微積分-經(jīng)管類-第四版-吳贛昌-習(xí)題全解-第六章定積分的應(yīng)用

./第六章定積分的應(yīng)用內(nèi)容概要名稱主要內(nèi)容定積分的元素法定積分的元素法是一種簡(jiǎn)單記憶定積分〔三步驟的方法：1、將記為2、將寫為平面圖形的面積直角坐標(biāo)系X-型Y-型極坐標(biāo)系體積旋轉(zhuǎn)體體積已知平行截面面積的立體體積繞x軸旋轉(zhuǎn)：已知垂直于x軸的平面截立體所得截面面積為,立體又被夾于和兩平面間,則：已知垂直于y軸的平面截立體所得截面面積為,立體又被夾于和兩平面間,則：繞y軸旋轉(zhuǎn)：繞y軸旋轉(zhuǎn)：平面曲線的弧長(zhǎng)直角坐標(biāo)參數(shù)方程極坐標(biāo)：,；：：,；；物理應(yīng)用：1、變力沿直線作功2、水壓力3、引力課后習(xí)題全解習(xí)題6-2★1．求由曲線與直線所圍圖形的面積.知識(shí)點(diǎn)：平面圖形的面積思路：由于所圍圖形無(wú)論表達(dá)為X-型還是Y-型,解法都較簡(jiǎn)單,所以選其一做即可解：見(jiàn)圖6-2-1001圖6-2-1∵所圍區(qū)域D表達(dá)為X-型：,〔或D表達(dá)為Y-型：∴〔★2．求在區(qū)間[0,/2]上,曲線與直線、所圍圖形的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積思路：由于所圍圖形無(wú)論表達(dá)為X-型還是Y-型,解法都較簡(jiǎn)單,所以選其一做即可解：見(jiàn)圖6-2-200圖6-2-21∵所圍區(qū)域D表達(dá)為X-型：,〔或D表達(dá)為Y-型：∴〔★★3．求由曲線與所圍圖形的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積思路：由于所圍圖形表達(dá)為Y-型時(shí)解法較簡(jiǎn)單,所以用Y-型做解：見(jiàn)圖6-2-3004圖6-2-3∵兩條曲線的交點(diǎn)：,∴所圍區(qū)域D表達(dá)為Y-型：,∴〔由于圖形關(guān)于X軸對(duì)稱,所以也可以解為：★★4．求由曲線、、及直線所圍圖形的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積思路：所圍圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱,而且在第一象限內(nèi)的圖形表達(dá)為Y-型時(shí),解法較簡(jiǎn)單解：見(jiàn)圖6-2-4001圖6-2-412∵第一象限所圍區(qū)域表達(dá)為Y-型：,∴〔若用X-型做,則第一象限內(nèi)所圍區(qū)域,其中：,：；∴★★5．求由曲線與直線及所圍圖形的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積思路：由于所圍圖形表達(dá)為X-型,解法較簡(jiǎn)單,所以用X-型做解：見(jiàn)圖6-2-5001圖6-2-521∵兩條曲線和的交點(diǎn)為〔1,1、〔-1,-1,又這兩條線和分別交于、∴所圍區(qū)域表達(dá)為X-型：,∴★★★6．拋物線分圓的面積為兩部分,求這兩部分的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積思路：所圍圖形關(guān)于X軸對(duì)稱,而且在第一象限內(nèi)的圖形表達(dá)為Y-型時(shí),解法較簡(jiǎn)單解：見(jiàn)圖6-2-6,設(shè)陰影部分的面積為,剩余面積為00圖6-2-602∵兩條曲線、的交于〔舍去的解,∴所圍區(qū)域表達(dá)為Y-型：；又圖形關(guān)于x軸對(duì)稱,∴〔其中∴★★★7．求由曲線、與直線所圍圖形的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積思路：由于所圍圖形表達(dá)為X-型時(shí),解法較簡(jiǎn)單,所以用X-型做解：見(jiàn)圖6-2-7001圖6-2-71∵兩條曲線和的交點(diǎn)為〔0,1,又這兩條線和分別交于和∴所圍區(qū)域表達(dá)為X-型：,∴★★★8．求由曲線與直線及所圍圖形的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積思路：由于所圍圖形表達(dá)為Y-型時(shí),解法較簡(jiǎn)單,所以用Y-型做解：見(jiàn)圖6-2-8001圖6-2-8∵在的定義域范圍內(nèi)所圍區(qū)域：,∴★★★★9．求通過(guò)〔0,0,〔1,2的拋物線,要求它具有以下性質(zhì)：〔1它的對(duì)稱軸平行于y軸,且向下彎；〔2它與x軸所圍圖形面積最小知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積和求最值思路：首先根據(jù)給出的條件建立含參變量的拋物線方程,再求最值時(shí)的參變量解：由于拋物線的對(duì)稱軸平行于y軸,又過(guò)〔0,0,所以可設(shè)拋物線方程為,〔由于下彎,所以,將〔1,2代入,得到,因此該拋物線和X軸的交點(diǎn)為和,∴所圍區(qū)域：∴得到唯一極值點(diǎn)：,∴所求拋物線為：★★★★10．