從力的做功到向量的數(shù)量積課件

第二章平面向量2.5從力做的功到向量的數(shù)量積2024/1/261復(fù)習(xí)引入:

向量的加法向量的減法實(shí)數(shù)與向量的乘法兩個(gè)向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果向量向量向量？？想一想2024/1/262如果一個(gè)物體在力F作用下產(chǎn)生位移S，那么F所做的功為:位移SOAθFFθS力做功的計(jì)算功為兩個(gè)向量之間的某種運(yùn)算，稱為數(shù)量積表示力F的方向與位移S的方向的夾角。2024/1/2631、兩向量的夾角θOAB2024/1/264（1）求兩向量的夾角，應(yīng)保證兩個(gè)向量有公共起點(diǎn)，若沒有，須平移使它們有公共起點(diǎn)；baBOAOAaBbBbaOAAaOBb（3）〈a，b〉=0時(shí),a、b同向；〈a，b〉=π時(shí)，a、b反向；〈a，b〉=90°時(shí)，

a⊥b.（4）規(guī)定：零向量與任意向量垂直.幾點(diǎn)說明：即2024/1/265如圖，等邊三角形中，求（1）AB與AC的夾角；（2）AB與BC的夾角。ABC

通過平移變成共起點(diǎn)！練習(xí)2024/1/266OABθB12、射影的定義如圖,過點(diǎn)B作BB1⊥OA于B1則|

|cosθ叫作向量在方向上的射影當(dāng)夾角為鈍角、直角時(shí)射影應(yīng)如何呢？2024/1/267θOOθO注意：①射影是一個(gè)數(shù)量，不是向量。②當(dāng)

為銳角時(shí)射影為正值；當(dāng)

為鈍角時(shí)射影為負(fù)值；當(dāng)

為直角時(shí)射影為0；

當(dāng)

=0

時(shí)射影為|b|；

當(dāng)

=180

時(shí)射影為

|b|.2024/1/2683、數(shù)量積

表示數(shù)量而不表示向量,與、、

不同,它們表示向量；在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí),一定要注意向量夾角的取值范圍是（1）（2）（3）注意：2024/1/2694、數(shù)量積的幾何意義2024/1/2610當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí),兩個(gè)向量的數(shù)量積等于向量長度的平方當(dāng)兩個(gè)向量都是單位向量時(shí),它們的數(shù)量積等于它們夾角的余弦值兩個(gè)特殊向量之間怎樣進(jìn)行數(shù)量及運(yùn)算呢？（2.11）（2.12）2024/1/2611

5、向量數(shù)量積的性質(zhì)2.

a

b

a

b=03.

a

a=|a|2或4.cos

=；5.|a

b|≤|a||b|判定兩向量垂直的條件用于計(jì)算向量的模用于計(jì)算向量的夾角,以及判斷三角形的形狀1.2024/1/26122024/1/26131．2．3．5、數(shù)量積的運(yùn)算律2024/1/2614例1

已知且與的夾角求分析：可利用定義討論解2024/1/2615例2在三角形ABC,設(shè)邊BC,CA,AB的長度分別為a,b,c,證明:a2=b2+c2-2bccosAb2=c2+a2-2cacosBc2=a2+b2-2abcosC2024/1/2616ABCabc同理可證其他二式.我們把這個(gè)結(jié)果稱為余弦定理.證明如圖,設(shè),則2024/1/2617例3證明菱形的兩條對(duì)角線互相垂直.ABCDO證明菱形ABCD中,AB=AD即菱形的兩條對(duì)角線互相垂直.2024/1/2618a·b=(e1+e2)·(e2-2e1)

=-2e1

·

e1-e1

·

e2+e2

·

e2

=-所以23①例4已知單位向量e1,e2的夾角為60,求向量a=e1+e2,b=e2-2e1夾角.解由單位向量e1,e2的夾角為60,得e1·e2

=2024/1/2619由①②可得cosθ===a·b|a|·|b|33×2321又

|a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2e1

·

e2

+|e2|2=3|b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4e1

·

e2

+|e2|2=3②所以

|a|=|b|=又0<θ<π,所以θ=1202024/1/2620

（1）（5）若，則對(duì)于任一非零有

（2）

（3）

（7）對(duì)于任意向量都有

（6）若，則至少有一個(gè)為判斷下列命題是否正確：2024/1/2621公式變形對(duì)功W=|F||s|cos

結(jié)構(gòu)分析抽象平面向量數(shù)量積的定義a·b=|a||b|cos

特殊化五條重要性質(zhì)數(shù)形結(jié)合幾何意義小結(jié)2024/1/2622（1）向量的數(shù)量積的定義（2）平面向量數(shù)量積的物理意義和幾何意義小結(jié)（3）向量的數(shù)量積的性質(zhì)（4）向量的數(shù)量積的運(yùn)算律2024/1/2623課堂小結(jié)2.向量的射影4