專題03 中點(diǎn)弦問(wèn)題（點(diǎn)差法）（教師版）2024高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破

第第I10)已知橢圓的右焦點(diǎn)為,過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為,則的方程為()A.B.QUOTEC.D.【解析】:由結(jié)論可得：，得，，選D。2.(2010年新課標(biāo)全國(guó)卷12)已知雙曲線的中心為原點(diǎn),是的焦點(diǎn),過(guò)的直線與相交于兩點(diǎn),且的中點(diǎn)為,則的方程為()A.B.C.D.【解析】:由結(jié)論可得：，得，，選B。3．已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點(diǎn)P(4，2)，則以P為中點(diǎn)的弦所在直線的斜率為()A．－ B． C．－2 D．2【答案】A【分析】由于是弦的中點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)差法求出弦所在直線的斜率.【詳解】設(shè)以為中點(diǎn)的弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得兩式相減可得所以，即所求的直線的斜率為.故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查通過(guò)點(diǎn)差法求弦中點(diǎn)所在直線的斜率，屬于中檔題.4．已知橢圓的方程為，斜率為的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由點(diǎn)差法化簡(jiǎn)可得，再由橢圓離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)，則，兩式作差得，又，線段的中點(diǎn)為，所以，所以即，所以該橢圓的離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)差法的適用條件及應(yīng)用.5．已知橢圓中心在原點(diǎn)，且一個(gè)焦點(diǎn)為，直線與其相交于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則此橢圓的方程是A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)橢圓方程為聯(lián)立方程：，整理得：,設(shè)，，則，即，化簡(jiǎn)得：，又，易得：，∴此橢圓的方程是故選C點(diǎn)睛：弦中點(diǎn)問(wèn)題解法一般為設(shè)而不求，關(guān)鍵是求出弦AB所在直線方程的斜率k,方法一利用點(diǎn)差法，列出有關(guān)弦AB的中點(diǎn)及弦斜率之間關(guān)系求解；方法二是直接設(shè)出斜率k，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線方程.6．如果橢圓的弦被點(diǎn)平分，則這條弦所在的直線方程是A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)這條弦的兩端點(diǎn),則：,用點(diǎn)差法得到：，代入中點(diǎn)坐標(biāo)，即得解斜率k.【詳解】設(shè)這條弦的兩端點(diǎn)，斜率為，則：兩式相減得：變形得：，又弦中點(diǎn)為：，故故這條弦所在得直線方程為：，即故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)差法在弦中點(diǎn)問(wèn)題中的應(yīng)用，考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.7．已知橢圓C：的離心率為，直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由橢圓的離心率可得的關(guān)系，得到橢圓方程為，設(shè)出的坐標(biāo)并代入橢圓方程，利用點(diǎn)差法求得直線l的斜率．【詳解】解：由，得，∴，則橢圓方程為，設(shè)，則，把A，B的坐標(biāo)代入橢圓方程得：，①-②得：，∴．∴直線l的斜率為．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，訓(xùn)練了利用“點(diǎn)差法”求中點(diǎn)弦的斜率，是中檔題．8．橢圓的一條弦被點(diǎn)平分，則此弦所在的直線方程是A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)過(guò)A點(diǎn)的直線與橢圓兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，分別代入橢圓方程，得到兩個(gè)關(guān)系式，分別記作①和②，①﹣②后化簡(jiǎn)得到一個(gè)關(guān)系式，然后根據(jù)A為弦EF的中點(diǎn)，由A的坐標(biāo)求出E和F兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和，表示出直線EF方程的斜率，把化簡(jiǎn)得到的關(guān)系式變形，將E和F兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)之和代入即可求出斜率的值，然后由點(diǎn)A的坐標(biāo)和求出的斜率寫出直線EF的方程即可．【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則有①，②，①﹣②式可得：又點(diǎn)A為弦EF的中點(diǎn)，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，∴（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0即得kEF=∴過(guò)點(diǎn)A且被該點(diǎn)平分的弦所在直線的方程是y﹣2=﹣（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系及中點(diǎn)弦問(wèn)題的求解策略，關(guān)鍵在于對(duì)“設(shè)而不求法”的掌握．解決直線與橢圓的位置關(guān)系,常見(jiàn)方法有：涉及直線與圓錐曲線相交時(shí)，未給出直線時(shí)需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問(wèn)題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問(wèn)題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．9．過(guò)橢圓C：右焦點(diǎn)F的直線l：交C于A、B兩點(diǎn)，P為AB的中點(diǎn)，且OP的斜率為，則橢圓C的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，可得右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，利用韋達(dá)定理，求出的中點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線的斜率可得，的關(guān)系，再由橢圓中，，的關(guān)系求出，的值，進(jìn)而可得橢圓的方程．