2023年人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第1課時(shí)）.......................................1

3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第2課時(shí)）.......................................26

3.2.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（第1課時(shí)）

基礎(chǔ)練習(xí)

一、單選題

I.若直線X=，與雙曲線'-丁=]有兩個(gè)交點(diǎn)，則/的值可以是（）

4

A.4B.2

C.1D.-2

【答案】A

【分析】利用雙曲線的圖形及性質(zhì)，求出t的范圍，即可得到選項(xiàng).

【詳解】在^"—）"=1中，xe—2]u[2,+8）,

當(dāng)f=-2或f=2時(shí)，均只有一個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)，€（-00,-2）=（2,+8）時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)/€（—2,2）時(shí)，無(wú)交點(diǎn).

2.已知雙曲線方程三-匯=1,下列說(shuō)法中正確的有（）

169

A.焦點(diǎn)坐標(biāo)（0,±5）

B.該雙曲線的圖象過(guò)點(diǎn)（1,1）

C.焦距為10

D.雙曲線上存在點(diǎn)尸，使得歸用=8且國(guó)=0

【答案】C

【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】易知焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上，由d=16+9=25,焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±5,0）,A錯(cuò)誤;

B錯(cuò)誤；

169

由上知，焦距為2x5=10,C正確；

若歸周=0,則P,鳥重合，顯然行不在雙曲線上，D錯(cuò)誤.

3.雙曲線V-2y2=2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

A.（±1,0）B.（±6,0）C.（0,±l）D.（0,±V3）

【答案】B

【分析】將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到b2,從而求出c,即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)；

【詳解】解：雙曲線V—2^=2,即工-y2=],所以/=2,6=1,

2

所以,2=/+從=3,即。=行，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為上道,0）；

4.等軸雙曲線的兩條漸近線的夾角大小為（）

兀c兀-兀c27r

A.-B.-C.-D.—

4323

【答案】C

【分析】根據(jù)等軸雙曲線的定義，可設(shè)a=b=l,以雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的射線為

x軸建立直角坐標(biāo)系，寫出雙曲線的方程，由此得到漸近線方程，從而求得兩漸近線的夾角.

【詳解】由等軸雙曲線的定義可知雙曲線的實(shí)軸與虛軸長(zhǎng)度相等，，實(shí)半軸與虛半軸的長(zhǎng)度相

等，設(shè)不妨設(shè)a=b=l,以雙曲線的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的射線為x軸建立直角坐標(biāo)系，可

知雙曲線的方程為--丁=1,兩條漸近線方程為丫=日，這兩條漸近線的夾角為

5.若雙曲線G：￡-1=1（">O力>0）和它的共輾雙曲線C2的離心率分別為弓，%則。，%

a~b~

應(yīng)滿足的關(guān)系是（）

2。2211,11.

A.B.e~-e；=1C.——7=1D.—+-=1

【答案】D

22

【分析】由共聊雙曲線可得C?:專一￡=1,分別寫出",《關(guān)于參數(shù)4、6的表達(dá)式，即可確

定答案.

【詳解】由題設(shè)知：釬學(xué)且則

_11

所以w+v=l.

6.從某個(gè)角度觀察籃球（如圖1）,可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外

輪形狀為圓。，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓。的交點(diǎn)將

圓。的周長(zhǎng)八等分，AZ48c=8=1,則該雙曲線的焦距為（）

【答案】c

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求得該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得其焦距.

【詳解】如圖，以。為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

22

設(shè)雙曲線的方程為=-馬=1（a＞0力＞0）,

a~b~

則該雙曲線過(guò)點(diǎn)（夜詞，且4=1,所以:仔=1，

解得〃=2,所以°2=〃2+從=3,得c=6，

所以該雙曲線的焦距為26，

2222

7.雙曲線?-方=1與5-方=2（/1H0）有相同的（）

A.實(shí)軸B.焦點(diǎn)C.漸近線D.以上都不對(duì)

【答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)即可得到答案.

2-522

【詳解】當(dāng)4=2時(shí)，容易判斷二一與=1與二-2r=2的實(shí)軸和焦點(diǎn)均不同，即A,B錯(cuò)誤.

a'b'a-b

下面判斷漸近線.

