人教A版2024年高一數(shù)學(xué)寒假提高講義 第13課 平面向量的應(yīng)用 四（教師版）

第第頁第13課平面向量的應(yīng)用四平面向量的綜合運用大題專項訓(xùn)練1．已知點A1,?2,0,B2,k,?3(1)若AB⊥a，求實數(shù)(2)求向量AC與向量a所成角的余弦值．【解題思路】（1）根據(jù)題意得到AB的坐標(biāo)，結(jié)合兩向量垂直坐標(biāo)滿足的公式，代入計算，即可得到結(jié)果.（2）根據(jù)題意，結(jié)合向量坐標(biāo)公式，代入計算，即可得到結(jié)果.【解答過程】（1）因為A1,?2,0,B2,k,?3，則AB由AB⊥a，可得?3+4k+2（2）因為A1,?2,0,C2,0,2，則AC則AC=所以cos<2．已知向量a=2,1，b=(1)當(dāng)k為何值時，ka+c(2)若向量d滿足d?c⊥a+【解題思路】（1）直接利用向量平行的坐標(biāo)公式求解；（2）直接利用向量垂直的坐標(biāo)公式和求模公式求解.【解答過程】（1）由題中的條件可得ka+c若ka+c與2b?（2）設(shè)d=(x,y)，所以d又a+b=(1,2)，由d由d?c=5，可得(x?1)2+(y?2)2=53．已知e1=1,0，e2=0,1，(1)求λ的值；(2)求向量a與向量c=【解題思路】（1）根據(jù)題意求出a,b的坐標(biāo)，由向量平行的判斷方法可得關(guān)于（2）設(shè)a與c的夾角為θ，由向量夾角公式計算即可得到結(jié)果.【解答過程】（1）根據(jù)題意，e1=1,0，e2=則a=2,0因為a//b，則有λ（2）由（1）可知a=2,?2，c=1,2設(shè)a與則cosθ=4．已知A，B，C分別為△ABC三邊a，b，c所對的角，向量m=sinA,sinB(1)求角C的大??；(2)若sinA+sinB=2sinC【解題思路】（1）利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算及三角公式化簡整理可得角C的大??；（2）將sinA+sinB=2sinC【解答過程】（1）由已知得m?因為A+B+C=π，所以sinA+B=又m?n=∵0<C<π，則sinC≠0所以cosC=12（2）由已知sinA+sinB=2因為CA?AB?AC=由余弦定理得c2所以c2=4c2?3×365．如圖，在△ABC中，AM=13(1)用a,b表示(2)若P為△ABC內(nèi)部一點，且AP=512【解題思路】（1）由圖中線段的位置及數(shù)量關(guān)系，用AC,AB表示出（2）用a,b表示AM+AN，得到【解答過程】（1）由題圖，BC=MN=（2）由AM+又AP=512a+6．在△ABC中，CA=6，AB=8，∠BAC=π2，D為邊(1)求AD?(2)若點P滿足CP=λCAλ∈R【解題思路】（1）以A為坐標(biāo)原點，邊AC、AB所在的直線為x、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系求出AD、CB的坐標(biāo)，再由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得答案；（2）根據(jù)點P在AC上，設(shè)Px,0，求出PB、PC的坐標(biāo)，則PB【解答過程】（1）如圖，以A為坐標(biāo)原點，邊AC、AB所在的直線為x、y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，所以A0,0，B0,8，D為邊BC中點，所以D3,4，AD=3,4則AD?（2）若點P滿足CP=λCAλ∈R，則點P由（1），設(shè)Px,0，則PB=?x,8則PB?PC=?x,8?6?x,0=7．已知a=4，b=2，且a與b夾角為120(1)2a(2)a與a+(3)若向量2a?λb與λ【解題思路】（1）利用平面向量的模的運算求解；（2）利用平面向量的夾角公式求解；（3）根據(jù)向量2a?λb【解答過程】（1）解：因為2a?b（2）因為a+所以a+b=2所以cos<a,a+b>=（3）因為向量2a?λb與λ因為向量a與b不共線，所以kλ=2λ=3k，解得λ=±8.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別a，b，c，且2cos(1)求cosA(2)若a=42，b=5，記e=BCBC，求向量BA在【解題思路】（1）由題設(shè)條件進行三角恒等變換即可得出cosA（2）先由正弦定理求出B，再由余弦定理建立關(guān)于c的方程，求出c，然后由投影向量的概念即可求得結(jié)果．【解答過程】（1）由2得cos即cosA?BcosB?sinA?Bsin（2）由cosA=?35，0<A<π得，sinA=由題知a>b，則A>B，故B=π根據(jù)余弦定理，有a2=b整理得c2+6c?7=0，解得c=1或故向量BA在BC方向上的投影向量為BAcos9.已知非零平面向量a，b的夾角為2π3，a(1)證明：a?