自學(xué)考試高等數(shù)學(xué)一微積分小抄筆記小抄習(xí)題解析-自學(xué)考試速記筆記

./第一章函數(shù)及其圖形第二章極限和連續(xù)第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第五章一元函數(shù)積分學(xué)第六章多元函數(shù)微積分前言《高等數(shù)學(xué)一》共6章.第一章函數(shù)1.主要是對(duì)高中知識(shí)的復(fù)習(xí)；2.對(duì)今后知識(shí)打下良好的基礎(chǔ)；3.本章知識(shí)在歷年考題中所占的分值并不多,一般是4至5分.第二章極限和連續(xù)本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為10%左右.第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分主要是如何求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為10%左右.第四章微分中值定理和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用本章在歷年考題中所占分值為15%左右.第五章一元函數(shù)積分學(xué)包括函數(shù)的不定積分和一元函數(shù)定積分.本章內(nèi)容在歷年考題中所占分值為25%左右.第六章多元函數(shù)微積分本章內(nèi)容在歷年考試題中所占比例為15%左右.第一章函數(shù)及其圖形1.1預(yù)備知識(shí)一、基本概念1.集合具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.2.包含關(guān)系集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素,稱為A包含于B,或B包含A.若XA,則必xB,就說(shuō)A是B的子集,記作AB數(shù)集分類：N自然數(shù)集Z整數(shù)集Q有理數(shù)集R實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系：NZ,ZQ,QR.3.相等關(guān)系若AB,且BA,就稱集合A與B相等.記作〔A＝B例1則A＝C.4.空集不含任何元素的集合稱為空集〔記作.規(guī)定空集為任何集合的子集.例25.集合之間的運(yùn)算1>并：由中所有元素組成的集合稱為A和B的并集,記為AB例3例42交：由既屬于A又屬于B的元素組成的集合稱為A和B的交集,記為AB例5例63差：由A中不屬于B的元素組成的集合稱為A與B的差集,記為A-B例7二、絕對(duì)值1.絕對(duì)值的定義：2.絕對(duì)值的性質(zhì)：〔1,如需精美完整排版,請(qǐng)QQ：1962930當(dāng)且僅當(dāng)a＝0時(shí),〔2〔3〔43.絕對(duì)值的幾何意義：〔1表示數(shù)軸上的點(diǎn)x與原點(diǎn)之間的距離為a.〔2表示數(shù)軸上的兩點(diǎn)x與y之間的距離為a.4.絕對(duì)值不等式：k>0時(shí),則有k>0時(shí),則有例8,求x的值.答案：x=±55.絕對(duì)值的運(yùn)算性質(zhì)：例9化去下列各式絕對(duì)值的符號(hào)：〔1如需精美完整排版,請(qǐng)QQ：1962930〔2〔3〔4如需精美完整排版,請(qǐng)QQ：1962930例10解下列含有絕對(duì)值符號(hào)的不等式：〔1〔2〔3如需精美完整排版,請(qǐng)QQ：1962930三、區(qū)間是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的全體實(shí)數(shù),這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).以上區(qū)間都叫有限區(qū)間這兩種形式的區(qū)間叫無(wú)限區(qū)間區(qū)間長(zhǎng)度的定義：兩端點(diǎn)間的距離<線段的長(zhǎng)度>稱為區(qū)間的長(zhǎng)度.四、鄰域如需精美完整排版,請(qǐng)QQ：1962930設(shè)a與是兩個(gè)實(shí)數(shù),且>0,數(shù)集稱為點(diǎn)a的鄰域,記作U<a>.點(diǎn)a叫做這個(gè)鄰域的中心,叫做這個(gè)鄰域的半徑.點(diǎn)a的去心鄰域,記作.區(qū)間與鄰域的關(guān)系：例11解不等式并用區(qū)間表示不等式的解集：〔1〔21.2函數(shù)一、函數(shù)的概念1.定義設(shè)x和y是兩個(gè)變量,D是一個(gè)給定的數(shù)集,如果對(duì)于每個(gè)x∈D,變量y按照一定法則總有確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng),則稱y是x的函數(shù),記作如需精美完整排版,請(qǐng)QQ：1962930數(shù)集D叫做這個(gè)函數(shù)的定義域,當(dāng)時(shí),稱為函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值.函數(shù)值全體組成的數(shù)集稱為函數(shù)的值域.2.函數(shù)的兩要素：定義域與對(duì)應(yīng)法則.約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.例1、例2、例3、判斷下列兩個(gè)函數(shù)是否相等例4、求函數(shù)的定義域例5、符號(hào)函數(shù)3.分段函數(shù)在自變量的不同變化范圍中,對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).例6、例7、求下面分段函數(shù)定義域并畫出圖形.例8、將下面函數(shù)化為分段函數(shù)二、函數(shù)的表示法1.圖象法2.表格法3.解析法1.3函數(shù)的特性一、函數(shù)的有界性若有成立,則稱函數(shù)f〔x在X上有界,否則稱無(wú)界.例9、判斷下面函數(shù)在其定義域是否有界〔1符號(hào)函數(shù)y＝sgnx〔2y＝x22.函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)f〔x的定義域?yàn)镈,區(qū)間I∈D,如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及當(dāng)時(shí),恒有則稱函數(shù)f〔x在區(qū)間I上是單調(diào)增加的；設(shè)函數(shù)f〔x的定義域?yàn)镈,區(qū)間I∈D,如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩點(diǎn)及,當(dāng)時(shí),恒有則稱函數(shù)f〔x在區(qū)間I上是單調(diào)減少的.