易知。。0出工0,現(xiàn)在僅討論”＞（）力＞。時(shí)的情況，其它情況同理.

￡-耳=1的漸近線為：y=±-x,

a"ba

若4＞0,則m一￥=；1=￡-工=1,則漸近線方程為：y=±^-x=±-x,

a2b-Aa2Ab2阮a

若/<0,則4-￡=；1=工J=l,則漸近線方程為：y=±^-x=±-X.

ab~-A,b~-yJ—Acia

于是，C正確，同時(shí)D錯(cuò)誤.

2

8.已知點(diǎn)P是雙曲線/一匕=1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)。的直線/與雙曲線分別相交于M,N兩點(diǎn),

4

?uuiruum?

則|/狎+叫的最小值為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得。為腦V的中點(diǎn)，即可得到尸M+PN=2PO,再根據(jù)雙曲線

的性質(zhì)計(jì)算可得；

【詳解】解：根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知。為腦V的中點(diǎn)，所以PM+PN=2PO,又尸在

2|UUQI||UUirUUU|illUUi

/一A=1匕所以poR1,當(dāng)且僅當(dāng)p在雙曲線的頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以=2/。卜2.

9.已知雙曲線C：1-!=1的左右焦點(diǎn)為《，尸2,點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，點(diǎn)戶關(guān)于原

點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為。，則用耳|一|。制=（）

A.4B.2逐C.6D.2>/13

【答案】C

【分析】由雙曲線的性質(zhì)可得|尸瑪|=|仍|,再利用雙曲線的定義即得.

【詳解】由雙曲線的對(duì)稱性可得點(diǎn)Q在雙曲線的左支上，且|P閭=|。團(tuán)，

.??I尸耳HQK|=|P￡|—|P閭=2=6.

二、多選題

22

10.關(guān)于雙曲線二一三=1,下列說(shuō)法正確的是（）

164

A.實(shí)軸長(zhǎng)為8B.焦距為4石C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（±4,0）D.離心率為好

2

【答案】AD

［分析】利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)即可得出.

22

【詳解】解：由雙曲線^--二=1的方程，可知：a2=16,6=4,解得a=4,b=2,

164

/.c=J42+2「=2>/5?

實(shí)軸長(zhǎng)=2x4=8,焦距為4石，因此A正確，8錯(cuò)誤；

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±4）,離心率e=￡=225=魚，因此C錯(cuò)誤，￡）正確.

a42

r2丫2

11.對(duì)于方程二一丁二1和二一丁=丸（2>0且丸工1）所表示的雙曲線，有相同的（）

44

A.頂點(diǎn)B.焦點(diǎn)C.離心率D.漸近線

【答案】CD

【分析】化標(biāo)準(zhǔn)方程，比較離心率、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、漸近線

【詳解】對(duì)于雙曲線上-V=i,。=2,b=\,c=非;

4

頂點(diǎn)（±2,0）,焦點(diǎn)卜石,0）,離心率e=4,漸近線y=±gx

對(duì)于雙曲線《―丁=譏即二一f=i

4-422

a'—2V2,b'=\［X，c'=V52,

頂點(diǎn)（±2VI,0）,焦點(diǎn)（土瘋,0）,離心率e=逝，漸近線y=±gx

因此這兩個(gè)方程表示的雙曲線有相同的離心率和漸近線.

2

12.曲線C:?+y|y|=l,則（）

A.C上的點(diǎn)（X,y）滿足xeR,y<lB.C關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱

C.C與尤軸、y軸共有3個(gè)公共點(diǎn)D.C與直線），=5只有1個(gè)公共點(diǎn)

【答案】ACD

［分析】去掉絕對(duì)值即可根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)判斷.