【詳解】解：直線中，令，可得，所以右焦點(diǎn)，，設(shè)，，，，則，的中點(diǎn)，聯(lián)立，整理得，所以，，所以，所以，又，，所以，，所以橢圓的方程為，故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是聯(lián)立直線和橢圓的方程，然后利用韋達(dá)定理求出，，進(jìn)而根據(jù)由兩點(diǎn)間的斜率公式得，的關(guān)系.10．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則直線的方程為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出直線的方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)、，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，所以，因?yàn)?，兩式作差得，即，即，所以，，因此，直線的方程為，即.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決中點(diǎn)弦的問(wèn)題的兩種方法：（1）韋達(dá)定理法：聯(lián)立直線與曲線的方程，消去一個(gè)未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決；（2）點(diǎn)差法：設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率關(guān)系求解.11．已知點(diǎn)是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，則直線的方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，代入橢圓的方程，結(jié)合“平方差”法，求得直線的斜率，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，由，可得．又，所以，解得．因此直線的方程為，即。故選：A．本題主要考查了直線與橢圓的位置的應(yīng)用，以及中點(diǎn)弦問(wèn)題的求解，其中解答中熟記中點(diǎn)弦的求解方法是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，所以基礎(chǔ)題.12．（2021·河南南陽(yáng)·高二階段練習(xí)（文））已知斜率為的直線與雙曲線相交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，的中點(diǎn)為，若直線的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用點(diǎn)差法可求得的值，結(jié)合可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】設(shè)、、，則，兩式相減得，所以．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，，所以，故，故．故選：A.13．（2020·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線，以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用點(diǎn)差法可求得弦所在直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，則，則，兩式作差得，所以，弦所在直線的斜率，故所求直線方程為，即.故選：B.14．（2022·寧夏·石嘴山市第一中學(xué)高二期末（理））已知雙曲線的離心率為2，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用點(diǎn)差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因?yàn)辄c(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故選：C15．（2022·河南安陽(yáng)·高二期末（理））已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段AB的中點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】B【分析】設(shè)，，代入拋物線方程相減可得．【詳解】設(shè)，，∵是AB的中點(diǎn)，∴，由，相減得，所以直線的斜率，故選：B．16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A，B（點(diǎn)A的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)B的橫坐標(biāo)），滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)已知及拋物線的幾何性質(zhì)求出，再由已知求出的值.【詳解】由題意可得拋物線的焦點(diǎn).弦AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，由已知條件可知直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB的方程為，，則聯(lián)立，消去y得，∴，又因?yàn)橄褹B的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，∴，∴，，∴點(diǎn)A到準(zhǔn)線的距離為，點(diǎn)B到準(zhǔn)線的距離為，所以∴，又，故.故選：D17．（2022·陜西陜西·二模（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F作直線l與拋物線分別交于A，B兩點(diǎn)，若第一象限內(nèi)的點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)度為（

）A．12 B．18 C．16 D．8【答案】C【分析】設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，由的中點(diǎn)的坐標(biāo)，求出參數(shù)的值，即可得到，再根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：由條件得，設(shè)，，直線的方程為：，聯(lián)立得，∴，由得.∴，所以.故選：C18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在第四象限），與軸交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，直線方程為，然后拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與直線方程聯(lián)立消，得一個(gè)關(guān)于一元二次方程，又由線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，得，轉(zhuǎn)化為，由此即可確定的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，直線方程為，聯(lián)立，消去，得，所以，所以，因?yàn)?