江蘇省南京市2022-2023學(xué)年高三9月學(xué)情調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(解析版)

南京市2023屆高三年級(jí)學(xué)情調(diào)研

數(shù)學(xué)2022.09.07

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁，包括單項(xiàng)選擇題(第1題~第8題)、多項(xiàng)選擇題(第9題~第12題)、填

空題(第13題~第16題)、解答題(第17題~第22題)四部分.本試卷滿分為150分，

考試時(shí)間為120分鐘.

2.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、考生號(hào)填涂在答題卡上指定的位置.

3.作答選擇題時(shí)，選出每小題的答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息

點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.

4.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)，

在其他位置作答一律無效.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.

1.設(shè)集合A={x|f+x—6<0},B={x|x+l>0},則AC1B=

A.(-3,-1)B.(-1,2)C.(2,+8)D.(-3,+0°)

【答案】B

【考點(diǎn)】集合的運(yùn)算

【解析】由題意可知，A={x[f+x-6<0}={x|-3<x<2},B={x|x+l>0}={x|x>-l},

所以AC2={x[—l<x<2},故答案選B.

2.已知復(fù)數(shù)z=(2+i)i,其中i為虛數(shù)單位，則的值為

A.小B.4C.3D.5

【答案】D

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算

【解析】由題意可知,z=(2+i)i=-l+2i,則1=所以z3=(—l+2i)(—l-2i)=

=1-(-4)=5,故答案選D.

3.已知隨機(jī)變量X~N(4，22),則P(8<X<IO)的值約為

A.0.0215B.0.1359C.0.8186D.0.9760

2

附：若Y~N(/i，o),貝I」尸儀一0(yv〃+c)Q0.6827,P(/l-2a<Y<n+2a)^0.9545,

P(/L3。<丫<"+3/0.9974

【答案】A

【考點(diǎn)】正態(tài)分布的應(yīng)用

【解析】由題意可知，〃=4,。=2,所以P(8<X<10)=P(/i+2a<X<n+-3CT<

Y<n+3CT）-1P（/Z~2a<Y<n+2^）X0.9974X0.9545=0.021450.0215,故答案選A.

4.若直線x+y+a=0與曲線y=x—21nx相切，則實(shí)數(shù)a的值為

A.0B.-1C.-2D.-3

【答案】C

【考點(diǎn)】函數(shù)的切線方程與導(dǎo)數(shù)的幾何意義綜合應(yīng)用

2

【解析】由題意可知，設(shè)切點(diǎn)為（如，?），且了=1-因?yàn)橹本€x+y+a=0的斜率為-1,

所以2一1=1一后2解得〃7=1,所以切點(diǎn)為（1,1）,則代入直線方程可得1+1+。=0,解

得。=一2,故答案選C.

5.阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專業(yè)工程裝置.我國(guó)第一高樓上海中心大廈的

阻尼器減震裝置，被稱為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖1.由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過

程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開平衡位置的位移Mm）和時(shí)間?。┑暮瘮?shù)關(guān)系為y=sin（or+

9）（。>0,|初<2,如圖2.若該阻尼器在擺動(dòng)過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置的時(shí)間分別

為t\,t2,ti（0<tl<t2<t3）,且fl+/2=2,會(huì)+/3=6,則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開平衡位

置的位移大于0.5m的總時(shí)間為

24

A-C-

B.3D.3

圖1

（第5題圖）

【答案】D

【考點(diǎn)】新情景問題下的三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用

2冗7E

【解析】由題意可知，。+殳=2,々+%3=6,所以%—力=4,則7=4=v，解得①=5，所以

y=sin（5+。），令sin臣+夕）>今則解得之<&+9<手，所以;一］?！?，〈?一沙貝U時(shí)間間隔

52124

為§一片。_（耳_忌>）=^，故答案選D.

6.已知橢圓/+方=1(心6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸2,左頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為8,點(diǎn)

P為橢圓上一點(diǎn)，且尸尸2，尸尸2.若AB〃尸Q,則橢圓的離心率為

A.qB.|C.乎D.日

【答案】A

【考點(diǎn)】圓錐曲線中橢圓的幾何性質(zhì)應(yīng)用：求離心率

A2b降

【解析】由題意可知，A(~af0),以0,b),P(c,—),Fi(—c,0),則以6="，卜嗎=五.

