新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 3.3《利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值》教案 (教師版)

第三節(jié)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值1.了解函數(shù)在某點(diǎn)取得的極值的必要條件和充分條件.2.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).3.會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).1.函數(shù)的極值函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)x＝a附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f′(a)＝0，而且在點(diǎn)x＝a附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)y＝f(x)的極小值.函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)x＝b附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f′(b)＝0，而且在點(diǎn)x＝b附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)y＝f(x)的極大值.極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.2.函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間［a，b］上連續(xù)的函數(shù)f(x)在［a，b］上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在［a，b］上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在［a，b］上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.eq\o(［常用結(jié)論］)1.若函數(shù)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值點(diǎn)只有一個(gè)，則相應(yīng)極值點(diǎn)為函數(shù)的最值點(diǎn).2.若函數(shù)在閉區(qū)間［a，b］的最值點(diǎn)不是端點(diǎn)，則最值點(diǎn)亦為極值點(diǎn).一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.()(2)對(duì)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件.()(3)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.()(4)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.()［答案］(1)√(2)×(3)×(4)√二、教材改編1.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)()A.無極大值點(diǎn)、有四個(gè)極小值點(diǎn)B.有三個(gè)極大值點(diǎn)、一個(gè)極小值點(diǎn)C.有兩個(gè)極大值點(diǎn)、兩個(gè)極小值點(diǎn)D.有四個(gè)極大值點(diǎn)、無極小值點(diǎn)C［設(shè)f′(x)的圖象與x軸的4個(gè)交點(diǎn)從左至右依次為x1，x2，x3，x4.當(dāng)x＜x1時(shí)，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)，則x＝x1為極大值點(diǎn)，同理，x＝x3為極大值點(diǎn)，x＝x2，x＝x4為極小值點(diǎn)，故選C.］2.設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，則()A.x＝eq\f(1,2)為f(x)的極大值點(diǎn)B.x＝eq\f(1,2)為f(x)的極小值點(diǎn)C.x＝2為f(x)的極大值點(diǎn)D.x＝2為f(x)的極小值點(diǎn)D［f′(x)＝﹣eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－2,x2)(x＞0)，當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0，當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)＞0，所以x＝2為f(x)的極小值點(diǎn).］3.函數(shù)y＝xex的最小值是.﹣eq\f(1,e).［因?yàn)閥＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y′＞0；當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y′＜0，所以當(dāng)x＝﹣1時(shí)函數(shù)取得最小值，且ymin＝﹣eq\f(1,e).］4.函數(shù)f(x)＝x﹣alnx(a＞0)的極小值為.a﹣alna.［因?yàn)閒(x)＝x﹣alnx(a＞0)，所以f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝1﹣eq\f(a,x)(a＞0)，由f′(x)＝0，解得x＝a.當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，所以函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a﹣alna.］考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值問題的一般流程根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)極值的情況設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1﹣x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B.