小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)

第六章小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)§6.1小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)概述6.1.1小學(xué)數(shù)學(xué)概念（一）什么是數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)概念是客觀現(xiàn)實(shí)中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)屬性在人腦中中的反映。數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式。在數(shù)學(xué)中，客觀事物的顏色、材料、氣味等方面的屬性都被看作非本質(zhì)屬性而被舍棄，只保留它們?cè)谛螤?、大小、位置及?shù)量關(guān)系等方面的共同屬性。在數(shù)學(xué)科學(xué)中，數(shù)學(xué)概念的含義都要給出精確的規(guī)定，因而數(shù)學(xué)概念比一般概念更準(zhǔn)確。小學(xué)數(shù)學(xué)中有很多概念，包括：數(shù)的概念、運(yùn)算的概念、量與計(jì)量的概念、幾何形體的概念、比和比例的概念、方程的概念，以及統(tǒng)計(jì)初步知識(shí)的有關(guān)概念等。這些概念是構(gòu)成小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要內(nèi)容，它們是互相聯(lián)系著的。如只有明確牢固地掌握數(shù)的概念，才能理解運(yùn)算概念，而運(yùn)算概念的掌握，又能促進(jìn)數(shù)的整除性概念的形成。（二）小學(xué)數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的概念，根據(jù)小學(xué)生的接受能力，表現(xiàn)形式各不相同，其中描述式和定義式是最主要的兩種表示方式。1．定義式定義式是用簡(jiǎn)明而完整的語(yǔ)言揭示概念的內(nèi)涵或外延的方法，具體的做法是用原有的概念說(shuō)明要定義的新概念。這些定義式的概念抓住了一類(lèi)事物的本質(zhì)特征，揭示的是一類(lèi)事物的本質(zhì)屬性。這樣的概念，是在對(duì)大量的探究材料的分析、綜合、比較、分類(lèi)中，使之從直觀到表象、繼而上升為理性的認(rèn)識(shí)。如“有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知數(shù)的等式叫方程”等等。這樣定義的概念，條件和結(jié)論十分明顯，便于學(xué)生一下子抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。2．描述式用一些生動(dòng)、具體的語(yǔ)言對(duì)概念進(jìn)行描述，叫做描述式。這種方法與定義式不同，描述式概念，一般借助于學(xué)生通過(guò)感知所建立的表象，選取有代表性的特例做參照物而建立。如：“我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的1、2、3、4、5……叫自然數(shù)”；“象1.25、0.726、0.005等都是小數(shù)”等。這樣的概念將隨著兒童知識(shí)的增多和認(rèn)識(shí)的深化而日趨完善，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中一般用于以下兩種情況。一種是對(duì)數(shù)學(xué)中的點(diǎn)、線、體、集合等原始概念都用描述法加以說(shuō)明。例如，“直線”這一概念，教材是這樣描述的：拿一條直線，把它拉緊，就成了一條直線?！捌矫妗本陀谩罢n桌面”、“黑板面”、“湖面”來(lái)說(shuō)明。另一種是對(duì)于一些較難理解的概念，如果用簡(jiǎn)練、概括的定義出現(xiàn)不易被小學(xué)生理解，就改用描述式。例如，對(duì)直圓柱和直圓錐的認(rèn)識(shí)，由于小學(xué)生還缺乏運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)，不能像中學(xué)生那樣用旋轉(zhuǎn)體來(lái)定義，因此只能通過(guò)實(shí)物形象地描述了它們的特征，并沒(méi)有以定義的形式揭示它們的本質(zhì)屬性。學(xué)生在觀察、擺拼中，認(rèn)識(shí)到圓柱體的特征是上下兩個(gè)底面是相等的圓，側(cè)面展開(kāi)的形狀是長(zhǎng)方形。一般來(lái)說(shuō)，在數(shù)學(xué)教材中，小學(xué)低年級(jí)的概念采用描述式較多，隨著小學(xué)生思維能力的逐步發(fā)展，中年級(jí)逐步采用定義式，不過(guò)有些定義只是初步的，是有待發(fā)展的。在整個(gè)小學(xué)階段，由于數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生思維的形象性的矛盾，大部分概念沒(méi)有下嚴(yán)格的定義；而是從學(xué)生所了解的實(shí)際事例或已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，盡可能通過(guò)直觀的具體形象，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)屬性。對(duì)于不容易理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來(lái)解決。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)出兩大特點(diǎn)：一是數(shù)學(xué)概念的直觀性；二是數(shù)學(xué)概念的階段性。在進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)時(shí)，我們必須注意充分領(lǐng)會(huì)教材的這兩個(gè)特點(diǎn)。6.1.2小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義首先，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分。小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)包括：概念、定律、性質(zhì)、法則、公式等，其中數(shù)學(xué)概念不僅是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分，而且是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)的過(guò)程，實(shí)際上就是掌握概念并運(yùn)用概念進(jìn)行判斷、推理的過(guò)程。數(shù)學(xué)中的法則都是建立在一系列概念的基礎(chǔ)上的。事實(shí)證明，如果學(xué)生有了正確、清晰、完整的數(shù)學(xué)概念，就有助于掌握基礎(chǔ)知識(shí)，提高運(yùn)算和解題技能。相反，如果一個(gè)學(xué)生概念不清，就無(wú)法掌握定律、法則和公式。例如，整數(shù)百以?xún)?nèi)的筆算加法法則為：“相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起，個(gè)位滿(mǎn)十，就向十位進(jìn)一?！币箤W(xué)生理解掌握這個(gè)法則，必須事先使他們弄清“數(shù)位”、“個(gè)位”、“十位”、“個(gè)位以感性材料為基礎(chǔ)引入新概念，是用概念形成的方式去進(jìn)行教學(xué)的，因此教學(xué)中應(yīng)選擇那些能充分顯示被引入概念的特征性質(zhì)的事例，正確引導(dǎo)學(xué)生去進(jìn)行觀察和分析，這樣才能使學(xué)生從事例中歸納和概括出共同的本質(zhì)屬性，形成概念。2、以新、舊概念之間的關(guān)系引入新概念。如果新、舊概念之間存在某種關(guān)系，如相容關(guān)系、不相容關(guān)系等，那么新概念的引入就可以充分地利用這種關(guān)系去進(jìn)行。例如，學(xué)習(xí)“乘法意義”時(shí)，可以從“加法意義”來(lái)引入。又如，學(xué)習(xí)“整除”概念時(shí)，可以從“除法”中的“除盡”來(lái)引入。又如，學(xué)習(xí)“質(zhì)因數(shù)”可以從“因數(shù)”和“質(zhì)數(shù)”這兩個(gè)概念引入。再如，在學(xué)習(xí)質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念時(shí)，可用約數(shù)概念引入：“請(qǐng)同學(xué)們寫(xiě)出數(shù)1，2，6，7，8，12，11，15的所有約數(shù)。它們各有幾個(gè)約數(shù)？你能給出一個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，把這些數(shù)進(jìn)行分類(lèi)嗎？你能找出多種分類(lèi)方法嗎？你找出的所有分類(lèi)方法中，哪一種分類(lèi)方法是最新的分類(lèi)方法？”3、以“問(wèn)題”的形式引入新概念。以“問(wèn)題”的形式引入新概念，這也是概念教學(xué)中常用的方法。一般來(lái)說(shuō)，用“問(wèn)題”引入概念的途徑有兩條：①?gòu)默F(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題引入數(shù)學(xué)概念；②從數(shù)學(xué)問(wèn)題或理論本身的發(fā)展需要引入概念。例如，在學(xué)習(xí)“平均數(shù)”時(shí)，教師可以先向?qū)W生呈現(xiàn)一個(gè)“幼兒園小朋友爭(zhēng)拿糖果”的生活情境，讓學(xué)生思考，為什么有的小朋友很高興，有的小朋友很不高興？應(yīng)該怎樣做才能使大家都高興？接下來(lái)應(yīng)該怎么做？這個(gè)幼兒園的老師可能會(huì)怎么做？4、從概念的發(fā)生過(guò)程引入新概念。數(shù)學(xué)中有些概念是用發(fā)生式定義的，在進(jìn)行這類(lèi)概念的教學(xué)時(shí)，可以采用演示活動(dòng)的直觀教具或演示畫(huà)圖說(shuō)明的方法去揭示事物的發(fā)生過(guò)程。例如，小數(shù)、分?jǐn)?shù)等概念都可以這樣引入。這種方法生動(dòng)直觀，體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)和思想，同時(shí)，引入的過(guò)程又自然地、無(wú)可辯駁地闡明了這一概念的客觀存在性。（二）數(shù)學(xué)概念的形成引入概念，僅是概念教學(xué)的第一步，要使學(xué)生獲得概念，還必須引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確地理解概念，明確概念的內(nèi)涵與外延，正確表述概念的本質(zhì)屬性。為此，教學(xué)中可采用一些具有針對(duì)性的方法。1、對(duì)比與類(lèi)比。對(duì)比概念，可以找出概念間的差異，類(lèi)比概念，可以發(fā)現(xiàn)概念間的相同或相似之處。例如，學(xué)習(xí)“整除”概念時(shí)，可以與“除法”中的“除盡”概念進(jìn)行對(duì)比，去比較發(fā)現(xiàn)兩者的不同點(diǎn)。用對(duì)比或類(lèi)比講述新概念，一定要突出新、舊概念的差異，明確新概念的內(nèi)涵，防止舊概念對(duì)學(xué)習(xí)新概念產(chǎn)生的負(fù)遷移作用的影響。2、恰當(dāng)運(yùn)用反例。概念教學(xué)中，除了從正面去揭示概念的內(nèi)涵外，還應(yīng)考慮運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆蠢ネ怀龈拍畹谋举|(zhì)屬性，尤其是讓學(xué)生通過(guò)對(duì)比正例與反例的差異，對(duì)自己出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行反思，更利于強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)屬性的理解。用反例去突出概念的本質(zhì)屬性，實(shí)質(zhì)是使學(xué)生明確概念的外延從而加深對(duì)概念內(nèi)涵的理解。凡具有概念所反映的本質(zhì)屬性的對(duì)象必屬于該概念的外延集，而反例的構(gòu)造，就是讓學(xué)生找出不屬于概念外延集的對(duì)象，顯然，這是概念教學(xué)中的一種重要手段。但必須注意，所選的反例應(yīng)當(dāng)恰當(dāng)，防止過(guò)難、過(guò)偏，造成學(xué)生的注意力分散，而達(dá)不到突出概念本質(zhì)屬性的目的。3、合理運(yùn)用變式。依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本質(zhì)屬性具有較明顯的突出特征，容易形成干擾的信息，而削弱學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)屬性的正確理解。因此，在教學(xué)中應(yīng)注意運(yùn)用變式，從不同角度、不同方面去反映和刻畫(huà)概念的本質(zhì)屬性。