數(shù)學八年級下冊專題17.1 勾股定理-重難點題型（人教版）（教師版）

專題17.1勾股定理-重難點題型【人教版】【知識點1勾股定理】在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=【題型1勾股定理的認識】【例1】（2021春?路南區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°．（1）已知a：b＝3：4，c＝10，則a＝，b＝；（2）已知a＝6，b＝8，則斜邊c上的高h＝．【分析】（1）設(shè)a＝3k，則b＝4k，由勾股定理求出c＝5k，再根據(jù)c＝10求出k的值，進而得到a與b的值；（2）首先根據(jù)勾股定理求得斜邊c＝10；然后由面積法來求斜邊上的高線．【解答】解：（1）設(shè)a＝3k，則b＝4k，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴c=a2+∵c＝10，∴5k＝10，解得k＝2，∴a＝3×2＝6，b＝4×2＝8；（2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝6，b＝8，∴c=a設(shè)斜邊上的高為h，則12ab=1∴h=ab故答案是：6，8；4.8．【點評】本題考查了勾股定理的運用，直角三角形面積的求法，需同學們靈活掌握．注意：（1）中可根據(jù)勾股定理求出已知邊所占的份數(shù)，進一步求解；（2）中掌握直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．【變式1-1】（2020秋?本溪期末）在Rt△ABC中，斜邊AB＝3，則AB2+BC2+CA2＝．【分析】由三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理得到斜邊的平方等于兩直角邊的平方和，根據(jù)斜邊AB的長，可得出兩直角邊的平方和，然后將所求式子的后兩項結(jié)合，將各自的值代入即可求出值．【解答】解：∵△ABC為直角三角形，AB為斜邊，∴AC2+BC2＝AB2，又AB＝3，∴AC2+BC2＝AB2＝9，則AB2+BC2+CA2＝AB2+（BC2+CA2）＝9+9＝18．故答案為：18【點評】此題考查了勾股定理，是一道基本題型．熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2021春?廣州期中）在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，則下列式子成立的是（）A．AC2+AB2＝BC2 B．AB2+BC2＝AC2 C．AC2﹣BC2＝AB2 D．AC2+BC2＝AB2【分析】根據(jù)在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，可以得到∠C的度數(shù)，然后根據(jù)勾股定理，即可判斷各個選項中的說法是否正確．【解答】解：在△ABC中，∠A＝25°，∠B＝65°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，∴AC2+BC2＝AB2，故選項D正確，選項A、B、C錯誤，故選：D．【點評】本題考查勾股定理、三角形內(nèi)角和，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的知識解答．【變式1-3】（2020春?靈山縣期末）在直角三角形ABC中，∠C＝90°，兩直角邊長及斜邊上的高分別為a，b，h，則下列關(guān)系式成立的是（）A．2a2+2C．h2＝ab D．h2＝a2+b2【分析】設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理得出c=a【解答】解：設(shè)斜邊為c，根據(jù)勾股定理得出c=a∵12ab=1∴ab=a2+b2?h，即a2b2＝a2h2+∴a2即1a故選：B．【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．【題型2利用勾股定理解勾股樹問題】【例2】（2020秋?惠來縣期末）如圖，由兩個直角三角形和三個大正方形組成的圖形，其中陰影部分面積是（）A．16 B．25 C．144 D．169【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：根據(jù)勾股定理得出：AB=A∴EF＝AB＝5，∴陰影部分面積是25，故選：B．【點評】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2解答．【變式2-1】（2021春?海淀區(qū)校級月考）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為8cm，則圖中所有正方形的面積的和是（）A．64cm2 B．81cm2 C．128cm2 D．192cm2【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運用勾股定理，利用四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積進而求出即可．【解答】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四邊形都是正方形，∴正方形A的面積＝a2，正方形B的面積＝b2，正方形C的面積＝c2，正方形D的面積＝d2，又∵a2+b2＝x2，c2+d2＝y(tǒng)2，∴正方形A、B、C、D的面積和＝（a2+b2）+（c2+d2）＝x2+y2＝82＝64（cm2），則所有正方形的面積的和是：64×3＝192（cm2）．故選：D．【點評】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出正方形之間面積關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式2-2】（2021春?