求位于曲線下方,該曲線過(guò)原點(diǎn)的切線的左方以及x軸上方之間的圖形的面積知識(shí)點(diǎn)：切線方程和平面圖形面積思路：先求切線方程,再作出所求區(qū)域圖形,然后根據(jù)圖形特點(diǎn),選擇積分區(qū)域表達(dá)類型解：,∴在任一點(diǎn)處的切線方程為而過(guò)〔0,0的切線方程就為：,即所求圖形區(qū)域?yàn)?見(jiàn)圖6-2-1000圖6-2-10X-型下的：,：∴★★★11．求由曲線所圍圖形的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積思路：作圖可知該曲線是半徑為、圓心〔的圓在極坐標(biāo)系下的表達(dá)式,可直接求得面積為,也可選擇極坐標(biāo)求面積的方法做.解：∵作圖6-1-1100圖6-1-11知所求圖形區(qū)域：∴★★★12．求三葉玫瑰線的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積圖6-2-120思路圖6-2-120圖6-2-12中所畫是三葉玫瑰中的一葉,而一葉圖形又關(guān)于對(duì)稱,因此選擇其中一葉的一半?yún)^(qū)域求其面積解：∵：∴★★★13．求由曲線所圍圖形的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積思路：作圖可知該曲線圍成的圖形關(guān)于極軸對(duì)稱,因此選擇其中一半?yún)^(qū)域求其面積圖圖6-2-130解：∵：∴★★★14．求對(duì)數(shù)螺線及射線所圍圖形的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積思路：作圖可知該曲線圍成的圖形是由,從到一段曲線及射線所圍,由此可確定、的范圍圖圖6-2-140解：∵所圍區(qū)域：∴★★★★15．求由曲線及所圍圖形的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積思路：作圖可知兩條閉圍線圍成的圖形由三部分組成,其中一部分為兩圖形重疊部分,而又關(guān)于極軸對(duì)稱,設(shè)在〔0,內(nèi)的曲線和極軸圍成的半個(gè)為區(qū)域圖圖6-2-1503/2解：兩條曲線、交于處,因此分割區(qū)域,其中：,：★★★16．求由曲線及所圍圖形的面積知識(shí)點(diǎn)：平面圖形面積圖6-2-160思路：作圖可知兩條閉圍線圍成的圖形由三部分組成,其中一部分為兩圖形重疊部分,而又關(guān)于射線對(duì)稱,設(shè)兩條曲線在〔0,圍成的半個(gè)為區(qū)域圖6-2-160解：兩條曲線、交于及因此分割區(qū)域,其中：,：〔和書后答案不同★★★17．求由擺線,及x軸所圍圖形的面積0圖6-2-170圖6-2-17思路：在直角坐標(biāo)系下作圖可知所圍圖形的、變化范圍,先求出直角坐標(biāo)系下積分表達(dá)式,再將積分變量代換成解：∵所圍區(qū)域：,〔為擺線∴,作代換,則習(xí)題6-3求下列平面圖形分別繞x軸、y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：★<1>．曲線與直線、、所圍成的圖形；01圖01圖6-3-1-14思路：作出平面圖形〔或求出該平面區(qū)域的、范圍,代入相應(yīng)的公式.解：平面圖形D：,見(jiàn)圖6-3-1-1繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：；繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：<和書上答案不同>★★<2>．在區(qū)間上,曲線與直線、所圍成的圖形；0圖6-3-1-21解：平面圖形D：,0圖6-3-1-21繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：；繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：方法一：方法二：可看作由〔矩形,繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積,減去由〔,繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積所得∴★<3>．曲線與直線、所圍成的圖形.解：平面圖形D：,繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：；繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：〔繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積如同〔2也有兩種計(jì)算法★★2．求由曲線、所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積.