第21章力矩分配法

第21章力矩分配法21.1力矩分配法的基本概念21.2力矩分配法計算連續(xù)梁及無側(cè)移剛架21.3超靜定結(jié)構(gòu)的受力分析和變形特點小結(jié)21.1力矩分配法的基本概念力矩分配法適用于計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架。21.1.1力矩分配法的幾個名詞無側(cè)移剛架位移法基本結(jié)構(gòu)位移法方程由圖得代入位移法方程，得1.轉(zhuǎn)動剛度：表示桿端抵抗轉(zhuǎn)動的能力。

稱為AB桿A端的轉(zhuǎn)動剛度，它等于使AB桿A端（也稱近端）產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時所需施加的力矩。桿端轉(zhuǎn)動剛度的數(shù)值，等于位移法中等截面直桿在桿端有單位轉(zhuǎn)角時該端的彎矩值。1）在中，A端是轉(zhuǎn)動端，也稱近端，B端為遠(yuǎn)端。2）的數(shù)值與桿件的線剛度和遠(yuǎn)端支承情況有關(guān)：遠(yuǎn)端固定遠(yuǎn)端鉸接遠(yuǎn)端滑動遠(yuǎn)端自由2.分配系數(shù)顯然，同一節(jié)點上各桿分配系數(shù)之和等于1，即桿件近端的分配彎矩可用下式表示：用表示桿在A端的分配系數(shù)。分配系數(shù)在數(shù)值上等于桿的轉(zhuǎn)動剛度與交于節(jié)點A各桿在A端的轉(zhuǎn)動剛度S之和的比值。當(dāng)節(jié)點A作用外力偶M時，該節(jié)點發(fā)生轉(zhuǎn)動，使各桿在A端（近端）產(chǎn)生彎矩，稱為分配彎矩。3.傳遞系數(shù)當(dāng)桿件近端有轉(zhuǎn)角時，近端得到分配彎矩的同時，桿件遠(yuǎn)端產(chǎn)生彎矩，稱為傳遞彎矩。桿件遠(yuǎn)端傳遞彎矩與近端分配彎矩的比值稱為傳遞系數(shù)，用C表示。對等截面直桿而言，傳遞系數(shù)C隨遠(yuǎn)端支承情況不同，其數(shù)值分別為遠(yuǎn)端固定端遠(yuǎn)端鉸支座遠(yuǎn)端滑動支座利用傳遞系數(shù)的概念，桿件遠(yuǎn)端傳遞彎矩可按下式計算：21.1.2單節(jié)點力矩分配法的基本運算計算分3步：1）在節(jié)點B處增加限制轉(zhuǎn)動的剛臂，形成兩個單跨超靜定梁組成的基本結(jié)構(gòu)，將荷載作用于基本結(jié)構(gòu)上，各單跨梁產(chǎn)生的桿端彎矩為固端彎矩。又稱為節(jié)點B處的不平衡力矩。2）放松節(jié)點B，即在節(jié)點B處施加與不平衡力矩方向相反的力矩。計算節(jié)點B處各桿近端得到的分配彎矩及各桿遠(yuǎn)端產(chǎn)生的傳遞彎矩。3）將兩種情況相疊加，就與原結(jié)構(gòu)受力和變形相同了。單節(jié)點力矩分配法的基本運算：（1）鎖住節(jié)點：即在計算節(jié)點上附加剛臂，將原結(jié)構(gòu)分成若干單跨超靜定梁，稱為固定狀態(tài)。計算出各桿的桿端彎矩（固端彎矩）和節(jié)點上的不平衡力矩。（2）放松節(jié)點：即在計算節(jié)點處施加與不平衡力矩方向相反的力矩，稱為放松狀態(tài)。計算出節(jié)點處各桿近端的分配彎矩和相應(yīng)遠(yuǎn)端的傳遞彎矩。（3）疊加最后彎矩：將各桿固端彎矩與分配彎矩或傳遞彎矩相加，得各桿的最后彎矩。以上過程可歸納為：“先鎖、后松，再疊加”。力矩分配法的基本原理（1）固定結(jié)點。加入剛臂，產(chǎn)生不平衡力矩；各桿端有固端彎矩。（2）放松結(jié)點。在結(jié)點上加上一個反號的不平衡力矩，計算各近端的分配彎矩及各遠(yuǎn)端的傳遞彎矩。（3）各桿端彎矩。近端=固端彎矩+分配彎矩；遠(yuǎn)端=固端彎矩+傳遞彎矩例試作圖a所示剛架的彎矩圖。解：（1）計算各桿端分配系數(shù)。令iAB=iAC=EI/4=1，則iAD=2。（2）計算固端彎矩，查表計算。（3）進行力矩的分配和傳遞。結(jié)點A的不平衡力矩為計算過程如圖b。（4）計算桿端最后彎矩。并作彎矩圖如圖c。近端彎矩=固端彎矩+分配彎矩遠(yuǎn)端彎矩=固端彎矩+傳遞彎矩例21-1