一般來(lái)說(shuō)，變式包括圖形變式、式子變式和字母變式等。例如，講授“等腰三角形”概念，教師除了用常見(jiàn)的圖形(圖6-1(1))展示外，還應(yīng)采用變式圖形(圖6-1(2)、(3)、(4))去強(qiáng)化這一概念，因?yàn)槔玫妊切蔚男再|(zhì)去解題時(shí)，所遇見(jiàn)的圖形往往是后面幾種情形。圖6圖6—1（三）數(shù)學(xué)概念的鞏固為了使學(xué)生牢固地掌握所學(xué)的概念，還必須有概念的鞏固和應(yīng)用過(guò)程。教學(xué)中應(yīng)注意如下幾個(gè)方面。1、注意及時(shí)復(fù)習(xí)概念的鞏固是在對(duì)概念的理解和應(yīng)用中去完成和實(shí)現(xiàn)的，同時(shí)還必須及時(shí)復(fù)習(xí)，鞏固離不開(kāi)必要的復(fù)習(xí)。復(fù)習(xí)的方式可以是對(duì)個(gè)別概念進(jìn)行復(fù)述，也可以通過(guò)解決問(wèn)題去復(fù)習(xí)概念，而更多地則是在概念體系中去復(fù)習(xí)概念。當(dāng)概念教學(xué)到一定階段時(shí)，特別是在章節(jié)末復(fù)習(xí)、期末復(fù)習(xí)和畢業(yè)總復(fù)習(xí)時(shí)，要重視對(duì)所學(xué)概念的整理和系統(tǒng)化，從縱向和橫向找出各概念之間的關(guān)系，形成概念體系。2、重視應(yīng)用在概念教學(xué)中，既要引導(dǎo)學(xué)生由具體到抽象，形成概念，又要讓學(xué)生由抽象到具體，運(yùn)用概念，學(xué)生是否牢固地掌握了某個(gè)概念，不僅在于能否說(shuō)出這個(gè)概念的名稱(chēng)和背誦概念的定義，而且還在于能否正確靈活地應(yīng)用，通過(guò)應(yīng)用可以加深理解，增強(qiáng)記憶，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。概念的應(yīng)用可以從概念的內(nèi)涵和外延兩方面進(jìn)行。（1）概念內(nèi)涵的應(yīng)用 ①?gòu)?fù)述概念的定義或根據(jù)定義填空。②根據(jù)定義判斷是非或改錯(cuò)。③根據(jù)定義推理。④根據(jù)定義計(jì)算。例4（1）什么叫互質(zhì)數(shù)？答：是互質(zhì)數(shù)。（2）判斷題：27和20是互質(zhì)數(shù)（

）34與85是互質(zhì)數(shù)（

）

有公約數(shù)1的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)（

）

兩個(gè)合數(shù)一定不是互質(zhì)數(shù)（

）（3）鈍角三角形的一個(gè)角是82o，另兩個(gè)角的度數(shù)是互質(zhì)數(shù)，這兩個(gè)角可能是多少度？（4）如果P是質(zhì)數(shù)，那么比P小的自然數(shù)都與P互質(zhì)。這句話對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由？2．概念外延的應(yīng)用（1）舉例（2）辨認(rèn)肯定例證或否定例證。并說(shuō)明理由。（3）按指定的條件從概念的外延中選擇事例。（4）將概念按不同標(biāo)準(zhǔn)分類(lèi)。例5（1）列舉你所見(jiàn)到過(guò)的圓柱形物體。（2）下列圖形中的陰影部分，哪些是扇形？（圖6－2）圖6圖6—2（3）分母是9的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)有＿分子是9的假分?jǐn)?shù)中，最小的一個(gè)是

（4）將自然數(shù)2－19按不同標(biāo)準(zhǔn)分成兩類(lèi)（至少提出3種不同的分法）概念的應(yīng)用可分為簡(jiǎn)單應(yīng)用和綜合應(yīng)用，在初步形成某一新概念后通過(guò)簡(jiǎn)單應(yīng)用可以促進(jìn)對(duì)新概念的理解，綜合應(yīng)用一般在學(xué)習(xí)了一系列概念后，把這些概念結(jié)合起來(lái)加以應(yīng)用，這種練習(xí)可以培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力。(三)注意辨析隨著學(xué)習(xí)的深入，學(xué)生掌握的概念不斷增多，有些概念的文字表述相同，有些概念內(nèi)涵相近，使得學(xué)生容易產(chǎn)生混淆，如質(zhì)數(shù)與互質(zhì)數(shù)，整除與除盡，體積與容積等等。因此在概念的鞏固階段，要注意組織學(xué)生運(yùn)用對(duì)比的方法，弄清易混淆概念的區(qū)別和聯(lián)系，以促使概念的精確分化。例6關(guān)于面積和周長(zhǎng)，可組織學(xué)生從下列幾個(gè)方面進(jìn)行對(duì)見(jiàn)(1)什么叫做長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)？什么叫做長(zhǎng)方形的面積？（2）周長(zhǎng)和面積常用的計(jì)量單位分別有哪些？（3）在圖6—3中，A，B兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等嗎？面積相等嗎？圖6—圖6—4圖6—3（4）圖6—4中的每一小方格代表一平方厘米，這個(gè)圖的面積是，周長(zhǎng)是，剪一刀，然后將它拼成一個(gè)正方形，這個(gè)正方形的周長(zhǎng)是，面積是。數(shù)學(xué)概念是用詞或詞組來(lái)表達(dá)的，但有些詞語(yǔ)受日常用語(yǔ)的影響，會(huì)給學(xué)生造成認(rèn)識(shí)和理解上的錯(cuò)覺(jué)和障礙。如幾何知識(shí)中的高”、“底”、“腰”等概念，從字面上容易使學(xué)生產(chǎn)生“鉛垂方向”與“下方”、“兩側(cè)”的錯(cuò)覺(jué)。而“倒數(shù)”則強(qiáng)化了分子與分母顛倒位置的直觀認(rèn)識(shí)，弱化了“兩個(gè)數(shù)的乘積等于1”的本質(zhì)屬性，因此在教學(xué)時(shí)，要幫助學(xué)生分清一些詞的日常意義和專(zhuān)門(mén)的數(shù)學(xué)意義，正確地理解表示概念的詞語(yǔ)，從而準(zhǔn)確地掌握概念。（二）小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題1、把握概念教學(xué)的目標(biāo)，處理好概念教學(xué)的發(fā)展性與階段性之間的矛盾。概念本身有自己嚴(yán)密的邏輯體系。在一定條件下，一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延是固定不變的，這是概念的確定性。由于客觀事物的不斷發(fā)展和變化，同時(shí)也由于人們認(rèn)識(shí)的不斷深化，因此，作為人們反映客觀事物本質(zhì)屬性的概念，也是在不斷發(fā)展和變化的。但是，在小學(xué)階段的概念教學(xué)，考慮到小學(xué)生的接受能力，往往是分階段進(jìn)行的。如對(duì)“數(shù)”這個(gè)概念來(lái)說(shuō)，在不同的階段有不同的要求。開(kāi)始只是認(rèn)識(shí)1、2、3、……，以后逐漸認(rèn)識(shí)了零，隨著學(xué)生年齡的增大，又引進(jìn)了分?jǐn)?shù)(小數(shù))，以后又逐漸引進(jìn)正、負(fù)數(shù)，有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，把數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的范圍等。又如，對(duì)“0”的認(rèn)識(shí)，開(kāi)始時(shí)只知道它表示沒(méi)有，然后知道又可以表示該數(shù)位上一個(gè)單位也沒(méi)有，還知道“0”可以表示界限等。因此，數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)性和發(fā)展性與概念教學(xué)的階段性成了教學(xué)中需要解決的一對(duì)矛盾。解決這一矛盾的關(guān)鍵是要切實(shí)把握概念教學(xué)的階段性目標(biāo)。為了加強(qiáng)概念教學(xué)，教師必須認(rèn)真鉆研教材，掌握小學(xué)數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)，摸清概念發(fā)展的脈絡(luò)。概念是逐步發(fā)展的，而且諸概念之間是互相聯(lián)系的。不同的概念具體要求會(huì)有所不同，即使同一概念在不同的學(xué)習(xí)階段要求也有差別。有許多概念的含義是逐步發(fā)展的，一般先用描述方法給出，以后再下定義。例如，對(duì)分?jǐn)?shù)意義理解的三次飛躍。第一次是在學(xué)習(xí)小數(shù)以前，就讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，“像上面講的、、、、、等，都是分?jǐn)?shù)?！蓖ㄟ^(guò)大量感性直觀的認(rèn)識(shí)，結(jié)合具體事物描述什么樣的是分?jǐn)?shù)，初步理解分?jǐn)?shù)是平均分得到的，理解誰(shuí)是誰(shuí)的幾分之幾。第二次飛躍是由具體到抽象，把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。從具體事物中抽象出來(lái)。然后概括分?jǐn)?shù)的定義，這只是描述性地給出了分?jǐn)?shù)的概念。這是感性的飛躍。第三次飛躍是對(duì)單位“1”的理解與擴(kuò)展，單位“1”不僅可以表示一個(gè)物體、一個(gè)圖形、一個(gè)計(jì)量單位，還可以是一個(gè)群體等，最后抽象出，分誰(shuí)，誰(shuí)就是單位“1”，這樣單位“1”與自然數(shù)“1”的區(qū)別就更加明確了。這樣三個(gè)層次不是一蹴而就的，要展現(xiàn)知識(shí)的發(fā)展過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生在知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過(guò)程中去理解分?jǐn)?shù)。再如長(zhǎng)方體和立方體的認(rèn)識(shí)在許多教材中是分成兩個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)的。在低年級(jí)，先出現(xiàn)長(zhǎng)方體和立方體的初步認(rèn)識(shí)，通過(guò)讓學(xué)生觀察一些實(shí)物及實(shí)物圖，如裝墨水瓶的紙盒、魔方等。積累一些有關(guān)長(zhǎng)方體和立方體的感性認(rèn)識(shí)，知道它們各是什么形狀，知道這些形狀的名稱(chēng)。然后，通過(guò)操作、觀察，了解長(zhǎng)方體和立方體各有幾個(gè)面，每個(gè)面是什么形狀，進(jìn)一步加深對(duì)長(zhǎng)方體和立方體的感性認(rèn)識(shí)。再?gòu)膶?shí)物中抽象出長(zhǎng)方體和立方體的圖形(并非透視圖)。但這一階段的教學(xué)要求只要學(xué)生知道長(zhǎng)方體和立方體的名稱(chēng)，能夠辨認(rèn)和區(qū)分這些形狀即可。僅僅停留在感性認(rèn)識(shí)的層次上。第二階段是在較高年級(jí)。教學(xué)時(shí)仍要從實(shí)例引入。教學(xué)長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)時(shí)，先讓學(xué)生收集長(zhǎng)方體的物體，教師先說(shuō)明什么是長(zhǎng)方體的面、棱和頂點(diǎn)，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)面、棱和頂點(diǎn)各自的數(shù)目，量一量棱的長(zhǎng)度，算一算各個(gè)面的大小，比較上下、左右、前后棱和面的關(guān)系和區(qū)別。然后歸納出長(zhǎng)方體的特征。再?gòu)拈L(zhǎng)方體的實(shí)例中抽象出長(zhǎng)方體的幾何圖形。進(jìn)而可以讓學(xué)生對(duì)照實(shí)物，觀察圖形，弄清楚不改變觀察方向，最多可以看到幾個(gè)面和幾條棱。哪些是看不見(jiàn)的，圖中是怎樣來(lái)表示的。還可以讓學(xué)生想一想，看一看，逐步看懂長(zhǎng)方體的幾何圖形，形成正確的表象。在把握階段性目標(biāo)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)在每一個(gè)教學(xué)階段，概念都應(yīng)該是確定的，這樣才不致于造成概念混亂的現(xiàn)象。有些概念不嚴(yán)格下定義，但也要依據(jù)學(xué)生的接受能力，或者用描述代替定義，或者用比較通俗易懂的語(yǔ)言揭示概念的本質(zhì)特征。同時(shí)注意與將來(lái)的嚴(yán)格定義不矛盾。(2)當(dāng)一個(gè)教學(xué)階段完成以后，應(yīng)根據(jù)具體情況，酌情指出概念是發(fā)展的，不斷變化的。如：有一位學(xué)生在認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體之后，認(rèn)為課本中的任何一張紙的形狀也是長(zhǎng)方體的。