漢陽區(qū)期中）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為6，10，4，6，則最大正方形E的面積是（）A．94 B．26 C．22 D．16【分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛，B，C，D的面積和即為最大正方形的面積．【解答】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2＝S3，即S3＝6+10+4+6＝26．故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用．能夠發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C，D的邊長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A，B，C，D的面積和即是最大正方形的面積．【變式2-3】（2021春?天津期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC，BC，AB為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，S3，若S3＝9π，則S1+S2等于．【分析】根據(jù)勾股定理和圓的面積公式，可以得到S1+S2的值，從而可以解答本題．【解答】解：∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∵S1＝π（AC2）2×12，S2＝π（BC2）2×12，S3＝π∴S1+S2＝π（AC2）2×12+π（BC2）2×12=π∵S3＝9π，∴S1+S2＝9π，故答案為：9π．【點評】本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【題型3利用勾股定理求線段長度】【例3】（2020秋?新吳區(qū)期中）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC邊上的高AH＝8，則BC的長是（）A．21 B．15 C．6 D．21或9【分析】高線AH可能在三角形的內(nèi)部也可能在三角形的外部，本題應(yīng)分兩種情況進行討論．分別依據(jù)勾股定理即可求解．【解答】解：如圖所示，在Rt△ABH中，∵AB＝17，AH＝8，∴BH=1在Rt△ACH中，∵AC＝10，AH＝8，∴CH=1∴當AH在三角形的內(nèi)部時，如圖1，BC＝15+6＝21；當AH在三角形的外部時，如圖2，BC＝15﹣6＝9．∴BC的長是21或9．故選：D．【點評】本題考查的是勾股定理，在解答此題時要進行分類討論，不要漏解．【變式3-1】（2021春?慶云縣月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25cm，AC＝15cm，CH⊥AB垂足為H，CH＝．【分析】利用勾股定理得出BC的長，再利用三角形面積求法得出HC的長．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，根據(jù)勾股定理可得：BC=A∵Rt△ABC的面積=12×BC×AC=1∴20×15＝25×CH，解得，CH＝12（cm）．答案為12cm．【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．【變式3-2】（2021春?天津期中）如圖，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝9，BC＝12，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，則BE的長為．【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可以得到AE＝BE，再根據(jù)勾股定理，即可求得BE的長．【解答】解：連接AE，∵ED是AB的垂直平分線，∴AE＝BE，設(shè)AE＝BE＝x，∵AC＝9，BC＝12，∴CE＝12﹣x，∵∠ACE＝90°，∴AC2+CE2＝AE2，即92+（12﹣x）2＝x2，解得x=75故答案為：758【點評】本題考查勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式3-3】（2020秋?上海期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD＝．【分析】根據(jù)勾股定理求出CD，再根據(jù)勾股定理用BD表示出BC，根據(jù)題意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：在Rt△ACD中，CD=AC2在Rt△BCD中，BC=C在Rt△ABC中，BC=A∴27+BD解得，BD＝9，故答案為：9．【點評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．【題型4利用勾股定理求面積】【例4】（2020秋?青羊區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，AD為∠BAC的角平分線，則三角形ADC的面積為（）A．3 B．10 C．12 D．15【分析】作DH⊥AC于H，如圖，先根據(jù)勾股定理計算出AC＝10，再利用角平分線的性質(zhì)得到DB＝DH，進行利用面積法得到12×AB×CD=12DH×AC，則可求出DH，然后根據(jù)三角形面積公式計算【解答】解：作DH⊥AC于H，如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC=6∵AD為∠BAC的角平分線，∴DB＝DH，∵12×AB×CD=12∴6（8﹣DH）＝10DH，解得DH＝3，∴S△ADC=1故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．