函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(1)C.函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(﹣2)D.函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(2)D［由題圖可知，當(dāng)x＜﹣2時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)﹣2＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞2時(shí)，f′(x)＞0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝﹣2處取得極大值，在x＝2處取得極小值.］可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)一定為零，是否為極值點(diǎn)以及是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)要看在極值點(diǎn)左、右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào).求已知函數(shù)的極值已知函數(shù)f(x)＝(x﹣2)(ex﹣ax)，當(dāng)a＞0時(shí)，討論f(x)的極值情況.［解］∵f′(x)＝(ex﹣ax)＋(x﹣2)(ex﹣a)＝(x﹣1)(ex﹣2a)，∵a＞0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln2a.①當(dāng)a＝eq\f(e,2)時(shí)，f′(x)＝(x﹣1)(ex﹣e)≥0，∴f(x)在R上單調(diào)遞增，故f(x)無極值.②當(dāng)0＜a＜eq\f(e,2)時(shí)，ln2a＜1，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(﹣∞，ln2a)ln2a(ln2a,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0﹣0＋f(x)極大值極小值故f(x)有極大值f(ln2a)＝﹣a(ln2a﹣2)2，極小值f(1)＝a﹣e.③當(dāng)a＞eq\f(e,2)時(shí)，ln2a＞1，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(﹣∞，1)1(1，ln2a)ln2a(ln2a，＋∞)f′(x)＋0﹣0＋f(x)極大值極小值故f(x)有極大值f(1)＝a﹣e，極小值f(ln2a)＝﹣a(ln2a﹣2)2.綜上，當(dāng)0＜a＜eq\f(e,2)時(shí)，f(x)有極大值﹣a(ln2a﹣2)2，極小值a﹣e；當(dāng)a＝eq\f(e,2)時(shí)，f(x)無極值；當(dāng)a＞eq\f(e,2)時(shí)，f(x)有極大值a﹣e，極小值﹣a(ln2a﹣2)2.求函數(shù)極值的一般步驟(1)先求函數(shù)f(x)的定義域，再求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù).(2)求f′(x)＝0的根.(3)判斷在f′(x)＝0的根的左、右兩側(cè)f′(x)的符號(hào)，確定極值點(diǎn).(4)求出具體極值.［教師備選例題］設(shè)函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2﹣x)，其中a∈R.討論函數(shù)f(x)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由.［解］f′(x)＝eq\f(1,x＋1)＋a(2x﹣1)＝eq\f(2ax2＋ax－a＋1,x＋1)(x＞﹣1).令g(x)＝2ax2＋ax﹣a＋1，x∈(﹣1，＋∞).①當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝1，此時(shí)f′(x)＞0，函數(shù)f(x)在(﹣1，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).②當(dāng)a＞0時(shí)，Δ＝a2﹣8a(1﹣a)＝a(9a﹣8).a.當(dāng)0＜a≤eq\f(8,9)時(shí)，Δ≤0，g(x)≥0，f′(x)≥0.函數(shù)f(x)在(﹣1，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).b.當(dāng)a＞eq\f(8,9)時(shí)，Δ＞0，設(shè)方程2ax2＋ax﹣a＋1＝0的兩根為x1，x2(x1＜x2)，因?yàn)閤1＋x2＝﹣eq\f(1,2)，所以x1＜﹣eq\f(1,4)，x2＞﹣eq\f(1,4).由g(﹣1)＝1＞0，可得﹣1＜x1＜﹣eq\f(1,4).所以當(dāng)x∈(﹣1，x1)時(shí)，g(x)＞0，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)＞0，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因此函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).③當(dāng)a＜0時(shí)，Δ＞0，由g(﹣1)＝1＞0，可得x1＜﹣1＜x2.當(dāng)x∈(﹣1，x2)時(shí)，g(x)＞0，f′(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)＜0，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.所以函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)有一個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)0≤a≤eq\f(8,9)時(shí)，函數(shù)f(x)無極值點(diǎn)；當(dāng)a＞eq\f(8,9)時(shí)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn).已知函數(shù)極值求參數(shù)的值或范圍(1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝﹣1時(shí)有極值0，則a﹣b＝.