又A8〃尸F(xiàn)i,所以化簡(jiǎn)可得力=2c,而aZnU+duSc?,則“二小0,所以e=g=

友=半，故答案選A.

7.已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直

徑，E為下底面圓周上一點(diǎn)，則三棱錐尸一A8E外接球的表面積為

25兀-25兀―5兀一尸

A.B.C.~2~D.5兀

【答案】B

【考點(diǎn)】立體幾何中三棱錐的外接球問題

【解析】由題意可知，圓柱的底面半徑為1,高為2,設(shè)三棱錐P—ABE外接球球心為O,

A8的中點(diǎn)為。1,則球心為。在高戶。|上，設(shè)外接球半徑為R,且滿足R2=Q-R)2+I,解

得所以外接球的表面積為4兀/?2=47rx(%=誓故答案選B.

8.已知函數(shù)/(x),任意x,yWR,滿足/(x+y)/(x—丫)=產(chǎn)(工)一/任),且/⑴=2,f(2)=0,

則/(D+/(2)+…+/(90)的值為

A.-2B.0C.2D.4

【答案】C

【考點(diǎn)】函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用

【解析】法一：由題意可知，令x=2,y=l,則可得13次1)=尸(2)—/2(D=O—4=-4,即

2/(3)=-4,解得13)=—2,x=3,y=2,則可得45求1)=/2(3)-/2(2)=4—0=4,即覺5)

=4,解得,*5)=2,x=4,y=l,則可得犬5)*3)=產(chǎn)(4)一產(chǎn)(1)=產(chǎn)(4)-4=—4,即一4=產(chǎn)(4)

-4,解得式4)=0,可得到周期7=4,且貝1)+八2)+/(3)+44)=0,所以火1)+八2)+…+人90)

=/1)+/2)=2,故答案選C.

法二：由題意可知，令)=2,則可得到y(tǒng)(x+2次v—2)=/5)一/(2)=尸。)，令x=0,y=0,

可得五。)/(0)=/(0)一尸(0)=0，解得/(0)=0，同理可得，_A4)=A6)=…=犬2〃)=0,令x=2,

y=l,則可得式3y(1)=/(2)一尸⑴=0—4=—4,即現(xiàn)3)=—4,解得式3)=—2,同理可得

15)=2,/7)=—2,…，則奇數(shù)項(xiàng)是以-1為公比的等比數(shù)列，所以共1)+加2)+…+式90)=

2[1—(―1)451

貝1)+負(fù)2)=/(1)+X3)+…+負(fù)89)=>■]_(_])』=2(另解：犬1)+<2)+…+<90)=/(1)+貝2)

=貝1)+負(fù)3)+…+式89)=2—2+2-2H----F2=2),故答案選C.

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2

分，不選或有錯(cuò)選的得0分.

9.己知/,根是兩條不同的直線，a,4是兩個(gè)不同的平面，則下列選項(xiàng)中，“/，機(jī)”的充

分條件有

A.aJ_￡,/_La,m〃BB.a〃￡,I//a,

C.a工B，l_La,m^-PD.a_LQ,I//a,m//p

【答案】BC

【考點(diǎn)】立體幾何的位置關(guān)系判斷

【解析】由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A,a邛,/±a,貝lj/u夕或/〃又〃?〃夕，若lu￡,則推不

出故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B,m邛,a//p,則m_La,又/〃a,所以故選

項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,/J_a,aJ_或，則/u夕或/〃在，若/uQ,則若/〃則

在內(nèi)至少存在一條直線〃與/平行，則〃J_〃z,所以L〃z,故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,I//

a,a邛,則/與夕無關(guān)系，所以不能推出故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；綜上，答案選BC.

10.已知?jiǎng)t

A.B.