說(shuō)明該學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體的概念有了更進(jìn)一步的理解，教師應(yīng)加以肯定。(3)當(dāng)概念發(fā)展后，教師不但指出原來(lái)概念與發(fā)展后概念的聯(lián)系與區(qū)別，以便學(xué)生掌握，而且還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)有關(guān)概念進(jìn)行研究，注意其發(fā)展變化。如“倍”的概念，在整數(shù)范圍內(nèi)，通常所指的是，如果把甲量當(dāng)作1份，而乙量有這樣的幾份，那么乙量就是甲量的幾倍。在引入分?jǐn)?shù)以后，“倍”的概念發(fā)展了，發(fā)展后的“倍”的概念，就包含了原來(lái)的“倍”的概念。如果把甲量當(dāng)作l份，乙量也可以是甲量的幾分之幾。因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，要搞清概念之間的順序，了解概念之間的內(nèi)在聯(lián)系。數(shù)學(xué)概念隨著客觀事物本身的發(fā)展變化和研究的深入不斷地發(fā)展演變。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識(shí)，也需要隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的程度的提高，由淺入深，逐步深化。教學(xué)時(shí)既要注意教學(xué)的階段性，不能把后面的要求提到前面，超越學(xué)生的認(rèn)識(shí)能力；又要注意教學(xué)的連續(xù)性，教前面的概念要留有余地，為后繼教學(xué)打下埋伏。從而處理好掌握概念的階段性與連續(xù)性的關(guān)系。2、加強(qiáng)直觀教學(xué)，處理好具體與抽象的矛盾盡管教材中大部分概念沒(méi)有下嚴(yán)格的定義，而是從學(xué)生所了解的實(shí)際事例或已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，盡可能通過(guò)直觀的具體形象，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的本質(zhì)屬性。對(duì)于不容易理解的概念就暫不給出定義或者采用分階段逐步滲透的辦法來(lái)解決。但對(duì)于小學(xué)生來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念還是抽象的。他們形成數(shù)學(xué)概念，一般都要求有相應(yīng)的感性經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)，而且要經(jīng)歷一番把感性材料在腦子里來(lái)回往復(fù)，從模糊到逐漸分明，從許多有一定聯(lián)系的材料中，通過(guò)自己操作、思維活動(dòng)逐步建立起事物一般的表象，分出事物的主要的本質(zhì)特征或?qū)傩?，這是形成概念的基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)中，必須加強(qiáng)直觀，以解決數(shù)學(xué)概念的抽象性與學(xué)生思維形象性之間的矛盾。（1）通過(guò)演示、操作進(jìn)行具體與抽象的轉(zhuǎn)化教學(xué)中，對(duì)于一些相對(duì)抽象的內(nèi)容，盡可能地利用恰當(dāng)?shù)难菔净虿僮魇蛊滢D(zhuǎn)化為具體內(nèi)容，然后在此基礎(chǔ)上抽象出概念的本質(zhì)屬性。幾何初步知識(shí)，無(wú)論是線、面、體的概念還是圖形特征、性質(zhì)的概念都非常抽象，因此，教學(xué)中更要加強(qiáng)演示、操作，通過(guò)讓學(xué)生量一量、摸一摸、擺一擺、拼一拼來(lái)讓學(xué)生體會(huì)這些概念，從而抽象出這些概念。例如“圓周率”這一概念非常抽象，有的教師在課前，布置每個(gè)學(xué)生用硬紙制做一個(gè)圓，半徑自定。上課時(shí)，就讓每個(gè)學(xué)生在課堂作業(yè)本上寫(xiě)出三個(gè)內(nèi)容：(1)寫(xiě)出自己做的圓的直徑；(2)滾動(dòng)自己的圓，量出圓滾動(dòng)一周的長(zhǎng)度，寫(xiě)在練習(xí)本上；(3)計(jì)算圓的周長(zhǎng)是直徑的幾倍。全班同學(xué)做完后，要求每個(gè)同學(xué)匯報(bào)自己計(jì)算的結(jié)果，并把結(jié)果整理成下表。圓直徑(厘米)圓的周長(zhǎng)(厘米)周長(zhǎng)是直徑的幾倍A26.23.1B39.63.2C412.63.15D515.73.14然后引導(dǎo)學(xué)生分析發(fā)現(xiàn)：不管圓的大小，它的周長(zhǎng)總是直徑的3倍多一點(diǎn)。這時(shí)再揭示：這個(gè)倍數(shù)是個(gè)固定的數(shù)，數(shù)學(xué)上叫做圓周率。再讓學(xué)生任意畫(huà)一個(gè)圓，量出直徑和周長(zhǎng)加以驗(yàn)證。這樣，引導(dǎo)學(xué)生把大量的感性材料，加以分析、綜合、抽象、概括，拋棄事物的非本質(zhì)屬性(如圓的大小、測(cè)量時(shí)用的單位等)，抓住事物的本質(zhì)特征(圓的周長(zhǎng)總是直徑的3倍多一點(diǎn))，形成了概念。這樣教師借助于直觀教學(xué)，運(yùn)用學(xué)生原有的一些基礎(chǔ)知識(shí)，逐步抽象，環(huán)環(huán)緊扣，層次清楚。通過(guò)實(shí)物演示，使學(xué)生建立表象，從而解決了數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象性與兒童思維的形象性的矛盾。（2）結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際進(jìn)行具體與抽象的轉(zhuǎn)化教學(xué)中有許多數(shù)量關(guān)系都是從具體生活內(nèi)容中抽象出來(lái)的，因此，在教學(xué)中應(yīng)該充分利用學(xué)生的生活實(shí)際，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆绞竭M(jìn)行具體與抽象的轉(zhuǎn)化，即把抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為學(xué)生的具體生活知識(shí)，在此基礎(chǔ)上又將其生活知識(shí)抽象為教學(xué)內(nèi)容。例如乘法交換律的教學(xué)，往往讓學(xué)生先解答這樣的習(xí)題：一種鋼筆，每盒10支，每支3元，買(mǎi)2盒鋼筆要多少元?學(xué)生在實(shí)際解答中發(fā)現(xiàn)，這道題可以有兩種解答思路，一種是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式是(3×10)×2＝60元；另一種是先求出“一共有多少支鋼筆”，再求出“2盒多少元”，算式是3×(2×10)＝60元。乘法分配律的教學(xué)也是讓學(xué)生解答類(lèi)似的問(wèn)題，如：一件上衣50元，一條褲子30元，買(mǎi)這樣的5套衣服需要多少元?這樣借助于學(xué)生熟悉的生活情景，使抽象的問(wèn)題變得具體化。同樣常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系中的單價(jià)、總價(jià)與數(shù)量之間的關(guān)系；路程、速度與時(shí)間的關(guān)系，工作量、工作效率與工作時(shí)間之間的關(guān)系等，都應(yīng)結(jié)合學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)具體的題目將其抽象出來(lái)，然后又利用這些關(guān)系來(lái)分析解決問(wèn)題。這樣的訓(xùn)練有利于使學(xué)生的思維逐漸向抽象思維過(guò)渡，逐步緩解知識(shí)的抽象性與學(xué)生思維的具體形象性的矛盾。但是，運(yùn)用直觀并不是目的，它只是引起學(xué)生積極思維的一種手段。因此概念教學(xué)不能只停留在感性認(rèn)識(shí)上，在學(xué)生獲得豐富的感性認(rèn)識(shí)后，要對(duì)所觀察的事物進(jìn)行抽象概括，揭示概念的本質(zhì)屬性，使認(rèn)識(shí)產(chǎn)生飛躍，從感性上升到理性，形成概念。3、遵循小學(xué)生學(xué)習(xí)概念的特點(diǎn)，組織合理有序的教學(xué)過(guò)程盡管小學(xué)生獲取概念有概念形成和概念同化這兩種基本形式，各類(lèi)概念的形成又有各自的特點(diǎn)，但不管以何種方式獲得概念，一般都會(huì)遵循從“引入一理解一鞏固一深化”這樣的概念形成路徑。下面就概念教學(xué)中每個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)策略及應(yīng)注意的問(wèn)題作一闡述。（1）概念的引入要注重提供豐富而典型的感性材料在概念引入的過(guò)程中，要注意使學(xué)生建立起清晰的表象。因?yàn)榻⒛芡怀鍪挛锕残缘?、清晰的典型表象是形成概念的重要基礎(chǔ)，因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)的概念教學(xué)中，無(wú)論以什么方式引入概念，都應(yīng)考慮如何使小學(xué)生在頭腦中建立起清晰的表象。概念教學(xué)一開(kāi)始，應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容運(yùn)用直觀手段向?qū)W生提供豐富而典型的感性材料，如采用實(shí)物、模型、掛圖，或進(jìn)行演示，引導(dǎo)學(xué)生觀察，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，以便讓學(xué)生接觸有關(guān)的對(duì)象，豐富自己的感性認(rèn)識(shí)。如在一節(jié)教學(xué)分?jǐn)?shù)的意義的課上，一位教師為了突破單位“l(fā)”這一教學(xué)難點(diǎn)，事先向?qū)W生提供了各種操作材料：一根繩子，4只蘋(píng)果圖，6只熊貓圖，一張長(zhǎng)方形紙，l米長(zhǎng)的線段等，通過(guò)比較、歸納出：一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位、一個(gè)整體都可以用單位“1”表示，從而突破理解單位“1”這一難點(diǎn)，為理解分?jǐn)?shù)的意義奠定了基礎(chǔ)。但概念引入時(shí)所提供的材料要注意三點(diǎn)：一是所選材料要確切。例如角的認(rèn)識(shí)，小學(xué)里講的角是平面角，可以讓學(xué)生觀察黑板、書(shū)面等平面上的角。有的教師讓學(xué)生觀察教室相鄰兩堵墻所夾的角，那是兩面角，對(duì)于小學(xué)教學(xué)要求來(lái)說(shuō)，就不確切了。二是所選材料要突出所授知識(shí)的本質(zhì)特征。例如直角三角形的本質(zhì)特征是“有一個(gè)角是直角的三角形”，至于這個(gè)直角是三角形中的哪一個(gè)角，直角三角形的大小、形狀，則是非本質(zhì)的。因此教學(xué)時(shí)應(yīng)出示不同的圖形，使學(xué)生在不同的圖形中辨認(rèn)其不變的本質(zhì)屬性。（2）概念的理解要注重正反例證的辨析，突出概念的本質(zhì)屬性概念的理解是概念教學(xué)的中心環(huán)節(jié)，教師要采取一切手段幫助學(xué)生逐步理解概念的內(nèi)涵和外延，以便讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握概念。促進(jìn)對(duì)概念理解的途徑有：1）剖析概念中關(guān)鍵詞語(yǔ)的真實(shí)含義例如，分?jǐn)?shù)定義中的單位“1”、“平均分”、“表示這樣的一份或幾份的數(shù)”，學(xué)生只有對(duì)這些關(guān)鍵詞語(yǔ)的真實(shí)含義弄清楚了，才會(huì)對(duì)分?jǐn)?shù)的概念有了深刻的理解。再如教學(xué)“整除”概念之后應(yīng)幫助學(xué)生從以下三方面進(jìn)行判斷，一是判斷是否具有“整除”關(guān)系的兩個(gè)數(shù)都必須是自然數(shù)；二是這兩個(gè)數(shù)相除所得的商是整數(shù)；三是沒(méi)有余數(shù)。對(duì)定義的分析是幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)概念的又一次提高。三角形的高的定義:“從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高，這條邊叫做三角形的底?！边@里的“一個(gè)頂點(diǎn)”、“垂線”、“垂足”都是一些關(guān)鍵詞語(yǔ)。為了讓學(xué)生理解三角形的高，除了讓學(xué)生理解字面意思外，往往還需要學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作，體會(huì)畫(huà)“高”的全過(guò)程。指出畫(huà)“高”的關(guān)鍵是畫(huà)垂線，并注意限制條件：“過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)(可以是任何一個(gè)頂點(diǎn))，作到它對(duì)邊的垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段”。