(2)若函數(shù)f(x)＝eq\f(x3,3)﹣eq\f(a,2)x2＋x＋1在區(qū)間(eq\f(1,2),3)上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(1)﹣7(2)(2,eq\f(10,3)).［(1)由題意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋3a－b－1＝0，,b－6a＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝9，))經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)a＝1，b＝3時(shí)，函數(shù)f(x)在x＝﹣1處無法取得極值，而a＝2，b＝9滿足題意，故a﹣b＝﹣7.(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(eq\f(1,2),3)上有極值點(diǎn)等價(jià)于f′(x)＝0有2個(gè)不相等的實(shí)根且在(eq\f(1,2),3)內(nèi)有根，由f′(x)＝0有2個(gè)不相等的實(shí)根，得a＜﹣2或a＞2.由f′(x)＝0在(eq\f(1,2),3)內(nèi)有根，得a＝x＋eq\f(1,x)在(eq\f(1,2),3)內(nèi)有解，又x＋eq\f(1,x)∈［2，eq\f(10,3))，所以2≤a＜eq\f(10,3)，綜上，a的取值范圍是(2,eq\f(10,3)).］已知函數(shù)極值點(diǎn)或極值求參數(shù)的2個(gè)要領(lǐng)(1)列式：根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解.(2)驗(yàn)證：因?yàn)槟滁c(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于0不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件，所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證根的合理性.［教師備選例題］若函數(shù)f(x)＝ex﹣alnx＋2ax﹣1在(0，＋∞)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍為()A.(﹣e2，﹣e)B.(-∞,-eq\f(1,2)e)C.(-∞,-eq\f(1,2))D.(﹣∞，﹣e)D.［∵f′(x)＝ex﹣eq\f(a,x)＋2a，(x＞0)∴由f′(x)＝0得a＝eq\f(xex,1－2x).令g(x)＝eq\f(xex,1－2x)(x＞0).由題意可知g(x)＝a在(0，＋∞)上恰有兩個(gè)零點(diǎn).又g′(x)＝﹣eq\f(ex（2x＋1）（x－1）,（1－2x）2)(x＞0)，由g′(x)＞0得0＜x＜1，且x≠eq\f(1,2).由g′(x)＜0得x＞1.∴函數(shù)g(x)在(0,eq\f(1,2))，(eq\f(1,2),1)上遞增，在(1，＋∞)上遞減.又g(0)＝0，g(1)＝﹣e，結(jié)合圖形(圖略)可知a∈(﹣∞，﹣e)，故選D.］1.若x＝﹣2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax﹣1)ex﹣1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為()A.﹣1B.﹣2e﹣3C.5e﹣3D.1A.［因?yàn)閒(x)＝(x2＋ax﹣1)ex﹣1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex﹣1＋(x2＋ax﹣1)ex﹣1＝［x2＋(a＋2)x＋a﹣1］ex﹣1.因?yàn)閤＝﹣2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax﹣1)ex﹣1的極值點(diǎn)，所以﹣2是x2＋(a＋2)x＋a﹣1＝0的根，所以a＝﹣1，f′(x)＝(x2＋x﹣2)ex﹣1＝(x＋2)(x﹣1)ex﹣1.令f′(x)＞0，解得x＜﹣2或x＞1，令f′(x)＜0，解得﹣2＜x＜1，所以f(x)在(﹣∞，﹣2)上單調(diào)遞增，在(﹣2,1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極小值，且f(x)極小值＝f(1)＝﹣1.］2.已知函數(shù)f(x)＝x(x﹣c)2在x＝2處有極小值，則實(shí)數(shù)c的值為()A.6B.2C.2或6D.0B［由f′(2)＝0可得c＝2或6.當(dāng)c＝2時(shí)，結(jié)合圖象(圖略)可知函數(shù)先增后減再增，在x＝2處取得極小值；當(dāng)c＝6時(shí)，結(jié)合圖象(圖略)可知，函數(shù)在x＝2處取得極大值.故選B.］3.若函數(shù)f(x)＝(x2＋ax＋3)ex在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(﹣∞，﹣2eq\r(2)］ B.(﹣∞，﹣2eq\r(2))C.(﹣∞，﹣3］ D.(﹣∞，﹣3)C［f′(x)＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax＋3)ex＝［x2＋(a＋2)x＋a＋3］ex，令g(x)＝x2＋(a＋2)x＋a＋3.由題意知，g(x)在(0，＋∞)內(nèi)先減后增或先增后減，結(jié)合函數(shù)g(x)的圖象特征知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋2,2)＞0，,a＋3≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋2,2)≤0，,a＋3＜0，))解得a≤﹣3.故選C.］考點(diǎn)2用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值求函數(shù)f(x)在［a，b］上的最大值、最小值的步驟(1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值.(2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b).(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值.已知函數(shù)f(x)＝2x3﹣ax2＋b.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)是否存在a，b，使得f(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為﹣1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，說明理由.