知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積思路：該平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成體積可看作：繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積,減去：繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積所得,見(jiàn)圖6-3-2001圖6-3-21解：★★3．求由曲線〔與x軸圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積.知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積思路：作出平面圖形〔或求出該平面區(qū)域的、范圍,代入相應(yīng)的公式解：平面圖形D：,繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：〔繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積如同1〔2也有兩種計(jì)算法★★★4．求由曲線,,,〔所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.0圖6-3-40圖6-3-4思路：作出平面圖形〔或求出該平面區(qū)域的、范圍,代入相應(yīng)的公式解：平面圖形D：,見(jiàn)圖6-3-4,繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：★★★5．求擺線,的一拱與所圍圖形繞直線軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積圖6-3-50思路：若設(shè)所圍區(qū)域?yàn)?則該平面圖形繞旋轉(zhuǎn)而成體積可看作矩形區(qū)域：繞旋轉(zhuǎn)而成的體積,減去區(qū)域：繞旋轉(zhuǎn)而成的立體體積所得,〔其中,表示擺線的函數(shù)式,見(jiàn)圖6-3-5圖6-3-50解：,作代換,則★★★★6．求繞〔旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積0圖6-3-6線段思路：由圖形的對(duì)稱性可知所求體積,其中是由〔部分,繞旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積,又根據(jù)元素法,是由圖形中的線段〔繞旋轉(zhuǎn)一周所得的圓柱面疊加而成,見(jiàn)圖6-3-60圖6-3-6線段解：★★★★7．由心形線和射線及所圍圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積思路：極坐標(biāo)中的此平面圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于直角坐標(biāo)系下的該圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)圖6-3-708解：平面區(qū)域：〔,見(jiàn)圖6-3-7圖6-3-708∵心形線的直角坐標(biāo)表示：〔,根據(jù)直角坐標(biāo)下的體積計(jì)算及,得：★★★8．計(jì)算底面是半徑為的圓,而垂直于底面上的一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體體積.知識(shí)點(diǎn)：已知平行截面面積的立體體積思路：首先以固定直徑為x軸確立圓方程：,再求垂直于x軸的截面面積,然后代入公式.見(jiàn)圖6-3-8圖圖6-3-8解：以固定直徑為x軸圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),則圓方程為：,在圓內(nèi),垂直于x軸的截面面積,∴★★9．求曲線與直線,及所圍成的圖形分別繞ox軸、oy軸旋轉(zhuǎn)一周所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)體體積.知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積思路：作出平面圖形〔或求出該平面區(qū)域的、范圍,代入相應(yīng)的公式解：平面圖形D：,繞x軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：；繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積：〔繞y軸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的立體體積如同1〔2也有兩種計(jì)算法★★★★10．設(shè)直線與直線,,及所圍成的梯形面積等于,試求、,使這個(gè)梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積最小〔,.知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積,以及最值問(wèn)題思路：作出平面圖形〔或求出該平面區(qū)域的、范圍,進(jìn)而求出以為變量的旋轉(zhuǎn)體體積,再求最小值.解：梯形區(qū)域：,,01∴∵由條件,∴,得,習(xí)題6-4★★1．