專題04 開放拓展問題（精練）-2019年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破全攻略（解析版）

一、選擇題（10×3=30分）1.（2017?寧德）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E分別在邊BC和AC上，若AD=AE，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠ADB=∠ACB+∠CAD B．∠ADE=∠AEDC．∠CDE=∠BAD D．∠AED=2∠ECD【分析】由三角形的外角性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)得出選項(xiàng)A、B、C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，即可得出答案．2.（2018?安徽）?ABCD中，E，F(xiàn)的對(duì)角線BD上不同的兩點(diǎn)．下列條件中，不能得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是（）A．BE=DF B．AE=CF C．AF∥CE D．∠BAE=∠DCF【分析】連接AC與BD相交于O，根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，只要證明得到OE=OF即可，然后根據(jù)各選項(xiàng)的條件分析判斷即可得解．3.（2018?揚(yáng)州）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACD交AB于E，則下列結(jié)論一定成立的是（）A．BC=EC B．EC=BE C．BC=BE D．AE=EC【分析】根據(jù)同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根據(jù)角平分線的定義可得出∠ACE=∠DCE，再結(jié)合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角對(duì)等邊即可得出BC=BE，此題得解．【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，∴∠BCD=∠A．∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE．又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∴∠BEC=∠BCE，∴BC=BE．故選：C．學(xué)科&網(wǎng)4.（2018?宜昌）尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)過直線外一點(diǎn)向直線作垂線即可．5.（2018?東營(yíng)）如圖，在四邊形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，AB=BF．添加一個(gè)條件使四邊形ABCD是平行四邊形，你認(rèn)為下面四個(gè)條件中可選擇的是（）A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDF【分析】正確選項(xiàng)是D．想辦法證明CD=AB，CD∥AB即可解決問題；6.（2018?臺(tái)灣）如圖，銳角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙兩人想找一點(diǎn)P，使得∠BPC與∠A互補(bǔ)，其作法分別如下：（甲）以A為圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于P點(diǎn)，則P即為所求；（乙）作過B點(diǎn)且與AB垂直的直線l，作過C點(diǎn)且與AC垂直的直線，交l于P點(diǎn)，則P即為所求對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列敘述何者正確？（）A．兩人皆正確 B．兩人皆錯(cuò)誤C．甲正確，乙錯(cuò)誤 D．甲錯(cuò)誤，乙正確【分析】甲：根據(jù)作圖可得AC=AP，利用等邊對(duì)等角得：∠APC=∠ACP，由平角的定義可知：∠BPC+∠APC=180°，根據(jù)等量代換可作判斷；乙：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得：∠BPC+∠A=180°．【解答】解：甲：如圖1，∵AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=180°∴∠BPC+∠ACP=180°，∴甲錯(cuò)誤；乙：如圖2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正確，故選：D．7.（2018?眉山）如圖，在?ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于點(diǎn)E，F(xiàn)為DC的中點(diǎn)，連結(jié)EF、BF，下列結(jié)論：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四邊形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【分析】如圖延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于G，取AB的中點(diǎn)H連接FH．想辦法證明EF=FG，BE⊥BG，四邊形BCFH是菱形即可解決問題；【解答】解：如圖延長(zhǎng)EF交BC的延長(zhǎng)線于G，取AB的中點(diǎn)H連接FH．∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正確，∵S△DFE=S△CFG，∴S四邊形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正確，8.（2017呼和浩特）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，E，F(xiàn)為BD所在直線上的兩點(diǎn)，若AE=，∠EAF=135°，則下列結(jié)論正確的是（）A．DE=1 B．tan∠AFO=C．AF= D．四邊形AFCE的面積為【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AO的長(zhǎng)，用勾股定理求出EO的長(zhǎng)，然后由∠MAN=135°及∠BAD=90°可以得到相似三角形，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BF的長(zhǎng)，再一一計(jì)算即可判斷．在Rt△AOF中，AF===，故C正確，tan∠AFO===，故B錯(cuò)誤，∴S四邊形AECF=?AC?EF=××=，故D錯(cuò)誤，故選C．學(xué)科&網(wǎng)9.（2017?玉林）如圖，AB是⊙O的直徑，AC，BC分別與⊙O相交于點(diǎn)D，E，連接DE，現(xiàn)給出兩個(gè)命題：①若AC=AB，則DE=CE；②若∠C=45°，記△CDE的面積為S1，四邊形DABE的面積為S2，則S1=S2，那么（）A．①是真命題②是假命題 B．①是假命題②是真命題C．①是假命題②是假命題 D．①是真命題②是真命題【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠C=∠B，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠B=∠CDE，根據(jù)等腰三角形的判定判斷①；根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方判斷②．∴AC=CE，∵四邊形ABED內(nèi)接于⊙O，∴∠B=∠CDE，∠CAB=∠CED，∴△CDE∽△CBA，∴=（）2=，∴S1=S2，②正確，故選：D．10.（2017山東濱州）如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長(zhǎng)不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明△POE≌△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．在△POE和△POF中，，∴△POE≌△POF，∴OE=OF，二、填空題（6×4=24分）.11.（2018?金華）如圖，△ABC的兩條高AD，BE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件，使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及輔助線），你添加的條件是．【分析】添加AC=BC，根據(jù)三角形高的定義可得∠ADC=∠BEC=90°，再證明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC．【解答】解：添加AC=BC，∵△ABC的兩條高AD，BE，∴∠ADC=∠BEC=90°，∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC=∠DAC，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC（AAS），故答案為：AC=BC．