［解］(1)f′(x)＝6x2﹣2ax＝2x(3x﹣a).令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(a,3).若a＞0，則當(dāng)x∈(﹣∞，0)∪(eq\f(a,3),+∞)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(0,eq\f(a,3))時(shí)，f′(x)＜0.故f(x)在(﹣∞，0)，(eq\f(a,3),+∞)單調(diào)遞增，在(0,eq\f(a,3))單調(diào)遞減.若a＝0，f(x)在(﹣∞，＋∞)單調(diào)遞增.若a＜0，則當(dāng)x∈(﹣∞，eq\f(a,3))∪(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0；當(dāng)x∈(eq\f(a,3),0)時(shí)，f′(x)＜0.故f(x)在(﹣∞，eq\f(a,3))，(0，＋∞)單調(diào)遞增，在(eq\f(a,3),0)單調(diào)遞減.(2)滿足題設(shè)條件的a，b存在.(ⅰ)當(dāng)a≤0時(shí)，由(1)知，f(x)在［0,1］單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間［0,1］的最小值為f(0)＝b，最大值為f(1)＝2﹣a＋b.此時(shí)a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)b＝﹣1，2﹣a＋b＝1，即a＝0，b＝﹣1.(ⅱ)當(dāng)a≥3時(shí)，由(1)知，f(x)在［0,1］單調(diào)遞減，所以f(x)在區(qū)間［0,1］的最大值為f(0)＝b，最小值為f(1)＝2﹣a＋b.此時(shí)a，b滿足題設(shè)條件當(dāng)且僅當(dāng)2﹣a＋b＝﹣1，b＝1，即a＝4，b＝1.(ⅲ)當(dāng)0＜a＜3時(shí)，由(1)知，f(x)在［0,1］的最小值為f(eq\f(a,3))＝﹣eq\f(a3,27)＋b，最大值為b或2﹣a＋b.若﹣eq\f(a3,27)＋b＝﹣1，b＝1，則a＝3eq\r(3,2)，與0＜a＜3矛盾.若﹣eq\f(a3,27)＋b＝﹣1,2﹣a＋b＝1，則a＝3eq\r(3)或a＝﹣3eq\r(3)或a＝0，與0＜a＜3矛盾.綜上，當(dāng)且僅當(dāng)a＝0，b＝﹣1或a＝4，b＝1時(shí)，f(x)在［0,1］的最小值為﹣1，最大值為1.(1)討論函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，一要注意函數(shù)的定義域；二要注意分類的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏.(2)對(duì)于探索性問題，求出參數(shù)值后要注意檢驗(yàn).［備選例題］已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax(a∈R).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f(x)在［1,2］上的最小值.［解］(1)f′(x)＝eq\f(1,x)﹣a(x＞0)，①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)＝eq\f(1,x)﹣a＞0，即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞).②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′(x)＝eq\f(1,x)﹣a＝0，可得x＝eq\f(1,a)，當(dāng)0＜x＜eq\f(1,a)時(shí)，f′(x)＝eq\f(1－ax,x)＞0；當(dāng)x＞eq\f(1,a)時(shí)，f′(x)＝eq\f(1－ax,x)＜0，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,eq\f(1,a))，單調(diào)遞減區(qū)間為(eq\f(1,a),+∞).綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,eq\f(1,a))，單調(diào)遞減區(qū)間為(eq\f(1,a),+∞).(2)①當(dāng)0＜eq\f(1,a)≤1，即a≥1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上是減函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2﹣2a.②當(dāng)eq\f(1,a)≥2，即0＜a≤eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,2］上是增函數(shù)，所以f(x)的最小值是f(1)＝﹣a.③當(dāng)1＜eq\f(1,a)＜2，即eq\f(1,2)＜a＜1時(shí)，函數(shù)f(x)在[1,eq\f(1,a)]上是增函數(shù)，在[eq\f(1,a),2]上是減函數(shù).又f(2)﹣f(1)＝ln2﹣a，所以當(dāng)eq\f(1,2)＜a＜ln2時(shí)，最小值是f(1)＝﹣a；當(dāng)ln2≤a＜1時(shí)，最小值為f(2)＝ln2﹣2a.綜上可知，當(dāng)0＜a＜ln2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是f(1)＝﹣a；當(dāng)a≥ln2時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是f(2)＝ln2﹣2a.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1－x,x)＋klnx，k＜eq\f(1,e)，求函數(shù)f(x)在[eq\f(1,e),e]上的最大值和最小值.［解］f′(x)＝eq\f(－x－（1－x）,x2)＋eq\f(k,x)＝eq\f(kx－1,x2).①若k＝0，則f′(x)＝﹣eq\f(1,x2)在[eq\f(1,e),e]上恒有f′(x)＜0，所以f(x)在[eq\f(1,e),e]上單調(diào)遞減.②若k≠0，則f′(x)＝eq\f(kx－1,x2)＝eq\f(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,k))),x2).(ⅰ)若k＜0，則在[eq\f(1,e),e]上恒有eq\f(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,k))),x2)＜0.