆全國少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運動會于2019年9月8日至16日在鄭州舉行，據(jù)了解，該賽事每四年舉辦一屆，是我國規(guī)格最高、規(guī)模最大的綜合性民族體育盛會，其中，花炮、押加、民族式摔跤三個項目的比賽在鄭州大學(xué)主校區(qū)進(jìn)行．如圖，鐘樓是鄭州大學(xué)主校區(qū)標(biāo)志性建筑物之一，是鄭大的“第一高度”，寓意來自五湖四海的鄭大人的團(tuán)結(jié)和凝聚．小剛站在鐘樓前C處測得鐘樓頂A的仰角為53°，小強站在對面的教學(xué)樓三樓上的D處測得鐘樓頂A的仰角為45°，此時，兩人的水平距離EC為4m，已知教學(xué)樓三樓所在的高度為10m，根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，計算鐘樓AB的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈45，cos53°≈3【解題思路】作DF⊥AB于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到FB＝DE＝10，DF＝BE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、正切的定義計算，得到答案．【解答過程】解：作DF⊥AB于F，設(shè)AB＝xm，∵FB⊥EB，DE⊥EB，DF⊥AB，∴四邊形FBED為矩形，∴FB＝DE＝10，DF＝BE，∴AF＝10﹣x，在Rt△AFD中，∠ADF＝45°，∴DF＝AF＝10﹣x，在Rt△ABC中，∠ACB＝53°，tan∠ACB=AB∴BC=ABtan∠ACB由題意得，BE﹣BC＝CE，即10﹣x?34解得，x=24答：鐘樓AB的高度約為247m【變式9-3】（2021?河南）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設(shè)測角儀，先在點M處測得觀星臺最高點A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點N處，測得點A的仰角為45°．測角儀的高度為1.6m．（1）求觀星臺最高點A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，2≈（2）“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6m．請計算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．【解題思路】（1）過A作AD⊥PM于D，延長BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到結(jié)論；（2）建議為：為了減小誤差可以通過多次測量取平均值的方法．【解答過程】解：（1）過A作AD⊥PM于D，延長BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AEC＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°=AE∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：觀星臺最高點A距離地面的高度約為12.3m；（2）∵“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6m，∴本次測量結(jié)果的誤差為12.6﹣12.3＝0.3（m），減小誤差的合理化建議為：為了減小誤差可以通過多次測量取平均值的方法．【考點10解直角三角形的應(yīng)用（方位角問題）】【例10】（2021?長清區(qū)一模）如圖，一艘輪船在A處測得燈塔C在北偏西15°的方向上，該輪船又從A處向正東方向行駛20海里到達(dá)B處，測得燈塔C在北偏西60°的方向上，則輪船在B處時與燈塔C之間的距離（即BC的長）為（）A．403海里 B．（203+10）海里C．40海里 D．（103+【解題思路】過A作AD⊥BC于D，解直角三角形求出CD和BD，即可解決問題．【解答過程】解：過A作AD⊥BC于D，如圖所示：在Rt