用定積分表示雙曲線上從點(diǎn)〔1,1到點(diǎn)〔2,1/2之間的一段弧長(zhǎng).思路：曲線表達(dá)為〔或代入相應(yīng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)解：,∴★★2．計(jì)算曲線上相應(yīng)于的一段弧的弧長(zhǎng).思路：曲線表達(dá)為〔或代入相應(yīng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)解：,∴★★3．計(jì)算曲線上相應(yīng)于的一段弧的弧長(zhǎng).解：,∴★★4．計(jì)算曲線〔的弧長(zhǎng).解：,∴★★★5．計(jì)算拋物線〔從頂點(diǎn)到其上點(diǎn)的弧長(zhǎng).思路：拋物線表達(dá)為〔或,代入相應(yīng)公式計(jì)算弧長(zhǎng)解：,∴〔或通過(guò)公式計(jì)算★★★★6．證明曲線的一個(gè)周期〔的弧長(zhǎng)等于橢圓的周長(zhǎng).思路：分別求出的弧長(zhǎng)及橢圓的周長(zhǎng),求橢圓周長(zhǎng)時(shí)采用參數(shù)式求解解：的弧長(zhǎng)橢圓方程表達(dá)為：,；代入公式得弧長(zhǎng)∴★★★7．求對(duì)數(shù)螺線相應(yīng)于自至的一段弧的弧長(zhǎng).思路：曲線是極坐標(biāo)的表達(dá)式,因此代入公式解：★★★8．求曲線相應(yīng)于自至的一段弧的弧長(zhǎng).思路：曲線是極坐標(biāo)的表達(dá)式,因此代入公式解：〔其中★★★9求曲線,相應(yīng)于自至的一段弧的弧長(zhǎng).思路：曲線是參數(shù)表達(dá)式,因此代入公式解：習(xí)題6-5★1．設(shè)一質(zhì)點(diǎn)距原點(diǎn)米時(shí),受牛頓力的作用,問(wèn)質(zhì)點(diǎn)在作用下,從移動(dòng)到,力所做的功有多大？知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用思路：當(dāng)變力沿直線作功,質(zhì)點(diǎn)從至段所作功的微元.解：∵∴★★2．某物體作直線運(yùn)動(dòng),速度為,求該物體自運(yùn)動(dòng)開始到末所經(jīng)過(guò)的路程,并求物體在前內(nèi)的平均速度.知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用思路：變速直線運(yùn)動(dòng)物體在至?xí)r間段內(nèi)所經(jīng)過(guò)路程的微元.解：∵∴〔；〔★★★3．直徑為20cm,高為80cm的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為的蒸汽,設(shè)溫度保持不變,要使蒸汽體積縮小一半,問(wèn)需要作多少功？知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用思路：設(shè)為壓強(qiáng)、體積為,根據(jù)物理學(xué)原理,當(dāng)溫度不變時(shí)壓強(qiáng)和體積成反比,因此當(dāng)圓柱體的高為時(shí),.解：∵壓力=壓強(qiáng)面積,∴當(dāng)圓柱體的高為時(shí)壓力,功的微元∴★★★4．半徑為的半球形水池充滿了水,要把池內(nèi)的水全部吸盡,需作多少功？知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用思路：設(shè)半球形水池的方程為〔,見(jiàn)圖6-5-4,則將至薄片體積的水吸出,克服重力所作的功為,〔是水的比重,可取100圖6-5-4解：∵,∴★★★5．設(shè)有一半徑為,長(zhǎng)度為圓柱體平放在深度為的水池中〔圓柱體的側(cè)面與水面相切,設(shè)圓柱體的比重為,現(xiàn)將圓柱體從水中移出水面,問(wèn)需要作多少功？知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用思路：設(shè)圓柱體的方程為,見(jiàn)圖6-5-5,則將至段薄圓臺(tái)為底高為的柱體移出水面,浮力減重力所作的功為,另外,因要求整個(gè)柱體出水,因此該部分還需在空中移動(dòng)距離,該部分的功00圖6-5-5解：∵,∴★★6．有一閘門,它的形狀和尺寸如下圖所示,水面超過(guò)門頂2m,求閘門上所受的水壓力.知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用思路：由物理知識(shí)可知,水深處的壓強(qiáng)為,〔為水的比重以門頂中心為原點(diǎn)向下建立x軸,見(jiàn)圖6-5-6,則在至段門條上所受的水壓力為2232圖6-5-60解：∵,∴★★★7．灑水車的水箱是一個(gè)橫放的橢圓柱體,尺寸如上圖所示,當(dāng)水箱裝滿水時(shí)計(jì)算水箱的一個(gè)端面所受的壓力.知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用思路：設(shè)橢圓方程為,見(jiàn)圖6-5-7,則在至的一條端面上所受的水壓力為2241.5圖6-5-7解：∵,∴★★★8．