也考查了角平分線的性質(zhì)．【變式4-1】（2020秋?肥西縣期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D．若BC＝3，且BD：DC＝5：4，AB＝5，則△ABD的面積是．【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可以得到DE＝DC，然后根據(jù)BC＝3，且BD：DC＝5：4，可以得到DC的長，從而可以得到DE的長，再根據(jù)AB的長，即可計算出△ABD的面積．【解答】解：作DE⊥AB于點E，∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，∴DC＝DE，∵BC＝3，且BD：DC＝5：4，∴DC＝3×4∴DE=4∵AB＝5，DE⊥AB，∴△ABD的面積是：AB?DE2故答案為：103【點評】本題考查勾股定理、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出DE的長，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【變式4-2】（2020秋?錦江區(qū)校級期中）已知△ABC中，AB＝17，BC＝21，CA＝10，求BC邊上的高及△ABC的面積、【分析】作AD⊥BC于D，設(shè)CD＝x，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出x，根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解答】解：作AD⊥BC于D，設(shè)CD＝x，則BD＝21﹣x，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，∴AC2﹣CD2＝AB2﹣BD2，即102﹣x2＝172﹣（21﹣x）2，解得，x＝6，即CD＝6，則AD=A△ABC的面積=12×BC×【點評】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．【變式4-3】（2020秋?中原區(qū)校級月考）如圖所示，在△ABC中，點D是BC上的一點，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD=52，則△A．18 B．36 C．72 D．125【分析】先作輔助線，AE⊥CD于點E，CF⊥AD于點F，然后根據(jù)勾股定理，可以得到CF的長，再根據(jù)等積法可以得到AE的長，然后即可計算出△ABC的面積．【解答】解：作AE⊥CD于點E，作CF⊥AD于點F，∵AC＝CD＝5，AD＝6，CF⊥AD，∴AF＝3，∠AFC＝90°，∴CF=A∵CD?AE2∴5AE2解得．AE=24∵BD=52，∴BC=15∴△ABC的面積是：BC?AE2故選：A．【點評】本題考查勾股定理、等腰三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．【知識點2勾股定理的驗證】勾股定理的驗證主要通過拼圖法完成，這種方法是以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想，圖形拼補為手段，各部分面積之間的關(guān)系為依據(jù)來實現(xiàn)的．用面積方法證明勾股定理是最常見的一種方法.【題型5勾股定理的驗證】【例1】（2021春?海淀區(qū)校級期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學定理之一，這是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．【分析】先表示出圖形中各個部分的面積，再判斷即可．【解答】解：A、∵12ab+12c2+12ab=12（a∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；B、∵4×12ab+c2＝（a+b）∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；C、∵4×12ab+（b﹣a）2＝c∴整理得：a2+b2＝c2，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；D、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查了勾股定理的證明，能根據(jù)圖形中各個部分的面積列出等式是解此題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2020秋?中牟縣期中）1876年，美國總統(tǒng)伽菲爾德利用如圖所示的方法驗證了勾股定理，其中兩個全等的直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，證明中用到的面積相等關(guān)系是（）A．S△EDA＝S△CEB B．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD C．S△EDA+S△CEB＝S△CDE D．S四邊形AECD＝S四邊形DEBC【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個圖形的面積，從而證明勾股定理．【解答】解：根據(jù)勾股定理可得：S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四邊形ABCD．故選：B．【點評】本題考查了勾股定理的證明依據(jù)．此類證明要轉(zhuǎn)化成該圖形面積的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成方程達到證明的結(jié)果．【變式5-2】（2020秋?倉山區(qū)校級期末）在學習勾股定理時，我們學會運用圖（Ⅰ）驗證它的正確性．