專題06 圓錐曲線的第三定義與斜率乘積是定值模型（教師版）2024高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破

第第頁專題06圓錐曲線的第三定義與斜率乘積是定值模型圓錐曲線的第三定義：平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的斜率乘積等于常數(shù)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓或雙曲線,其中兩個(gè)定點(diǎn)為橢圓和雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn).其中如果常數(shù)時(shí)，軌跡為雙曲線，如果時(shí)，軌跡為橢圓。圓錐曲線的第三定義的有關(guān)結(jié)論：1.橢圓方程中有關(guān)的經(jīng)典結(jié)論(1).AB是橢圓的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則.(2).橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的長軸頂點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于長軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有(3).橢圓的方程為（a＞b＞0），為橢圓的短軸頂點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于短軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有(4).橢圓的方程為（a＞b＞0），過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，P點(diǎn)是橢圓上異于兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有2.雙曲線方程中有關(guān)的經(jīng)典結(jié)論(1)AB是雙曲線的不平行于對(duì)稱軸的弦，M為AB的中點(diǎn)，則，即。(2)雙曲線的方程為（a＞0，b＞0），為雙曲線的實(shí)軸頂點(diǎn)，P點(diǎn)是雙曲線上異于實(shí)軸頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有(3)雙曲線的方程為（a＞0，b＞0），為雙曲線的虛軸端點(diǎn)，P點(diǎn)是雙曲線上異于虛軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有(4)雙曲線的方程為（a＞0，b＞0），過原點(diǎn)的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，P點(diǎn)是雙曲線上異于兩點(diǎn)的任一點(diǎn)，則有例1．（1）、（2021·全國）已知橢圓，，分別為橢圓的左?右頂點(diǎn)，若在橢圓上存在一點(diǎn)，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，得到，結(jié)合，得到，結(jié)合離心率的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，，設(shè)，代入橢圓的方程，可得，則，即，即.又因?yàn)?，所?故選：A.（2）、（2021·全國高二課時(shí)練習(xí)）已知，，是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且點(diǎn)A，連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線，的斜率乘積為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)，求出斜率，將點(diǎn)，的坐標(biāo)代入方程，兩式相減，再結(jié)合，即可求得離心率．【詳解】設(shè)，，因?yàn)辄c(diǎn)A，連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，則，所以．因?yàn)辄c(diǎn)A，在雙曲線上，所以，兩式相減，得，所以，所以．故選：D.【變式訓(xùn)練1-1】、（2021·吉林高三期末（文））已知雙曲線：與直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，的左?右焦點(diǎn)分別為，.若，且的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，則（）A．B．的離心率為C．若，則的面積為2D．若的面積為，則為鈍角三角形【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用點(diǎn)差法求解直線的斜率，得到a、b關(guān)系，通過點(diǎn)到直線的距離求解c，求出a，b，即可推出離心率，判斷A，B的正誤；設(shè)P在雙曲線的右支上，記則，利用，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積，判斷C；設(shè)P(x0，y0)，通過三角形的面積求解P的坐標(biāo)，結(jié)合雙曲線的定義以及余弦定理，判斷三角形的形狀，判斷D.【詳解】設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)則，且，兩式相減得，所以，因?yàn)?，所以，故雙曲線C的漸近線方程因?yàn)榻裹c(diǎn)(c，0)到漸近線的距離為1，所以，，所以，，離心率為，故A，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，不妨設(shè)P在右支上,記則因?yàn)?所以解得或(舍去）,所以的面積為，故C不正確；對(duì)于D，設(shè)P(x0，y0)，因?yàn)椋?，將帶入C：，得，即由于對(duì)稱性，不妨取P得坐標(biāo)為(，2)，則，因?yàn)樗浴螾F2F1為鈍角，所以PF1F2為鈍角三角形，故D正確故選：D【變式訓(xùn)練1-2】、（2022·山東·青島二中高三期中）已知橢圓