【詳解】y..0,C:三+V=1表示橢圓在工軸上方的部分，

4

><0了:三-丁=1表示雙曲線在無(wú)軸下方的部分，

4

作出圖象:

雙曲線的一條漸近線為）=5,

故選項(xiàng)ACD正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

13.已知曲線C：工+工=1,則下列說(shuō)法正確的是（）

k-\5-k

A.若曲線C表示雙曲線，則%>5

B.若曲線C表示橢圓，則lv%v5且火。3

C.若曲線C表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線且離心率為2?,則％=7

3

D.若曲線C與橢圓三+匕=1有公共焦點(diǎn)，則々=4

42

【答案】BCD

【分析】根據(jù)雙曲線，橢圓的特征一一計(jì)算可得；

【詳解】解：對(duì)于A：若曲線C：上+上=1表示雙曲線，則依-1）（5-%）<0,解得人>5

k-\5-k

或kvl,故A錯(cuò)誤；

冊(cè)-1>0

對(duì)于B：若曲線C：上+上=1表示橢圓，則5-k>0,解得1<%<5且Jtw3,故B正

k-\5-k,,「，

k-\#5-k

確;

對(duì)于C：若曲線。表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線旦離心率為亞，則(r=k-\

3b2=k-5"

所以寸=/+〃=22一6,則/=￡=竺心=4,解得％=7,故C正確;

a2k-\3

22

對(duì)于D：橢圓￡+5=1的焦點(diǎn)為（士&M，

a2=k-\>0

若曲線C表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線，則心1>°，貝必>5,則i=2,解得』

（舍去）；

a2=k-\>0

若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則?從=5-&>0,則3<A<5,則,2=24-6=2,解得

k-l>5-k

k=4,符合題意，故Z=4,故D正確；

三、填空題

2

14.雙曲線匕-d=i的頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

4

【答案】(0,±2)

【分析】根據(jù)雙曲線的方程確定雙曲線的頂點(diǎn)在y軸上，由此可得答案.

【詳解】由雙曲線片-/=1可知，頂點(diǎn)在y軸上，

4

即頂點(diǎn)為S,±2),

15.如果雙曲線方程了?+叫2=1焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為2石，則根的值為.

【答案】--##-0.25

4

【分析】先將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用焦距得到關(guān)于用的方程，解方程即可.

2

x2y

【詳解】由焦點(diǎn)在x軸上知機(jī)<0,化成標(biāo)準(zhǔn)方程為一二一，又焦距為2石，可得

m

,解得小=一］.

4

16.若雙曲線的漸近線方程為y=±￥x,則雙曲線虛軸長(zhǎng)為.

【答案】2

【分析】先由漸近線方程求出。，進(jìn)而求得虛軸長(zhǎng)即可.

【詳解】由雙曲線的方程可得漸近線方程為y=士泰x,則壺=￥，解得b=i,則雙曲線

虛軸長(zhǎng)為2b=2.

17.等軸(實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)相等)雙曲線的離心率.

【答案】近

【分析】由題意可知，a=b,由。2=/+從，化簡(jiǎn)可求離心率.

【詳解】由題意可知，a=b,兩邊同時(shí)平方，

得/=〃，即aJc」-4,2〃=02,

所以離心率e=￡=&,

a

18.直線3x—y+3=0被雙曲線4/-y2=4的兩條漸近線所截得的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為.

（912）

【答案】r?-j

【分析】先求雙曲線的漸近線方程，進(jìn)而求交點(diǎn)坐標(biāo)及線段的中點(diǎn)坐標(biāo).

2

【詳解】V4x2-y=4,即=則“=1,6=2且焦點(diǎn)在x軸上

4

???雙曲線4/-V=4的兩條漸近線方程為y=±2x

聯(lián)立方程=八，解得［，=一：，即交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,-6）

同理可得y=-2x與3x-y+3=0的交點(diǎn)坐標(biāo)為1

中點(diǎn)坐標(biāo)為（一

19.與雙曲線三-二=1有公共焦點(diǎn),且過(guò)點(diǎn)卜五,2）的雙曲線方程為

164

【答案】--^=1

128

,>2

『_

【分析】設(shè)雙曲線方程為r=1,將點(diǎn)（3夜,2）代入，解得女，即可求解.

\6-k4+Z

【詳解】解：設(shè)雙曲線方程為］§工-￡=1（7＜左＜16）,將點(diǎn)（30,2）代入,

184

即大下一一二1，解得k=4或4=-14（舍去），

16-&4+Z

22

故所求雙曲線方程為土-二=1.

128

20.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-l,3）,且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.