這樣把實(shí)際操作的過(guò)程和所畫(huà)的三角形高的圖形與定義所敘述的內(nèi)容對(duì)照，使學(xué)生準(zhǔn)確地理解三角形的高的定義。這實(shí)際上是在數(shù)學(xué)概念建立后，幫助學(xué)生對(duì)本質(zhì)屬性進(jìn)行剖析，既將本質(zhì)屬性再次從定義中分離出來(lái)，加以明確。2）辨析概念的肯定例證和否定例證學(xué)生能背誦概念并不等于真正理解概念，還要通過(guò)實(shí)例突出概念的主要特征，幫助他們加深對(duì)概念的理解。教師不僅要充分運(yùn)用肯定例證來(lái)幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵，同時(shí)要及時(shí)運(yùn)用否定例證來(lái)促進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的辨析。在概念揭示后往往要針對(duì)教學(xué)要求組織學(xué)生進(jìn)行一些練習(xí)，如教完三角形按角分類(lèi)后，可以出示：一個(gè)三角形不是直角三角形，并且有兩個(gè)角是銳角，這個(gè)三角形一定是銳角三角形。讓學(xué)生進(jìn)行判斷，引起學(xué)生討論來(lái)鞏固三角形的分類(lèi)，以深化對(duì)三角形這一概念的外延的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。再如，小數(shù)的性質(zhì)揭示后，可以讓學(xué)生判斷0.40、0.030、20.020、2.800、10.404、5.0000各數(shù)，哪些“0”可以去掉，哪些“0”不能去掉?從而加深學(xué)生對(duì)小數(shù)性質(zhì)的理解。3）變換本質(zhì)屬性的敘述或表達(dá)方式小學(xué)生理解和掌握概念的特點(diǎn)之一往往是：對(duì)某一概念的內(nèi)涵不很清楚，也不全面，把非本質(zhì)的特征作為本質(zhì)的特征。例如，有的學(xué)生誤認(rèn)為，只有水平放置的長(zhǎng)方形才叫長(zhǎng)方形，如果斜著放就辨認(rèn)不出來(lái)。為此，往往需要變換概念的敘述或表達(dá)方式，讓學(xué)生從各個(gè)側(cè)面來(lái)理解概念。旨在從變式中把握概念的本質(zhì)屬性，排除非本質(zhì)屬性的干擾。因?yàn)槭挛锏谋举|(zhì)屬性可以運(yùn)用不同的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)，如果學(xué)生對(duì)各種不同的敘述和表達(dá)都能理解和掌握，就說(shuō)明學(xué)生對(duì)概念的理解是透徹的，是靈活的，不是死記硬背的。4）對(duì)近似的概念及時(shí)加以對(duì)比辨析在小學(xué)數(shù)學(xué)中，有些概念其含義接近，但本質(zhì)屬性又有區(qū)別。如數(shù)與數(shù)字，數(shù)位與位數(shù)，奇數(shù)與質(zhì)數(shù)，偶數(shù)與合數(shù)，化簡(jiǎn)比與求比值，時(shí)間與時(shí)刻，質(zhì)數(shù)、質(zhì)因數(shù)與互質(zhì)數(shù)，周長(zhǎng)與面積，等等。對(duì)這類(lèi)概念，學(xué)生常常容易混淆，必須及時(shí)把它們加以比較，以避免互相干擾。如學(xué)習(xí)了“整除”，為了和以前學(xué)的“除盡”加以比較，可以設(shè)計(jì)這樣的練習(xí)題：下列等式中，哪些是整除，哪些是除盡?(1)8÷2＝4(2)48÷8＝6(3)30÷7＝4……2(4)8÷5＝1.6(5)6÷0.2＝30(6)1.8÷3＝0.6引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分析、比較，從而得出：第(3)題是有余數(shù)的除法，當(dāng)然不能說(shuō)被除數(shù)被除數(shù)整除或除盡，其他各題當(dāng)然能說(shuō)被除數(shù)被除數(shù)除盡了。其中只有第(1)、(2)題，被除數(shù)、除數(shù)和商都是自然數(shù)，而且沒(méi)有余數(shù)，這兩題既可以說(shuō)被除數(shù)被除數(shù)除盡，又能說(shuō)被除數(shù)被除數(shù)整除。從上面的分析中，讓學(xué)生明白：整除是除盡的一種特殊情況，除盡包括了整除和一切商是有限小數(shù)的情況。學(xué)習(xí)了比之后，可以用列表法設(shè)計(jì)比與除法、分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系的習(xí)題，從中明確“除法是一種運(yùn)算，分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，比是一個(gè)關(guān)系式”的區(qū)別。（3）重視概念的運(yùn)用，發(fā)揮概念的作用正確、靈活地運(yùn)用概念，就是要求學(xué)生能夠正確、靈活地運(yùn)用概念組成判斷，進(jìn)行推理、計(jì)算、作圖等，能運(yùn)用概念分析和解決實(shí)際問(wèn)題。理解概念的目的在于運(yùn)用，運(yùn)用的途徑有：1)自舉實(shí)例這是要求學(xué)生把已經(jīng)初步獲得的概念簡(jiǎn)單運(yùn)用于實(shí)際，通過(guò)實(shí)例來(lái)說(shuō)明概念，加深對(duì)概念的理解。有經(jīng)驗(yàn)的教師，根據(jù)小學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)識(shí)通常帶有具體性的特點(diǎn)，在學(xué)生通過(guò)分析、綜合、抽象、概括出概念后，總是讓他們自舉例證，把概念具體化。從具體到抽象又回到具體，符合小學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，使學(xué)生更準(zhǔn)確把握概念的內(nèi)涵和外延。例如在學(xué)生初步獲得了真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的概念后，就可以讓學(xué)生分別舉一些真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的實(shí)例；知道了圓柱的特征后，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)日常生活中有哪些物品的形狀是圓柱形的。2)運(yùn)用于計(jì)算、作圖等例如，如學(xué)了乘法的運(yùn)算定律后，就可以讓學(xué)生簡(jiǎn)便計(jì)算下面各題。104×2548×25101×35×214×99+1425×32146+9×146(80+8)×258×(125+50)34×5×2在掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)后，就要求學(xué)生能熟練地進(jìn)行通分、約分，并說(shuō)明通分、約分的依據(jù)。學(xué)習(xí)了小數(shù)的性質(zhì)后，就可以讓學(xué)生把小數(shù)按要求進(jìn)行化簡(jiǎn)或改寫(xiě)；學(xué)習(xí)了等腰三角形，可設(shè)計(jì)一組操作題；畫(huà)一個(gè)等腰三角形；畫(huà)一個(gè)頂角60度的等腰三角形；畫(huà)一個(gè)腰長(zhǎng)為2厘米的等腰直角三角形。3)運(yùn)用于生活實(shí)踐數(shù)學(xué)概念來(lái)源于生活，就必然要回到生活實(shí)際中去。教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用概念去解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，是培養(yǎng)學(xué)生思維，發(fā)展各種數(shù)學(xué)能力的過(guò)程。并且，也只有讓學(xué)生把所學(xué)習(xí)到的數(shù)學(xué)概念，拿到生活實(shí)際中去運(yùn)用，才會(huì)使學(xué)到的概念鞏固下來(lái)，進(jìn)而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的運(yùn)用技能。為此，教師在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)根據(jù)教材內(nèi)容和學(xué)生實(shí)際，在掌握小學(xué)數(shù)學(xué)教材邏輯系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，有意識(shí)地深化和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)概念。例如在學(xué)習(xí)圓的面積后，一位教師就設(shè)計(jì)了這樣的問(wèn)題：“我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓面積公式，誰(shuí)能想辦法算一算，學(xué)校操場(chǎng)上白楊樹(shù)樹(shù)干的橫截面面積?”同學(xué)們就討論開(kāi)了，有的說(shuō)，算圓面積一定要先知道半徑，只有把樹(shù)砍下來(lái)才能量出半徑；有的不贊成這樣做，認(rèn)為樹(shù)一砍下來(lái)就會(huì)死掉。這時(shí)教師進(jìn)一步引導(dǎo)說(shuō)：“那么能不能想出不砍樹(shù)就能算出橫截面面積的辦法來(lái)呢?大家再討論一下?！睂W(xué)生們渴望得到正確的答案，通過(guò)積極思考和爭(zhēng)論，終于找到了好辦法，即先量出樹(shù)干的周長(zhǎng)，再算出半徑，然后應(yīng)用面積公式算出大樹(shù)橫截面面積。課后許多學(xué)生還到操場(chǎng)上實(shí)際測(cè)量了樹(shù)干的周長(zhǎng)，算出了橫截面面積。再如，在教學(xué)正比例應(yīng)用題時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生運(yùn)用旗桿高度與影長(zhǎng)的關(guān)系，巧妙地算出了旗桿的高度。這樣通過(guò)創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情景，教師適時(shí)點(diǎn)撥，不但啟迪了學(xué)生的思維，而且培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)以致用的興趣和能力，也加深了對(duì)所學(xué)概念的理解。（4）注重概念之間的比較分類(lèi)，深化概念小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)是系統(tǒng)性強(qiáng)，前后聯(lián)系密切，但是由于小學(xué)生思維發(fā)展水平和接受能力的限制，有些知識(shí)的教學(xué)往往是分幾節(jié)課或幾個(gè)學(xué)期來(lái)完成，這樣難免在不同程度上削弱知識(shí)間的聯(lián)系。對(duì)一些有聯(lián)系的概念或法則，在一定階段應(yīng)進(jìn)行系統(tǒng)的整理，使學(xué)生在頭腦中建立起知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。尤其是中高年級(jí)，可以引導(dǎo)學(xué)生將概念進(jìn)行分類(lèi)，明確概念間的聯(lián)系和區(qū)別，以形成概念系統(tǒng)。6.2.3概念教學(xué)片段舉例（一）乘法的初步認(rèn)識(shí)教學(xué)片段1．創(chuàng)設(shè)情景，出示課題師：老師帶來(lái)了一些鉛筆準(zhǔn)備獎(jiǎng)給學(xué)習(xí)認(rèn)真的小朋友，如果每人2枝，獎(jiǎng)給4位小朋友，一共要多少枝?怎樣列式?(板書(shū)：2+2+2+2=8)如果獎(jiǎng)給5位小朋友，一共要多少枝?(板書(shū)：2+2+2+2+2＝10)我們班46名同學(xué)學(xué)習(xí)都很認(rèn)真，每位小朋友都獎(jiǎng)勵(lì)2枝，該怎么列式呢?教師一邊板書(shū)2+2+2+2……，一邊問(wèn)：這樣要寫(xiě)多少個(gè)“2”?能不能有一種比較簡(jiǎn)便的方法來(lái)表示呢?這就是今天要學(xué)習(xí)的乘法(板書(shū)課題)。2．直觀感知，形成表象(1)教學(xué)乘號(hào)。(2)學(xué)生擺紅花，寫(xiě)算式。師：在投影儀上先擺2朵，再擺2朵，最后再擺2朵。問(wèn)：數(shù)一數(shù)，一共擺了幾個(gè)2朵?(板書(shū)：3個(gè)2)可以用什么方法算?(板書(shū)：2+2+2＝6)這個(gè)連加算式中加數(shù)都是2，我們可以把它改寫(xiě)成乘法算式，寫(xiě)作：2×3=6，讀做：2乘3；也可以寫(xiě)作：3×2＝6，讀做：3乘2。(教師示范，再指名讀、全班讀)(3)學(xué)生擺小圓片，寫(xiě)算式。師：請(qǐng)小朋友自己擺一擺小圓片，再寫(xiě)出算式，行嗎?要求第一行擺3個(gè)小圓片，第二行也擺3個(gè)小圓片，一共擺了幾個(gè)小圓片?用加法算怎樣列式?能改寫(xiě)成乘法算式嗎?(根據(jù)學(xué)生回答板書(shū)：3+3＝63×2＝6或2×3＝6師：如果再擺兩行，那一共又有幾個(gè)3呢?