過橢圓中心的一條直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，P是橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，設(shè)直線AP，BP的斜率分別為m，n，則當(dāng)取最小值時(shí)，橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，利用斜率公式求得，結(jié)合在橢圓上，化簡可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得使函數(shù)取最小值的，根據(jù)離心率定義即得.【詳解】由題可知，設(shè)，則，而，則，又，令，則，所以，由，可得，函數(shù)單調(diào)遞減，由，可得，函數(shù)單調(diào)遞增，故，即時(shí)，取最小值，此時(shí).故選：C.例2、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率為22．分別過O，F(xiàn)的兩條弦AB，（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線AC，BD的斜率之和為定值．【答案】(1)x2【解析】試題分析：（1）解：由題意，得c=1，e=ca=從而b2所以橢圓的方程為x22+（2）證明：設(shè)直線AB的方程為y=kx，②直線CD的方程為y=?k(x?1)，③7分由①②得，點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)為±2由①③得，點(diǎn)C，D的橫坐標(biāo)為2k記A(x1，kx1)，則直線AC，BD的斜率之和為k=k?2(x1考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)評(píng)：主要是考查了直線橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。例3、（2019全國卷2理科數(shù)學(xué)第21題）已知點(diǎn)A(?2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為?.記M的軌跡為曲線C.（1）求C的方程，并說明C是什么曲線；（2）過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連結(jié)QE并延長交C于點(diǎn)G.（i）證明：是直角三角形；（ii）求面積的最大值.【解析】（1）由題設(shè)得，化簡得，所以C為中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，不含左右頂點(diǎn)．（2）（i）設(shè)直線PQ的斜率為k，則其方程為．由得．記，則．于是直線的斜率為，方程為．由得．①設(shè)，則和是方程①的解，故，由此得．從而直線的斜率為．所以，即是直角三角形．（ii）由（i）得，，所以△PQG的面積．設(shè)t=k+，則由k>0得t≥2，當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào)．因?yàn)樵赱2，+∞）單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=2，即k=1時(shí)，S取得最大值，最大值為．因此，△PQG面積的最大值為．例4.（成都市2019-2020學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試）已知橢圓的左,右焦點(diǎn)分別為，，，經(jīng)過點(diǎn)的直線（不與軸重合）與橢圓相交于，兩點(diǎn)，△的周長為8.求橢圓的方程；（2）經(jīng)過橢圓上的一點(diǎn)作斜率為，（，）的兩條直線分別與橢圓相交于異于點(diǎn)的，兩點(diǎn).若，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，求的值【答案】（1）（2）.【解析】解:(I)∵，∴.∵△的周長為8，∴，.∵，∴∴橢圓的方程為.（2）設(shè)，.∴，，.∴，兩式相減，得∵，，∴例5．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的方程;（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)為圓心的圓，滿足此圓與相交兩點(diǎn)，（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），且使得直線，的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1），（2）存在符合條件的圓，且此圓的方程為，定值為【分析】（1）利用離心率和點(diǎn)在橢圓上列出方程，解出即可（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，先將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，推出，然后通過直線與圓的方程聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理，求解直線的斜率乘積，推出為定值，然后再驗(yàn)證直線的斜率不存在時(shí)也滿足即可【詳解】（1）由題意得：，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上所以解得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，且設(shè)此圓的方程為：當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為由方程組得因?yàn)橹本€與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)所以即由方程組得則設(shè)，，則設(shè)直線，的斜率分別為，所以將代入上式得要使得為定值，則，即所以當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的交點(diǎn)，滿足為定值當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意知的方程為此時(shí)圓與的交點(diǎn)，也滿足為定值綜上：當(dāng)圓的方程為時(shí)，圓與的交點(diǎn)，滿足為定值【點(diǎn)睛】涉及圓、橢圓的弦長、交點(diǎn)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.1．（2021·全國高三月考（理））設(shè)直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，若是線段的中點(diǎn)，直線與直線（是坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率的乘積等于，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】因?yàn)辄c(diǎn)，在雙曲線上，利用點(diǎn)差法將點(diǎn)代入雙曲線做差化簡結(jié)合題意可得，利用的平方關(guān)系可求出離心率.【詳解】設(shè)，，則直線的斜率為，直線的斜率為，即．因?yàn)辄c(diǎn)，在雙曲線上，所以有，，化簡可得：，所以有，離心率為．故選：D．2．