【答案】（0,±4）

【分析】設(shè)雙曲線方程為丁-卜2=%，代入點(diǎn)A,得出雙曲線方程，最后即可求得焦點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】因?yàn)殡p曲線是等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為：x2-y2=m,

22

代入4（-1,3）得：加=-8,所以雙曲線方程為：二-三=1,

88

222

可知焦點(diǎn)在3軸上，c=a+b=16?c=4f焦點(diǎn)坐標(biāo)為：（0,±4）.

2

21.點(diǎn)尸（0,1）到雙曲線?-丁=1漸近線的距離是.

【答案】岑

【分析】由雙曲線方程可得漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距罔公式可求得結(jié)果.

【詳解】由雙曲線方程知：漸近線方程為y=±2x,即±2x-y=0,

???點(diǎn)尸（0,1）到漸近線的距離d=~^==9.

四、解答題

22.求與雙曲線=1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（3及,2）的雙曲線方程.

【答案】-

128

v2v2L184

【解析】設(shè)所求雙曲線方程為=1,根據(jù)題中條件，求出c=26，號(hào)-白=1，求解即

a2b2ab-

可得出結(jié)果.

?2

【詳解】設(shè)雙曲線方程為?■-5=1（。>0,6>0）,

由題意易求得c=2石，又雙曲線過(guò)在（3打,2）,

所以+.=1;因?yàn)?+/=（2灼;所以三一2,從=8.

故所求雙曲線的方程為二-《=1.

128

23.求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

（1）與雙曲線上-乙=1有共同漸近線，且過(guò)點(diǎn)（-3,2百）；

916

（2）與雙曲線《一二=1有公共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)（3顯,2）

±__Z_l尤22

【答案】⑴94=1（2）—-^-=1

4128

【分析】（1）設(shè)所求雙曲線方程為三-.=“1。0）,再將點(diǎn)（-3,2石）代入可求出2,從而

916

可求得雙曲線方程；

22

（2）設(shè)雙曲線方程為-----匚=1,將點(diǎn)（3后,2）代入求出z的值，從而可得雙曲線方程

16—女4+Z

22

【詳解】解：（1）由題意設(shè)所求雙曲線方程為三-2="aw0），

916

因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)（一3,2百）,

所以Hi“得人"

所吟即？

所以所求雙曲線方程為"■一彳二，

4

（2）由題意設(shè)所求雙曲線方程為工——亡=1（-4<4<16）,

16-女4+k

因?yàn)殡p曲線過(guò)點(diǎn)（3收,2）,

184

所以77^7—7丁=1,得公+10左一56=0,（左+14）（&-4）=。，

16-A:4+Z

解得女=4或左=-14,

2?

所以所求雙曲線方程為工-二=1

128

24.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴經(jīng)過(guò)點(diǎn)（木,0）,（3,2）；

（2）焦點(diǎn)為（0,—5）,（0,5）,經(jīng)過(guò)點(diǎn)（空

（3）々=力，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,-1）；

（4）經(jīng)過(guò)（3,-4⑹和停5）兩點(diǎn).

22

【答案】⑴二V--匕V=1;

68

..2

嗚嘖=1,

⑶工-￡=i；

88

22

（4匹上=1.

169

【分析】（1）根據(jù)題意，由雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（布，。），分析可得雙曲線的焦點(diǎn)為x軸上，且a=?,

22

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：--4=1）將點(diǎn)（3,2）代入計(jì)算可得從的值，將從的值代入雙曲線

6b

的方程，即可得答案；

（2）根據(jù)題意，分析可得雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且c=5,由雙曲線的定義計(jì)算可得a的值，

結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)可得〃的值，將/、/的值代入雙曲線的方程，即可得答案.

（3）根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為：x2-y2=t,將點(diǎn)（3,-1）代入其中計(jì)算可得f的值，即可得雙

曲線的方程，變形為標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案；

（4）根據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為的2-“''I,將（3,-4&）和（；，5）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程

9m一32〃=1

可得81?」解可得：團(tuán)、〃的值，將加、〃的值代入雙曲線方程即可得答案.

