數(shù)學(xué)九年級上冊專題24.3 垂徑定理-重難點(diǎn)題型（人教版）（學(xué)生版）

專題24.3垂徑定理-重難點(diǎn)題型【人教版】【知識(shí)點(diǎn)1垂徑定理及其推論】（1）垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

（2）垂徑定理的推論

推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。绢}型1垂徑定理（連半徑）】【例1】（2021春?海門市期中）如圖，以c為直徑的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．則MD的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10【變式1-1】（2021?淄川區(qū)一模）如圖，在⊙O中，弦AB∥CD，OP⊥CD，OM＝MN，AB＝18，CD＝12，則⊙O的半徑為（）A．4 B．42 C．46 D．43【變式1-2】（2020秋?衢州期中）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD相交于E，已知AE＝1cm，BE＝5cm，∠DEB＝30°，求：（1）CD的弦心距OF的長；（2）弦CD的長．【變式1-3】（2020秋?蜀山區(qū)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于E，連接AD，過點(diǎn)O作OF⊥AD于F，若CD＝6，BE＝1，求△AOF的面積．【題型2垂徑定理（作垂線）】【例2】（2020秋?江干區(qū)月考）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P，AP＝4，BP＝8，∠APC＝45°，則CD的長為（）A．34 B．62 C．234 D．12【變式2-1】（2020?東勝區(qū)一模）如圖，在圓⊙O內(nèi)有折線OABC，其中OA＝4，BC＝10，∠A＝∠B＝60°，則AB的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【變式2-2】（2020?泰興市模擬）如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A為圓心AB為半徑作圓A，延長BC交圓A于點(diǎn)D，則CD長為（）A．5 B．4 C．92 D．2【變式2-3】（2020秋?渝中區(qū)期末）如圖，在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)．（1）求證：AC＝BD；（2）連接OA、OC，若OA＝6，OC＝4，∠OCD＝60°，求AC的長．【題型3垂徑定理（分類討論）】【例3】（2021秋?江夏區(qū)校級期末）已知圓中兩條平行的弦之間距離為1，其中一弦長為8，若半徑為5，則另一弦長為（）A．6 B．221 C．6或221 D．以上說法都不對【變式3-1】（2021?松桃縣模擬）已知⊙O的直徑CD＝100cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB＝96cm，則AC的長為（）A．36cm或64cm B．60cm或80cm C．80cm D．60cm【變式3-2】（2021春?鼓樓區(qū)校級月考）若弦AB，CD是⊙O的兩條平行弦，⊙O的半徑為13，AB＝10，CD＝24，則AB，CD之間的距離為（）A．7 B．17 C．5或12 D．7或17【變式3-3】（2021秋?濱江區(qū)期末）在半徑為25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，則弦AB所對的弧的中點(diǎn)到AB的距離是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm【題型4垂徑定理（動(dòng)點(diǎn)問題）】【例4】（2020秋?齊河縣期末）如圖，已知⊙O的半徑為4，M是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OM＝2，則過點(diǎn)M的所有弦中，弦長是整數(shù)的共有（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【變式4-1】（2020秋?喀什地區(qū)期末）如圖，⊙O的半徑為13，弦AB＝24，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，不在OP取值范圍內(nèi)的是（）A．4 B．5 C．12 D．13【變式4-2】（2020秋?天心區(qū)月考）如圖，P為⊙O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，A為⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP、AO分別與⊙O交于B、C兩點(diǎn)．若⊙O的半徑長為3，OP=3，則弦BCA．23 B．3 C．6 D．【變式4-3】（2021?利州區(qū)模擬）如圖，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分別是AB，AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，PQ＝52，以PQ為直徑的⊙O與BD交于點(diǎn)M，N，則MN的最大值為（）A．48 B．45 C．42 D．40【題型5垂徑定理（翻折問題）】【例5】（2020?青羊區(qū)模擬）如圖，將半徑為4cm的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長為（）A．43cm B．23cm C．【變式5-1】（2016?丹東模擬）半圓形紙片的半徑為1cm，用如圖所示的方法將紙片對折，使對折后半圓弧的中點(diǎn)M與圓心O重合，則折痕CD的長為cm．【變式5-2】（2021秋?袁州區(qū)校級期中）如圖，將半徑為8的⊙O沿AB折疊，AB恰好經(jīng)過與AB垂直的半徑OC的中點(diǎn)D，則折痕AB長為．【變式5-3】（2021?姜堰市校級二模）如圖，⊙O的半徑為6cm，將圓折疊，使點(diǎn)C與圓心O重合，折痕為AB，E、F是AB上兩點(diǎn)（E、F不與A、B重合且E在F右邊），且AF＝BE．（1）判定四邊形OECF的形狀；（2）AF為多少時(shí)，△CFB為直角三角形？【知識(shí)點(diǎn)2垂徑定理的應(yīng)用】

（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題．

這類題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．【題型6垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】【例6】（2021?裕華區(qū)校級模擬）如圖所示，某地欲搭建一座圓弧型拱橋，跨度AB＝32米，拱高CD＝8米（C為AB的中點(diǎn)，D為弧AB的中點(diǎn)）．（1）求該圓弧所在圓的半徑；（2）在距離橋的一端4米處欲立一橋墩EF支撐，求橋墩的高度．【變式6-1】（2020秋?江門期末）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑；（2）有一艘寬為5m的貨船，船艙頂部為長方形，并高出水面3.4m，則此貨船是否能順利通過此圓弧形拱橋，并說明理由．【變式6-2】（2020秋?淮南月考）《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．在《九章算術(shù)》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺，問徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口