試求圖示剛架的彎矩圖，EI=常數(shù)。（1）固定狀態(tài)：先在節(jié)點A處加上附加剛臂，計算各桿的固端彎矩節(jié)點A不平衡力矩解:（2）放松狀態(tài)：在A點處加一個不平衡力矩方向相反的（），然后進行分配、傳遞計算，各桿線剛度相等轉(zhuǎn)動剛度分配系數(shù)校核分配彎矩傳遞彎矩（3）將以上（1）和（2）結(jié)果疊加，即得各桿最后桿端彎矩。畫出剛架的M圖（1）計算各桿的固端彎矩節(jié)點B不平衡力矩例21-2

用力矩分配法求圖示連續(xù)梁的彎矩圖，EI=常數(shù)。解:（2）計算各桿端分配系數(shù)：桿AB和BC線剛度相等，都為，故轉(zhuǎn)動剛度分配系數(shù)（3）分配和傳遞：利用分配系數(shù)和傳遞系數(shù)，直接在計算簡圖下進行計算，應(yīng)用疊加原理即可作出最后彎矩圖。21.2力矩分配法計算連續(xù)梁及無側(cè)移剛架三跨連續(xù)梁固定節(jié)點放松節(jié)點B放松節(jié)點CMBMCABCD-MB不斷重復(fù)…例21-3

用力矩分配法求圖示連續(xù)梁的彎矩圖，i=常數(shù)。1）轉(zhuǎn)動剛度2）分配系數(shù)3）桿端彎矩解法1：（1）計算基本數(shù)據(jù)：（2）計算過程：力矩分配計算如圖所示。解法2：截斷外伸桿CD，將荷載簡化C端。（1）計算基本數(shù)據(jù)：此時只有節(jié)點B為剛節(jié)點，而C端是鉸接端。1）轉(zhuǎn)動剛度2）分配系數(shù)3）桿端彎矩（2）計算過程：力矩分配計算如圖所示。彎矩圖用力矩分配法計算連續(xù)梁和無側(cè)移剛架

即對于具有多個結(jié)點轉(zhuǎn)角但無側(cè)移的結(jié)構(gòu)，需先固定所有結(jié)點，然后各結(jié)點輪流放松。把各結(jié)點的不平衡力矩輪流地進行分配、傳遞，直到小到可以停止。由此可知，計算的結(jié)果為近似的。如圖所示連續(xù)梁各桿件線剛度為i分配系數(shù)為固端彎矩為計算過程如下圖1、放松結(jié)點1，其不平衡力矩為-300kN·m，反號分配并傳遞，如圖。2、放松結(jié)點2，其不平衡力矩為150+75=225kN·m，反號分配并傳遞，如圖。3、結(jié)點1有了新的不平衡力矩-64kN·m，反號分配并傳遞，如圖。