116

（1）根據(jù)題意，雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（6，°）,則雙曲線的焦點(diǎn)在X軸上，且"=而，

工2—

設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：二-2=1，

6b2

94

雙曲線經(jīng)過(guò)32）,則叫了=1，解可得從=8,

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—-^-=1：

68

（2）根據(jù)題意，焦點(diǎn)為（°，一5）,（°，5）,則雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且C=5,

???雙曲線過(guò)點(diǎn)（季,2港〕，故根據(jù)雙曲線的定義可知：

2a“怨］+(2&W_+(2月-5y=6,

2

則4=3,則〃2=c一“2=16,

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：E-工=1；

916

22

（3）根據(jù)題意，雙曲線中。=〃，設(shè)雙曲線的方程為：x-y=ti

又由雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3-D,則有/=32-（-1）2=8,

則雙曲線的方程為f-y2=8,

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：三-工=1；

88

（4）據(jù)題意，設(shè)雙曲線的方程為小一〃八比""〉。），

9/n-32n=l

雙曲線經(jīng)過(guò)（3,-4偽和（彳，5）兩點(diǎn)，則有《81X,,

4—m-25n=l

U6

解可得：m=~,"=-1，

9io

22

則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：工-匕=1.

169

25.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴焦點(diǎn)4（-2,0）,月（2,0）,一個(gè)頂點(diǎn)為（1,0）；

⑵一個(gè)焦點(diǎn)為（0,3）,離心率為3：

(3)一條漸近線為2x-3y=0,且過(guò)點(diǎn)(1「1)；

⑷經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-4碼，停,5).

【答案】(l)x2-^-=l

3

⑵>2-￡=1

O

匕工=1

⑶95~

94

72

(4)21_￡=1

169

【分析】(1)設(shè)雙曲線方程為營(yíng)=1(。>0,。>0)，利用己知條件求出后可得方程.

=1(4>02>0),利用已知條件求出4力后可得方程.

2

y

(3)設(shè)雙曲線方程為三-

4利用已知條件求出幾后可得方程.

9

(4)設(shè)雙曲線方程為“V+〃),2=1,利用已知條件求出后可得方程.

22

———1(G>0,>0)

⑴設(shè)雙曲線方程為〃一匕,

由題設(shè)可得/+從=4,。=1,故〃2=3,。=1,故雙曲線方程為f一￡=1.

3

22

r—yr=1(。>0,i>>0)

(2)設(shè)雙曲線方程為幻b-,

由題設(shè)可得半焦距C=3,￡=3,故a=l,所以〃=8，

a

所以雙曲線方程為丁-：=1.

22

———=2(幾w0)

(3)根據(jù)漸近線方程設(shè)雙曲線方程為94\

代入則有H3故兀=一最，

9436

22Vy2-2_[

所以土-匕=-2即雙曲線方程為：T~T=.

943694

9/7?+32〃=1

<81

22一帆+25〃=1

(4)設(shè)雙曲線方程為7^~+叮之，則U6,

??22

解得加=4,〃=白，故雙曲線方程為：=1.

916169

26.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：

⑴一個(gè)焦點(diǎn)為尸（一3,0）,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,0）；

22

（2）與雙曲線看-5=1有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)97

⑶經(jīng)過(guò)M-華，，和N（4,-3）兩點(diǎn).

【分析】（1）由題可得/=4，〃=32-4=5,即得；

22

（2）由題可設(shè)總力一￡=1（-4Vzi<16）,將點(diǎn)（30,2）代入即求.

（3）設(shè)所求雙曲線方程為如？-〃/=］（加〃>o）,代入“卜［I，和N（4,-3）,即得.

22

-5—=l（6f>0,Z?>0）

⑴由題可設(shè)雙曲線方程為如匕、，,

???經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,0）,

?202

???5—'=1,即/=4,又一個(gè)焦點(diǎn)為月（—3,0）,

ab

Z?2=32—4=5>

...所求的雙曲線方程為E-￡=l;

45

22

——-------------=1（—4<2<16）

⑵由題可設(shè)雙曲線方程為16-24+2。則

22解得2=4或4=—14（舍去）

16-24+2

所以所求雙曲線方程為d=1;

128

⑶設(shè)所求雙曲線方程為儂2一〃/=1（，加>。），則

解得膽=,

.??所求雙曲線方程為1-《=1.