（2021·內(nèi)蒙古烏蘭浩特一中高二期末（理））若雙曲線的一條漸近線與函數(shù)的圖象相切，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件確定出切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可得解.【詳解】顯然函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，而雙曲線的漸近線也過原點(diǎn)，依題意，原點(diǎn)必為雙曲線的某條漸近線與函數(shù)的圖象相切的切點(diǎn)，由求導(dǎo)得，即有，于是得，雙曲線半焦距c，，所以雙曲線的離心率為.故選：D3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓，橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓的面積為，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為橢圓C的上頂點(diǎn)．直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若的斜率之積為，則橢圓C的長軸長為（

）A．3 B．6 C． D．【答案】B【分析】由題意得到方程組①和②，即可解出a、b，求出長軸長.【詳解】橢圓的面積，即①.因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓C的上項(xiàng)點(diǎn)，所以.因?yàn)橹本€與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，不妨設(shè)，則且，所以.因?yàn)榈男甭手e為，所以，把代入整理化簡得：②①②聯(lián)立解得：.所以橢圓C的長軸長為2a=6.故選：B4．（中學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測(cè)試2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月測(cè)試文科數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)，在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】聯(lián)立方程得出，，再由距離公式得出.【詳解】設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，則直線，的方程分別為，，由得，，即，由得，，即，所以故選：D5．（2022·吉林吉林·高二期中）已知點(diǎn)，，為橢圓：上不重合的三點(diǎn)，且點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)點(diǎn)，，的坐標(biāo)，將和用，，坐標(biāo)表示，代入化簡運(yùn)算可得的值，進(jìn)一步可求出橢圓的離心率.【詳解】方法一：設(shè)不重合的點(diǎn)，，（），∵點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，∴，，（），由已知，（），∵點(diǎn)，均在橢圓上，∴，，∴，∴，（），∴，∴橢圓的離心率為.方法二：由題意，可取，為特殊點(diǎn)，不妨取，為橢圓左右頂點(diǎn)，依據(jù)橢圓第三定義，有，∴，.故選：A.6．（2022·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的長軸長為4，若點(diǎn)P是橢圓C上任意一點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于M、N兩點(diǎn)，記直線PM、PN的斜率分別為，當(dāng)時(shí)，則橢圓方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，設(shè)直線l方程為，，，由得①，聯(lián)立可得，由點(diǎn)P的任意性知，即可求得橢圓方程.【詳解】由長軸長為4得，解得，設(shè)，直線l方程為，，，則，，由得，，即，所以①，又P在橢圓上，所以，即，代入①式得，即，因?yàn)辄c(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，所以該式恒成立與無關(guān)，所以，解得，所以所求橢圓方程為．故選：D．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．7．（2021·河南高二期中（理））已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓：（），且，斜率之積的取值范圍為，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先表示出直線，斜率，利用，斜率之積的范圍為，得到的范圍，進(jìn)而構(gòu)造出關(guān)于的不等式，最后解出的范圍.【詳解】平行四邊形內(nèi)接于橢圓，假設(shè)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，過點(diǎn)作互相平行的兩條直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，則由橢圓的對(duì)稱性，,這與條件不符合.所以由橢圓的對(duì)稱性可得關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.設(shè)，，，，直線的斜率，直線的斜率，則，又，都在橢圓上，則，，，，，又，，故選：.8．（2021·荊州市沙市第五中學(xué)高二期中）過原點(diǎn)的直線與橢圓：交于，兩點(diǎn)，是橢圓上異于，的任一點(diǎn).若直線，的斜率之積為，則橢圓的方程可能為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，，求得的斜率，根據(jù)直線的斜率之積為列方程，求得的值，即可得解.【詳解】設(shè)，，則，所以，所以即.故選：B.9.（百校聯(lián)盟2018屆TOP202018屆高三三月聯(lián)考）已知平行四邊形內(nèi)接于橢圓，且，斜率之積的范圍為，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由圓錐曲線的經(jīng)典結(jié)論得：，10.（四川省成都市2019屆高三第一次診斷性考試，理科，12）設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)為A,B.P是橢圓上不同于A,B的一點(diǎn)，設(shè)直線AP,BP的斜率分別為m,n，則當(dāng)取得最小值時(shí)，橢圓C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】設(shè)，點(diǎn)P在雙曲線上，得，，所以，，化簡原式所以設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可以得到：時(shí)，函數(shù)取得最小值=，，。