算式該怎么列?(根據(jù)學(xué)生回答板書(shū)：3+3+3+3＝123×4＝12或4×3＝12(4)看圖形，寫(xiě)算式。板書(shū)：4+4+4＝12，4×3＝12或3×4＝125+5+5＝15，5×3＝15或3×5＝153．分析比較，揭示本質(zhì)(1)師：仔細(xì)觀察黑板上的這些加法算式和乘法算式，你發(fā)現(xiàn)了什么?引導(dǎo)學(xué)生得出：這些加法算式的加數(shù)都相同，所以能改寫(xiě)成乘法算式。求幾個(gè)相同加數(shù)的和，用乘法計(jì)算比較簡(jiǎn)便。(2)討論下列算式哪些能改寫(xiě)成乘法算式，哪些不能?為什么?2+2+33+3+3+35+56+6+6+74．多種訓(xùn)練，鞏固和深化新知(1)看圖列式。*********************加法算式：乘法算式：(2)根據(jù)算式，用學(xué)具擺一擺。2×24×32×5(3)把前面“導(dǎo)入”中的三道加法算式改寫(xiě)成乘法算式。(4)自己寫(xiě)一個(gè)加法算式，然后改寫(xiě)成乘法算式。5．小結(jié)(略)評(píng)析：這節(jié)概念課遵循了概念形成的規(guī)律，依據(jù)感知——表象——概念——運(yùn)用這么一條途徑。概念的引入能緊緊抓住同數(shù)連加這一已有的知識(shí)基礎(chǔ)，又輔以生動(dòng)形象的直觀教學(xué)手段，可謂雙管齊下。一開(kāi)始就讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中初步接觸“相同加數(shù)”，從計(jì)算全班學(xué)生的獎(jiǎng)品總數(shù)而激起學(xué)生學(xué)習(xí)“乘法”的欲望。接著讓學(xué)生在操作實(shí)踐的過(guò)程中，各種感官協(xié)同活動(dòng)，在獲得大量感性材料的基礎(chǔ)上，形成清晰而豐富的表象，為學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“乘法”奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。新課展開(kāi)以后能及時(shí)對(duì)加法算式和乘法算式這些感性材料引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析比較，抽象概括出本質(zhì)屬性?！扒髱讉€(gè)相同加數(shù)和，用乘法計(jì)算比較簡(jiǎn)便”這一結(jié)論是抽象概括的結(jié)果。教師通過(guò)第一層次由學(xué)生擺出了3個(gè)2朵小紅花，列出加法算式2十2+2＝6再引導(dǎo)學(xué)生看算式回答算式中的加數(shù)有什么特點(diǎn)?再讓學(xué)生用正方形擺出4個(gè)3，用小圓片擺出5個(gè)4，分別列出加法算式，并觀察每個(gè)算式中加數(shù)的特點(diǎn)。第二層次，教師由三道加法算式引出新的運(yùn)算——乘法，說(shuō)明3個(gè)2相加的和，4個(gè)3相加的和。5個(gè)4相加的和，可以用乘法計(jì)算。第三層次，通過(guò)加法和乘法算式的比較，得出用乘法計(jì)算比較簡(jiǎn)便。第四層次是抽象出乘法的意義。在這個(gè)由具體到抽象的過(guò)程中，學(xué)生的抽象、概括能力得到了培養(yǎng)。為鞏固新知設(shè)計(jì)的辨析題中既有肯定例證，也有否定例證，抓住了教學(xué)的難點(diǎn)，突出了教學(xué)的重點(diǎn)，有利于學(xué)生真正理解乘法的意義，即乘法是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。最后寫(xiě)出求46個(gè)學(xué)生的鉛筆總數(shù)的乘法算式，使學(xué)生已有的概念得到了及時(shí)擴(kuò)展。整節(jié)課學(xué)生都主動(dòng)地投入了整個(gè)教學(xué)過(guò)程。（二）面積單位及其進(jìn)率教學(xué)片段1．感知1平方分米(1)學(xué)生觀察：教師在黑板上貼的紙上畫(huà)一條1分米長(zhǎng)的線段，以這條線段為邊長(zhǎng)，畫(huà)一個(gè)正方形。告訴學(xué)生，這個(gè)邊長(zhǎng)1分米的正方形的面積是l平方分米。接著教師用剪刀剪下這l平方分米的正方形紙，貼在黑板上。(2)學(xué)生操作：剪出一個(gè)l平方分米的正方形，用手摸一摸，閉上眼睛想一想1平方分米的樣子及大小。2．感知1平方厘米(1)師：誰(shuí)能第一個(gè)剪出1平方厘米的正方形?學(xué)生動(dòng)手剪出了l平方厘米的正方形后，要求他們說(shuō)說(shuō)是怎樣剪的。然后讓學(xué)生用手摸一摸，閉上眼睛想一想l平方厘米的樣子及大小。(2)把1平方分米的正方形紙和l平方厘米的正方形紙放在桌面上，看一看，比一比，閉上眼睛想一想它們的樣子及大小。3．感知1平方米師：誰(shuí)能告訴大家，怎樣剪出1平方米的正方形紙?學(xué)生說(shuō)完，教師就把事先剪好的1平方米的正方形紙貼在黑板上，讓學(xué)生看一看，閉上眼睛想一想它的樣子和大小。4．討論：什么叫1平方分米、1平方厘米、l平方米?5．討論：1平方分米、l平方厘米及l(fā)平方米的關(guān)系。(1)要求學(xué)生看著自己桌上的1平方分米和1平方厘米的正方形紙。想一想怎樣才能測(cè)出1平方分米中有多少個(gè)l平方厘米?學(xué)生認(rèn)為動(dòng)手?jǐn)[一擺、畫(huà)一畫(huà)就能測(cè)出來(lái)。開(kāi)始學(xué)生把兩張正方形紙的一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)齊，然后沿著1平方厘米的正方形紙的邊沿把它所占的平面位置畫(huà)在了1平方分米的正方形紙上。再挪動(dòng)1平方厘米的正方形紙，緊挨著畫(huà)好的小正方形擺好，再沿邊沿畫(huà)出它所占的位置。再挪動(dòng)正方形……這樣畫(huà)了一排，再畫(huà)第二排，第二排沒(méi)有畫(huà)完，有的學(xué)生已經(jīng)用尺子把l平方分米的正方形每邊平均分成了10份，把對(duì)邊上的兩點(diǎn)連結(jié)，畫(huà)出格線，數(shù)一數(shù)，算一算，得出1平方分米=100平方厘米。(2)提問(wèn)：怎樣知道1平方米中有多少個(gè)1平方分米?如果沿l平方米的正方形的邊長(zhǎng)擺1平方分米的小正方形，一排能擺幾個(gè)?可以擺多少排?得出：1平方米＝100平方分米。(3)想一想，算一算，l平方米等于多少平方厘米呢?學(xué)生很快就得出：1平方米＝10000平方厘米。6．鞏固運(yùn)用(1)舉例說(shuō)說(shuō)1平方厘米、l平方分米、1平方米的大小。(2)填上合適的單位名稱(chēng)。(略)評(píng)析：學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作，可以增加對(duì)所學(xué)知識(shí)的感性認(rèn)識(shí)，在操作中獲得實(shí)物的表象，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解。這里的教學(xué)片段，教師正是出于這樣的思考，讓學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手?jǐn)[一擺，畫(huà)一畫(huà)，想一想，算一算，真正理解了1平方米、1平方分米、l平方厘米的意義及它們之間的進(jìn)率，并且印象深刻，記憶持久。同時(shí)，也培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力。自始至終學(xué)生獲取知識(shí)的過(guò)程是主動(dòng)積極的。（三）質(zhì)數(shù)與合數(shù)教學(xué)片段1．導(dǎo)入師：同學(xué)們都有自己的學(xué)號(hào)，請(qǐng)把表示你學(xué)號(hào)的這個(gè)數(shù)的所有約數(shù)找出來(lái)。(指名反饋，教師根據(jù)29號(hào)、2號(hào)、26號(hào)、16號(hào)同學(xué)的發(fā)言，逐一板書(shū)這些數(shù)的約數(shù)。其余同學(xué)互相交流。)2．分類(lèi)整理，揭示概念師：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察這些數(shù)(手指黑板)，能不能把這些數(shù)分分類(lèi)?同桌可以互相議一議。生甲：我把這些數(shù)分成兩類(lèi)，一類(lèi)是奇數(shù)，一類(lèi)是偶數(shù)。奇數(shù)有21、7、29，偶數(shù)有6、2、26和16。生乙：我是按約數(shù)的個(gè)數(shù)來(lái)分的，7、29、2只有兩個(gè)約數(shù)分為一類(lèi)，6、16、21、26有兩個(gè)以上的約數(shù)分為一類(lèi)。生丙：我把6、7、2分為一類(lèi)，這些數(shù)都是一位數(shù)，21、16、29、26分為一類(lèi)，這些數(shù)都是兩位數(shù)。師：還有其他分法嗎?(學(xué)生表示沒(méi)有)這些分法都有道理。奇數(shù)、偶數(shù)我們以前已經(jīng)認(rèn)識(shí)了，今天我們著重來(lái)研究按約數(shù)個(gè)數(shù)來(lái)分的情況。像這樣只有兩個(gè)約數(shù)的數(shù)，叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)；有兩個(gè)以上約數(shù)的數(shù)叫做合數(shù)。3．討論，建立概念師：再請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察一下：質(zhì)數(shù)有什么特點(diǎn)?合數(shù)有什么特點(diǎn)?有困難的同學(xué)可以和周?chē)耐瑢W(xué)商量一下。生：質(zhì)數(shù)的約數(shù)只有l(wèi)和它本身兩個(gè)，合數(shù)的約數(shù)除了1和它本身還有別的約數(shù)。師：有沒(méi)有不同意見(jiàn)?誰(shuí)再來(lái)說(shuō)一說(shuō)?看看書(shū)上是怎么說(shuō)的。4．理解和鞏固概念師：現(xiàn)在我們知道了什么是質(zhì)數(shù)，什么是合數(shù)，那么除了黑板上的這些數(shù)，你還能舉一些例子嗎?寫(xiě)在本子上。生：19、23、27、31、59、61是質(zhì)數(shù)，4、15、20、18、25、10、12、30是合數(shù)。師：還有嗎?還有這么多同學(xué)想說(shuō)，可是黑板只有這么大，怎么辦?生：用省略號(hào)表示。(板書(shū))師：這幾位同學(xué)舉出的這些數(shù)是不是質(zhì)數(shù)?指板書(shū)我們來(lái)判斷一下。生：19、23是質(zhì)數(shù)，27不是質(zhì)數(shù)。師：27為什么不是質(zhì)數(shù)?生：因?yàn)?7除了1和它本身以外，還有別的約數(shù)3和9，所以是合數(shù)。(教師調(diào)整板書(shū))師：這些都是合數(shù)嗎?(學(xué)生沒(méi)有意見(jiàn))誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)12為什么是合數(shù)?5．運(yùn)用概念(1)教師從周?chē)h(huán)境中選取素材，讓學(xué)生進(jìn)行判斷練習(xí)，概括出判斷方法(略)。(2)討論“1”，得出1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，因?yàn)樗挥幸粋€(gè)約數(shù)。6．綜合練習(xí)(1)找一找，黑板上的這些數(shù)中，哪些是奇數(shù)?哪些是偶數(shù)?你發(fā)現(xiàn)了什么?(一些數(shù)既是奇數(shù)又是合數(shù)，如9、21等；一些數(shù)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，如2)師：既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的只有2，其他偶數(shù)有可能是質(zhì)數(shù)嗎?為什么?同桌互相檢查一下，你找對(duì)了嗎?(2)出示2～50的數(shù)，要求很快找出質(zhì)數(shù)。反饋時(shí)要求介紹一下你有什么好方法。(3)把下面各數(shù)寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和。6=()+()8＝()+()10＝()+()12＝()+()師：這里的6、8、10、12都是什么數(shù)?生：是合數(shù)，也都是偶數(shù)。師：能不能把這些數(shù)寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和?學(xué)生在練習(xí)本上寫(xiě)。師：是不是所有不小于6的偶數(shù)都能寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和?這是一種猜想，要證明它可不容易，這就是世界有名的難題“哥德巴赫猜想”，有興趣的同學(xué)課后可以去查閱有關(guān)資料。評(píng)析：這是一節(jié)比較抽象的概念課，其最大的特點(diǎn)是教師能遵循學(xué)生概念學(xué)習(xí)的特點(diǎn)展開(kāi)整個(gè)教學(xué)過(guò)程。