C.a3—Z?3>2(a2b—ab1)D.yja+1—yjb+1>y[a—y[b

【答案】AC

【考點(diǎn)】不等關(guān)系的判斷

【解析】由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)樗浴Ｒ?>0,所以"一\=*>0,即

(>5，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,設(shè)函數(shù)7(x)=x+；,可知在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+

8)上單調(diào)遞增，而4Q0,不能判斷出a+5與6+/的大小，即無法判斷〃一卷與萬一5的大

小，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)椤?gt;6>0,所以“一6>0,所以/一〃一2(/6—"2)

=(a—h)(a2+ah+h2)-2ab(a-b)=(a—b)(a2—ah+h2)=(a~b)[(a—h)2+ah]>0,即d3—/?3>

2(〃%—c活2),故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D,因?yàn)閍>/?>0,所以的>g,yjb+1>y]a+1,

則師+?！?T+g>o,所以局—的>扁一g,推不出6+1—yjb+1>y[a

—y[bi(另解：若y/a+1—業(yè)?+1>班一出,則1—y[^>yjb+1一窗,則>

1^ryja

m礪’顯然不成立),

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；綜上，答案選AC.

11.已知直線/：x+l=0,點(diǎn)P(l,0),圓心為M的動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)P,且與直線/相切，則

A.點(diǎn)M的軌跡為拋物線

B.圓例面積的最小值為47t

C.當(dāng)圓M被)，軸截得的弦長(zhǎng)為2小時(shí)，圓M的半徑為3

D.存在點(diǎn)M,使得黑=羋，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)

【答案】ACD

【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系綜合應(yīng)用

【解析】由題意可知，設(shè)M(x,y),則MP=x+l=r,即二T^T〉=x+1,化簡(jiǎn)可得V=

4x,即為拋物線，(另解：點(diǎn)M到點(diǎn)尸的距離與到直線/的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為拋

物線)故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,MP的最小值為1,則圓M面積的最小值為兀，故選項(xiàng)B

錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C,圓心M到y(tǒng)軸的距離的為d,且公x,x+l=r,弦長(zhǎng)為2小，所以可

得/+(小)2=(x+l)2,解得x=2,所以圓M的半徑為r=x+l=3,故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選

項(xiàng)D,MO=y/x2+y2,MP=x+\,因?yàn)椴?斗^,所以(二;戶=*且y二以，則化簡(jiǎn)整理

可得f—4x+4=0,解得x=2,即存在點(diǎn)M,使得器=半，故選項(xiàng)D正確；綜上，答案

選ACD.

12.已知函數(shù)/(幻=3，-21xWR,則

A.f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增

B.存在aWR,使得函數(shù)了=%為奇函數(shù)

C.函數(shù)g(x)=/(x)+x有且僅有2個(gè)零點(diǎn)

D.任意xGR,/(%)>-)

【答案】ABD

【考點(diǎn)】函數(shù)的綜合應(yīng)用：?jiǎn)握{(diào)性、奇偶性、零點(diǎn)、恒成立等

【解析】法一：由題意可知,因?yàn)?(工)=3*—2",所以r(x)=3'ln3—2'ln2,對(duì)于選項(xiàng)A,當(dāng)

x>0時(shí)，3*>2",In3>ln2,所以/。)=3/3—2'ln2>0,即函數(shù)/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞

增，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B,y=孥=與*=(/'-?)"，若函數(shù))，=竽為奇函數(shù)，則

3=*解得a=",即存在“GR,使得函數(shù))，=孥為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,

g(x)=j(x)+x=y-2x+x,當(dāng)x>0時(shí)，3x-2l>0,則g(x)>0,x=0時(shí)，g(x)=0,當(dāng)x<0時(shí)，

3A-2v<0,則g(x)V0,所以函數(shù)g(x)有唯一的零點(diǎn)0,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)X》

0時(shí)，4x)電0)=。>一1，當(dāng)x<0時(shí)，/(彳)=3工一2，>一2">—1,所以對(duì)于任意xGR,/(x)

>-1,故選項(xiàng)D正確；綜上，答案選ABD.

3

法二：由題意可知，對(duì)于選項(xiàng)A,/(幻=3"—2'=2"1(5尸一1],當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y="函數(shù)

y=(1)*—1均為單調(diào)遞增，且均為正，所以函數(shù)/⑴在(0,+8)上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A正

確；對(duì)于選項(xiàng)B,y—f=3J=(務(wù)—(|y,若。=黃，則尸鼎尸一(主尸為奇函數(shù)，存

在aGR,使得函數(shù)丫=喈為奇函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C,令g(x)=4x)+x=0,解

得人外=一右且當(dāng)xWO時(shí)，式x)W0,x>0時(shí)，函數(shù)次x)單調(diào)遞增，則可作出函數(shù)y=Hx)與

函數(shù)y=-x的圖象，可知兩函數(shù)圖象僅有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)g(x)=/(x)+x有且僅有1個(gè)零

點(diǎn)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D,當(dāng)x^OH寸，_/U)宓0)=0>—1,當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=3x+1

e(l,2),2vG(0,1),所以3，+1>2*,則3*-2，>一1,所以對(duì)于任意x￡R,/。)>一1,

故選項(xiàng)D正確；綜上，答案選ABD.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.