如此反復(fù)將各結(jié)點的不平衡力矩進行分配和傳遞，直到傳遞彎矩的數(shù)值小到可以略去，停止計算。例21-4

用力矩分配法求圖示剛架的彎矩圖，EI=常數(shù)。解：節(jié)點上的集中力偶（），不產(chǎn)生桿端彎矩而直接作用在節(jié)點C的附加剛臂上，引起該節(jié)點的不平衡力矩，參與分配，所以第一輪放松節(jié)點C時，不平衡力矩為（）。（2）求轉(zhuǎn)動剛度、分配系數(shù)：令，則（1）鎖住節(jié)點B和C：桿端彎矩1）計算節(jié)點C，2）計算節(jié)點B，（3）力矩分配計算：（4）畫彎矩圖：多節(jié)點力矩分配的解題步驟：1）先固定結(jié)構(gòu)的所有節(jié)點，將荷載作用其上，計算固端彎矩和分配系數(shù)。2）放松一個節(jié)點，先計算節(jié)點的不平衡力矩，將其反號，分配給桿件的近端得分配彎矩，并傳遞到遠(yuǎn)端得傳遞彎矩。3）計算另外節(jié)點的不平衡力矩，放松該節(jié)點，計算分配彎矩和傳遞彎矩。4）重復(fù)第2）步和第3）步的計算，直至約束力矩小到可以忽略不計時為止。5）將桿端的固端彎矩、歷次分配彎矩和歷次傳遞彎矩求代數(shù)和，即得桿端彎矩。由桿端彎矩，并運用疊加原理，即可作出結(jié)構(gòu)的彎矩圖。21.3超靜定結(jié)構(gòu)的受力分析和變形特點21.3.1超靜定結(jié)構(gòu)的特性1）靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力只用平衡條件即可確定，其值與結(jié)構(gòu)的材料性能及桿件截面尺寸無關(guān)。超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力由靜力平衡條件不能全部確定，還需同時考慮位移條件。2）靜定結(jié)構(gòu)除了荷載作用外的其他因素，都不引起內(nèi)力。超靜定結(jié)構(gòu)由于多余約束的影響，致使除荷載作用外其他因素（如支座移動，溫度改變，制造誤差等），都能在結(jié)構(gòu)中引起內(nèi)力。3）靜定結(jié)構(gòu)在任一約束遭到破壞后，即喪失其幾何不變性，因而不能再承受荷載。而超靜定結(jié)構(gòu)則由于具有多余約束，在多余約束遭到破壞后，仍能維持其幾何不變性，而且結(jié)構(gòu)仍具有一定的承載力。4）在局部荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布比靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分布均勻些，分布范圍也大些，但內(nèi)力峰值卻降低了。21.3.2超靜定結(jié)構(gòu)的計算方法結(jié)構(gòu)的計算通常包括內(nèi)力計算和位移計算兩個方面。不論靜定和超靜定結(jié)構(gòu)，內(nèi)力和位移要滿足3個條件:（1）平衡條件：結(jié)構(gòu)整體及其各個部分所受的力系都要滿足靜力學(xué)的平衡條件。（2）物理條件：在線彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力與應(yīng)變要滿足胡克定律。（3）變形的幾何連續(xù)條件：結(jié)構(gòu)的位移應(yīng)與各桿件的連接形式和外部支承情況相符合。計算超靜定結(jié)構(gòu)的基本方法有3種：①力法以多余未知力為基本未知量，以靜定結(jié)構(gòu)為基本結(jié)構(gòu)，以基本結(jié)構(gòu)在多余約束處滿足原結(jié)構(gòu)的位移條件建立力法方程。②位移法則以節(jié)點位移為基本未知量，附加約束后的超靜定結(jié)構(gòu)為基本結(jié)構(gòu)，以基本結(jié)構(gòu)在節(jié)點處滿足原結(jié)構(gòu)的靜力平衡條件建立位移法方程。③力矩分配法是位移法的一種漸近方法，它直接以桿端彎矩作為計算對象，計算簡單機械，應(yīng)用較多。對于不同的結(jié)構(gòu)形式，其適用的計算方法如下：（1）超靜定桁架和組合結(jié)構(gòu)：由于節(jié)點位移較多，宜用力法。（2）連續(xù)梁：最宜于用力矩分配法。（3）超靜定剛架：位移法最宜于計算超靜定剛架。當(dāng)剛架超靜定次數(shù)較少而節(jié)點位移較多時，可采用力法。對無節(jié)點線位移的剛架，也可采用力矩分配法。不論采用何種方法，當(dāng)結(jié)構(gòu)對稱時，要盡可能利用對稱性，以使計算得到簡化。小結(jié)力矩分配法的優(yōu)點：無需建立和解算聯(lián)立方程，直接以桿端彎矩作為計算對象，力學(xué)概念明確，總是重復(fù)一個基本計算，即單節(jié)點的力矩分配，且收斂速度快。但只適用于連續(xù)梁和無側(cè)移剛架。固端彎矩:固定狀態(tài)下各桿件的桿端彎矩，可由表19-2查得。傳遞