如需精美完整排版,請(qǐng)QQ：1962930例10、求y＝x2的單調(diào)性例11、求y＝sinx的單調(diào)性3.函數(shù)的奇偶性：設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)于,有稱f〔x為偶函數(shù)；設(shè)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,對(duì)于,有f〔-x=-f〔x稱f〔x為奇函數(shù).4.函數(shù)的周期性：設(shè)函數(shù)f〔x的定義域?yàn)镈,如果存在一個(gè)不為零的數(shù)l,使得對(duì)于任一則稱f〔x為周期函數(shù),l稱為f〔x的周期,且恒成立〔通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.如需精美完整排版,請(qǐng)QQ：1962930例12、判斷下列函數(shù)是否有界〔1〔2y＝cosx例13、判斷下面函數(shù)的奇偶性〔1〔2例14、判斷函數(shù)是否是周期函數(shù),如果是,則求出最小正周期.1.4反函數(shù)直接函數(shù)與反函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x對(duì)稱.1.5復(fù)合函數(shù)1．復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)函數(shù)y=f〔u的定義域Df,而函數(shù)的值域?yàn)?若,則稱函數(shù)為x的復(fù)合函數(shù).x←自變量,u←中間變量,y←因變量；注意:1.不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的；例如：不能符合成2.復(fù)合函數(shù)可以由兩個(gè)及以上的函數(shù)經(jīng)過(guò)復(fù)合構(gòu)成.例如：這個(gè)函數(shù)是由復(fù)合而成.例1.分解復(fù)合函數(shù)〔1〔2例2.復(fù)合函數(shù)的計(jì)算〔1〔2〔3〔41.6初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和函數(shù)的復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù),稱為初等函數(shù).如需精美完整排版,請(qǐng)QQ：1962930基本初等函數(shù)：常值函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)〔1常值函數(shù)如果當(dāng)自變量在函數(shù)定義域中任意變化時(shí),函數(shù)值f〔x恒等于一個(gè)常數(shù)C,即f〔x=C,x∈D<f>,則稱這個(gè)函數(shù)為常值函數(shù).〔2指數(shù)函數(shù)形如f<x>=αx<-∞＜x＜+∞>的函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù).其中底數(shù)α＞0,α≠1性質(zhì)：①當(dāng)α＞1時(shí),函數(shù)y=ax單調(diào)增加；②當(dāng)0＜α＜1時(shí),函數(shù)y=ax單調(diào)減少；③指數(shù)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔0,1,指數(shù)函數(shù)值大于0；④對(duì)于a＞0,x,y為實(shí)數(shù),我們規(guī)定：運(yùn)算法則：要求：指數(shù)函數(shù)通過(guò)掌握的圖形,掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).〔3三角函數(shù)如需精美完整排版,請(qǐng)QQ：1962930有sinx,cosx,tanx,cotx,secx和cscx,它們都是周期函數(shù).①正弦函數(shù)y=sinx圖1.32②余弦函數(shù)y=cosx圖1.33③正切函數(shù)y=tanx圖1.34④余切函數(shù)y=cotx圖1.35要求：周期性、奇偶性、三角公式、特殊角的三角函數(shù)值.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式①倒數(shù)關(guān)系：②商的關(guān)系③平方關(guān)系兩角和的正弦、余弦、正切公式兩角差的正弦、余弦、正切公式倍角公式降冪公式積化和差公式例3：利用降冪公式,將下列各式變形〔1〔2〔3特殊角的三角函數(shù)值例1.已知一個(gè)三角函數(shù)值,求其他的三角函數(shù)值.〔1已知tanx=3求其他的三角函數(shù)值如需精美完整排版,請(qǐng)QQ：1962930〔2已知secx=5,求其他的三角函數(shù)值.〔4冪函數(shù)形如f<x>=xα的函數(shù)為冪函數(shù),其中α為任意常數(shù).要求：掌握常用的冪函數(shù)：y=x；y=x2；y=x3；的圖形,性質(zhì).性質(zhì)：α為正整數(shù)時(shí),冪函數(shù)的定義域是〔-∞,+∞；α為負(fù)整數(shù)時(shí),冪函數(shù)的定義域是〔-∞0∪〔0,+∞；對(duì)任意實(shí)數(shù)α,曲線y=xα都通過(guò)平面上的點(diǎn)〔1,1；α為偶數(shù)時(shí),f<x>=xα為偶函數(shù)；如需精美完整排版,請(qǐng)QQ：1962930α為奇數(shù)時(shí),f<x>=xα為奇函數(shù)；α＞0時(shí),f<x>=xα在〔0,+∞單調(diào)增加；α＜0時(shí),f<x>=xα在〔0,+∞單調(diào)減少.冪函數(shù)：y=xμ〔μ是常數(shù)〔5反三角函數(shù)①反正弦函數(shù)：y=arcsinx,x∈[-1,1]②反余弦函數(shù)：y=arccosxx∈[-1,1]③反正切函數(shù)：y=arctαnxx∈〔-∞,+∞要求：明白反三角函數(shù)的三個(gè)含義及定義域.例2.計(jì)算〔1；答案：〔2；答案：〔3；〔4；〔5例3.已知,求x的取值范圍.〔6對(duì)數(shù)