5IIR數(shù)字濾波器設(shè)計課件

第五章

IIR數(shù)字濾波器設(shè)計

數(shù)字濾波類型與指標模擬濾波器設(shè)計設(shè)計IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計IIR濾波器的雙線性變換法設(shè)計IIR數(shù)字濾波器頻率變換法數(shù)字陷波器設(shè)計1§1數(shù)字濾波類型與指標濾波的目的①

為了壓制輸入信號的某些頻率成分，從而改變信號頻譜中各頻率分量的相對比例。②

廣義濾波包括對信號的檢測與參量的估計。信號的檢測：確定在干擾背景中信號是否存在。信號參量的估計：為識別信號而確定信號的某一個或某幾個參量的估值。濾波技術(shù)①濾波器設(shè)計：根據(jù)給定濾波器的頻率特性，求得滿足該特性的傳輸函數(shù)。②濾波過程的實現(xiàn)：獲得傳輸函數(shù)后，以何種方式達到對輸入信號的進行濾波的目的。2數(shù)字濾波器數(shù)字濾波類型與指標數(shù)字濾波器（DF）的頻率特性對因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)：為系統(tǒng)函數(shù)，為濾波器的單位脈沖響應(yīng)為濾波器的傳輸函數(shù)。具有某種特定頻率特性的線性時不變系統(tǒng)。廣義上，任何線性時不變離散系統(tǒng)都是一個數(shù)字濾波器（簡稱DF）。設(shè)計數(shù)字濾波器的任務(wù)就是尋求一個因果穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)，使其系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有指定的頻率特性。3幅度特性數(shù)字濾波類型與指標相位特性DF按頻率特性的分類DF可分為低通、高通、帶通、帶阻和全通頻率變量用數(shù)字頻率表示：其中為模擬角頻率，T為抽樣時間間隔，為抽樣頻率數(shù)字頻率以為周期。頻率特性只限于范圍，依取樣定理，對應(yīng)于實際模擬抽樣頻率的一半。4理想濾波器的頻率響應(yīng)數(shù)字濾波類型與指標5DF的幅度特性性能要求（低通為例）數(shù)字濾波類型與指標0通帶過渡帶阻帶：通帶波紋：阻帶波紋：通帶截止頻率：阻帶截止頻率：過渡帶6數(shù)字濾波類型與指標DF的相位特性性能要求從信號不失真角度，其相位特性通常必須滿足以下兩個要求之一：①相位線性。即：②具有群恒時延特性。即：其中稱為時延常數(shù)7數(shù)字濾波器設(shè)計的基本問題數(shù)字濾波類型與指標數(shù)字濾波器IIR數(shù)字濾波器：其系統(tǒng)函數(shù)通常可表示成關(guān)于的有理分式FIR數(shù)字濾波器：其系統(tǒng)函數(shù)通?？杀硎境申P(guān)于的多項式以上兩類數(shù)字濾波器，由于它們的系統(tǒng)函數(shù)不同，相應(yīng)的設(shè)計方法亦不同。但無論哪種數(shù)字濾波器，設(shè)計過程一般包括以下三個基本問題：①根據(jù)實際要求確定濾波器性能指標；②用一個因果穩(wěn)定的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這個指標；③用一個有限精度的運算去實現(xiàn)這個傳輸函數(shù)。問題①、③與實際的要求及實現(xiàn)的硬件條件有關(guān)，本章主要討論問題②，即：系統(tǒng)函數(shù)的設(shè)計(或逼近)問題。8設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的幾種方法數(shù)字濾波類型與指標對于IIR數(shù)字濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為：∴設(shè)計IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就是要確定H(z)的階數(shù)N（通常稱N為濾波器的階數(shù)）以及分子分母多項式的系數(shù)滿足指定的頻率特性。設(shè)計IIR數(shù)字濾波器通常采用以下三種方法：方法一：利用模擬濾波器的理論來設(shè)計9首先設(shè)計一個合適的模擬濾波器，然后將它“變換”成滿足給定指標的數(shù)字濾波器。這種方法適合于設(shè)計幅頻特性比較規(guī)則的濾波器，例如低通、高通、帶通、帶阻等。數(shù)字濾波類型與指標當把模擬濾波器的H(s)“變換”成數(shù)字濾波器的H(z)時，其實質(zhì)就是實現(xiàn)S平面向Z平面的“映射”。這必須滿足兩個條件：①必須保證模擬頻率映射為數(shù)字頻率，且保證兩者的頻率特性基本一致。即：要求變換后代表S平面的虛軸jΩ應(yīng)映射到Z片面的單位圓且數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)和模擬濾波器頻率響應(yīng)的形狀應(yīng)基本保持不變；②因果穩(wěn)定的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器傳輸函數(shù)H(z)后，仍然是因果穩(wěn)定的。即：要求S平面左半平面的極點必須映射到Z平面的單位圓內(nèi)。