所以f(x)在[eq\f(1,e),e]上單調(diào)遞減，(ⅱ)若k＞0，由k＜eq\f(1,e)，得eq\f(1,k)＞e，則x﹣eq\f(1,k)＜0在[eq\f(1,e),e]上恒成立，所以eq\f(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,k))),x2)＜0，所以f(x)在eq\f(1,e)，e上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)k＜eq\f(1,e)時(shí)，f(x)在[eq\f(1,e),e]上單調(diào)遞減，所以f(x)min＝f(e)＝eq\f(1,e)＋k﹣1，f(x)max＝f(eq\f(1,e))＝e﹣k﹣1.考點(diǎn)3利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟(1)分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x).(2)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和f′(x)＝0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值.(4)回歸實(shí)際問題，結(jié)合實(shí)際問題作答.某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x﹣6)2，其中3＜x＜6，a為常數(shù).已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.［解］(1)因?yàn)楫?dāng)x＝5時(shí)，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，解得a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量為y＝eq\f(2,x－3)＋10(x﹣6)2.所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)為f(x)＝(x﹣3)[eq\f(2,x－3)＋10(x﹣6)2]＝2＋10(x﹣3)(x﹣6)2,3＜x＜6.則f′(x)＝10［(x﹣6)2＋2(x﹣3)(x﹣6)］＝30(x﹣4)(x﹣6).于是，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0﹣f(x)極大值42由上表可得，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，也是最大值.所以，當(dāng)x＝4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值且最大值等于42.即當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.(1)利用導(dǎo)數(shù)研究生活中的優(yōu)化問題的關(guān)鍵：理清數(shù)量關(guān)系、選取合適的自變量建立函數(shù)模型.(2)注意：函數(shù)的定義域由實(shí)際問題確定，最后要把求解的數(shù)量結(jié)果“翻譯”為實(shí)際問題的答案.某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12000π元(π為圓周率).(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域.(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.［解］(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100×2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元.又根據(jù)題意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300﹣4r2)，從而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r﹣4r3).由h＞0，且r＞0可得0＜r＜5eq\r(3)，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5eq\r(3)).(2)因?yàn)閂(r)＝eq\f(π,5)(300r﹣4r3)，所以V′(r)＝eq\f(π,5)(300﹣12r2).令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝﹣5(因?yàn)閞2＝﹣5不在定義域內(nèi)，舍去).當(dāng)r∈(0,5)時(shí)，V′(r)＞0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當(dāng)r∈(5,5eq\r(3))時(shí)，V′(r)＜0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上為減函數(shù).由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時(shí)h＝8，即當(dāng)r＝5，h＝8時(shí)，該蓄水池的體積最大.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值、最值一、選擇題1.函數(shù)y＝eq\f(x,ex)在［0,2］上的最大值是（）A.eq\f(1,e)B.eq\f(2,e2)C.0D.eq\f(1,2\r(e))A［易知y′＝eq\f(1－x,ex)，x∈［0,2］，令y′＞0，得0≤x＜1，令y′＜0，得1＜x≤2，所以函數(shù)y＝eq\f(x,ex)在［0,1］上單調(diào)遞增，在（1,2］上單調(diào)遞減，所以y＝eq\f(x,ex)在［0,2］上的最大值是y|x＝1＝eq\f(1,e)，故選A.］2.已知函數(shù)f（x）＝cosx＋alnx在x＝eq\f(π,6)處取得極值，則a＝（）A.eq\f(1,4)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,12)D.﹣eq\f(π,12)C［∵f′（x）＝eq\f(a,x)﹣sinx，且f′(eq\f(π,6))＝0，∴eq\f(a,\f(π,6))﹣eq\f(1,2)＝0，即a＝eq\f(π,12)，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意.