11．（2022·全國高三專題練習(xí)）過點(diǎn)M(－2，0)的直線m與橢圓＋y2＝1交于P1，P2兩點(diǎn)，線段P1P2的中點(diǎn)為P，設(shè)直線m的斜率為k1(k1≠0)，直線OP的斜率為k2，則k1k2的值為__________．【答案】【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出直線的斜率，從而求出的值．【詳解】設(shè)直線的方程為：，由，整理得：，所以，，所以，所以，，所以.故答案為：.12．（2022·全國高三專題練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，斜率為的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．若△ABF1的重心為G，則橢圓C的離心率為________．【答案】【分析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，帶入橢圓方程作差，利用重心坐標(biāo)公式，求得，，代入上式，即可求解.【詳解】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則兩式相減得＋＝0.(*)因?yàn)椤鰽BF1的重心為G，所以故代入(*)式得，所以＝＝，即a2＝3b2，所以橢圓C的離心率e＝.故答案為：13．(四川省蓉城名校高中2018屆高三4月份聯(lián)考)已知橢圓：的長軸長為，，是其長軸頂點(diǎn)，是橢圓上異于，的動(dòng)點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，若動(dòng)點(diǎn)在直線上，直線，分別交橢圓于，兩點(diǎn).請(qǐng)問：直線是否過定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）由題意知?jiǎng)t，設(shè)，，，則，由，則，則，則，由此可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則直線的方程為；則直線的方程為聯(lián)立得消去得：，則，即代入直線的方程得，故.聯(lián)立得消去得：，則，即代入直線的方程得，故.當(dāng)，即，則與軸交點(diǎn)為，當(dāng)，即時(shí)，下證直線過點(diǎn)，由，故直線過定點(diǎn).14.(湖南省五市十校教研教改共同體2017屆高三12月聯(lián)考）如圖,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,直線相交于點(diǎn),且它們的斜率之積為．（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為,點(diǎn)是軌跡為上不同于的兩點(diǎn),且滿足,求證：的面積為定值．【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由題意知,化簡得的軌跡方程為．（2）證明：由題意是橢圓上非頂點(diǎn)的兩點(diǎn),且,則直線斜率必存在且不為0,又由已知．因?yàn)?所以．設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,得．．．．①,．設(shè)的坐標(biāo)分別為,則．又,所以,得．又,所以,即的面積為定值．15．（2020·江蘇揚(yáng)州聯(lián)考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為，右準(zhǔn)線的方程為分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過作斜率為的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），且，設(shè)直線AM，BN的斜率分別為，求的值．【解析】（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為，所以①，因?yàn)闄E圓C的右準(zhǔn)線的方程為，所以②，聯(lián)立①②，解得，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)，因?yàn)檫^作斜率為的直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，所以，由，得，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，即，整理得，所以，又，所以，即，即，整理得．因?yàn)橹本€AM，BN的斜率分別為，且，所以．16．（2020·江蘇省淮陰中學(xué)高三月考）已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知?為橢圓上不同的兩點(diǎn)．①設(shè)線段的中點(diǎn)為點(diǎn)，證明：直線?的斜率之積為定值；②若?兩點(diǎn)滿足，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值．【解析】（1）依題意有，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。（2）設(shè)，，則，兩式相減得：①∵的中點(diǎn)為，∴，∴．（3）解法l：由，因?yàn)椋?，，②代入①式得直線的斜率為，設(shè)直線的方程：，聯(lián)立方程組，消得：，由，解得，且，，③由②③可得，，到：的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，滿足，由②③可得，所以的值為．解法2：設(shè)直線的方程：，聯(lián)立方程組，消得：，，，，由，因?yàn)椋?，，有，所以，解得，下同解?．17．（2021·綏德中學(xué)高二月考（理））設(shè)橢圓的離心率，過點(diǎn)A（1，）.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為試問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）為定值.【分析】（1）根據(jù)，得，根據(jù)橢圓過點(diǎn)A（1，），得，結(jié)合求得，即可得出答案；（2）設(shè)，直線得方程為，聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理求得，根據(jù)B、E、M三點(diǎn)共線，可求得，同理可求得，利用斜率公式化簡整理即可得出結(jié)論.