43

27.求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、頂點(diǎn)的坐標(biāo).

(l)x2-8y2=32；

(2)9x2-y2=81；

(3)x2-j2=-4；

【答案】(1)實(shí)軸長(zhǎng)為8應(yīng)，虛軸的長(zhǎng)為4，頂點(diǎn)的坐標(biāo)(-4夜,())和(4夜,0).

(2)實(shí)軸長(zhǎng)為6,虛軸的長(zhǎng)為18,頂點(diǎn)的坐標(biāo)(-3,0)和(3,0).

(3)實(shí)軸長(zhǎng)為4,虛軸的長(zhǎng)為4,頂點(diǎn)的坐標(biāo)(0，-2)和(0,2).

(4)實(shí)軸長(zhǎng)為10,虛軸的長(zhǎng)為14,頂點(diǎn)的坐標(biāo)(0,-5)和(0,5).

【分析】化簡(jiǎn)雙曲線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得。力的值和焦點(diǎn)的位置，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì),

即可求解.

22=\

(1)解：由雙曲線的方程f-8V=32,可化為324,

此時(shí)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且“2=32,從=4,所以。=40為=2,

可得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=80，虛軸的長(zhǎng)為2b=4,頂點(diǎn)的坐標(biāo)(-40,0)和(4忘,0).

(2)ft?：由雙曲線的方程9/-卜2=81,可化為§一瓦一1,

此時(shí)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，且/=9,〃=81,所以。=3*=9,

可得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2=6,虛軸的長(zhǎng)為2b=18,頂點(diǎn)的坐標(biāo)(-3,0)和(3,0).

22A----------------=1

(3)解：由雙曲線的方程廠-y=T,可化為44,

此時(shí)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且片=4,〃=4,所以4=2,6=2,

可得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=4,虛軸的長(zhǎng)為力=4,頂點(diǎn)的坐標(biāo)(0,-2)和(0,2).

x?/y2x2

---------........—―]----------........-]

(4)解：由雙曲線的方程4925,可化為2549,

此時(shí)雙曲線的焦點(diǎn)在了軸上，且。2=25,戶=49,所以。=5,6=7,

可得雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a=10,虛軸的長(zhǎng)為4=14,頂點(diǎn)的坐標(biāo)（0,-5）和（0,5）.

28.己知雙曲線C的兩條漸近線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，且與以點(diǎn)A（夜,0）為圓心，1為半徑的圓相切,

雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)A與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱，設(shè)直線/過(guò)點(diǎn)A,斜率為

（2）當(dāng)&=1時(shí)，在雙曲線C的上支上求點(diǎn)8,使其與直線/的距離為近.

【答案】（1）上一蘭=1

22

⑵4夜,2）

【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱求出4（0,也），確定“=&,在由A（0,O）到漸近線距離為1列出方

程，求出。=a=\p2，確定雙曲線方程；

（2）設(shè)出網(wǎng)x,，d+2卜寫出直線/的方程，利用點(diǎn)到直線距離列出方程，求出x,寫出點(diǎn)8

坐標(biāo).

（1）因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)在〉軸匕所以設(shè)雙曲線方程為/b2,

因?yàn)锳（血,0）,頂點(diǎn)H與點(diǎn)A關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

所以A'（0,&）,即“=夜，

設(shè)雙曲線漸近線為y=

由題意得:A（夜,0）到漸近線距離為1,

解得:b=a=五，

所以雙曲線方程為片-《=1.

22

（2）設(shè)'儼"+2）是雙曲線C上到直線/：尸”一應(yīng)的距離為應(yīng)的點(diǎn),

所以卜巴

y/2

解得：x=0,此時(shí)j2+2=2,

即B(衣2).

29.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(1)焦點(diǎn)在x軸上，虛軸長(zhǎng)為8,離心率為g；

(2)過(guò)點(diǎn)(2,0),與雙曲線片-二=1離心率相等.

6416

【答案】(1)—-^=1；(2)—-/=1.

9164.

【分析】(1)根據(jù)題意可得26=8,e=-c=|5,結(jié)合/=〃+〃，求得/,即可得出答案；

a3

(2)可設(shè)雙曲線的方程為二-￡=42>0),將點(diǎn)(2,0)代入求得心即可得出答案.