故選C.］3.函數(shù)f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的大致圖象如圖所示，則xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)等于（）A.eq\f(8,9)B.eq\f(10,9)C.eq\f(16,9)D.eq\f(28,9)C［函數(shù)f（x）的圖象過原點(diǎn)，所以d＝0.又f（﹣1）＝0且f（2）＝0，即﹣1＋b﹣c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝﹣1，c＝﹣2，所以函數(shù)f（x）＝x3﹣x2﹣2x，所以f′（x）＝3x2﹣2x﹣2，由題意知x1，x2是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以x1，x2是f′（x）＝0的兩個(gè)根，所以x1＋x2＝eq\f(2,3)，x1x2＝﹣eq\f(2,3)，所以xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝（x1＋x2）2﹣2x1x2＝eq\f(4,9)＋eq\f(4,3)＝eq\f(16,9).］4.若x＝1是函數(shù)f（x）＝ax＋lnx的極值點(diǎn)，則（）A.f（x）有極大值﹣1 B.f（x）有極小值﹣1C.f（x）有極大值0 D.f（x）有極小值0A［∵f（x）＝ax＋lnx，x＞0，∴f′（x）＝a＋eq\f(1,x)，由f′（1）＝0得a＝﹣1，∴f′（x）＝﹣1＋eq\f(1,x)＝eq\f(1－x,x).由f′（x）＞0得0＜x＜1，由f′（x）＜0得x＞1，∴f（x）在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減.∴f（x）極大值＝f（1）＝﹣1，無極小值，故選A.］5.已知函數(shù)f（x）＝x3＋3x2﹣9x＋1，若f（x）在區(qū)間［k,2］上的最大值為28，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A.［﹣3，＋∞） B.（﹣3，＋∞）C.（﹣∞，﹣3） D.（﹣∞，﹣3］D［由題意知f′（x）＝3x2＋6x﹣9，令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝﹣3，所以f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表：x（﹣∞，﹣3）﹣3（﹣3,1）1（1，＋∞）f′（x）＋0﹣0＋f（x）極大值極小值又f（﹣3）＝28，f（1）＝﹣4，f（2）＝3，f（x）在區(qū)間［k,2］上的最大值為28，所以k≤﹣3.］二、填空題6.設(shè)a∈R，若函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（﹣∞，﹣1）［∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函數(shù)y＝ex＋ax有大于零的極值點(diǎn)，則方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵x＞0時(shí)，﹣ex＜﹣1，∴a＝﹣ex＜﹣1.］7.已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax存在最大值0，則a＝.eq\f(1,e)［f′（x）＝eq\f(1,x)﹣a，x＞0.當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＝eq\f(1,x)﹣a＞0恒成立，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，不存在最大值；當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＝eq\f(1,x)﹣a＝0，解得x＝eq\f(1,a).當(dāng)0＜x＜eq\f(1,a)時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x＞eq\f(1,a)時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減.∴f（x）max＝f(eq\f(1,a))＝lneq\f(1,a)﹣1＝0，解得a＝eq\f(1,e).］8.做一個(gè)無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27π，且用料最省，則圓柱的底面半徑為.3［設(shè)圓柱的底面半徑為R，母線長(zhǎng)為l，則V＝πR2l＝27π，∴l(xiāng)＝eq\f(27,R2)，要使用料最省，只需使圓柱的側(cè)面積與下底面面積之和S最小.由題意，S＝πR2＋2πRl＝πR2＋2π·eq\f(27,R).∴S′＝2πR﹣eq\f(54π,R2)，令S′＝0，得R＝3，根據(jù)單調(diào)性得當(dāng)R＝3時(shí)，S最小.］三、解答題9.已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）.（1）當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，求f（x）的極值；（2）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).［解］（1）當(dāng)a＝eq\f(1,2)時(shí)，f（x）＝lnx﹣eq\f(1,2)x，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），f′（x）＝eq\f(1,x)﹣eq\f(1,2)＝eq\f(2－x,2x).令f′（x）＝0，得x＝2，于是當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：x（0,2）2（2，＋∞）f′（x）＋0﹣f（x）極大值故f（x）在定義域上的極大值為f（2）＝ln2﹣1，無極小值.（2）由（1）知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），f′（x）＝eq\f(1,x)﹣a＝eq\f(1－ax,x)（x＞0）.當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，即函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)函數(shù)f（x）在定義域上無極值點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＝0，得x＝eq\f(1,a).