、中點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，所以，故，又，所以的取值范圍為.19．（2022·江西·模擬預(yù)測(cè)（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)F作斜率為的直線與C交于兩點(diǎn)，若線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則F到C的準(zhǔn)線的距離為_(kāi)______．【答案】【分析】設(shè)、，利用點(diǎn)差法可得出，最后根據(jù)線段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，，兩式相減得，即，因?yàn)?、兩點(diǎn)在斜率為的直線上，所以，所以由得，因?yàn)榫€段中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，則，，所以F到C的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.20．（2021·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線方程為，在拋物線C上存在A?B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為_(kāi)__________.【答案】5【分析】先運(yùn)用點(diǎn)差法得到，然后通過(guò)兩點(diǎn)距離公式求出結(jié)果．【詳解】解：拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，，，的中點(diǎn)為，，則，，兩式相減得，即，又因?yàn)?，兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，解得，可得，則，故答案為：5．21．已知點(diǎn)P(1，2)是直線l被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，則直線l的方程是_____.【答案】【分析】設(shè)出直線與橢圓的交點(diǎn)，采用點(diǎn)差法進(jìn)行分析，由此可求得直線的斜率，再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程則直線的方程可求.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，所以，所以，所以，且，所以，所以即，故答案為：.22．已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)．線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且．證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【詳解】分析：（1）設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法，或假設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組，由判別式和韋達(dá)定理進(jìn)行證明．（2）先求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，解出m，得到直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．詳解：（1）設(shè)，，則，．兩式相減，并由得．由題設(shè)知，，于是．由題設(shè)得，故．（2）由題意得F（1，0）．設(shè)，則．由（1）及題設(shè)得，．又點(diǎn)P在C上，所以，從而，．于是．同理．所以．故．點(diǎn)睛：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，第一問(wèn)利用點(diǎn)差法，設(shè)而不求可減小計(jì)算量，第二問(wèn)由已知得求出m，得到,再有兩點(diǎn)間距離公式表示出，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，難度較大．23．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為2．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)A，B為橢圓C上的兩動(dòng)點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，直線AB，OM（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率都存在且分別記為k1，k2，試問(wèn)k1k2的值是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）為定值，此定值為【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（2）利用點(diǎn)差法求得為定值.【詳解】由題意得，解得.所以橢圓的方程為：設(shè)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即由已知，所以，即則，于是.所以為定值，此定值為【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查利用點(diǎn)差法求解有關(guān)中點(diǎn)弦的問(wèn)題，屬于中檔題.24．設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若橢圓的離心率為，的周長(zhǎng)為16．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)不經(jīng)過(guò)橢圓的中心而平行于弦的直線交橢圓于點(diǎn)，設(shè)弦的中點(diǎn)分別為.證明：三點(diǎn)共線.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見(jiàn)解析【分析】（Ⅰ）由已知橢圓E的離心率為，的周長(zhǎng)為16，解得a，b的值，可得橢圓E的方程；（Ⅱ）設(shè)，，．利用點(diǎn)差法，可得，，由此可得O，M，N三點(diǎn)共線．【詳解】（Ⅰ）解：由題意知，，．又，，，橢圓E的方程為；（Ⅱ）證明：當(dāng)直線AB、CD的斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性知，中點(diǎn)M，N在x軸上，O，M，N三點(diǎn)共線；當(dāng)直線AB，CD的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，且設(shè)，，．則，，相減得，，即，即，；同理可得，，所以O(shè)，M，N三點(diǎn)共線．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用“點(diǎn)差法”求解中點(diǎn)弦問(wèn)題，是中檔題．

