宿遷市泗陽(yáng)縣2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題（解析版）

第1頁(yè)/共17頁(yè)泗陽(yáng)縣2022~2023學(xué)年第一學(xué)期期中調(diào)研試卷高一數(shù)學(xué)（滿(mǎn)分150分鐘，考試時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的解法求解集合B，再利用集合的交集運(yùn)算求解.【詳解】∵，則.故選：B.2.“”是“”的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要【答案】B【解析】【分析】可借助數(shù)軸分析，看區(qū)間的大小及能否推出．【詳解】如圖，從圖上可以看出來(lái)，范圍較小，可以推出，反之，無(wú)法推出，所以“”是“”的必要不充分條件．故選：B.3.命題：“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞命題否定的定義，即可求得答案.【詳解】命題：“，”的否定為，.故選：A4.若偶函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上是（）A.減函數(shù)且最大值是 B.增函數(shù)且最小值是C.增函數(shù)且最大值是 D.減函數(shù)且最小值是【答案】A【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合單調(diào)性與最值的關(guān)系，可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，由在區(qū)間上是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，即.故選：A.5.若且，則下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性質(zhì)，通過(guò)舉特例結(jié)合作差法比較大小即可判斷各個(gè)選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，顯然A錯(cuò)誤；對(duì)于B，∵且，∴，，∴，∴，即B正確；對(duì)于C：當(dāng)，時(shí)，，，顯然C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，，顯然D錯(cuò)誤；故選：B.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可求值.【詳解】由已知，得，所以所以故選：C.7.已知，，設(shè)，則N所在的區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求的近似值，再化為指數(shù)判斷范圍.【詳解】∵,則，∴.故選：D.8.定義域?yàn)镽的函數(shù)滿(mǎn)足，任意的實(shí)數(shù)都成立，且值域?yàn)椋O(shè)函數(shù)若對(duì)任意的，都存在，使成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和值域可得，作出函數(shù)的函數(shù)圖象，結(jié)合當(dāng)時(shí)及時(shí)函數(shù)的圖象要位于的下方，得到，即可求解.【詳解】由，得，解得或，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且值域?yàn)?，所以；由，在一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩者的函數(shù)圖象，如圖，要想滿(mǎn)足任意的，存在，使得成立，則當(dāng)時(shí)，，解得，且時(shí)，函數(shù)的圖象要位于函數(shù)圖象的下方，故只需，解得.綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知全集，集合，，則（）A. B.C. D.的真子集個(gè)數(shù)是7【答案】ACD【解析】【分析】求出集合A，再由集合的基本運(yùn)算以及真子集的概念即可求解.【詳解】A：，又，所以，故A正確；B：，故B錯(cuò)誤；C：，所以，故C正確；D：由，則的真子集個(gè)數(shù)是，故D正確.故選：ACD10.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.B.不等式的解集是C.函數(shù)的零點(diǎn)為和D.不等式的解集為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)不等式的解集判斷出，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系、一次不等式、一元二次不等式的解法判斷BCD選項(xiàng)的正確性.【詳解】關(guān)于的不等式的解集為，所以，且和4是關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理得，則，所以A正確；不等式即為，解得，所以B正確；因?yàn)楹?是關(guān)于的方程的兩根，函數(shù)的零點(diǎn)為和，故C錯(cuò)誤；不等式即為，即，解得或，所以不等式的解集為，所以D正確.故選：.11.下列命題是真命題的有（）A.若函數(shù)為奇函數(shù)，則 B.若，則C.不等式的解集是 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】當(dāng)無(wú)意義時(shí)可判斷A；計(jì)算可判斷B；由得，求解可判斷C；由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D【詳解】對(duì)于A：當(dāng)無(wú)意義時(shí)，則不成立，故A為假命題；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，所以，故B真命題；對(duì)于C：由得即，解得，所以不等式的解集是，故C假命題；對(duì)于D：，則，所以，所以，故D為真命題；故選：BD12.是定義在上函數(shù)，若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的有（）A. B.C. D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】由題意可得，把2代入求得可判斷A；當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，由此可知，進(jìn)而可判斷BCD【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，解得，對(duì)于A：，故A正確；由，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，，所以，又，則有，，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：由B可知，故D正確；故選：ACD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)，則_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)換元法，令得，代入題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，，所以.故答案為：.14.若，，，則的最小值為_(kāi)________．【答案】##2.25.【解析】【分析】由得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最值.【詳解】因，所以，因?yàn)椋?，故，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故最小值為.故答案為：.15.已知，，則_________．（用a，b表示）【答案】.【解析】【分析】先利用指數(shù)式和對(duì)數(shù)式互化得到，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算公式得到，再用換底公式得到.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，由換底公式可得：.故答案為：.16.是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿(mǎn)足，對(duì)于任意的且，都有成立．