(2)設(shè)t∈R，求a+t【解題思路】（1）首先將條件等式a=a+b兩邊同時平方，根據(jù)向量的數(shù)量積運算求得（2）將a+tb平方可得【解答過程】（1）由a=a+b=1又因為a，b的夾角為2π3，故a聯(lián)立兩式可得b2?b=0，結(jié)合所以a?b2（2）a+t所以當(dāng)t=12時，a+tb2取最小值310.如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上一點，且BD=2DC．過D點的直線EF與直線AB相交于E點，與直線AC相交于F點（E，(1)用AB，AC表示AD；(2)若AE=λAB，AF=μ【解題思路】（1）向量的線性表示，利用三角形法則及題所給條件即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化用AE，AF表示AD，根據(jù)D,E,F三點共線找出等量關(guān)系；【解答過程】（1）在△ABD中，由AD=AB+BD,又所以AD=AB+BD（2）因為AD=13AB+23AC，又AE=λAB又D,E,F三點共線，且A在線外，所以有：13λ+211．已知向量m=3sin(1)求函數(shù)fx(2)在△ABC中，若fC=0，且AB=3,CD是△ABC的邊AB上的高，求【解題思路】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算及三角恒等變換將函數(shù)fx化為正弦型函數(shù)，即可求函數(shù)f（2）根據(jù)函數(shù)fx，結(jié)合三角形解方程fC=0得角C的大小，根據(jù)△ABC【解答過程】（1）解：fx=m?∴fx的最小正周期為（2）解：∵f又0<C<π，∴?π又∵S△ABC=12由余弦定理得9=a2+b2?ab≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時，“=12．△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=ccos(1)若D為BC邊上一點,DB=4,AB=5,且AB?BD=?12(2)若CA=3,CB=4,M為平面上一點,2CM=tCA+1?t【解題思路】(1)先根據(jù)正弦定理求出角C的值,再利用AB?BD=?12求出cos(2)根據(jù)已知條件可以求出CA?CB的值,,再把MA,MB用CA,【解答過程】（1）由a=ccosB+1即sinB+C=sinCcosB+cosCsinB=sinCcosB+12sin∵AB?BD=?12,即AB∵B∈0,π,∴sinB=45,在△ABC中,由正弦定理可得AC（2）∵2CM=tCA+1?tMB=∴MA?MB根據(jù)已知條件CA=3,CB=4,∴代入(*)式得:MA?MB=134t213.平面內(nèi)向量OA=(2,5),OB=(7,1),OC=(1,1)（其中O(1)若PA∥PB，求(2)已知BC中點為D，當(dāng)PA?PB取最小值時，若AD與CP相交于點M，求MP與【解題思路】（1）根據(jù)向量共線，設(shè)出坐標(biāo)以及建立方程，可得答案；（2）根據(jù)中點坐標(biāo)公式，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式，求得點的坐標(biāo)，利用夾角的向量公式，可得答案.【解答過程】（1）由題意，可設(shè)OP=(λ,λ)，其中λ∈R因為PA∥PB，所以(2?λ)(1?λ)?(5?λ)(7?λ)=0，解得λ=11（2）由題意D(4,1),AD=(2,?4)，因為所以當(dāng)λ=154時，PA?PB有最小值，此時因為MP與MD的夾角就是CP與AD的夾角，而AD?所以cos?CP,AD?=CP?平面向量的應(yīng)用四隨堂檢測1．（1）若向量a=1,2，b=（2）已知a→=2,b【解題思路】(1)根據(jù)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和幾何意義求出2a+b?a(2)由a?b2【解答過程】（1）2a+b∴2a+b?設(shè)2a+b與a?b的夾角為θ(0≤θ≤π)（2）由題意知，a?所以a?b=2，設(shè)a,b2．已知向量a,b(1)求a→與b(2)求|2a【解題思路】（1）由cosa,b【解答過程】（1）因為a=2，b因為a,b∈（2）因為|2a→?3．已知a=4，b=3，(1)求a+(2)求a與b的夾角；【解題思路】（1）利用向量數(shù)量積的運算律可求得a?b，根據(jù)（2）利用向量夾角公式可求得cos<【解答過程】（1）∵2a?3∴a（2）由（1）知：a?b=?6，∴cos<4．已知平面向量a=(m,1),(1)若m=1,c=(?1,23)，求滿足c=λa+μ(2)若a⊥b，求【解題思路】（1）利用向量相等列出關(guān)于λ和μ的方程組，解之即可求得λ和μ的值；（2）利用向量垂直充要條件列出關(guān)于m的方程，解之即可求得m的值．【解答過程】（1）當(dāng)m=1時，a=(1,1),∴λa+μ∴λ?μ=?1λ+5μ=23，解之得λ=3（2）由a⊥b，可得a?b=解得：m=?1或m=3.5．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知csinAcosB=(