6416

丫2V2C5

【詳解】解：⑴設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為2?-多?=l(a>0,b>0),由題意知2b=8,6=-=1,

a1a3

從而8=4,c=g〃，

代入/=/+〃，得入=%

故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-.=1.

916

(2)由題意知，所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,

故可設(shè)其方程為式-￡—>0),

6416

將點(diǎn)(2,0)的坐標(biāo)代入方程得4=乙，

16

故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為二-9=]

4

提升訓(xùn)練

一、單選題

1.己知耳K是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且/白尸乙2=兀三，記橢圓

31

和雙曲線的離心率分別為6*2,則“看的值為()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理、橢圓和雙曲線的離心率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為％,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為外，設(shè)B，22是橢圓和雙曲線的左右

兩個(gè)焦點(diǎn)，且閨用=2c,設(shè)P在第一象限，|P周=m|P閭=〃,

由橢圓的定義可知:\PFf\+\PF2\=m+n=2ai,

由雙曲線的定義可知：\PF\-\PF^=m-n=2a2,

由此可解得:"7=4+生,〃=4一。2，

由余弦定理可知：

（2c）2=tn2+n2—2nm-cos120°即4c2=（q+4）+（4—4）~一2，（4一‘

222

化簡(jiǎn)得：4c2=3a『+aJ,即瑪半_=4,

c

2,23]

所以空_+”=4,即=+下=4

ccqe2

二、多選題

2.已知曲線C:—二一+上=1,則（）

2+m4-m

A.當(dāng)帆=2時(shí)，則C的焦點(diǎn)是月（3,0）,巴卜夜,0）

B.當(dāng)機(jī)=6時(shí)，則C的漸近線方程為'=±3》

C.當(dāng)C表示雙曲線時(shí)，則優(yōu)的取值范圍為加＜-2

D.存在加，使C表示圓

【答案】ABD

【分析】通過(guò)機(jī)的值或取值范圍，判斷曲線的形狀，轉(zhuǎn)化求解即可.

22

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)加=2時(shí)，曲線C:三+＞l,則C的焦點(diǎn)是用在0）,瑪卜&,0）,所

以A正確；

對(duì)于B,當(dāng)機(jī)=6時(shí)，曲線C：L-L=1,則C的漸近線方程為y=±gx,所以B正確；

822

對(duì)于C,當(dāng)C表示雙曲線時(shí)，（2+/n）（4-m）＜0,解得：〃?＞4或“＜-2,所以C不正確；

對(duì)于D,當(dāng)2+〃z=4-〃z,即機(jī)=1時(shí)，曲線C表示圓，所以D正確.

三、填空題

3.已知雙曲線5-卷=1（。＞0,"0）的左、右焦點(diǎn)分別為"，F(xiàn)2,離心率為手，點(diǎn)A（3,a）

是雙曲線上一點(diǎn)連接A",過(guò)點(diǎn)耳作電//A鳥交雙曲線于點(diǎn)B,且忸用＜|A周，則

ML

1叫-------

【答案】5

【分析】將點(diǎn)A@，&）代入雙曲線方程，結(jié)合離心率，可求出兄仇。，從而可求得直線AK的

斜率，由8耳〃4亮可得直線8耳的斜率，設(shè)直線8瓦的傾斜角為凡則可求得cos6=立，然后

3

由點(diǎn)A（3,夜）是雙曲線上一點(diǎn)和雙曲線的離心率為孥，

得.a/解得卜=3,

指"2,1^=\

所以/=4,c=2,

所以6（2,0）,k周=J（3-2）2+（72-0）2=G.

所以直線AF2的斜率為正，

因?yàn)?耳/公名，所以直線8月的斜率為正.p

設(shè)宜線BF、的傾斜角為0，則tan。=血，

所以豆11,=近,R|JsinO=&cos。，

COS夕

因?yàn)閟in?e+cos?。=1,。為銳角，

所以cose=?^.

3

連接照，在△町鳥中，由余弦定理得忸周2=忸町+4/一2忸/訃2八85夕,

又忸用2=（忸制+24，所以怛用=（,

所嚅=5.

