茂名市2021-2022學年高二下學期期末數(shù)學（解析版）

2021—2022學年度茂名市普通高中高二年級教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，先將自己的姓名、考號等填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)z的共軛復數(shù)滿足，則（）A.5 B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】設復數(shù)，則，代入中求出的值，再根據(jù)復數(shù)模公式求得結果.【詳解】設，則，又因為，即，所以，所以，故選：D.2.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求函數(shù)的定義域化簡集合A，再利用補集、交集的定義計算作答.【詳解】依題意，，解得，即，所以故選：B3.儲糧所用“鋼板倉”，可以看成由圓錐和圓柱兩部分組成的.現(xiàn)有一種“鋼板倉”，其中圓錐與圓柱的高分別是1m和3m，軸截面中等腰三角形的頂角為120°，若要儲存300的水稻，則需要準備這種“鋼板倉”的個數(shù)是（）A.6 B.9 C.10 D.11【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意求出一個“鋼板倉”的體積，然后用300除以“鋼板倉”的體積可得答案【詳解】因為圓錐的高為1，軸截面中等腰三角形的頂角為120°，所以圓錐的母線長為2，底面半徑為，所以一個“鋼板倉”的體積為，因為所以要儲存300的水稻，則需要準備這種“鋼板倉”的個數(shù)為10個，故選：C4.已知為平面的一個法向量，為內(nèi)的一點，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用點到平面的向量求法，列式計算作答.【詳解】依題意，，而為平面的一個法向量，所以點到平面的距離.故選：A5.若將函數(shù)的圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖像，再將上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍得到函數(shù)的圖像，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象的伸縮變換和平移變換即可求解.【詳解】由題意可知，把的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得到的圖象，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得的圖象，所以函數(shù)的解析式為.故選：B.6.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”，合稱“六藝”.“禮”主要指德育；“樂”主要指美育；“射”和“御”就是體育和勞動；“書”指各種歷史文化知識；“數(shù)”指數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”講座活動，每次講一藝.講座次序要求“數(shù)”不在第一次也不在第六次，“禮”和“樂”不相鄰，則“六藝”講座不同的次序共有（）A.480種 B.336種 C.144種 D.96種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出“數(shù)”不在第一次也不在第六次的不同次序數(shù)，去掉其中的“禮”和“樂”相鄰的不同次序數(shù)即可計算作答.【詳解】依題意，“數(shù)”不在第一次也不在第六次的不同次序數(shù)有：，“數(shù)”不在第一次也不在第六次時，“禮”和“樂”相鄰的不同次序數(shù)有：，所以所求“六藝”講座不同的次序數(shù)共有：.故選：B7.若直線將圓C：的面積分為，則m的值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設出直線分圓C所成劣弧所對的圓心角，表示出兩部分的面積并列式構造函數(shù)，再借助函數(shù)單調(diào)性求解作答.【詳解】圓C圓心，半徑，設直線交圓C于點A，B，過C作于D，如圖，依題意，直線不過圓心，令劣弧所對圓心角，則優(yōu)弧所對圓心角大小為，，直線分圓所得較小部分的面積為，所得較大部分面積為，依題意，，即，整理得，令函數(shù)，求導得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，于是得，即是等腰直角三角形，，因此，圓心C到直線AB的距離，解得，所以m的值為.故選：D8.已知點F為拋物線的焦點，A為拋物線的準線與y軸的交點，點B為拋物線上一動點，當取得最大值時，點B恰好在以A，F(xiàn)為焦點的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先利用坐標表示，再利用基本不等式求最值取得時的值，再結合橢圓的定義求，即可求得離心率.