12.（2017貴州）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，已知FB=CE，AC∥DF，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件使得△ABC≌△DEF．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理填空．13.（2017齊齊哈爾）矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件，使其成為正方形（只填一個(gè)即可）【分析】此題是一道開放型的題目答案不唯一，也可以添加AC⊥BD等．【解答】解：添加條件：AB=BC，理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，∴四邊形ABCD是正方形，故答案為：AB=BC（答案不唯一）．14.（2018?湖州）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向內(nèi)作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖．例如，在如圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，此時(shí)正方形EFGH的而積為5．問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是（不包括5）．【分析】當(dāng)DG=，CG=2時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=，可得正方形EFGH的面積為13．當(dāng)DG=8，CG=1時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=7，可得正方形EFGH的面積為49．當(dāng)DG=7，CG=4時(shí)，滿足DG2+CG2=CD2，此時(shí)HG=3，可得正方形EFGH的面積為9．15.（2018?香坊區(qū)）已知邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD中，對(duì)角線AC長(zhǎng)為6，點(diǎn)E在對(duì)角線BD上且tan∠EAC=，則BE的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和分兩種情況進(jìn)行解答即可．【解答】解：當(dāng)點(diǎn)E在對(duì)角線交點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖1所示：16.（2017四川南充）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長(zhǎng)分別為a和b，正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正確結(jié)論是（填序號(hào)）【分析】由四邊形ABCD與四邊形EFGC都為正方形，得到四條邊相等，四個(gè)角為直角，利用SAS得到三角形BCE與三角形DCG全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得到BE=DG，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到∠1=∠2，利用等角的余角相等及直角的定義得到∠BOD為直角，利用勾股定理求出所求式子的值即可．∵∠1+∠4=∠3+∠1=90°，∴∠2+∠3=90°，∴∠BOC=90°，∴BE⊥DG；故①②正確；連接BD，EG，如圖所示，∴DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2，EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=b2，則BG2+DE2=DO2+BO2+EO2+OG2=2a2+b2，故③正確．故答案為：①②③．學(xué)科&網(wǎng)三、解答題（共46分）.17.（2018?徐州）已知四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，給出下列四個(gè)論斷：①OA=OC，②AB=CD，③∠BAD=∠DCB，④AD∥BC．請(qǐng)你從中選擇兩個(gè)論斷作為條件，以“四邊形ABCD為平行四邊形”作為結(jié)論，完成下列各題：①構(gòu)造一個(gè)真命題，畫圖并給出證明；②構(gòu)造一個(gè)假命題，舉反例加以說明．【分析】如果①②結(jié)合，那么這些線段所在的兩個(gè)三角形是SSA，不一定全等，那么就不能得到相等的對(duì)邊平行；如果②③結(jié)合，和①②結(jié)合的情況相同；如果①④結(jié)合，由對(duì)邊平行可得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，那么AD，BC所在的三角形全等，也得到平行的對(duì)邊也相等，那么是平行四邊形；最易舉出反例的是②④，它有可能是等腰梯形．18.（2018?濱州）已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)．（1）如圖①，若點(diǎn)E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF，求證：BE=AF；（2）若點(diǎn)E、F分別為AB、CA延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且DE⊥DF，那么BE=AF嗎？請(qǐng)利用圖②說明理由．【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得出AD=BD、∠EBD=∠FAD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△BDE≌△ADF（ASA），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證出BE=AF；（2）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及等角的補(bǔ)角相等可得出∠EBD=∠FAD、BD=AD，根據(jù)同角的余角相等可得出∠BDE=∠ADF，由此即可證出△EDB≌△FDA（ASA），再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出BE=AF．（2）BE=AF，證明如下：連接AD，如圖②所示．∵∠ABD=∠BAD=45°，∴∠EBD=∠FAD=135°．∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，∴∠EDB=∠FDA．在△EDB和△FDA中，，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE=AF．19.（2018?無錫）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，4）．（1）請(qǐng)用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)作一條直線AC，它與x軸和y軸的正半軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)C，且使∠ABC=90°，△ABC與△AOC的面積相等．（作圖不必寫作法，但要保留作圖痕跡．）（2）問：（1）中這樣的直線AC是否唯一？若唯一，請(qǐng)說明理由；若不唯一，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出所有這樣的直線AC，并寫出與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．【分析】（1）①作線段OB的垂直平分線AC，滿足條件，②作矩形OA′BC′，直線A′C′，滿足條件；（2）分兩種情形分別求解即可解決問題；【解答】（1）解：如圖△ABC即為所求；20.（2017齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，把矩形OABC沿對(duì)角線AC所在直線折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)D處，DC與y軸相交于點(diǎn)E，矩形OABC的邊OC，OA的長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣12x+32=0的兩個(gè)根，且OA＞OC．（1）求線段OA，OC的長(zhǎng)；（2）求證：△ADE≌△COE，并求出線段OE的長(zhǎng)；（3）直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（4）若F是直線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)E，C，P，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）解方程即可得到結(jié)論；（2）由四邊形ABCO是矩形，得到AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，根據(jù)全等三角形的判定得到△ADE≌△COE；根據(jù)勾股定