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×12ab，即（a+b）2＝c2+4×12ab．由此推出勾股定理a2+b2（1）請你用圖（Ⅱ）的面積表達式驗證勾股定理（其中四個全等的直角三角形圍成一個大正方形ABCD，中間的部分是一個小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）；（2）請你用圖（Ⅲ）提供的圖形進行組合，用組合圖形的面積表達式驗證：（x+y）2＝x2+2xy+y2．【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積﹣小正方形的面積＝4個直角三角形的面積，即可證明；（2）可以拼成一個邊長是x+y的正方形，它由兩個邊長分別是x、y的正方形和兩個長、寬分別是x、y的長方形組成；【解答】解：（1）大正方形的面積為：c2，中間小正方形面積為：（b﹣a）2；四個直角三角形面積和為：4×12由圖形關(guān)系可知：大正方形面積＝小正方形面積+四直角三角形面積，即有：c2＝（b﹣a）2+4×12ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b（2）如圖示：大正方形邊長為（x+y）所以面積為：（x+y）2，它的面積也等于兩個邊長分別為x，y和兩個長為x寬為y的矩形面積之和，即x2+2xy+y2所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立；【點評】此題考查勾股定理問題，注意熟練掌握通過不同的方法計算同一個圖形的面積來證明一些公式的方法．【變式5-3】（2020春?包河區(qū)校級期中）教材在探索平方差公式時利用了面積法，面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導(dǎo)或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c），也可以表示為4×12ab+（a﹣b）2，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理．（2）如圖③，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，設(shè)BD＝x，求x的值．（3）試構(gòu)造一個圖形，使它的面積能夠解釋（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，畫在如圖4的網(wǎng)格中，并標出字母a，b所表示的線段．【分析】（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡即可得證；（2）運用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；（3）畫出邊長為a+b和a+2b的矩形即可．【解答】解：（1）梯形ABCD的面積為12也可以表示為12ab+1即a2+b2＝c2；（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得x=9（3）如圖，由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【點評】此題主要考查了勾股定理的證明與應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)定理是解答此題的關(guān)鍵．【知識點3勾股定理的應(yīng)用】（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．

（2）在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．【題型6勾股定理的應(yīng)用】【例6】（2021春?涪城區(qū)校級期中）如圖，有一直立標桿，它的上部被風從B處吹折，桿頂C著地，離桿腳2m，修好后又被風吹折，因新斷處D比前一次低0.5m，故桿頂E著地比前次遠1m，求原標桿的高度．【分析】由題中條件，可設(shè)原標桿AB的高為x，進而再依據(jù)勾股定理建立平衡方程，進而求解即可．【解答】解：依題意得AC＝2，AE＝3，設(shè)原標桿的高為x，∵∠A＝90°，∴由題中條件可得AB2+AC2＝BC2，即AB2+22＝（x﹣AB）2，整理，得x2﹣2ABx＝4，同理，得（AB﹣0.5）2+32＝（x﹣AB+0.5）2，整理，得x2﹣2ABx+x＝9，解得x＝5．∴原來標桿的高度為5米．【點評】本題主要考查了簡單的勾股定理的應(yīng)用問題，能夠熟練掌握．【變式6-1】（2021春?永定區(qū)期中）如圖，木工師傅將一根長2.5米的梯子（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，這時梯足B到墻底端O的距離是0.7米，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4米到點A′時，梯足將外移多少米？【分析】在直角△ABO中，已知AB，BO可以求AO，在△A′OB′中，再利用勾股定理計算出B′O的長，進而可得BB′的長．【解答】解：在直角△ABO中，AB為斜邊，已知AB＝2.5米，BO＝0.7米，則根據(jù)勾股定理求得AO=A∵A點下移0.4米，∴A′O＝2米，在Rt△A′OB′中，已知A′B′＝2.5米，A′O＝2米，則根據(jù)勾股定理B′O=A'B∴BB′＝OB′﹣BO＝1.5﹣0.7＝0.8（米），所以梯子向外平移0.8米．【點評】本題考查了勾股定理在實際生活中的應(yīng)用，考查了勾股定理的靈活運用，本題中找到AB＝A′B′的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2020秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖是某“飛越叢林”俱樂部