4.設(shè)A、B、C是雙曲線V—號(hào)=1（。>0/>0）上的三個(gè)點(diǎn)，AB經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,AC經(jīng)過(guò)右焦點(diǎn)

F,若8/FAC且2|AF|=|CF|,則焦距為.

【答案】亞

3

【分析】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為E,由題意可得在Rt、ABF中，。尸為斜邊A8上的中線，再

結(jié)合雙曲線的定義從而可求得c,從而得到焦距.

【詳解】設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為E,由題意可得在RJA8F中，。尸為斜邊A8上的中線，

即有|明=2|。4|=2|OF|=2c,

4|BF|=|AE|=m,\AF\=n,\CF\=2n,

由雙曲線的定義有，|3—|cq=|A同一情尸1=2,所以CE=2〃+2.

在Rt—E4c中，nr+（3n）~=（2n+2）2,代入2=，〃-”，化簡(jiǎn)可得機(jī)=4〃.

?28

乂〃7—〃=2得〃=—,tn=-.

33

在RtqEA/中，m2+n2=（2c）2,EP—+—=4c2,所以2c=.

v7993

5.若過(guò)點(diǎn)P（0,1）作直線/,使/與雙曲線V-M=l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線/的方程

4

為.

【答案】2x—y+1=0,Zr+y—1=0,45x-y+\=0,>/5x+y-1=0

【分析】當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，直線與雙曲線沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)直線/斜率存在時(shí)，設(shè)出直線/的方

程，聯(lián)立直線/的方程和雙曲線的方程，消去》得到（4-二卜2-2米-5=0,根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)和

判別式進(jìn)行分類討論，由此求得直線/的方程.

【詳解】當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)，顯然不合題意

所以可設(shè)直線/方程為y="+l,

y=kx+\

聯(lián)立1得（4_公卜2_2后_5=0（*）,

'一彳一

①當(dāng)4一二=0，即A=2或女=一2,方程（*）只有?解，

直線/與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，直線/方程為y=±2x+l.

②'與4-產(chǎn)工0，即％*±2,要使直線，與雙曲線E有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

貝|JA=（-2Q2-4（4—）（_5）=0,解得&=土石，

此時(shí)，直線/方程為、=±氐+1,

綜上所述，直線/的方程為丫=±>/^+1或丫=±2'+1.

故答案為：2x—y+l=0,2r+y—l=0,島一y+l=O,后+y-l=O.

6.已知雙曲線的頂點(diǎn)到漸近線的距離為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離為4,且該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為

8,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

【答案】花一而一】或記一記T

【分析】分焦點(diǎn)在*軸和y軸上，設(shè)出雙曲線方程，由虛軸長(zhǎng)和頂點(diǎn)到漸近線的距離即可求出

雙曲線方程.

22

【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在X軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為※-5=1（。>0,/,>0）,可得?=8,b=4,則

頂點(diǎn)（±a,0）,漸近線方程為y=±9x,

a

24

不妨取頂點(diǎn)（。,0），漸近線y=，則，解得“=耳,則雙曲線方程為茁-正

當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)雙曲線方程為—=l(m>0,n>0),可得2〃=8,n=4,貝U頂點(diǎn)

（0,土機(jī)）,漸近線方程為y=±^x,

=24

不妨取頂點(diǎn)（0,心），漸近線y=，解得m=F，則雙曲線方程為

1616

T

綜上：雙曲線的方程為：16」或邁一正

3

7.點(diǎn)P在雙曲線/-5=1上，若點(diǎn)尸在第一象限，則點(diǎn)P到直線y=3x的距離的取值范圍是

【答案】。，幽10J

【分析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得右頂點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線的方程，易得右頂點(diǎn)到漸近線為最

遠(yuǎn)，可得答案.

【詳解】由爐-總=1,可知a=l1=3,c=Ji6,則其漸近線方程為y=±3x,

則該點(diǎn)到直線y=3x的距離d=察二q=要，

該雙曲線的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,

V？Tiio

則點(diǎn)尸到直線y=3x的距離的取值范圍是（o,坐

四、解答題

22

8.己知雙曲線C：「-￡=1（4>0力>0）,以點(diǎn)尸（。,0）為圓心，“為半徑作圓P,圓