工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課后題答案-第五版6

工程數(shù)學(xué)--線性代數(shù)課后題答案_第五版第六章線性空間與線性變換1驗(yàn)證所給矩陣集合對(duì)于矩陣的加法和乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間并寫出各個(gè)空間的一個(gè)基(1)2階矩陣的全體S1解設(shè)AB分別為二階矩陣那么ABS1因?yàn)?AB)S1kAS1所以S1對(duì)于矩陣的加法和乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間是S1的一個(gè)基.(2)主對(duì)角線上的元素之和等于0的2階矩陣的全體S2解設(shè)ABS2因?yàn)樗許2對(duì)于矩陣的加法和乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間是S2的一個(gè)基(3)2階對(duì)稱矩陣的全體S3.解設(shè)ABS3那么ATABTB因?yàn)?AB)TATBTAB(AB)S3(kA)TkATkAkAS3所以S3對(duì)于加法和乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間.是S3的一個(gè)基.2驗(yàn)證與向量(001)T不平行的全體3維數(shù)組向量對(duì)于數(shù)組向量的加法和乘數(shù)運(yùn)算不構(gòu)成線性空間解設(shè)V{與向量(001)T不平行的全體三維向量}設(shè)r1(110)Tr2(101)T那么r1r2V但r1r2(001)TV即V不是線性空間.3設(shè)U是線性空間V的一個(gè)子空間試證假設(shè)U與V的維數(shù)相等那么UV證明設(shè)12n為U的一組基它可擴(kuò)充為整個(gè)空間V的一個(gè)基由于dim(U)dim(V)從而12n也為V的一個(gè)基那么對(duì)于xV可以表示為xk11k22krr顯然xU故VU而由知UV有UV4設(shè)Vr是n維線性空間Vn的一個(gè)子空間a1a2ar是Vr的一個(gè)基試證Vn中存在元素ar1an使a1a2ar,ar1an成為Vn的一個(gè)基證明設(shè)rn,那么在Vn中必存在一向量ar1Vr它不能被a1a2ar線性表示將ar1添加進(jìn)來(lái)那么a1a2ar1是線性無(wú)關(guān)的假設(shè)r1n那么命題得證否那么存在ar2L(a1a2ar1)那么a1a2ar2線性無(wú)關(guān)依此類推可找到n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量a1a2an它們是Vn的一個(gè)基5在R3中求向量(371)T在基1(135)T2(632)T3(310)T下的坐標(biāo)解設(shè)123是R3的自然基那么(123)(123)A(123)(123)A1其中因?yàn)樗韵蛄吭诨?23下的坐標(biāo)為(3382154)T6在R3取兩個(gè)基1(121)T2(233)T3(371)T1(314)T2(521)T3(116)T試求坐標(biāo)變換公式解設(shè)123是R3的自然基那么(121)(123)B(123)(121)B1(121)(123)A(121)B1A其中設(shè)任意向量在基123下的坐標(biāo)為(x1x2x3)T那么故在基123下的坐標(biāo)為7在R4中取兩個(gè)基e1(1000)Te2(0100)Te3(0010)Te4(0001)T1(2111)T2(0310)T3(5321)T3(6613)T(1)求由前一個(gè)基到后一個(gè)基的過(guò)渡矩陣解由題意知從而由前一個(gè)基到后一個(gè)基的過(guò)渡矩陣為(2)求向量(x1x2x3x4)T在后一個(gè)基下的坐標(biāo)解因?yàn)橄蛄吭诤笠粋€(gè)基下的坐標(biāo)為(3)求在兩個(gè)基下有相同坐標(biāo)的向量.解令解方程組得(k為常數(shù))8說(shuō)明xOy平面上變換的幾何意義其中(1)解因?yàn)樗栽诖俗儞Q下T()與關(guān)于y軸對(duì)稱(2)解因?yàn)樗栽诖俗儞Q下T()是在y軸上的投影(3)解因?yàn)樗栽诖俗儞Q下T()與關(guān)于直線yx對(duì)稱(4).解因?yàn)樗栽诖俗儞Q下T()是將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9n階對(duì)稱矩陣的全體V對(duì)于矩陣的線性運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)維線性空間.給出n階矩陣P以A表示V中的任一元素變換T(A)PTAP稱為合同變換.試證合同變換T是V中的線性變換證明設(shè)ABV那么ATABTBT(AB)PT(AB)PPT(AB)TP[(AB)P]TP(APBP)TP(PTAPTB)PPTAPPTBPT(A)T(B)T(kA)PT(kA)PkPTAPkT(A)從而合同變換T是V中的線性變換10函數(shù)集合V3{(a2x2a1xa0)ex|a2a1a0R}對(duì)于函數(shù)的線性運(yùn)算構(gòu)成3維線性空間在V3中取一個(gè)基1x2ex2xex3ex求微分運(yùn)算D在這個(gè)基下的矩陣.解設(shè)1D(1)2xexx2ex2212D(2)exxex323D(3)ex3易知123線性無(wú)關(guān)故為一個(gè)基.由知即D在基123下的矩陣為