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文檔簡介

第二章等式與不等式

2.2不等式

2.2.4均值不等式及其應用第1課時均值不等式基礎知識

從具體實例中可以看出，兩個正數的算術平均值大于或等于它們的幾何平均值。一般地，我們有如下結論。均值不等式

如果a，b都是正數，那么

當且僅當a=b時，等號成立。證明：因為a，b都是正數，所以

將均值不等式兩邊平方可得

ab均值不等式(基本不等式)(1)算術平均值與幾何平均值。算術平均值a，b

思考：均值不等式與不等式a2＋b2≥2ab的關系如何？請對此進行討論。均值不等式與最值兩個正數的積為常數時，它們的和有最小值；兩個正數的和為常數時，它們的積有最大值。思考：應用上述兩個結論時，要注意哪些事項？提示：應用上述性質時注意三點：(1)各項或各因式均為正；(2)和或積為定值；(3)各項或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”?；A自測D

解析：因為不等式成立的前提條件是各項均為正，所以x－2y>0，

即x>2y，且等號成立時(x－2y)2＝1，即x－2y＝1，故選B。B

4

4．已知0<x<1，則x(1－x)的最大值為_____，此時x＝_____.5．若x2＋y2＝4，則xy的最大值是____.2

典例剖析對均值不等式的理解D

思路探究：(1)使用均值不等式的前提條件是a>0，b>0；

(2)均值不等式中，等號成立的條件是a＝b.C

歸納提升：在均值不等式應用過程中要注意“一正、二定、三相等”一正，a，b均為正數；二定，不等式一邊為定值；三相等，不等式中的等號能取到，即a＝b有解。對點訓練C

典例剖析利用均值不等式求最值1．和為定值求積的最值思路探究：由題可知1－3x>0，配湊x的系數，易知3x＋(1－3x)為定值1，則可以利用均值不等式求解。歸納提升：求兩數積的最值時，一般需要已知這兩數的和為定值，當條件不滿足時，往往利用題目中的已知條件將兩數進行適當的拆項和添項，通過變形使轉化后的兩數和為定值，再利用均值不等式求最值，變形后仍要求滿足“一正、二定、三相等”。2．積為定值求和的最值歸納提升：在利用均值不等式求兩數和的最值時，若“一正、二定、三相等”中的條件不滿足時，則需要對條件作出調整和轉化，使其滿足上述條件，方可利用均值不等式。轉化的方法有添項、拆項、湊項、變號等。3．變換技巧“1”的代換思路探究：要求x＋y的最小值，根據均值不等式，應構建某個積為定值。這需要對條件進行必要的變形，可進行“1”的代換，也可以“消元”等。歸納提升：常數代換法求最值的方法步驟常數代換法適用于求解條件最值問題。應用此種方法求解最值的基本步驟為：(1)根據已知條件或其變形確定定值(常數)。(2)把確定的定值(常數)變形為1。(3)把“1”的表達式與所求

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