實現(xiàn)“映射”的兩種常用的方法：脈沖響應(yīng)不變法：從時域的角度出發(fā)進行映射雙線性不變法：從頻域角度出發(fā)進行映射10方法二：利用最優(yōu)化技術(shù)進行CAD設(shè)計數(shù)字濾波類型與指標若需設(shè)計濾波器的幅頻特性是任意的或者形狀比較復(fù)雜，可采用計算機輔助設(shè)計(CAD)方法進行優(yōu)化設(shè)計。設(shè)計思路：若所需濾波器的幅頻響應(yīng)為：與所設(shè)計的系統(tǒng)函數(shù)對應(yīng)的幅頻響應(yīng)為：選用最小均方誤差準則：在指定的一組離散的頻率點的均方誤差為：求解H(z)的系數(shù)使均方誤差最小。11數(shù)字濾波類型與指標方法三：利用“零極點累試法”進行設(shè)計若需設(shè)計濾波器的幅頻特性比較規(guī)則而且簡單時，可采用“零極點累試法”進行設(shè)計。例如：數(shù)字陷波器12§2

模擬濾波器的設(shè)計由于IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計是基于現(xiàn)有的模擬濾波器設(shè)計的成熟技術(shù)而完成的。故討論“IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計”之前，必須介紹模擬濾波器設(shè)計的一些基本概念，并介紹兩種常用的模擬濾波器的設(shè)計方法：巴特沃思(Butterworth)濾波器和切比雪夫(Chebyshev)濾波器。13§2

模擬濾波器的設(shè)計模擬濾波器設(shè)計中的基本概念1、模擬濾波器的頻率特性與衰減特性

設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：工程上，濾波器的幅度特性所給定的指標通常是通帶和阻帶的衰減。（常用反映功率增益的幅度平方函數(shù)或模平方函數(shù)來表示）即：當要求濾波器具有線性相位特性（延時τ為常數(shù)）時，濾波器的頻率特性為：14模擬濾波器的設(shè)計2、歸一化與頻率變換

頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通、帶通、帶阻等其它類型的濾波器的變換方法。在設(shè)計模擬濾波器時，為使設(shè)計結(jié)果具有普遍性以及計算方便，常采用歸一化參數(shù)。歸一化包含：①電路參數(shù)歸一化：將系統(tǒng)中無源元件的阻抗或運算阻抗分別除以基準電阻(系統(tǒng)的負載電阻值)；②頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準頻率（濾波器的截止頻率）。計算實際電路參數(shù)時應(yīng)要將歸一化頻率乘以截止頻率，進行反歸一化。15模擬濾波器的設(shè)計3、由模平方函數(shù)求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(s)

模擬濾波器在不含有源器件時，若為一個因果穩(wěn)定的、物理可實現(xiàn)的系統(tǒng)，則其系統(tǒng)函數(shù)必須為正實函數(shù)，即具有以下三特點：①是一個具有實系數(shù)的關(guān)于s的有理函數(shù)：

②所有極點必須全部分布在s平面的左半平面內(nèi)。

③分子多項式N(s)的階次必須小于或等于分母多項式D(s)的階次

由實函數(shù)的傅立葉變換的共軛對稱性知：16模擬濾波器的設(shè)計由給定的模平方函數(shù)求所需的系統(tǒng)函數(shù)的方法：

②取所有左半平面的極點作為的極點。

③按需要的相位條件(最小相位、混合相位等)取一半的零點構(gòu)成的零點。

①解析延拓：令代入模平方函數(shù)得：,并求其零極點。4、逼近問題

尋找一個恰當?shù)慕坪瘮?shù)來逼近理想特性。17巴特沃思Butterworth低通濾波器模擬濾波器的設(shè)計BW濾波器以巴特沃思函數(shù)來近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，BW的低通模平方函數(shù)為：指定、后，帶到上式，得：1、基本性質(zhì)階數(shù)指定、后，帶到上式，得：18模擬濾波器的設(shè)計用3dB截止頻率來規(guī)一化：，則下式：說明：①當時，（取最大值）②當時，（即3dB值）③在通帶時，很小，④當阻帶時，很大，在阻帶內(nèi)，19模擬濾波器的設(shè)計阻帶內(nèi)，∵∴幅度隨著

N的增加阻帶衰減近似為6Ndb/倍頻程。

N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性。

⑤巴特沃思濾波器又稱“最大平坦濾波器”。原因如下：按臺勞級數(shù)展開為：表明處最平坦20模擬濾波器的設(shè)計歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性21模擬濾波器的設(shè)計2、設(shè)計過程①按給定的通、阻帶指標恰當?shù)剡x擇濾波器的階次N

若給定的指標=3dB,即通帶邊頻時,ε=1,可求得：實際計算時，要對上式求得的數(shù)值取整加1。22模擬濾波器的設(shè)計②從模平方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H(s)

