特選通用版2023版高考數學大一輪復習第9講對數與對數函數學案理新人教A版

第9講對數與對數函數

1.對數

如果a*=Z(a>0,且#1),那么x叫作以a

為底N的，記作x=iog，N其中a

概念

叫作對數的底數,N叫作真數Jo&N叫作

對數式

底數的限制:a>0,且a"

對數式與指數式的互化

負數和零沒有

性質

bg/=_______

1

對數恒等式:a%'_

log,,(M-N)=

運算法那1。線=心0,且K1,

么M>0,NX)

log,/IT=(〃

￡R)

換底公式:1。&6=警(a>0,且a羊l,c>0,且

換底公式'°gca

c*1,6>0)

推論：bgamb/'=,10g，Q=J-T—

2.對數函數的概念、圖像與性質

概念函數產iogRQWaXl）叫作函數

底數0<3<1

圖像

定義

域

（續(xù)表）

值域

過定點，即X=1時鏟=0

性質在區(qū)間（0,+由上在區(qū)間（0,上

是函數是函數

3.反函數

指數函數y=Z'（心0,且a才1）與對數函數互為反函數,它們的圖像關于直線

對稱.

常用結論

1.互為反函數的兩個函數的圖像關于直線y=x對稱.

2.只有在定義域上單調的函數才存在反函數.

題組一常識題

1.［教材改編］化簡k)g4og〃dog滔的結果是.

2.［教材改編］函數傘)=1。&(2團的定義域是.

3.［教材改編］假設函數尸=/(?是函數，產2'的反函數，那么42)=.

4.［教材改編］函數月og2(V4x+5)的單調遞增區(qū)間是

五

題組二常錯題

?索引:對數的性質及其運算掌握不到位;忽略真數大于零致錯;不能充分運用對數函數的性

質;忽略對底數的討論致誤.

5.有以下結論:@lgQglO)=O;②lg(lne)R;(W設lgx=l,那么設log22=x，那么x=l;g

設log?",log、zn=2,那么〃=9.其中正確結論的序號是.

y

6.lgx+lg產21g(x-2/那么廠______.

7.設號力=log9*c=io紗/，，那么a,b,c的大小關系是.

8.假設函數產=10室(心0/片1)在［2,4］上的最大值與最小值的差是1,那么a=.

探究點一對數式的化簡與求值

例1(1)[2023?宿州質檢]n?>0,nX),log疝(3/n)+log2〃gog遮(2/7?+〃),那么lo&m-log”？的值為

()

A.-1B.1

C.-1或0D.1或0

⑵設2-5，=m,且1q=2,那么m=.

［總結反思］⑴對數運算法那么是在化為同底的情況下進行的，因此經常會用到換底公式及其

推論.在對含有字母的對數式進行化簡時，必須保證恒等變形.

⑵利用對數運算法那么,在其數的積、商、稱與對數的和、差、倍之間進行轉化.

變式題⑴［2023?昆明一中模擬］設可為正數，且3、N,當3x”時戶的值為()

A』o&4B.1O&3

C.610g32D.log^2

(2)計算:lg32+10gti6+61&g5=.

探究點二對數函數的圖像及應用

例2(1)函數儂Mo&/x/+l(0va<l)的圖像大致是()

AB

cD

圖2-9-1

⑵[2023?濮陽二模]設X|,X2,X3均為實數，且G廣旦唯廣口噌出《戶曰哨X3,那么

()

A.X1V*3Vx?

B.X3<X2<X]

C.X3<X]<x2

D.X2<X]<X3

[總結反思]⑴在研究對數函數圖像時一定要注意其定義域，注意根據根本的對數函數圖像

作出經過平移、對稱變換得到的函數的圖像.(2)一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應

的函數圖像問題，利用數形結合法求解.