上課一開(kāi)始就緊緊抓住“約數(shù)”這一已有的基礎(chǔ)知識(shí)，讓學(xué)生找一找表示自己學(xué)號(hào)的數(shù)的約數(shù)，通過(guò)觀察、分類(lèi)，揭示質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。再通過(guò)進(jìn)一步的觀察、討論，并用自己的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)一說(shuō)什么是質(zhì)數(shù)、合數(shù)，初步建立概念。在此基礎(chǔ)上，請(qǐng)全體學(xué)生舉例，進(jìn)行判斷，從而檢驗(yàn)并鞏固了所學(xué)的概念。綜合練習(xí)的組織，在及時(shí)鞏固運(yùn)用新知識(shí)的同時(shí)，溝通了與舊知識(shí)的聯(lián)系，讓學(xué)生明確了奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)間的區(qū)別和聯(lián)系，使概念系統(tǒng)化。除此之外，這節(jié)課還有以下三個(gè)特點(diǎn)：一是教師能真心誠(chéng)意地把學(xué)生當(dāng)做學(xué)習(xí)的主體，課堂的主人，發(fā)揚(yáng)教學(xué)民主，讓每個(gè)學(xué)生都積極參與教學(xué)過(guò)程，在自主探索中獲取新知，體驗(yàn)成功。二是注意就地取材，充實(shí)教學(xué)內(nèi)容，使抽象的教學(xué)內(nèi)容變得生動(dòng),貼近學(xué)生生活。三是能以知識(shí)學(xué)習(xí)為載體，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)探索、獨(dú)立思考的能力和敢于創(chuàng)新的精神，同時(shí)適當(dāng)滲透數(shù)學(xué)思想方法?！?.1小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)概述7.1.1小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要內(nèi)容和特點(diǎn)（一）小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要內(nèi)容小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的主要內(nèi)容為法則、定律、公式等。在小學(xué)數(shù)學(xué)的規(guī)則學(xué)習(xí)中，按規(guī)則水平分，主要有一級(jí)運(yùn)算規(guī)則（加減運(yùn)算）的學(xué)習(xí)和二級(jí)運(yùn)算規(guī)則（乘除運(yùn)算）的學(xué)習(xí)，還有簡(jiǎn)單的三級(jí)運(yùn)算規(guī)則（主要是二次或三次乘方運(yùn)算）的學(xué)習(xí)；按涉及對(duì)象看，主要是整數(shù)和小數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則的學(xué)習(xí)和簡(jiǎn)單的乘方運(yùn)算規(guī)則的學(xué)習(xí)，也包含簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算規(guī)則的學(xué)習(xí)；從運(yùn)算形式看，主要有口算、筆算和估算（有時(shí)也包括珠算）等學(xué)習(xí)；從學(xué)習(xí)目標(biāo)看，主要有運(yùn)算的規(guī)則理解與掌握以及運(yùn)算技能和運(yùn)算策略的初步形成。具體地看，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，運(yùn)算規(guī)則的學(xué)習(xí)主要有：（1）四則運(yùn)算（包括整數(shù)和小數(shù)四則運(yùn)算，簡(jiǎn)單的分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算等）；（2）性質(zhì)運(yùn)用（包括分?jǐn)?shù)、小數(shù)的互化，解答簡(jiǎn)易方程，分?jǐn)?shù)、小數(shù)化簡(jiǎn)等）；（3）名數(shù)化聚；（4）四則運(yùn)用（包括簡(jiǎn)單幾何形體的面積、體積的求法，各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決等）。（二）小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的特點(diǎn)小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則，既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)密性、邏輯性的特點(diǎn)，又要符合兒童的年齡特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，因而具有以下特點(diǎn)：1、淡化嚴(yán)格證明，強(qiáng)化合情推理按照數(shù)學(xué)科學(xué)的要求，數(shù)學(xué)規(guī)則的敘述必須嚴(yán)密、準(zhǔn)確，都要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的論證。但受兒童智力發(fā)展水平和接受能力的限制，許多小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則并不進(jìn)行嚴(yán)格的證明。為了讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、邏輯性，使學(xué)生感到數(shù)學(xué)規(guī)則是有根有據(jù)的，小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)一般采用合情推理，用不完全歸納法或類(lèi)比法導(dǎo)出。往往是先給出具體事例或已有知識(shí)，讓學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、探索，發(fā)現(xiàn)事物之間的關(guān)系或發(fā)展的規(guī)律性，經(jīng)過(guò)歸納、猜測(cè)、驗(yàn)證過(guò)程，然后用簡(jiǎn)練、準(zhǔn)確的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，形成規(guī)則。2、重要規(guī)則逐步深化為適應(yīng)小學(xué)生認(rèn)知能力及認(rèn)知規(guī)律，小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要規(guī)則，采用先滲透，再深化，逐步提高的分段編排方法。例如：加減法運(yùn)算法則分成20以?xún)?nèi)的加減法，100以?xún)?nèi)的加減法，三位數(shù)、四位數(shù)的加減法三個(gè)階段進(jìn)行教學(xué)；加法、乘法的運(yùn)算律采用先滲透，再使用，然后歸納成條文的編排方法。3、有些規(guī)則不給結(jié)語(yǔ)根據(jù)兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，有些規(guī)則不形成命題的形式，而是通過(guò)例題給出。這樣的規(guī)則稱(chēng)為“隱規(guī)則”。“隱規(guī)則”也是小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，要求學(xué)生通過(guò)習(xí)題練習(xí)使用，并達(dá)到一定的熟練程度。如減法、除法的運(yùn)算性質(zhì)，教材中未給出結(jié)語(yǔ)，但要求學(xué)生會(huì)利用它簡(jiǎn)化運(yùn)算。7.1.2各種不同的運(yùn)算規(guī)則（一）運(yùn)算法則運(yùn)算法則是關(guān)于運(yùn)算方法和程序的規(guī)定，運(yùn)算法則的理論依據(jù)稱(chēng)為算理。運(yùn)算法則說(shuō)的是怎樣算，算理說(shuō)的是為什么這樣算。如兩位數(shù)筆算加法運(yùn)算法則：“相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起，個(gè)位相加滿(mǎn)十就向十位進(jìn)一?！币?guī)定了兩位數(shù)豎式加法的寫(xiě)法、算法和計(jì)算的先后順序。其中“相同數(shù)位對(duì)齊”、“個(gè)位相加滿(mǎn)十向十位進(jìn)一”的理論依據(jù)是“記數(shù)的位值原則”，不同位置上的數(shù)字計(jì)數(shù)單位不同。相同單位的數(shù)字才能相加。為什么要從個(gè)位加起，從十位加起可以嗎？其實(shí)對(duì)于兩位數(shù)不進(jìn)位加法，從十位加起更簡(jiǎn)便。而對(duì)于兩位數(shù)進(jìn)位加法，若從十位加起，“進(jìn)一”后需要十位上再加一，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。為減少學(xué)生計(jì)算錯(cuò)誤，才規(guī)定“從個(gè)位加起”。因此，“記數(shù)的位值原則”和“相同單位的數(shù)才能相加”是兩位數(shù)加法的算理，而“從個(gè)位加起”只是一種人為規(guī)定。在運(yùn)算法則教學(xué)中，要摒棄那種只講“法則”，不講算理的錯(cuò)誤做法。只有讓學(xué)生深入理解算理，才能靈活運(yùn)用計(jì)算法則，提高計(jì)算速度。2.四則運(yùn)算的類(lèi)型及其要求四則運(yùn)算有口算、筆算、估算、用計(jì)算器計(jì)算等四種類(lèi)型。所謂口算，又稱(chēng)心算，就是指不借助工具直接通過(guò)思維求出結(jié)果的一種計(jì)算方法?？谒憔哂杏?jì)算速度快、在日常生活中運(yùn)用廣泛的特點(diǎn)。同時(shí)，口算也是筆算和珠算的基礎(chǔ)。雖然口算也要口述或筆記答案，但運(yùn)算活動(dòng)主要依靠心智活動(dòng)為主，因此，口算是發(fā)展兒童心智技能的主要途徑之一。所謂筆算，簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是借助筆且運(yùn)用列式的方法，按照一定的規(guī)則來(lái)求出結(jié)果的一種計(jì)算方法。筆算具有能進(jìn)行較大數(shù)目的計(jì)算以及運(yùn)算的準(zhǔn)確率高的特點(diǎn)。所謂估算，實(shí)際上就是一種無(wú)需獲得精確結(jié)果的口算，是個(gè)體依據(jù)條件和有關(guān)知識(shí)對(duì)事物的數(shù)量或運(yùn)算結(jié)果作出的一種大致的判斷。在科學(xué)技術(shù)變遷日益加快、信息大量涌入的社會(huì)，人們的工作節(jié)奏和生活節(jié)奏被大大地加快了，因此，估算能力越來(lái)越成為現(xiàn)代社會(huì)成員一種必不可少的基本素養(yǎng)。（二）運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算性質(zhì)反映運(yùn)算的規(guī)律性，根據(jù)其所起作用可分為三類(lèi)；第一類(lèi)，改變參算的數(shù)的位置。如加法交換律，乘法對(duì)加法的分配律等。第三類(lèi)，參算的數(shù)的改變引起的運(yùn)算結(jié)果的變化。如被減數(shù)增加一個(gè)數(shù)，減數(shù)不變，差也增加相同的數(shù)。被除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同倍數(shù)，商不變等。運(yùn)算性質(zhì)的學(xué)習(xí)不僅可以用來(lái)驗(yàn)算，而且還可以用來(lái)進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算，同時(shí)還可以用來(lái)進(jìn)行估算。運(yùn)算性質(zhì)的教學(xué)對(duì)于學(xué)生形成“驗(yàn)算意識(shí)”、“巧算意識(shí)”、“估算意識(shí)”，對(duì)于形成“算法多樣化”和運(yùn)算技能，對(duì)于發(fā)展學(xué)生思維的靈活性、敏捷性，都有重要的作用和意義。更重要的是，運(yùn)算性質(zhì)學(xué)習(xí)過(guò)程的本身就是一個(gè)歸納、抽象與推理等的邏輯思維的過(guò)程。（三）計(jì)算方法計(jì)算方法是指利用四則運(yùn)算求某種量，或者兩種量換算的具體方法，通常被稱(chēng)為常規(guī)方法。計(jì)算方法是客觀事物的數(shù)學(xué)關(guān)系的具體體現(xiàn)，是四則運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)世界相互聯(lián)系的橋梁。學(xué)習(xí)和進(jìn)行量的計(jì)算，可使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與客觀世界的緊密聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和能力。