Ⅰ求得極點

23模擬濾波器的設(shè)計下圖給出的是按以上公式所求得的N=3和N=4時的極點發(fā)布圖：關(guān)于極點的討論在歸一化頻率的情況=1，極點均勻分布在單位圓上

對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng),它的所有極點均應(yīng)在

s的左半平面上

24模擬濾波器的設(shè)計Ⅱ系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成

濾波器的極點求出后，可取左半平面上的所有極點構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù)。對于低通濾波器，為了保證在頻率零點處，，可?。?5有關(guān)“系統(tǒng)函數(shù)構(gòu)成”的典型例題例：設(shè)計一巴特沃思濾波器，使其滿足以下指標:通帶邊頻=100krad/s,通帶的最大衰減為=3dB，阻帶邊頻為=400krad/s,阻帶的最小衰減為=35dB。解:由于通帶邊頻就是3dB截止頻率，即

確定階次N：求左半平面的極點:

26有關(guān)“系統(tǒng)函數(shù)構(gòu)成”的典型例題∴巴特沃思濾波器的傳輸函數(shù)H(s)為：

相對截止頻率歸一化，則歸一化巴特沃思濾波器傳輸函數(shù)為：

27模擬濾波器的設(shè)計Ⅲ一般N階歸一化巴特沃思濾波器系統(tǒng)函數(shù)表示

上式中是時的極點（分布在單位圓上）；分母一般稱為巴特沃思多項式，其系數(shù)可通過查附表1求得。28【附表1】：巴特沃思多項式系數(shù)表

NA1a2a3a4a5a6a7a8a921.414232.00002.000042.61313.41422.613153.23615.23615.23613.236163.86377.46419.14167.46413.863774.494010.09714.59214.59210.0974.494085.152813.13721.84625.68821.84613.1375.152895.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.392529【附表2】：巴特沃思多項式因式分解N巴特沃思多項式1

s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.412s+1)(s2+1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)30模擬濾波器的設(shè)計巴特沃思模擬濾波器的設(shè)計總結(jié)①上述歸一化公式和表格是相對3dB截止頻率給出的。由指定的技術(shù)指標，利用上述公式和表格進行設(shè)計時，最關(guān)鍵的2個參數(shù)是濾波器的節(jié)數(shù)N和3dB截止頻率。②

N用來求巴特沃思多項式，用來反歸一化，求實際濾波器的參數(shù)。31切比雪夫（Chebyshev）低通濾波器模擬濾波器的設(shè)計切比雪夫低通濾波器采用切比雪夫函數(shù)來逼近給定的指標，該函數(shù)具有等波紋特性。它可將指標要求均勻發(fā)布在通帶（或阻帶）內(nèi)，故如此設(shè)計出的濾波器階數(shù)較低。切比雪夫低通濾波器切比雪夫Ⅰ型切比雪夫Ⅱ型：通帶等波紋、阻帶單調(diào)：通帶單調(diào)、阻帶等波紋切比雪夫Ⅰ型低通濾波器1、基本原理切比雪夫Ⅰ型的幅度平方函數(shù)為：32模擬濾波器的設(shè)計切比雪夫Ⅰ型的幅度平方函數(shù)為：其中：為表示通帶波紋大小的參數(shù)（<1的正數(shù)）,越大波紋越大。為截止頻率（通帶邊頻），在此它不一定是3dB。為對的歸一化頻率。定義：切比雪夫多項式2、設(shè)計公式通帶衰減通帶最大波紋33模擬濾波器的設(shè)計阻帶衰減阻帶邊界頻率則切比雪夫Ⅰ型濾波器的傳輸函數(shù)為：34§3設(shè)計IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法

脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的基本原理和方法1、基本原理從時域響應(yīng)出發(fā)，使求得的數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)h(n)等于模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)h(t)的抽樣值。若已知，則：2、方法①將H(s)進行部分分式展開：②對H(s)進行拉氏反變換：35設(shè)計IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法③由獲得：④對取變換得：脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的濾波器的頻率響應(yīng)設(shè)原模擬濾波器的頻率響應(yīng)為?！遠(n)是h(t)的等間隔抽樣，根據(jù)抽樣定理，序列h(n)的頻譜是原模擬信號頻譜的周期延拓。即：

36設(shè)計IIR濾波器的脈沖響應(yīng)不變法注意：∵高通和帶阻濾波器不能滿足以上的要求，將會產(chǎn)生混疊?！嗝}沖響應(yīng)不變法不適合用來設(shè)計高通和帶阻數(shù)字濾波器。

若模擬濾波器的頻率響應(yīng)是帶限于折疊頻率（奈氏頻率）之內(nèi)，即：

此時，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)才能等于模擬濾波器的頻率響應(yīng)