以等腰梯形閘門與鉛直平面傾斜角置于水中,其閘門頂部位于水面處,上下底寬分別為100m和10m,高為70m,求此閘門一側(cè)面所受到的水的靜壓力.知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用思路：以上底中心為坐標(biāo)原點(diǎn),垂直向下建立x軸,等腰梯形腰的方程則為：,見(jiàn)圖6-5-8,因此在至的閘門條帶上,所受的靜壓力為100m100m70m10m0圖6-5-8解：∵,∴〔kg★★★★9．設(shè)一旋轉(zhuǎn)拋物面內(nèi)盛有高為cm的液體,把另一同軸旋轉(zhuǎn)拋物面浸沉在它里面,深達(dá)cm,問(wèn)液面上升多少？知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積思路：設(shè)兩個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面、的方程分別為由yoz面上曲線和繞z軸旋轉(zhuǎn)而成,見(jiàn)圖6-5-9,可通過(guò)排開液體的體積和液面上升后增加的體積相等,計(jì)算液面上升的數(shù)值HH圖6-5-9解：高為的旋轉(zhuǎn)面所占的體積,液面從上升至兩個(gè)旋轉(zhuǎn)拋物面所夾的體積：,由可得：,∴液面上升的高度為.★★★★10．設(shè)有長(zhǎng)度為、線密度為的均勻細(xì)直棒,在于棒的一端垂直距離為單位處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)M,試求該細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力.知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用思路：以棒的一端為坐標(biāo)原點(diǎn),棒置于x軸正向上,建立平面直角坐標(biāo),見(jiàn)圖6-5-10,質(zhì)點(diǎn)M位于〔0,處,則至段的細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力為：,00圖6-5-10解：∵,∴★★★★11．長(zhǎng)為的桿質(zhì)量均勻分布,其總質(zhì)量為,在其中垂線上高為處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn),求它們之間引力的大小.知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用思路：以棒的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),棒置于x軸的〔上,中垂線為y軸,建立平面直角坐標(biāo),見(jiàn)圖6-5-11,質(zhì)點(diǎn)M位于〔0,處,則至段的細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力為：,00圖6-5-11解：∵,∴總習(xí)題六★★★1．求由曲線與縱軸所圍圖形面積.思路：曲線關(guān)于x軸對(duì)稱,又曲線的一條分支是關(guān)于的減函數(shù),見(jiàn)圖6-1可知用y型或用對(duì)稱性求圖形面積較為簡(jiǎn)單.圖6-1圖6-1解：曲線表達(dá)為,它和y軸的交點(diǎn)：〔∴★★★2．求介于直線之間、由曲線和所圍成的平面圖形的面積.解：★★★3．直線將橢圓分成兩塊,設(shè)小塊面積為,大塊面積為,求的值.思路：由于和的交點(diǎn)為及,,因此面積較小的一部分用y型做較簡(jiǎn)單,見(jiàn)圖6-3圖6-3圖6-313/23/23/2解：較小部分區(qū)域表達(dá)為：：則,,∴★★★4．求橢圓和公共部分的面積.思路：由圖形的對(duì)稱性可得所求面積是和及所圍在第一象限內(nèi)區(qū)域面積的8倍,見(jiàn)圖6-4圖6-4圖6-4解：：∴★★★5．求由曲線所圍圖形面積.思路：圖形為星形線,所以由圖形的對(duì)稱性可得所求面積是第一象限內(nèi)區(qū)域面積的4倍解：：,〔設(shè)是星形線函數(shù)∴★★★6．圓被心形線分割成兩部分,求這兩部分的面積思路：設(shè)分割成的右邊圖形為,由圖形的對(duì)稱性可得所求面積是極軸上半部分面積的2倍,見(jiàn)圖6-6圖6-6圖6-601解：和相交于,∴由、兩部分組成,：,：,∴,左邊部分的面積★★★★7．設(shè),問(wèn)取何值,右圖中陰影部分的面積與之和最??？最大？00圖6-7解：,,,得,比較,∴★★★8．由曲線與軸圍成的區(qū)域,被曲線分為面積為相等的兩部分,求的值,見(jiàn)圖6-8001圖6-81解：兩曲線,交于：〔,∴由,計(jì)算可得★★★9．求星形線所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積思路：由于星形線關(guān)于x、y軸都對(duì)稱,因此所求旋轉(zhuǎn)體體積是第一象限內(nèi)星形線及坐標(biāo)軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體積的兩倍解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)體積的公式：,利用星形線的參數(shù)方程進(jìn)行變量代換,可得★★★10．