變式題⑴函數?必習。(/'/-1)的大致圖像是()

AB

CD

圖2-9-2

⑵假設函數何=k>g2(x+l),且a>b>cX),^么粵皇警的大小關系是()

A/(a))r(b)y(c)

abc

B8屋g

cba

c/(b)y(Q),(c)

bac

D/(a)，(c),3)

acb

探究點三解決與對數函數性質有關的問題

微點1比較大小

例3(1)(2023-武漢4月調研］假設實數動滿足心6>1印=10&(10&場”=(10&帆閆0&氏那么

m,n,l的大小關系為)

K.m>l>nB./>n>m

Q.n>l>mUJ>m>n

(2)(2023-長沙雅禮中學期末］a=in；,b=iog2那么()

232

Z.a+bVabG

B.ab〈a+b4)

C.a-/-b<O<ab

D.abe〈a+b

［總結反思］比較對數式的大小，一是將對數式轉化為同底的形式，再根據對數函數的單調性進

行比較，二是采用中間值?；?等進行比較，三是將對數式轉化為指數式，再將指數式轉化為對

教式，通過巡回轉化進行比較.

微點2解簡單對數不等式

2

例4⑴［2023?成都七中二診］假設實數a滿足logq>l>log”,那么a的取值范圍是()

34

⑵實數在0,且滿足不等式33"2>3,叫那么不等式log,(3x+2)<log,(8-5用的解集為.

［總結反思］對于形如logX^>Z>的不等式，一般轉化為⑼>log",再根據底數的范圍轉化為

《吊>才或而對于形如log/MAlog/aM的不等式,一般要轉化為同底的不等式來解.

微點3對數函數性質的綜合問題

log。％,%>3,

log；x'+2,0<x<3存在最小值，那么a的取值范圍

(a

為()

A.(1,+8)B.［3,S

C.(l,3］D.(1,V3］

(2)/(9旦。8式義-公-+32)在區(qū)間［2,上刊)上為減函數，那么實數a的取值范圍是

［總結反思］利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域、最值和復合函數的單調性

問題，必須弄清三方面的問題:一是定義域,所有問題都必須在定義域內討論;二是底數與1的

大小關系;三是復合函數的構成，即它是由哪些根本初等函數復合而成的.另夕卜,解題時要注意

數形結合、分類討論、轉化與化歸思想的使用.

應用演練

1.【微點3】假設函數的="103在區(qū)間口河上的最大值為6,那么廣()

A.2B.4

C.6D.8

2.【微點1】［2023?銀川一中四模］設a=0.5叫b=iogu0.3,c=i?？?.4,那么a,6,c的大小關系是

()

\.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.b<c<a

3.【微點2］函數儂在區(qū)間［-2,2］上單調遞增，假設用啥㈤V用0gt(m+2)］成立，那么實數m的取

值范圍是()

4,2)Bg,l)

C.(l,4］D.［2,4］

4.【微點3】函數《吊=1。期(-/+2刈的單調遞減區(qū)間是.

5.【微點3】函數《刈=in(、l+/㈤豆,那么<1g3).

第9講對數與對數函數

考試說明1.理解對數的概念及其運算性質,知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或

常用對數;T解對數在簡化運算中的作用.

2.對數函數

⑴理解對數函數的概念，理解對數函數的單調性,掌握對數函數圖像通過的特殊點；

（2）知道對數函數是一類重要的函數模型；

⑶了解指數函數y=/（心0,且*片1）與對數函數尸1。&雙心0,且a于1）互為反函數.

【課前雙基穩(wěn)固】

知識聚焦

1.對數x^ogJV對數0N10glM+k>gj7V10glV-k>g17VnlogjM'log力

2.對數(0,+od)R(1,0)增減

3.1=1。8取4>0,且4片1)y=x

對點演練

1.1［解析］利用對數的換底公式可得結果為1.

2.(-8,2)［解析］由2十>0,解得'<2,即函數心)的定義域為(-8,2).

3.1［解析］函數《MMogjx,所以(2)=1.