7.1.3兒童形成運(yùn)算技能的基本特征小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則教學(xué)的重要目標(biāo)就是發(fā)展兒童的運(yùn)算技能。（一）數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)意義1、有利于形成學(xué)生的基本技能運(yùn)算規(guī)則學(xué)習(xí)的基本目的就是形成運(yùn)算技能，提高數(shù)據(jù)信息的處理能力。首先，計(jì)算作為一種工具性技能，是人們面對(duì)日常生活和生產(chǎn)所須臾不可離的，同時(shí)也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或其他學(xué)科知識(shí)所必需的；其次，計(jì)算作為一種探究性能力，是人們面對(duì)復(fù)雜的生活問(wèn)題和社會(huì)問(wèn)題進(jìn)行探索與解決所需要的，人的許多行為的選擇、行為方案的提出，往往是要在對(duì)眾多的數(shù)據(jù)信息進(jìn)行某些分析后才能作出。因此，運(yùn)算規(guī)則的學(xué)習(xí)和運(yùn)算的訓(xùn)練，有助于發(fā)展學(xué)生這些基本的技能和能力。2、有利于發(fā)展學(xué)生的基本智能首先，運(yùn)算是一種心智技能和動(dòng)作技能協(xié)作、外部操作和內(nèi)部思維同步、形象感知和抽象思維統(tǒng)和的一種心理活動(dòng)過(guò)程，是一個(gè)知識(shí)提取、技能運(yùn)用和問(wèn)題解決的協(xié)同過(guò)程，因此，運(yùn)算規(guī)則的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練有助于發(fā)展學(xué)生的基本智能；其次，不同的計(jì)算形式對(duì)學(xué)生智能發(fā)展的側(cè)面也有所不同。例如，口算有助于發(fā)展學(xué)生思維的敏捷性，筆算有助于發(fā)展學(xué)生思維與運(yùn)動(dòng)的協(xié)調(diào)性，估算則有助于發(fā)展學(xué)生思維堵塞的反省性等。（二）兒童數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的特點(diǎn)從認(rèn)知角度看，運(yùn)算技能主要屬于程序性知識(shí)。技能學(xué)習(xí)（規(guī)則學(xué)習(xí)）大致要經(jīng)歷認(rèn)知、聯(lián)結(jié)和自動(dòng)化這三個(gè)階段，而兒童在這三個(gè)不同階段的學(xué)習(xí)中，往往表現(xiàn)出一定的特征。1、生活經(jīng)驗(yàn)是理解運(yùn)算意義的基礎(chǔ)兒童在學(xué)齡前已經(jīng)有了某些運(yùn)算（更多的是加減運(yùn)算）的活動(dòng)，并通過(guò)這種活動(dòng)形成了自己的經(jīng)驗(yàn)，這些經(jīng)驗(yàn)是與兒童的生活情境緊密聯(lián)系的，而這些與兒童生活緊密聯(lián)系的經(jīng)驗(yàn)正是他們理解并掌握運(yùn)算意義的重要基礎(chǔ)。首先，豐富的生活情境是理解運(yùn)算意義的條件。兒童運(yùn)算意義的理解，不是從以符號(hào)為表征的概念開(kāi)始的，而是以自己的生活情境為基礎(chǔ)的實(shí)踐活動(dòng)開(kāi)始的。兒童知道了2加3等于5，并不代表他就理解了加法的意義，兒童是在豐富的生活情境之下，通過(guò)自己的實(shí)踐活動(dòng)來(lái)逐漸獲得加法意義的理解的。其次，豐富的生活情境擴(kuò)展著對(duì)運(yùn)算意義的理解。豐富的生活情境，不僅可以幫助學(xué)生理解運(yùn)算的意義，又能進(jìn)一步擴(kuò)展學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義的理解。例如，對(duì)于乘法意義的理解，兒童開(kāi)始是通過(guò)對(duì)“相同加數(shù)”的“加法”來(lái)理解的。但是，在生活的情境中，乘法的意義要豐富得多。這種豐富的意義，不僅擴(kuò)展了兒童對(duì)乘法意義的理解，而且也豐富了兒童新的數(shù)學(xué)意義。2、規(guī)則的運(yùn)用有明顯的階段性?xún)和瘜?duì)運(yùn)算規(guī)則的掌握與運(yùn)用呈現(xiàn)出一定的階段性，這種階段性是與兒童的認(rèn)知發(fā)展相一致的。首先表現(xiàn)在對(duì)規(guī)則理解和掌握的階段性。兒童對(duì)運(yùn)算的理解與掌握，因其能力特征的局限，有一個(gè)明顯的發(fā)展過(guò)程。例如，兒童對(duì)“加法”的理解，最早是建立在自己“數(shù)數(shù)”活動(dòng)的基礎(chǔ)之上的。而這種“數(shù)數(shù)”活動(dòng)在兒童不同的發(fā)展階段也有不同的水平。其次表現(xiàn)在對(duì)規(guī)則運(yùn)用的階段性。兒童在運(yùn)算規(guī)則的運(yùn)用上，也明顯表現(xiàn)出一定的階段性。在低年級(jí)的兒童中，當(dāng)他們已經(jīng)初步掌握了一定的運(yùn)算規(guī)則之后，在運(yùn)算的過(guò)程中常常還要依靠一些“構(gòu)造事實(shí)”的方法來(lái)獲得幫助。但是，到了初步形成運(yùn)算技能的階段，兒童對(duì)“20以?xún)?nèi)”加減法的運(yùn)算已經(jīng)非常熟悉，再遇到像3+5這樣的算題，一般就會(huì)采用“提取事實(shí)”的策略，而不再運(yùn)用“數(shù)數(shù)”的方式。從一個(gè)低年級(jí)的兒童看，擺脫“構(gòu)造事實(shí)”的方式而采用“提取事實(shí)”的策略，也是形成一定運(yùn)算技能的一個(gè)標(biāo)志。3、從實(shí)物表征運(yùn)算到符號(hào)表征運(yùn)算兒童在最初學(xué)習(xí)運(yùn)算規(guī)則時(shí)，往往要依靠實(shí)物的表征，通過(guò)對(duì)大量的以實(shí)物為表征的“計(jì)數(shù)”運(yùn)算活動(dòng)，逐步概括出更為一般的運(yùn)算規(guī)則。例如，學(xué)習(xí)“20以?xún)?nèi)”的進(jìn)位加法時(shí)，學(xué)生可能會(huì)面對(duì)這樣的情境：一個(gè)有10個(gè)格子的盒子，里面放有9個(gè)小球，盒子的外面還有3個(gè)小球，如果要求9+3的結(jié)果，可以先將1個(gè)小球放入盒子，正好“湊成”10個(gè)小球，而一個(gè)“10”，就可以在“十位”上用一個(gè)“1”來(lái)表示。學(xué)生就是通過(guò)這樣的方法來(lái)加深對(duì)“十進(jìn)位制位置制”記數(shù)法的體驗(yàn)，從而習(xí)得“進(jìn)位加法”的運(yùn)算規(guī)則的。但是，隨著兒童學(xué)習(xí)的發(fā)展，他們開(kāi)始逐步擺脫以實(shí)物來(lái)表征運(yùn)算，而直接獲得以符號(hào)表征的運(yùn)算規(guī)則。例如，學(xué)習(xí)“100以?xún)?nèi)”的加減運(yùn)算時(shí)，學(xué)生更多的是面對(duì)直接用符號(hào)表征的運(yùn)算，這是通過(guò)“20以?xún)?nèi)”加減法的規(guī)則遷移來(lái)獲得的。（三）兒童形成運(yùn)算技能的基本表征不同的運(yùn)算對(duì)小學(xué)生的要求也不相同。一般看來(lái)，運(yùn)算要求分為三個(gè)層次：會(huì)、比較熟悉、熟練。會(huì)是指能夠正確地進(jìn)行計(jì)算；比較熟練是指通過(guò)訓(xùn)練，能夠計(jì)算準(zhǔn)確，有一定的速度；熟練是指不僅計(jì)算準(zhǔn)確、迅速，而且能夠選擇恰當(dāng)?shù)乃惴?，使?jì)算合理、靈活。兒童是否形成了運(yùn)算技能，可從其計(jì)算時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的特征加以考察。1、“會(huì)”計(jì)算的特征對(duì)于某種運(yùn)算，達(dá)到了不出聲的言語(yǔ)階段，多余的、不規(guī)則的思考和動(dòng)作較少，并且能夠及時(shí)校正。頭腦中的思考比較連貫，眼看、心想、手寫(xiě)等各方面動(dòng)作基本協(xié)調(diào)，計(jì)算結(jié)果基本準(zhǔn)備。2、計(jì)算比較熟練的特征對(duì)于某種運(yùn)算，雖然仍停留在不出聲的言語(yǔ)階段，但多余的、不規(guī)范的思考與動(dòng)作幾乎消失。頭腦中的思考清晰、流暢，眼看、心想、手寫(xiě)等各方面的動(dòng)作協(xié)調(diào)統(tǒng)一，能適當(dāng)簡(jiǎn)化運(yùn)算的某些中間環(huán)節(jié)，計(jì)算速度快，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確。如計(jì)算分?jǐn)?shù)加法，可以將通分與同分母分?jǐn)?shù)相加兩個(gè)過(guò)程合二而一：3、運(yùn)算“熟練”的特征對(duì)于某種運(yùn)算，基本達(dá)到或完全達(dá)到無(wú)意識(shí)的內(nèi)部言語(yǔ)階段，多余的、不規(guī)范的思考和動(dòng)作完全消失，能夠根據(jù)算理及題目的特點(diǎn)，變通、靈活地使用運(yùn)算法則，迅速選擇恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，思考過(guò)程高度簡(jiǎn)縮，省略或合并中間環(huán)節(jié)，眼看、心想、手寫(xiě)等幾個(gè)方面的動(dòng)作高度協(xié)調(diào)，能把注意力同時(shí)分散到不同的目標(biāo)，計(jì)算過(guò)程迅速，計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確，計(jì)算方法合理、靈活?！?.2小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)的過(guò)程與方法7.2.1數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的基本模式（一）數(shù)學(xué)規(guī)則之間的關(guān)系1、上位、下位關(guān)系如果規(guī)則B包含于規(guī)則A，就說(shuō)規(guī)則A是規(guī)則B的上位規(guī)則，規(guī)則B是規(guī)則A的下位規(guī)則。如長(zhǎng)方形面積公式與正方形面積公式，前者是后者的上位規(guī)則，后者是前者的下位規(guī)則；大數(shù)－小數(shù)＝差與大圓面積－小圓面積＝環(huán)形面積，前者是后者的上位規(guī)則。根據(jù)已知規(guī)則，學(xué)習(xí)它的下位規(guī)則，稱(chēng)為規(guī)則的下位學(xué)習(xí)。一般地，下位學(xué)習(xí)較易，上位學(xué)習(xí)較難。如在長(zhǎng)方形面積公式基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)正方形面積公式較易，而學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式較難。２、并列關(guān)系如果幾個(gè)規(guī)則形式結(jié)構(gòu)一致，內(nèi)容相互并聯(lián)，就說(shuō)它們是并列關(guān)系。如：整除的商不變性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)，三者是并列關(guān)系。通過(guò)并列關(guān)系之間的類(lèi)比來(lái)學(xué)習(xí)新規(guī)則，叫規(guī)則的并列學(xué)習(xí)。并列學(xué)習(xí)有助于學(xué)生理解新規(guī)則。（二）數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的基本模式（二）數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)的基本模式數(shù)學(xué)規(guī)則學(xué)習(xí)常用的學(xué)習(xí)模式有例證——規(guī)則和規(guī)則——例證兩種。１、例證——規(guī)則先呈現(xiàn)與數(shù)學(xué)規(guī)則有關(guān)的若干例證，再引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，逐步概括出一般結(jié)論，從而獲得數(shù)學(xué)規(guī)則。例證——規(guī)則的學(xué)習(xí)模式與概念形成的學(xué)習(xí)類(lèi)似，是數(shù)學(xué)規(guī)則的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。例如，學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形面積公式時(shí)，教師先向?qū)W生提供24個(gè)1平方厘米的小正方形，讓學(xué)生把這些小正方形擺成長(zhǎng)方形，最多能擺多少個(gè)？并將結(jié)果填入表中。再讓學(xué)生思考，為什么最多能擺出這四種？從而發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形面積公式。