當(dāng)x∈(0,eq\f(1,a))時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈(eq\f(1,a),+∞)時(shí)，f′（x）＜0，故函數(shù)f（x）在x＝eq\f(1,a)處有極大值.綜上所述，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無極值點(diǎn)；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn).10.已知函數(shù)f（x）＝lnx﹣eq\f(a,x).（1）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）若f（x）在［1，e］上的最小值為eq\f(3,2)，求實(shí)數(shù)a的值.［解］（1）由題意得f（x）的定義域是（0，＋∞），且f′（x）＝eq\f(x＋a,x2)，因?yàn)閍＞0，所以f′（x）＞0，故f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增.（2）由（1）可得f′（x）＝eq\f(x＋a,x2)，因?yàn)閤∈［1，e］，①若a≥﹣1，則x＋a≥0，即f′（x）≥0在［1，e］上恒成立，此時(shí)f（x）在［1，e］上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（1）＝﹣a＝eq\f(3,2)，所以a＝﹣eq\f(3,2)（舍去）.②若a≤﹣e，則x＋a≤0，即f′（x）≤0在［1，e］上恒成立，此時(shí)f（x）在［1，e］上單調(diào)遞減，所以f（x）min＝f（e）＝1﹣eq\f(a,e)＝eq\f(3,2)，所以a＝﹣eq\f(e,2)（舍去）.③若﹣e＜a＜﹣1，令f′（x）＝0，得x＝﹣a，當(dāng)1＜x＜﹣a時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（1，﹣a）上單調(diào)遞減；當(dāng)﹣a＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在（﹣a，e）上單調(diào)遞增，所以f（x）min＝f（﹣a）＝ln（﹣a）＋1＝eq\f(3,2)，所以a＝﹣eq\r(e).綜上，a＝﹣eq\r(e).1.設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且函數(shù)f（x）在x＝﹣2處取得極小值，則函數(shù)y＝xf′（x）的圖象可能是（）ABCDC［由題意可得f′（﹣2）＝0，且當(dāng)x＜﹣2時(shí)，f′（x）＜0，則y＝xf′（x）＞0，故排除B和D；當(dāng)x＞﹣2時(shí)，f′（x）＞0，所以當(dāng)x∈（﹣2,0）時(shí)，y＝xf′（x）＜0，當(dāng)x＞0時(shí)，y＝xf′（x）＞0，故排除A，選C.］2.函數(shù)f（x）＝x3﹣3x﹣1，若對(duì)于區(qū)間［﹣3,2］上的任意x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤t，則實(shí)數(shù)t的最小值是（）A.20B.18C.3D.0A［原命題等價(jià)于對(duì)于區(qū)間［﹣3,2］上的任意x，都有f（x）max﹣f（x）min≤t，∵f′（x）＝3x2﹣3，∴當(dāng)x∈［﹣3，﹣1］時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈［﹣1,1］時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈［1,2］時(shí)，f′（x）＞0.∴f（x）max＝f（2）＝f（﹣1）＝1，f（x）min＝f（﹣3）＝﹣19.∴f（x）max﹣f（x）min＝20，∴t≥20.即t的最小值為20.故選A.］3.若函數(shù)f（x）＝2x2﹣lnx在其定義域的一個(gè)子區(qū)間（k﹣1，k＋1）內(nèi)存在最小值，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.[1,eq\f(3,2))［因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)椋?，＋∞），又因?yàn)閒′（x）＝4x﹣eq\f(1,x)，所以由f′（x）＝0解得x＝eq\f(1,2)，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－1＜\f(1,2)＜k＋1，,k－1≥0，))解得1≤k＜eq\f(3,2).］4.已知一企業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為10萬元，每生產(chǎn)千件需另投入2.7萬元，設(shè)該企業(yè)年內(nèi)共生產(chǎn)此種產(chǎn)品x千件，并且全部銷售完，每千件的銷售收入為f（x）萬元，且f（x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10.8－\f(1,30)x2，0＜x≤10，,\f(108,x)－\f(1000,3x2)，x＞10.))（1）寫出年利潤(rùn)W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)品x（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該企業(yè)生產(chǎn)此產(chǎn)品所獲年利潤(rùn)最大？（注：年利潤(rùn)＝年銷售收入﹣年總成本）［解］（1）由題意得W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10.8－\f(1,30)x2))x－2.7x－10，0＜x≤10，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(108,x)－\f(1000,3x2)))x－2.7x－10，x＞10，))即W＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8.1x－\f(1,30)x3－10，0＜x≤10，,98－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1000,3x)＋2.7x))，x＞10.))（2）①當(dāng)0＜x≤10時(shí)，W＝8.1x﹣