B組能力提升25．已知橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為點(diǎn)和點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題設(shè)，利用為的重心，求出線段的中點(diǎn)為，將B代入直線方程得，再利用點(diǎn)差法可得，結(jié)合，可求出，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題設(shè)，則線段的中點(diǎn)為，由三角形重心的性質(zhì)知，即，解得：即代入直線，得①.又B為線段的中點(diǎn)，則，又為橢圓上兩點(diǎn)，，以上兩式相減得，所以，化簡(jiǎn)得②由①②及，解得：，即離心率.故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的離心率，求解離心率在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出；②構(gòu)造的齊次式，求出；③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解．26．已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與圓交于、兩點(diǎn)．若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知得直線恒過(guò)定點(diǎn)且為圓的圓心，由可得圓的圓心為、兩點(diǎn)中點(diǎn)，設(shè)而不求，用點(diǎn)差法計(jì)算結(jié)果【詳解】直線：，即直線恒過(guò)定點(diǎn)直線過(guò)圓的圓心，的圓心為、兩點(diǎn)中點(diǎn)設(shè)，上下相減可得：化簡(jiǎn)可得故選【點(diǎn)睛】本題較為綜合，考查了直線與圓錐曲線的交點(diǎn)問(wèn)題，覆蓋的知識(shí)點(diǎn)較多：直線恒過(guò)定點(diǎn)，向量的幾何意義，設(shè)而不求，點(diǎn)差法計(jì)算，橢圓離心率的求解，有一定難度，需要理解題意，靈活運(yùn)用解題方法27．已知斜率為的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)M縱坐標(biāo)為，點(diǎn)在橢圓上，若的平分線交線段AB于點(diǎn)N，則的值MN為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用點(diǎn)差法可求得坐標(biāo)，從而得到直線方程；將方程與橢圓聯(lián)立求得兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)連線斜率公式求得，由互為相反數(shù)知斜率不存在，由此得到點(diǎn)坐標(biāo)；利用兩點(diǎn)間距離公式求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，其中，兩式作差整理可得：解得：設(shè)直線方程為，即代入橢圓方程整理得：，解得：，，，直線斜率不存在，方程為，故選：【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問(wèn)題，涉及到點(diǎn)差法的應(yīng)用、直線與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)的求解、直線斜率的求解等知識(shí)；關(guān)鍵是能夠明確當(dāng)與弦中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常用點(diǎn)差法來(lái)得到中點(diǎn)坐標(biāo)與斜率之間的關(guān)系.28．已知橢圓C：，A，B是橢圓C上兩點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，P是橢圓C外一點(diǎn)，滿足，的中點(diǎn)均在橢圓C上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是___________.【答案】或.【分析】先利用點(diǎn)差法可求出直線AB的斜率為，即可得出直線方程，代入橢圓方程可求出A，B坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P，則可表示出PA，PB中點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程即可求出點(diǎn)P坐標(biāo).【詳解】設(shè)，A，B是橢圓C上兩點(diǎn)，則，兩式相減得，是AB中點(diǎn)，則，即，故直線AB斜率為，則直線AB方程為，即，將直線方程代入橢圓得，解得，則可得，設(shè)，則PA中點(diǎn)為，PB中點(diǎn)為，，的中點(diǎn)均在橢圓C上，則，解得或，的坐標(biāo)為或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)弦問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是先利用點(diǎn)差法求出直線斜率，進(jìn)而求出A,B坐標(biāo)，再結(jié)合題意求解.29．已知橢圓，點(diǎn)為左焦點(diǎn)，點(diǎn)為下頂點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為_(kāi)_________.【答案】【分析】先求出直線的斜率為，設(shè)，，再利用點(diǎn)差法求出直線的斜率為，利用斜率相等可得之間的關(guān)系，結(jié)合即可求離心率.【詳解】由題意知，，所以直線的斜率為，設(shè)，，則①，②，①-②得：，即，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，所以，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用點(diǎn)差法設(shè)設(shè)，，則，，兩式相減得，是的中點(diǎn)，所以，，可得，再計(jì)算，利用結(jié)合即可求離心率.30．設(shè)橢圓的短軸長(zhǎng)為4，離心率為．（1）當(dāng)直線與橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)點(diǎn)是直線被橢圓所截得的線段的中點(diǎn)，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題目條件可以求出，的值，然后寫出橢圓的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，使求解；（2）采用點(diǎn)差法求解出斜率，然后寫出直線的方程.【詳解】解：（1）因?yàn)殡x心率，所以，又因?yàn)闄E圓的短半軸長(zhǎng)，所以，即橢圓方程為，聯(lián)立得，因?yàn)橹本€與橢圓有公共點(diǎn)，所以，即，解得．（2）設(shè)，由在橢圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn),再由橢圓的對(duì)稱性可確定直線的斜率一定存在.則，整理得：所以斜率，所以直線的方程為．【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及中點(diǎn)弦問(wèn)題，難度一般.解答直線與橢圓的位置關(guān)系一般需要聯(lián)立直線方程與曲線方程，根據(jù)判斷，中點(diǎn)弦問(wèn)題可以采用點(diǎn)差法求解.31．