求由圓繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積.思路：可以對(duì)照繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積求法,見(jiàn)圖6-100051圖6-10解：該體積是曲線及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得體積的兩倍∴★★★11．證明：由平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積為知識(shí)點(diǎn)：元素法的應(yīng)用證明：由平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積,可看作繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的側(cè)面積在范圍內(nèi)疊加而成,∴.★★★12．曲線和x軸圍成一平面圖形,計(jì)算此平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積.思路：用繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積求法解：平面圖形為：曲線,〔和x軸圍成∴★★★★13．設(shè)拋物線過(guò)原點(diǎn),當(dāng)時(shí),,又已知該拋物線與直線及x軸所圍圖形的面積為,求,使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解：因?yàn)閽佄锞€過(guò)原點(diǎn),所以,又當(dāng)時(shí),,所以該拋物線與直線及x軸所圍圖形的面積,得,又此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積,將代入可得,,得到：,因?yàn)橹挥幸粋€(gè)駐點(diǎn),∴可得滿足所給條件的.★★★★14．在由橢圓域繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體上,以y軸為中心軸打一個(gè)圓孔,使剩下部分的體積恰好等于橢球體體積的一半,求圓孔的直徑.知識(shí)點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)體體積思路：打一個(gè)以y軸為中心軸的圓孔后,剩下的橢圓部分的體積是由xoy坐標(biāo)面上,如圖所示的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成立體體積的兩倍,見(jiàn)圖6-14圖6-14圖6-14解：設(shè)圓孔的半徑為則在xoy面上曲線和的交點(diǎn)〔,平面圖形由減部分組成,：；：,∴,由條件,可得：★★★15．求由柱體與相貫部分的體積.思路：由立體圖形的對(duì)稱性可知所求體積為第一象限內(nèi)體積的8倍,用垂直于x軸的平行截面截,可得截面面積,以此計(jì)算體積,見(jiàn)圖6-1500圖6-15解：垂直于x軸的平行截面截,得截面為長(zhǎng)：；寬：的長(zhǎng)方形.∴,將曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)得一旋轉(zhuǎn)體★★<1>．求此旋轉(zhuǎn)體體積解：∵函數(shù)的定義域：,∴★★★<2>．記此旋轉(zhuǎn)體介于與之間的體積為,問(wèn)為何值時(shí)有.解：∵,要使,只要★★★17．將拋物線在橫坐標(biāo)0與之間的弧段和以及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn),問(wèn)為何值時(shí),所得旋轉(zhuǎn)體體積等于弦〔為拋物線與的交點(diǎn)繞x軸旋轉(zhuǎn)所得錐體體積.思路：拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn),并且開口向上,如圖6-1700圖6-17解：,經(jīng)〔0,0和〔的弦方程為：,★★★★18．計(jì)算半立方拋物線被拋物線截得的一段弧的長(zhǎng)度.知識(shí)點(diǎn)：求平面弧長(zhǎng)思路：作簡(jiǎn)圖確定弧段的范圍,代入公式,見(jiàn)圖6-18110圖6-18解：和的交點(diǎn)為：將代入方程可知是方程的根,∴分解因式可得,∴方程只有一解交點(diǎn)：〔,由圖形關(guān)于x軸對(duì)稱∴,∵兩邊對(duì)x求導(dǎo)：∴★★★19．證明雙紐線的全長(zhǎng)可表示為.證明：根據(jù)雙扭線的對(duì)稱性,,其中是雙扭線在第一象限內(nèi)的一段弧長(zhǎng),∴用極坐標(biāo)的弧長(zhǎng)公式可得：★★★20．在擺線上,求分?jǐn)[線第一拱成1：3的點(diǎn)的坐標(biāo).