13.(1一3(1+；06的展開式中^的系數(shù)為一4_.

【答案】14

【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用：求項(xiàng)的系數(shù)

【解析】由題意可知，二項(xiàng)式（l+x）6的展開式通式為。+產(chǎn)5,當(dāng)r=3時(shí)，為*,則d

的系數(shù)為卜點(diǎn)=20；當(dāng)/'=5時(shí)，為*,則V的系數(shù)為一卜點(diǎn)=一6,綜上，展開式中％3的

系數(shù)為20—6=14.

2

14.雙曲線x2—；=1右焦點(diǎn)為凡點(diǎn)P,Q在雙曲線上，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若PF1QF,則

△PQF的面積為▲.

【答案】4

【考點(diǎn)】圓錐曲線中雙曲線的幾何性質(zhì)應(yīng)用

【解析】法一：由題意可知，設(shè)左焦點(diǎn)為Q,因?yàn)槭琎關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且所以

法二：由題意可知，F(xiàn)（小，0）,因?yàn)镻,Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且PFA.QF,所以PQ=2OF=

2小，設(shè)左焦點(diǎn)為Q,四邊形PFQQ為矩形，則|PF一尸Q|=|PF—。月=2,在

中，有尸尸+。尸=P。2=20,則PF.QF8尸尸+。尸一吐一。硝=8,所以S"QF=gpFQF

15.如圖是構(gòu)造無理數(shù)的一種方法：線段。4=1；第一步，以線段。4為直角邊作直角三

角形0AA2,其中A|A2=1;第二步，以。42為直角邊作直角三角形。42A3,其中A2A3

=1;第三步，以。4為直角邊作直角三角形OAVU,其中4/U=l;…，如此延續(xù)下

去，可以得到長(zhǎng)度為無理數(shù)的一系列線段，如OAz，OA3,…，則就?OA4=▲

（第15題圖）

【答案】2-乎

【考點(diǎn)】新情景問題下的三角恒等變換與數(shù)量積的綜合應(yīng)用

【解析】由題意可知，在RlZ\O42A3中，。42=也，A2i43=l,OA3=5,則COSN42043=

坐,sin/A20A3=坐，RtZ\0A3A4中，0A3=小,A3X4=1,OA4=2,則cosNA30A4=坐，

sinNA30A4=；，所以cosNA2OA4=cos（NA2OA3+NA30A4）=cos/A20A3cosNA30A4—sinN

A20A3sinNA30A4=坐乂旁一坐只=3小/巾,則就?南=|就卜|次4卜cos/A20A4=/

X2X也押=苧=2普

1

16.若函數(shù)/（x）=2x—sinx—a在（一兀，兀）上存在唯一的零點(diǎn)x\9函數(shù)g（x）=x+cosx—ax+a

在（一心兀）上存在唯一的零點(diǎn)且為VX2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為▲.

【答案】（—2兀，1一兀］

【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)綜合應(yīng)用

【解析】由題意可知，因?yàn)?r）=2x—sinr—〃，所以廣（x）=2—cosx＞0,則函數(shù)人工）在（一兀，

兀）上單調(diào)遞增，且大一兀）=一2兀一小犬兀）=2兀一小若要存在唯一的零點(diǎn)為，則一2兀一a＜0,

2兀一〃＞0,解得一2元〈〃〈2兀，對(duì)于g（x）=f+COSJT—ax+a,則g'（x）=2r—sinx—〃=於），令

gQ）=0,解得x=jq,所以函數(shù)g（x）在（一兀，汨）上單調(diào)遞減，在（項(xiàng)，兀）上單調(diào)遞增，又函數(shù)

g（x）在（一%，兀）上存在唯一的零點(diǎn)必且無|V12，則當(dāng)工￡（一兀，的）時(shí)，r（X）V/3）V0,當(dāng)X

￡（汨，兀）時(shí)，//（x）＞/,（xi）＞0,所以g（—7t）W0,g（兀）＞0,即（一兀＞+cos（一兀）一〃（一兀）+。＜

0,且TI2+COS兀一。兀+。＞0,解得兀，綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為（一2兀，1—兀］.