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以①，將A（1，）代入得②，又③，由①②③解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，直線得方程為，聯(lián)立，得，則，由B、E、M三點(diǎn)共線，可知，即，同理可得：，則，，所以.所以為定值.18．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn).①設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；②設(shè)過點(diǎn)垂直于的直線為，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）見解析.【詳解】試題分析：（1）根據(jù)條件列方程組，解得，（2）①設(shè)，則可由直線交點(diǎn)得，再根據(jù)斜率公式化簡，最后利用點(diǎn)P在橢圓上得定值；②先探求定點(diǎn)為，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程，最后令y=0解得x=-1.試題解析：（1）由題意橢圓的焦距為2，且過點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）①設(shè)，則直線的方程為，令得，因?yàn)?，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以，所以為定值，②直線的斜率為，直線的斜率為，則直線的方程為，所以直線過定點(diǎn).點(diǎn)睛：1.求定值問題常見的方法有兩種(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．2．定點(diǎn)的探索與證明問題(1)探索直線過定點(diǎn)時(shí)，可設(shè)出直線方程為，然后利用條件建立等量關(guān)系進(jìn)行消元，借助于直線系的思想找出定點(diǎn)．(2)從特殊情況入手，先探求定點(diǎn)，再證明與變量無關(guān)．19．已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，且與圓相交于兩點(diǎn)，試問直線與的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.【答案】（1）；（2）為定值，【分析】（1）將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，建立的方程組，即可求出結(jié)論；（2）先求出直線斜率不存在時(shí)的值，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)已知求出關(guān)系，再將直線與圓方程聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系將坐標(biāo)用表示，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）依題意，，解得，所以橢圓方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為.若直線l的方程為，則M，N的坐標(biāo)為，.若直線l的方程為，則M，N的坐標(biāo)為，.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，由相切可得，.又，消去得，設(shè)，，則∴，.故為定值且定值為.綜上，為定值且定值為.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系以及圓與直線的位置關(guān)系，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系設(shè)而不求的方法求相交弦問題，屬于中檔題.20、已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(1,2)，點(diǎn)A(1．eq\f(3,2))在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)動(dòng)直線l與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，判斷是否存在以原點(diǎn)O為圓心的圓，滿足此圓與l相交兩點(diǎn)P1，P2，(兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上)，且使得直線OP1，OP2的斜率之積為定值？若存在，求此圓的方程與定值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】(1)由題意得，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，a2＝b2＋c2，又因?yàn)辄c(diǎn)A(1．eq\f(3,2))在橢圓C上所以eq\f(1,a2)＋eq\f(9,4b2)＝1，解得b2＝3，a2＝2．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1．(2)結(jié)論：存在符合條件的圓，且此圓的方程為x2＋y2＝7．證明如下：假設(shè)存在符合條件的圓，且設(shè)此圓的方程為x2＋y2＝r2(r>0)．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y＝kx＋m，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1))，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，因?yàn)橹本€l與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，所以Δ1＝(8km)2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，即m2＝4k2＋3．由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m,x2＋y2＝r2))，得(k2＋1)x2＋2kmx＋m2－r2＝0，則Δ1＝(2km)2－4(k2＋1)(m2－r2)>0，設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則x1＋x2＝eq\f(－2km,1＋k2)，x1x2＝eq\f(m2－r2,1＋k2)．設(shè)直線OP1，OP2的斜率分別為k1，k2，所以k1·k2＝eq\f(y1y2,x1x2)＝eq\f((kx1＋m)(k2x＋m),x1x2)＝eq\f(k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2,x1x2)＝eq\f(k2eq\f(m2－r2,1＋k2)＋kmeq\f(－2km,1＋k2)＋m2,eq\f(m2－r2,1＋k2))＝eq\f(m2－r2k2,m2－r2