4.(-8,2)［解析］因為0義<1,所以y=iogj.X單調遞減,而函數j=/4x+5>0恒成立，且單調遞

^75

減區(qū)間為(-%2),所以函數r=iogj_(W4x，5)的單調遞增區(qū)間是(-8,2).

5.0X2)③④⑤［解析］②^10=1,那么怕四10)也1=0;2^3?建1=0;領.的對數等于1,那么

x=10;④底的對數等于1;⑤1。%,〃喘Jog3m嚶，那么胃-2,即log3〃-2,故〃由

6.4［解析］因為1gx+lgj=21g(x-2力所以打《￥-2,沆即A2-5A7+4產口),解得x可或*=4不由得

x>0,尸0/-2戶0,所以xw不符合題意,當x=4y時，得'=4.

l.c>ii>b［解析］八痣<log8A后=q/m0題百>108q=儀所以c>a>b.

8.2或;［解析］分兩種情況討論:⑴當a>l時，有l(wèi)og,左心端力,解得a=2;(2)當0，<1時，有

logZl。&4=1,解得話.所以a=2或去

【課堂考點探究】

例1［思路點撥］⑴先化為同底的對數，根據對數的運算法那么得出〃之間的關系,再代入

求值.⑵先反解XJ；再代入;號=2,即可得m的值.

22

(1)C(2)710［解析］⑴因為10gx^(3/n)^log2/7=log2(9/n)^log2n=iog2(9mn),

loga2/+n)=io^(2z7T+ri)2,

所以9ZT72/?-(2/7?2v-n)2,

即《?、??/；*"?),解得4后=n或nf=n,

(2)由2'=5'=/77,得xz=iog2/77,y^iogs/n,

再由凡之得氤舄小，即

所以10即10=2,所以/nW10.

變式題(1)C(2)1［解析］⑴令3'=4/T,那么xMog3^T。骷由3x9得

_31og3t常?二倒哨4-61哨2,應選C.

Plog4t

例2［思路點撥］⑴由&x)的性質及其圖像過點(1,1),(-1,1)得到答案;⑵在同一坐標系內作出函

L

數尸(3與y=io^(A-il),y=iog,x,y=iog2x的圖像，根據圖像得到交點，分析交點的橫坐標進行大

小比較.(2)在同一坐標系內畫出函數y=({f與尸1。空(x+l),y=log3X,產=1。蝦的圖像，根據圖像得

到交點,比較交點的橫坐標的大小即可.

(1)A⑵A［解析］⑴由于函數《吊=1。&小/+1(0，<1)是偶函數，所以其圖像關于了軸對稱.當

xX)時,《其旦og,/x/+l(Ova<l)是減函數;當x<0時,/(同旦。鄉(xiāng)獷/+1(0<2<1)是增函數.再由?⑼的

圖像過點(1,1),(-1,1),可知應選A.

⑵X|,X2,Xs分別是函數片G)與尸10g2(x+l),尸=10g3XjT0g2X圖像的交點的橫坐標，作出函數

尸C)產1唯(x+1)產iog3X,y=log2X的大致圖像如下列圖，由圖可得/<X3<YZ,應選A.

變式題(1)B(2)B［解析］⑴函數《％=ln(/x/-l)的定義域為{x/x>l或XV-1},且《耳是偶函數,

故排除CQ;當x>l時，函數/(切=in(x-l)是增函數,故排除A.應選B.

(2)由題意可得，華，華，等可分別看作函數氏刈=1限。+1)圖像上的點(此砌,(1M6)),(c，3)與原

點連線的斜率，結合圖像(圖略)可知，當a>b>cX)時，等邛療.應選B.

例3［思路點撥］⑴推導出0=iog,l<1o幽<1。8戶1,由此利用對數函數的單調性比較m,n,/的大

小;(2)先分析出助<0,"6<0,再利用作差法比較必和2耘的大小關系得解.