【詳解】設點，，,其中，當時，；當時，，因為，，當，即時，等號成立，當時，取得最大值，此時；根據(jù)橢圓的定義可知，即，橢圓的離心率故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.冬季奧林匹克運動會，是世界規(guī)模最大的冬季綜合性運動會.自1924年起，每四年舉辦一屆.2022年2月在北京舉辦了第24屆冬季奧林匹克運動會，為了宣傳奧運精神，紅星實驗學校組織了甲乙兩個社團，利用一周的時間對外進行宣傳，將每天宣傳的次數(shù)繪制成如下頻數(shù)分布折線圖，則（）A.甲社團宣傳次數(shù)的眾數(shù)小于乙社團宣傳次數(shù)的眾數(shù)B.甲社團宣傳次數(shù)的極差大于乙社團宣傳次數(shù)的極差C.甲社團宣傳次數(shù)的平均數(shù)大于乙社團宣傳次數(shù)的平均數(shù)D.甲社團宣傳次數(shù)的方差大于乙社團宣傳次數(shù)的方差【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)給定折線圖，計算眾數(shù)、極差、平均數(shù)、方差即可判斷作答.【詳解】觀察每天宣傳的次數(shù)頻數(shù)分布折線圖，甲社團宣傳次數(shù)的眾數(shù)、乙社團宣傳次數(shù)的眾數(shù)分別為2，3，A正確；甲社團宣傳次數(shù)的極差、乙社團宣傳次數(shù)的極差分別為3，2，B正確；甲社團宣傳次數(shù)的平均數(shù)，乙社團宣傳次數(shù)的平均數(shù)，C不正確；甲社團宣傳次數(shù)的方差，乙社團宣傳次數(shù)的方差，D正確.故選：ABD10.在三角形中，若，，邊上的高為h，滿足條件的三角形的個數(shù)為n，則（）A.當時， B.當時，C.當時， D.當時，【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可得外接圓，再分析高的取值范圍與三角形解的個數(shù)關系即可【詳解】作出外接圓如圖所示，為外接圓的圓心，.因為，，故，所以的外接圓半徑為又，所以當時，最大為.對A，當時，由圓的對稱性可知，此時，故A正確；對B，當時，是唯一的，故B正確；對C，當時，，故C錯誤；對D，當時，，故D正確；故選：ABD11.若等差數(shù)列的前n項之和為，公差為d，等比數(shù)列的前n項之和為，公比為q（），若，則下列各選項正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用等差數(shù)列、等比數(shù)列前n項和公式表示出，，再求出并與已知等式比對即可分析計算作答.【詳解】依題意，，，，而，于是得，且，即，整理得：，即B，C不滿足，A，D滿足.故選：AD12.已知點P為正方體內(nèi)及表面一點，若，則（）A.若平面時，則點P位于正方體的表面B.若點P位于正方體的表面，則三棱錐的體積不變C.存在點P，使得平面D.，的夾角【答案】AD【解析】【分析】首先可證平面，即可得到點在平面上（包括邊界），通過證明平面平面判斷A，利用特殊位置判斷B，先證明平面，即可判斷C，利用空間向量法判斷D；【詳解】解：在正方體中，，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又，所以點在平面上（包括邊界），又，平面，平面，所以平面，同理可得平面，，平面，所以平面平面，因為平面，平面，所以平面，又平面平面，所以，即位于正方體的表面，故A正確；對于B，設到平面的距離為，則顯然當和（不包括點）時不一樣，則三棱錐的體積不一樣，故B錯誤；如圖建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為，則，，，，，所以，，，所以，，即，，，平面，所以平面，若平面，則，顯然在平面上（包括邊界）不存在點，使得，故C錯誤；因為設，，，所以，即，又，所以，，，設所以，的夾角為，則，當時，，當時，因為，所以，所以，所以，因為，所以，綜上可得，故D正確；故選：AD【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是確定點所在位置，再結合空間向量法運算；三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，當時，__________.【答案】##【解析】【分析】由向量平行可得，進而可求出結果.【詳解】由可得，，得，故答案為：.14.已知，且，則的最小值為_________.【答案】8【解析】【分析】利用基本不等式可將轉(zhuǎn)化為的不等式，求解不等式可得的最小值．【詳解】∵，∴，當且僅當時取等號，，，即，∴的最小值為8.故答案為：8．15.記（k，b為實常數(shù)），若，，則__________.【答案】-3或3【解析】【分析】隨機變量正態(tài)分布，則均值為，方差為；若，隨機變量服從正態(tài)分布，則的均值為，方差為，代入公式計算即可.【詳解】由題知，，則隨機變量（為實常數(shù)），服從的分布為，而又因為，所以有，解得或，所以-3或3.故答案為-3或3.16.