弟）

四、解答題：本大題共6小題，共70分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出必要

的文字說明，證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

在平面四邊形ABC。中，ZABD=45°,AB=6,AD=3?對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)

E,且AE=EC,DE=2BE.

（1）求8。的長(zhǎng)；

（2）求cos/AOC的值.

【考點(diǎn)】解三角形與三角恒等變換的應(yīng)用

【解析】

('1)在△ABD中，由s一in1Z喘ADB二s一in華NA啟BD,得s.mZ，ADB產(chǎn)嗨e

2

所以sin/AO8=l.因?yàn)?。<NAD8Vl35。，所以NAO8=90。,

所以BD=\jAB2—AD2=3?

2

(2)在△AQE中，DE=mBD=2版

因?yàn)橐?OE=90。，所以4E=V4Q2+DP=/

/…AD3回

cosZDAE-AE-13.

在△AC。中，AC=2AE=2/，AO=3A/LCOS/￡>AC=^^,

所以CD2=AD2+AC2~2ADACCOSZDAC=50,即CD=5

▽,、，，AD1+CD^-AC13

明以cos/ZMC=2AD-CD5'

18.(本小題滿分12分)

已知數(shù)列｛小｝中，41=6,“2=12,43=20,且數(shù)列｛%+1一%｝為等差數(shù)列，nGN,.

(1)求數(shù)列｛"“｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)歹U｛1｝的前〃項(xiàng)和為S”，證明：5?<|.

Cln乙

【考點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)與求和

【解析】

(1)解：因?yàn)?1=6,4/2=12,的=20,所以。2—。1=6,的-42=8.

又因?yàn)閿?shù)列｛恁+1一如｝為等差數(shù)列，

所以an+\—斯=6+(〃—l)X2=2r+14.

當(dāng)〃22時(shí)，an=(an—an-i)+(an-1-an-2)H--F32-Qi)+〃i

=(2〃+2)+2〃+H---卜6+6=(2"十.("—1)+6

="+3〃+2.

當(dāng)〃=1時(shí)，0=6滿足m=4+3九+2,

綜上,即=〃2+3〃+2.

(2)證明：由(1)得;=4_C=,

cin〃2十3〃+2(〃十1)(N+2)n-v1〃十2

…「11,1L,1111

所以5?-2-3+3-4+-+^7-^=2-^-

因?yàn)椤℅N*,故—=>0,

n~v2

所以Sn<2-

19.(本小題滿分12分)

如圖，在四棱錐P-A8CD中，底面ABCD為平行四邊形，布_L平面ABCD,M為PC

中占

(1)求證：%〃平面例B￡>；

(2)若AB=A￡>=m=2,ZBAD=120°,求二面角8一4加一。的正弦值.

【考點(diǎn)】立體幾何中四棱錐的位置關(guān)系判斷、二面角求解

【解析】

(1)證明：連AC交8。于點(diǎn)N,連MN.

因?yàn)榈酌鍭BCD為行四邊形，所以N為4c的中點(diǎn)，

因?yàn)镸為PC中點(diǎn)，所以〃朋.

又以U面MB。，MNu平面例BO

所以孫〃平面MBD.

⑵方法1

取CC中點(diǎn)E,連AE.

因?yàn)锳8=AO,四邊形ABC。為平行四邊形，所以四邊形48CO為菱形,

又N8AO=120。，所以NAQC=60。，因此△ACC為等邊三角形，

所以AE_LCD,B|JAE1AB.

又必，平面ABCC,

故以AB,AE,AP分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則4（0,0,0）,8（2,0,0）,P（0,0,2）,C（l,小,0）,0（-1,小,0）,喝,坐,1）,

->■->-1\13-*■I—

所以AB=（2,0,0）,AM=（],看，1）,AD=（~1,小,0）.

沒平面的一個(gè)法向量為Z1=（x,y,z）,

■*丁力八⑵=0,

則J_即彳1ISi八取x=0,y=2,z=一小,

[n,?京=0,m+Wy+zR，

即”;=（0,2,一?。?