知識(shí)點(diǎn)：平面曲線的弧長(zhǎng)解：擺線第一拱的的范圍：〔,設(shè)在處分?jǐn)[線成1：3,則根據(jù)弧長(zhǎng)參數(shù)公式,可得：∵,∴★★★★21．求曲線,該曲線上兩點(diǎn)〔0,1及之間的弧長(zhǎng)為.解：由條件：曲線上兩點(diǎn)〔0,1及之間的弧長(zhǎng),等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)：,根據(jù)第十二章的微分方程求解得到：∵經(jīng)過(guò)〔0,0,∴代入求得★★★22．設(shè)有一半徑為的平面圓板,其密度為,為圓板上的點(diǎn)到圓板中心的距離,求該圓板的質(zhì)量.知識(shí)點(diǎn)：元素法在物理上的應(yīng)用思路：由于任一點(diǎn)的密度只和該點(diǎn)到圓板中心的距離有關(guān),設(shè)平面圓板的方程為,則在圓環(huán)至上的每一處都近似有.解：至的圓環(huán)質(zhì)量微元：,★★23．一物體按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng),媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比,計(jì)算物體由移至?xí)r,克服媒質(zhì)所做的功.知識(shí)點(diǎn)：元素法在物理上的應(yīng)用解：∴★★★★24．用鐵錘把釘子釘入木板,設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇丸F釘進(jìn)入木板的深度成正比,鐵釘在第一次捶擊時(shí)將鐵釘擊入1cm,若每次捶擊所作的功相等,問(wèn)第n次捶擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？知識(shí)點(diǎn)：元素法在物理上的應(yīng)用解：設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇椋昏F釘進(jìn)入木板的深度為,則,則由每次捶擊所作的功相等的條件可得,∵,∴設(shè),則由∴由歸納法得證：〔cm25．以每秒的流量往半徑為的半球形水池內(nèi)注水.★★★<1>．求在池中水深時(shí)水面上升的速度知識(shí)點(diǎn)：相關(guān)變化率解：設(shè)當(dāng)時(shí)間時(shí),池中水深,半球形水池可看作xoy面上曲線繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成,則由時(shí)間時(shí)注入水量等于水深為的球冠體積可得：,該等式兩邊對(duì)求導(dǎo)★★★<2>．若再將滿池水全部抽出,至少需作功多少？知識(shí)點(diǎn)：元素法在物理上的應(yīng)用解：重設(shè)xoy面上的方程：,則將球形水池中至體積的水抽出水面做功〔其中是水的密度,是重力加速度★★★26．以等腰梯形閘門,梯形的上下底分別為50m和30m,高為20m,若閘門頂部高出水面4m,求閘門一側(cè)所受的水的靜壓力.知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用思路：以上底中心為坐標(biāo)原點(diǎn),垂直向下建立x軸,見(jiàn)圖6-26,等腰梯形腰的方程則為：,因此在至的閘門條帶上,所受的靜壓力為50m50m20m30m0圖6-264m解：∵,∴〔kg★★★27．設(shè)有一半徑為,中心角為的圓弧形細(xì)棒,其線密度為常數(shù),在圓心處有一質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)M,試求該細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力.知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用解：設(shè)弧棒的方程為極坐標(biāo)系下：,見(jiàn)圖6-27,圖6-27圖6-270則至段的細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M在x軸〔也為極軸正向上的的引力為：∵,∴根據(jù)弧棒關(guān)于x軸的對(duì)稱性可知★★★★28．設(shè)有半徑為面密度為的均勻圓板,質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)位于通過(guò)圓板中心且垂直于圓板的直線上,,求圓板對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力.知識(shí)點(diǎn)：微元法在物理上的應(yīng)用解：設(shè)半徑為面密度為的均勻圓板區(qū)域?yàn)椋?見(jiàn)圖6-28,圖6-28圖6-28對(duì)于和所夾環(huán)帶區(qū)域,由于對(duì)稱性,只有在垂直于圓板的方向才有引力：∵課外習(xí)題★★★★1．求曲線以及軸所圍成圖形的面積思路：可以根據(jù)第四章的判斷函數(shù)單調(diào)性和作圖等知識(shí)求出曲線的單調(diào)區(qū)間或畫出曲線的圖形,