如果，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，然后根據(jù)已知條件判斷的奇偶性與單調(diào)性，根據(jù)構(gòu)造的函數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)的單調(diào)性與奇偶性解出參數(shù)的取值范圍即可.【詳解】已知對(duì)于任意的，且，都有，得，即.，，.令，得對(duì)于任意的，且，都有成立，即得在上單調(diào)遞減.又為偶函數(shù)，為偶函數(shù).已知，，得，即.為偶函數(shù)，故得.又在上單調(diào)遞減，，解得或.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知集合，．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的求解，求得集合的描述，結(jié)合交集的運(yùn)算，可得答案；（2）由補(bǔ)集的性質(zhì)，可得集合之間的包含關(guān)系，進(jìn)而建立不等式組，可得答案.小問(wèn)1詳解】由不等式，，解得，則，由，則，即.【小問(wèn)2詳解】由，則，由（1）可知，則，解得.18.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）5（2）21【解析】【分析】由，，，，等計(jì)算法則可得答案.【小問(wèn)1詳解】原式=【小問(wèn)2詳解】原式=2119.已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（2）記函數(shù)的最小值為m，集合，判斷m是否屬于集合A，并說(shuō)明理由.【答案】（1）在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)詳解（2），，理由見(jiàn)詳解【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義，由取值、作差、變形、定號(hào)、定論即可證明；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出，令，解方程即可判斷.【小問(wèn)1詳解】在上單調(diào)遞增，證明如下：對(duì)，，則有：，∵，則，∴，即，則在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】∵在上單調(diào)遞增，則，即，，理由如下：令，則，解得或（舍去），∴.20.設(shè)命題：存在，不等式成立；命題：對(duì)任意，不等式恒成立．（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若有且只有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）存在，不等式成立，只需要即可；（2）先利用一元二次不等式的解計(jì)算為真命題時(shí)的取值范圍，再分別在真假和假真的情況下討論得到的范圍.【小問(wèn)1詳解】命題：存在，不等式成立為真命題，則即可，即，解得.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閷?duì)任意，不等式恒成立，所以，解得，即當(dāng)命題真時(shí)，，所以當(dāng)真假時(shí)，；當(dāng)假真時(shí)，，綜上.21.某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運(yùn)中心，擬引進(jìn)智能機(jī)器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購(gòu)買(mǎi)x臺(tái)機(jī)器人的總成本為萬(wàn)元，且.（1）若使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，問(wèn)應(yīng)買(mǎi)多少臺(tái)機(jī)器人?（2）現(xiàn)按（1）中的數(shù)量購(gòu)買(mǎi)機(jī)器人，需要安排人將郵件放在機(jī)器人上，機(jī)器人將郵件送達(dá)指定落袋格口完成分揀，經(jīng)實(shí)驗(yàn)知，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量為（單位：件），已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1000件，問(wèn)引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少多少?【答案】（1）使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，問(wèn)應(yīng)買(mǎi)150臺(tái)機(jī)器人（2）引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少155人【解析】【分析】（1）由題意，整理每臺(tái)機(jī)器人的平均成本的函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式，比較大小，可得答案；（2）根據(jù)每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得最值，進(jìn)而求得引進(jìn)機(jī)器人直線(xiàn)，所需人數(shù)，可得答案.【小問(wèn)1詳解】由題意，每臺(tái)機(jī)器人的平均成本，當(dāng)時(shí)，，易知該開(kāi)口向上的二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，則此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；由，則使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低，問(wèn)應(yīng)買(mǎi)150臺(tái)機(jī)器人.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，；令易知該開(kāi)口向下的二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，則此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由，則在上的最大值為，此時(shí)，即引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量的最大值為（件）.（人），（人）.故引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量達(dá)最大值時(shí)，用人數(shù)量比引進(jìn)機(jī)器人前的用人數(shù)量最多可減少155人.22.經(jīng)過(guò)函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)，我們知道：“函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形”的充要條件是“是奇函數(shù)”．（1）若為定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，求的解析式；（2）某數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組針對(duì)上述結(jié)論進(jìn)行探究，得到一個(gè)真命題：“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形”的充要條件是“為奇函數(shù)”．若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形，且當(dāng)時(shí)，．（i）求的解析式；（ii）若函數(shù)滿(mǎn)足：當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)值域也是，則稱(chēng)區(qū)間為函數(shù)的“保值”區(qū)間，若函數(shù)在上存在保值區(qū)間，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由奇偶性的定義求解即可；（2）（i）由題意可知為奇函數(shù)，進(jìn)而，由此可求出時(shí)的解析式，即可求解；（ii）由的單調(diào)性結(jié)合“保值”區(qū)間的定義，分類(lèi)討論即可求解【小問(wèn)1詳解】為定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以；【