設(shè)平面AM。的一個(gè)法向量為R=（a,b,c）,

fTri八「一。+小b=0,

則，即11,也，，取〃=小，b=\,c=一小,

[n2-AM=0,旨+2，+c=0，

即〃2==（小，1<—A/3）.

而--OX小+2X1+（一?。（一?。?

則cos<〃i，吩=、萬x、萬=r

又<〃i，〃2>e（°，兀），

方法2

因?yàn)锳B=A。，四邊形ABC。為平行四邊形，所以四邊形48CO為菱形.

又N8AO=120。，所以NA8C=60。，因此aABC為等邊三角形.

又AB=2,N為AC的中點(diǎn)，所以BN=小.

取AM中點(diǎn)F,連8F,DF,

在RtZXBMN中，MN=1,BN=小，所以BM=2.

又因?yàn)锳B=2,所以BF_LAM,

同理可證所以/BFD即為二面角8-4M—。的平面角.

在中，AN=MN=l,AM=y(2.

在△BAM中，BF=yJBA2一等=華.

同理在△DAM中計(jì)算得"=華

rlcBF2+DP-BD25

又BD=2?所以cosNBF￡)=---赤亍芯---=一個(gè)

又N5FOW(0,九)，

____________2%

所以sinZBFD=y]1—cos2Z￡?FD=~^—,

所以二面角B-AM-D的二面角的正弦值為半.

20.(本小題滿分12分)

某高校男、女學(xué)生人數(shù)基本相當(dāng)，為了解該校英語四級(jí)考試情況，隨機(jī)抽取了該校首次

參加英語四級(jí)考試的男、女各50名學(xué)生的成績(jī)，情況如下表：

合格不合格

男生3515

女生455

(1)是否有99%的把握認(rèn)為該校首次參加英語四級(jí)考試的學(xué)生能否合格與性別有關(guān)？

(2)從這50名男生中任意選2人，求這2人中合格人數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望；

(3)將抽取的這100名學(xué)生合格的頻率視為該校首次參加英語四級(jí)考試的每位學(xué)生合格

的概率.若學(xué)生首次考試不合格，則經(jīng)過一段時(shí)間的努力，第二次參加考試合格的概率

會(huì)增加0.1.現(xiàn)從該校學(xué)生中任意抽取2名學(xué)生，求至多兩次英語四級(jí)考試后，這兩人

全部合格的概率.

附.K2=___________________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(—k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)、隨機(jī)變量的分布列與期望、隨機(jī)變量的概率

【解析】

2_(45+5+35+15)(45義15—35X5)2=

()一(45+5)(35+15)(45+35)(5+15)—''

因?yàn)?.25<6.635,

所以沒有99%的把握認(rèn)為該校首次參加英語四級(jí)考試的學(xué)生能否合格與性別有關(guān).

(2)設(shè)2人中合格人數(shù)為X,則X的可能取值為0,1,2.

P(X-O-立4-3

「(X0)緇35,

一。一7’

。35竦517

P(X=2)=

?35'

所以2人中合格人數(shù)的概率分布為

X012

—3—17

3535

33177

所以數(shù)學(xué)期望E(X)=0X^+1x1+2><|f=^

(3)該校首次參加英語四級(jí)考試的每位學(xué)生合格的概率為得/=0.8.

兩次考試后兩人全部合格可分為三類:

第一類：兩名學(xué)生第一次考試都合格，則概率為0.82=0.64；

第二類：兩名學(xué)生中有一位第一次考試不合格，第二次合格，則概率為C；X0.8X0.2X09=

0.288；

第三類：兩名學(xué)生中第一次考試都不合格，第二次都合格，則概率為0.22X0.92=0.0324；

所以0.64+0.288+0.324=0.9604,

所以2名學(xué)生至多兩次四級(jí)考試后這兩人全部合格的概率為0.9604.

21.(本小題滿分12分)

已知拋物線C：y=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)P(0,2)的動(dòng)直線/與拋物線相交于A,

B兩點(diǎn)、.當(dāng)/經(jīng)過點(diǎn)尸時(shí)，點(diǎn)A恰好為線段尸尸中點(diǎn).

(1)求P的值；

(2)是否存在定點(diǎn)T,使