橢圓，右焦點(diǎn)為，是斜率為的弦，的中點(diǎn)為，的垂直平分線交橢圓于，兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為.當(dāng)時(shí)，直線的斜率為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，求的取值范圍；（3）若直線，直線的斜率滿足，判斷并證明是否為定值.【答案】（1）；（2）；（3）是定值，證明過(guò)程見(jiàn)解析.【分析】（1）先設(shè)，，根據(jù)題意，得到，兩式作差，根據(jù)弦中點(diǎn)的坐標(biāo)，由題意，求出，再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到，兩式聯(lián)立，即可求出結(jié)果；（2）先設(shè)直線的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，根據(jù)韋達(dá)定理，求出，得到的方程為：，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，求出，表示出，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，表示出，進(jìn)而可根據(jù)換元法求取值范圍；（3）根據(jù)（2）的結(jié)果，由，求出，再由弦長(zhǎng)公式，分別求出與，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，，由題意，，兩式作差，得，整理得：，又是斜率為的弦，的中點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，所以，即，即①，又橢圓右焦點(diǎn)為，所以②，由①②解得：，，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線的方程為：，由消去得，，設(shè)，，則，所以，故，因?yàn)槭堑拇怪逼椒志€，所以的方程為：，即，由消去得，，設(shè)，，則，所以，即的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此，又原點(diǎn)到直線的距離，所以，令，則；（3）由（2）可得：，所以，因?yàn)橹本€，直線的斜率滿足，所以，整理得：，所以，所以，，因此.即取定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的方程，橢圓中的范圍，以及定值問(wèn)題，熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，中點(diǎn)弦問(wèn)題，橢圓的性質(zhì)，根據(jù)韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式等即可求解，難度較大.32．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，為橢圓的一條弦（不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)），直線經(jīng)過(guò)弦的中點(diǎn)，與橢圓交于、兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為.（1）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求橢圓的方程；（2）求證：為定值；（3）過(guò)作軸的垂線，垂足為，若直線和直線傾斜角互補(bǔ)，且的面積為，求橢圓的方程.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)題意得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、，利用點(diǎn)差法可得出，再利用可求得的值；（3）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)直線和的傾斜角互補(bǔ)和面積公式計(jì)算出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得橢圓的方程.【詳解】（1）由已知條件得，解得，因此，橢圓的方程為；（2）設(shè)點(diǎn)、，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，.由題意可得，，，由于點(diǎn)、都在橢圓上，則，兩式作差得，（定值）；（3）設(shè)點(diǎn)，則、，，直線與直線的傾斜角互補(bǔ)，，又，且，則，解得.的面積為且，解得，，即點(diǎn).，解得，因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解，考查了點(diǎn)差法的應(yīng)用，同時(shí)也考查了三角形面積的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于難題.33．已知直線：與橢圓：交于，兩點(diǎn).（1）若直線過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，求；（2）線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的方程，求得左焦點(diǎn)，得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，以及直線與圓錐曲線的弦長(zhǎng)公式，即可求解；（2）設(shè)，，得到線段的垂直平分線方程為，將點(diǎn)代入橢圓的方程，兩式相減整理得，再由，兩兩方程組，求得中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求解.【詳解】（1）由題意，橢圓，可得，則，左焦點(diǎn)，則直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程，整理得，所以，且，，所以.（2）設(shè)，，的中點(diǎn)，由題知線段的垂直平分線方程為，直線不平行于軸，即，由，兩式相減整理得①，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所以，所以①變形為，解得，所以，代入直線，可得，解得.【點(diǎn)睛】直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題的求解策略：對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用問(wèn)題，通常聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以及弦長(zhǎng)公式等進(jìn)行求解，此類問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力．34．（2022·河南安陽(yáng)·高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與C交于A，B兩點(diǎn)．(1)若的傾斜角為且過(guò)點(diǎn)F，求；(2)若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先可得直線的方程，設(shè)，然后聯(lián)立直線與拋物線的方程消元，然后可得的值，然后可得答案.（