已知正方形的邊長為，兩個不同的點M，N都在的同側(cè)（但M和N與A在的異側(cè)），點M，N關于直線對稱，若，則點到直線的距離的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】依題意建立平面直角坐標系，即可得到直線、的方程，設，根據(jù)點關于直線對稱的計算方法求出點坐標，再根據(jù)，則，即可得到、的關系，最后根據(jù)、在的同側(cè)得到不等式，求出的取值范圍，即可得解；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，，所以直線的方程為，直線的方程為，設，關于對稱點，則，解得，即，所以，，當，則，，此時，此時不成立，所以，所以，即，所以，又、在的同側(cè)，所以，即，即，所以，即點到直線的距離的取值范圍為；故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知正項等比數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）設，求的前n項和.【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）列出關于首項和公比的方程組解方程組即可.（2）先求出，然后運用裂項相消法求即可.【小問1詳解】設等比數(shù)列的公比為，由，，于是，解得，所以，，；【小問2詳解】即，.所以，，.于是，，.18.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求C；（2）若，，在角C的平分線上取點D，且，則點D是否在線段上？請說明理由.【答案】（1）；（2）不在，理由見解析.【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦、和角的正弦公式化簡給定等式，再利用正弦定理邊角互化即可求解作答.（2）利用（1）的結論及已知，借助余弦定理、正弦定理、三角恒等變換求出角平分線長并判斷作答.【小問1詳解】在中，，即，有，即，由正弦定理得：，即，而，所以.【小問2詳解】在中，由（1）知，，因，，由余弦定理得：，，，令角C的平分線交AB于E，則，在中，，由正弦定理得：，顯然，所以點D不在線段上.19.刷抖音是現(xiàn)在不少人喜愛的娛樂方式，既可以在工作之余借助其消除疲勞，還可以學會不少知識，現(xiàn)在抖音里有一款“生活常識答題”程序游戲，其規(guī)則如下：每次點擊開始答題后，需連續(xù)依次回答A，B，C三類題，當回答一類題結束時會根據(jù)正確率出現(xiàn)“優(yōu)秀”或“加油”圖標，若三類題答題結束后出現(xiàn)一個或兩個“優(yōu)秀”圖標，則最后會顯示80分，出現(xiàn)三個“優(yōu)秀”圖標，則顯示200分，否則會顯示-20分.小張同學正確回答A，B，C三類題出現(xiàn)“優(yōu)秀”的概率依次分別為，，.（1）記小張同學答題活動結束出現(xiàn)“優(yōu)秀”的圖標個數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望；（2）小張同學如果答題4次，求4次中至少有2次獲得200分的概率.【答案】（1）分布列見解析，；（2）.【解析】【分析】（1）求出X的所有可能值，再利用互斥事件、相互獨立事件的概率公式計算各個取值的概率，列出分布列并計算期望作答.（2）利用（1）中信息，利用對立事件概率、獨立重復試驗的概率列式計算作答.【小問1詳解】依題意，X的所有可能值為0，1，2，3，，，所以X的分布列為：X0123P數(shù)學期望為.【小問2詳解】由（1）知，小張每次獲得200分的概率為，設小張獲得200分的次數(shù)為Y，于是得，所以4次中至少有2次獲得200分的概率為.20.在四棱錐中，底面為矩形，平面平面.（1）求證：平面平面；（2）若，，求平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用面面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.（2）在平面VAB內(nèi)過V作于O，以O為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量求解作答.【小問1詳解】在四棱錐中，底面為矩形，有，因平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】在平面內(nèi)過V作于，而平面平面，平面平面，則平面，在平面內(nèi)過O作，有兩兩垂直，以點O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，令，則，又，設，于是有，，因此有，，，而，直線的方向向量，設平面的法向量為，則，令，得，顯然，平面的一個法向量，設平面與平面所成銳二面角大小為，則有，由于，，，則，當且僅當，即時取“=”，，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值的取值范圍是.21.已知橢圓E：（）的離心率為，且點在橢圓E上.（1）求橢圓E