新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 5.4《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》教案 (原卷版)

第四節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1.理解復(fù)數(shù)的概念，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件.2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.3.能進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，了解兩個(gè)具體復(fù)數(shù)相加、減的幾何意義.1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部.若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)，若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)，若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R).(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝﹣d(a，b，c，d∈R).(4)復(fù)數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up8(→))的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z＝a＋bieq\a\vs4\al(一一對應(yīng))復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)eq\a\vs4\al(一一對應(yīng))平面向量eq\o(OZ,\s\up8(→))＝(a，b).3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1﹣z2＝(a＋bi)﹣(c＋di)＝(a﹣c)＋(b﹣d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac﹣bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1.(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝﹣i.2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝﹣1，i4n＋3＝﹣i(n∈N*).3.z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若a∈C，則a2≥0.()(2)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).()(3)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的虛部為bi.()(4)方程x2＋x＋1＝0沒有解.()二、教材改編1.若復(fù)數(shù)z＝(x2﹣1)＋(x﹣1)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x的值為()A.﹣1B.0C.1D.﹣1或12.在復(fù)平面內(nèi)，向量eq\o(AB,\s\up8(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up8(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是﹣1﹣3i，則向量eq\o(CA,\s\up8(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A.1﹣2iB.﹣1＋2iC.3＋4iD.﹣3﹣4i3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1＋z,1－z)＝i，則|z|等于()A.1B.eq\r(2)C.eq\r(3) D.24.已知(1＋2i)z＝4＋3i，則z＝________.考點(diǎn)1復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的分類、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模、共軛復(fù)數(shù)的概念都與復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部有關(guān)，所以解答與復(fù)數(shù)相關(guān)概念有關(guān)的問題時(shí)，需把所給復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根據(jù)題意列方程(組)求解.1.若復(fù)數(shù)(m2﹣m)＋mi為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為()A.﹣1B.0C.1D.22.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝eq\f(a,1－2i)＋i(a∈R)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則a＝()A.﹣5B.﹣1C.﹣eq\f(1,3)D.﹣eq\f(5,3)3.已知eq\f(z,1－i)＝2＋i，則eq\x\to(z)(z的共軛復(fù)數(shù))為()A.﹣3﹣iB.﹣3＋iC.3＋iD.3﹣i4.設(shè)z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，則|z|＝()A.0B.eq\f(1,2)C.1D.eq\r(2)考點(diǎn)2復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘法：復(fù)數(shù)的加、減、乘法類似于多項(xiàng)式的運(yùn)算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，使分母實(shí)數(shù)化解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(1)若z(1＋i)＝2i，則z＝()A.﹣1﹣iB.﹣1＋iC.1﹣iD.1＋i(2)計(jì)算：eq\f(（2＋i）（1－i）2,1－2i)＝()A.2B.﹣2C.2iD.﹣2i(3)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為eq\x\to(z)，若eq\x\to(z)(1﹣i)＝2i(i為虛數(shù)單位)，則z＝()A.iB.i﹣1C.﹣i﹣1D.﹣i(4)已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝1＋i，則z＝()A.﹣iB.iC.1﹣iD.1＋i1.(1＋i)(2﹣i)＝()A.﹣3﹣iB.﹣3＋iC.3﹣iD.3＋i2.對于兩個(gè)復(fù)數(shù)α＝1﹣i，β＝1＋i，有下列四個(gè)結(jié)論：①αβ＝1；②eq\f(α,β)＝﹣i；③|eq\f(α,β)|＝1；④α2＋β2＝0，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.43.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足i(z＋1)＝1，則復(fù)數(shù)z＝()A.1＋iB.1﹣iC.﹣1﹣iD.﹣1＋i4.已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝(a2﹣1)＋(a＋1)i為純虛數(shù)，則eq\f(a＋i2020,1＋i)＝()A.1B.0C.1＋iD.1﹣i考點(diǎn)3復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法第一步，進(jìn)行簡單的復(fù)數(shù)運(yùn)算，將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式；第二步，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為復(fù)平面的點(diǎn)之間的關(guān)系，依據(jù)是復(fù)數(shù)a＋bi與復(fù)平面上的點(diǎn)(a，b)一一對應(yīng).(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z﹣i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則()A.(x＋1)2＋y2＝1B.(x﹣1)2＋y2＝1C.x2＋(y﹣1)2＝1D.x2＋(y＋1)2＝1(2)設(shè)z＝﹣3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)z對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(3)已知z＝(m＋3)＋(m﹣1)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.(﹣3，1)B.(﹣1，3)C.(1，＋∞)D.(﹣∞，﹣3)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量及向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是一一對應(yīng)的，要求某個(gè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，只需確定復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部即可.1.如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別是eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，則復(fù)數(shù)z1·z2對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.若復(fù)數(shù)z滿足|z﹣i|≤eq\r(2)(i為虛數(shù)單位)，則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為________.3.已知復(fù)數(shù)z1＝﹣1＋2i，z2＝1﹣i，z3＝3﹣4i，它們在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，若eq\o(OC,\s\up8(→))＝λeq\o(OA,\s\up8(→))＋μeq\o(OB,\s\up8(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是________.數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)z1＝6﹣8i，z2＝﹣i，則eq\f(z1,z2)等于()A.﹣8﹣6iB.﹣8＋6iC.8＋6iD.8﹣6i2.設(shè)(1﹣i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則x＋yi在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.若復(fù)數(shù)z＝eq\f(a,1＋i)＋1為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝()A.﹣2B.﹣1C.1D.24.已知eq\f(（1－i）2,z)＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z等于()A.1＋iB.1﹣iC.﹣1＋iD.﹣1﹣i5.若復(fù)數(shù)z滿足eq\f(z,1－i)＝i，其中i為虛數(shù)單位，則共軛復(fù)數(shù)eq\x\to(z)＝()A.1＋iB.1﹣iC.﹣1﹣iD.﹣1＋i6.已知(1＋eq\f(2,i))2＝a＋bi(a，b∈R，i為虛數(shù)單位)，則a＋b＝()A.﹣7B.7C.﹣4D.47.設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，z1＝2＋i，則eq\f(z1,z2)＝()A.1＋iB.eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)iC.1＋eq\f(4,5)iD.1＋eq\f(4,3)i二、填空題8.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\x\to(z)＝|1﹣i|＋i(i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z＝________.9.設(shè)z＝eq\f(1,1＋i)＋i(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________.10.已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(4＋2i,（1＋i）2)(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x﹣2y＋m＝0上，則m＝________.1.若(1﹣mi)(m＋i)＜0，其中i為虛數(shù)單位，則m的值為()A.﹣1B.﹣2C.﹣3D.﹣42.若虛數(shù)(x﹣2)＋yi(x，y∈R)的模為eq\r(3)，則eq\f(y,x)的最大值是()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\r(3)3.﹣3＋2i是方程2x2＋px＋q＝0的一個(gè)根，且p，q∈R，則p＋q＝________.4.已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(i＋i2＋i3＋…＋i2018,1＋i)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為________.1.設(shè)有下列四個(gè)命題：p1