⑴B⑵B［解析］⑴:實數a,b滿足a>b>\⑷MogXlogS.nuQogjbyjgog上

..0^logylUogebVog/Wul,

.二"7Mog?(log)<log?l=0,

/Mog4=21og［6>z?Xlog㈤2,

應選B.

⑵由題得^=ln-<ln1=0,Z>=logi->logi1W),所以ab<0.

又刊。gz：=-ln2曙Mn2(煮?l)Mn2-雷<0,

刃「么ab-(a+B)=ab-a-bTv^?logi--ln--logi---In2,j---^In2-y—^in2(-J—4-1-^in

232232ln3ln3\ln31n3z

In3-ln2-lln~

2",'nzi=ln2?產<0,所以abva+b4).

In3m3

o

例4［思路點撥］⑴分別求解不等式與log"<l,其交集即為不等式的解集J2)先根據指

34

數不等式確定a的范圍，然后根據同底的對數不等式求解，并注意真數的取值.

(1)C(2)Q,1)［解析］⑴根據對數函數的性質，由可得|。<1;由log”<l,得20.綜上

可得:va<l,.：a的取值范圍是應選C.

3x+2>8-5x,

⑵由題意得3a+2>4aitl,.,.0<a<l,.3x+2>0,解得x€

(8-5%>0,

例5［思路點撥］⑴由分段函數在兩段上的單調性，結合(x)存在最小值,列不等式求解即可;(2)

令t=*-ax+3a,那么由題意可得函數t=?-ax+3a在區(qū)間［2,上為增函數，且當x=2時,X),從而

得解.

(1)C⑵［解析］⑴由題意可知心1,否那么函數無最小值，

所以當x>3時0gl3,

當0443時與<應尸+2單調遞減,且滿足4x)》隼)=joga3+2,

aa

所以log,3>logi3+2、即log,3>1,得13.應選C.

a

⑵令『W-ax+3a那么由函數夙。mog”在區(qū)間［2,+8)上為減函數，

2

可得函數公土3〃在區(qū)間［2,+8)上為增函數，且當x之時工X),

(-<2

故有"一'解得4力&4.

14-2a+3Q>0,

應用演練

1.B［解析］由題得函數式囚=a/logzx在區(qū)間口河上是增函數,所以當x=*時，函數取得最大值

6,即w+lo&wN,解得〃=4.應選B.

2.C［解析］:04=0.5°，4<0.5°=1,

bMo劭,4。.3>10須.40,4—1,

c—io^0.4—0,

二c<a<b.

3.A［解析］不等式即為恤當總金。“^^)］,

:函數仆)在區(qū)間［22］上單調遞增，

2

pog4m<log4(m+2),仔<m+2,

.J-2<log2m<2,解得*m<2,

1-2<log4(m+2)<2,I±<m+2<16)

'16

.:實數3的取值范圍是E,2).應選A.

4.(1,2)［解析］由-*+2xX),可得P2x<0,解得04<2,

.：函數人自心理(-/+2刈的定義域為(0,2).

又產4og2X在(0,+8)上單調遞增，

y=-e+2焚0r<2)在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，

.函數《苗在(0,1)上單調遞增，在(1,2)上單調遞減，

函數的單調遞減區(qū)間是。,2).

5.4［解析］設『⑼=in"l+心㈤，顯然有片㈤二虱力，即虱》為奇函數，那么尿㈤+以吊=0,所以gg

3)必恒§=族3)+(lg3)*g3)+2+4lg3)+2=4.

【備選理由】例1主要考查對數的運算、對數函數圖像的變換;例2考查比較對數式的大小;

例3主要考查復合函數的單調性以及對數函數與指數函數的性質;例4為對數函數性質的綜

合問題.

例1［配合例2使用］為了得到函數產=igx的圖像，只需將函數7=ig(10x)圖像上()

A.所有點的縱坐標伸長到原來的10倍，橫坐標不變

B.所有點的橫坐標縮短到原來的卷，縱坐標不變

C.所有