2、規(guī)則——例證所謂規(guī)則——例證教學(xué)模式，就是指教師先向?qū)W生呈現(xiàn)某個(gè)規(guī)則，然后通過(guò)若干的實(shí)例來(lái)說(shuō)明規(guī)則的一種教學(xué)模式。這種教學(xué)模式往往比較適用于規(guī)則的下位學(xué)習(xí)。其條件就是學(xué)生必須掌握構(gòu)建規(guī)則的必要概念。例如，在學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形的面積計(jì)算規(guī)則（公式）后，學(xué)生可以利用已構(gòu)建的數(shù)學(xué)概念（正方形的特征以及正方形與長(zhǎng)方形之間的關(guān)系等），直接獲得正方形的面積計(jì)算規(guī)則（公式），然后再通過(guò)多個(gè)例證來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證（如采用數(shù)“面積紙”的方格的方式）。需要指出的是，在小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，所采用的規(guī)則——例證模式學(xué)習(xí)，并不表示就是一種簡(jiǎn)單的接受學(xué)習(xí)，因?yàn)樵诮虒W(xué)中，通常不直接將規(guī)則呈現(xiàn)給學(xué)生，而通過(guò)對(duì)某一對(duì)象（或某一組對(duì)象）的本質(zhì)特征的探究來(lái)引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)則。因此，這樣的學(xué)習(xí)仍然帶有一定的發(fā)現(xiàn)與探究的成分。7.2.2小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)的過(guò)程與方法小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)一般要經(jīng)過(guò)規(guī)則的引入、規(guī)則的建立、規(guī)則的鞏固與運(yùn)用等三個(gè)階段。（一）規(guī)則的引入與數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一樣，數(shù)學(xué)規(guī)則的教學(xué)也要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生在有利于學(xué)習(xí)的課堂氛圍中主動(dòng)參與數(shù)學(xué)規(guī)則的建構(gòu)過(guò)程。一般而言，規(guī)則的引入可以分為兩種形式。一種是直接向?qū)W生展示規(guī)則，教學(xué)的重點(diǎn)放在分析和建立規(guī)則以及規(guī)則的應(yīng)用方面。另一種是向?qū)W生提出一些供研究、探討的素材，并作必要的啟示引導(dǎo)，讓學(xué)生在一定的情境中獨(dú)立進(jìn)行思考，通過(guò)運(yùn)算、觀察、分析、類(lèi)比、歸納等步驟，自己探索規(guī)律，建立猜想和形成規(guī)則?？刹捎萌缦乱恍┓椒ㄈヒ胍?guī)則。(1)用觀察、實(shí)驗(yàn)的方法引入規(guī)則。教師提供材料，組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐操作，通過(guò)動(dòng)作思維去發(fā)現(xiàn)規(guī)則。(2)用觀察、歸納的方法引入規(guī)則。(3)由實(shí)際的需要引入規(guī)則。為了解決一些現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)實(shí)踐中的問(wèn)題，有時(shí)需要運(yùn)用數(shù)學(xué)的方法，而這種數(shù)學(xué)方法往往會(huì)產(chǎn)生出很有用處的定理、法則。因此，由實(shí)際問(wèn)題的需要，以問(wèn)題的形式去探求規(guī)則，也是教學(xué)中常用的規(guī)則引入方式。（二）規(guī)則的建立數(shù)學(xué)規(guī)則的建立是一個(gè)在教師引導(dǎo)下，通過(guò)學(xué)生思維，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)規(guī)則的過(guò)程。要注意適應(yīng)兒童的認(rèn)知規(guī)律和接受能力，有利于學(xué)生理解、掌握概念，有利于促進(jìn)學(xué)生智能發(fā)展，獲得積極的情感體驗(yàn)。1、例證要有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)則、發(fā)展智能例證的選擇和呈現(xiàn)方式影響學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性、思維深度和規(guī)則發(fā)現(xiàn)的難易程度。例如，在學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形面積計(jì)算方法時(shí)，教師給出幾個(gè)長(zhǎng)方形，讓學(xué)生量出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，用擺小正方形的方法測(cè)量它們的面積，再把結(jié)果填入表中，這就有利于學(xué)生通過(guò)觀察，概括出規(guī)則來(lái)。2、由直觀到抽象，由個(gè)別到一般在使用例證——規(guī)則學(xué)習(xí)模式時(shí)，為促進(jìn)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，一般先安排直觀形象的演示或?qū)嶒?yàn)，讓學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上，進(jìn)行分析、綜合、抽象和概括，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)則。在使用規(guī)則——例證學(xué)習(xí)模式時(shí)，一般也不是以抽象的邏輯推理的方式進(jìn)行，而是以具體的、個(gè)別的事例，支持學(xué)生思維。例如梯形面積計(jì)算規(guī)則學(xué)習(xí)，是在安排了學(xué)生剪拼梯形的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)基礎(chǔ)上，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)多種推導(dǎo)方法，去完成公式推導(dǎo)過(guò)程的。3、緊密結(jié)合例證，逐級(jí)抽象概括兒童的抽象概括能力一般較弱，通?？梢圆捎枚嗉?jí)抽象的方法，從例證中抽象概括數(shù)學(xué)法則。在例證呈現(xiàn)時(shí)，就要為抽象概括法則埋下伏筆；抽象概括時(shí)，要緊密結(jié)合例證，先抽象出個(gè)例的計(jì)算方法，再推廣到一般的數(shù)學(xué)規(guī)則。例如，在學(xué)習(xí)兩位數(shù)豎式加法時(shí)，通?？刹捎眠@樣的程序：（1）計(jì)算34+24。擺小棒的方法，暗含著數(shù)位對(duì)齊。從“3捆與2捆相加”，“4根與5根相加”，暗含著“個(gè)位與個(gè)位相加”、“十位與十位相加”。緊接著，要結(jié)合擺小棒，引導(dǎo)學(xué)生思考：如何用一個(gè)算式表示剛才的相加過(guò)程？抽象出34+25的豎式寫(xiě)法。（2）計(jì)算34+28。先讓學(xué)生用小棒擺一擺，讓學(xué)生感知，4根加8根得12根，把10根捆成一捆，移到“捆的下方”，暗含著“滿(mǎn)十進(jìn)一”。緊接著，結(jié)合小棒的擺法，思考在算式中應(yīng)如何表示“滿(mǎn)十進(jìn)一”？抽象出34+28的豎式寫(xiě)法。（3）計(jì)算46+24。想一想怎樣列式？先算什么？后算什么？怎樣算？（4）提問(wèn)：筆算兩位數(shù)加法，應(yīng)注意什么問(wèn)題？經(jīng)過(guò)學(xué)生發(fā)言、補(bǔ)充、修改，得出：“相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起，個(gè)位相加滿(mǎn)十，向十位進(jìn)1”的兩位數(shù)加法法則。4、突出算理，以理馭法學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)規(guī)則，不僅要知道該怎樣算，而且要知道為什么這樣算，使學(xué)生明白算理，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)規(guī)則。如有必要，可繼續(xù)思考，在不違反算理的前提下，還可怎么計(jì)算？鼓勵(lì)學(xué)生以自己喜歡的方式進(jìn)行計(jì)算。（三）規(guī)則的鞏固和運(yùn)用新規(guī)則建立之后，要及時(shí)安排練習(xí)，鞏固和運(yùn)用新規(guī)則。要避免讓學(xué)生機(jī)械運(yùn)用程序規(guī)則，減少簡(jiǎn)單重復(fù)的、單純的技能性訓(xùn)練，應(yīng)注意以下問(wèn)題。1、加強(qiáng)練習(xí)的目的性加強(qiáng)練習(xí)的目的性，是避免重復(fù)的機(jī)械訓(xùn)練的有效方法。讓學(xué)生明了練習(xí)目的，感受到練習(xí)的意義，可提高學(xué)生的練習(xí)興趣和練習(xí)效率。練習(xí)的形式通常有：（1）鞏固練習(xí)。一般在新規(guī)則建立后，要組織適量的直接應(yīng)用規(guī)則的基本練習(xí)，以幫助記憶新規(guī)則。（2）重點(diǎn)練習(xí)。許多新規(guī)則建立在舊規(guī)則之上，其中有些是舊規(guī)則的原有內(nèi)容，新就新在一個(gè)點(diǎn)上，這一點(diǎn)即是新規(guī)則的重點(diǎn)。此外，容易與其他規(guī)則混淆的易混點(diǎn)，容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的易錯(cuò)點(diǎn)也是新規(guī)則的重點(diǎn)。圍繞新規(guī)則的重點(diǎn)安排練習(xí)，可以達(dá)到以少勝多的訓(xùn)練價(jià)值。例如，在學(xué)習(xí)小數(shù)乘法法則中，積的小數(shù)點(diǎn)位置確定是全新點(diǎn)，也是易錯(cuò)點(diǎn)。為此，可設(shè)計(jì)如下練習(xí)：已知6824=1632，那么6.82.4=，0.680.24=。（3）糾錯(cuò)練習(xí)。即學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤，要及時(shí)發(fā)現(xiàn)、及時(shí)糾正，有計(jì)劃地組織糾錯(cuò)練習(xí)。（4）發(fā)展練習(xí)和綜合練習(xí)。為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，還應(yīng)安排一些有意義、富有挑戰(zhàn)性的發(fā)展練習(xí)和綜合練習(xí)。2、創(chuàng)設(shè)有趣味的練習(xí)情境單純的技能練習(xí)沒(méi)有情節(jié)，枯燥乏味。為練習(xí)安排實(shí)際的生活背景、游戲情節(jié)、競(jìng)賽氣氛、探索手段、采用多樣化的練習(xí)方式，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生練習(xí)各級(jí)性，提高練習(xí)效率。3、練習(xí)設(shè)計(jì)要有坡度練習(xí)設(shè)計(jì)要由易到難，一般先安排一定數(shù)量的基本練習(xí)題，再安排改變呈現(xiàn)形式的變式題，需要認(rèn)真思考的發(fā)展題，最后安排綜合運(yùn)用知識(shí)的綜合題。還可適當(dāng)安排發(fā)展學(xué)生思維的思考題。4、練習(xí)分量適當(dāng)，時(shí)間分配合理沒(méi)有一定分量的練習(xí)，學(xué)生很難形成應(yīng)用規(guī)則的技能。練習(xí)分量過(guò)大，會(huì)增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，使學(xué)生失去興趣。一次練習(xí)的時(shí)間不宜過(guò)長(zhǎng)，一般把學(xué)生練習(xí)與教師講述、師生互動(dòng)相互穿插進(jìn)行。5、練習(xí)要有一定彈性對(duì)于不同層次的學(xué)生，練習(xí)要求不同。布置練習(xí)作業(yè)時(shí)，要有面向全體學(xué)生的必作題，也要有些供學(xué)有余力的同學(xué)選做的選作題和思考題，使各層次的學(xué)生都獲得發(fā)展。7.2.3小學(xué)數(shù)學(xué)規(guī)則教學(xué)中應(yīng)注意的問(wèn)題（一）重視算法的多樣化由于兒童數(shù)學(xué)能力的水平差異，以及他們對(duì)數(shù)的認(rèn)知模式的差異，在運(yùn)算中的思維推理過(guò)程會(huì)有較大的差異，這就形成了不同兒童的算法的多樣化。算法的多樣化，不僅是由于這些客觀原因所形成的一種客觀的現(xiàn)象，同時(shí)，倡導(dǎo)算法的多樣化，也是發(fā)展兒童運(yùn)算思維的一條有效的途徑。因此，倡導(dǎo)算法的多樣化，就能促進(jìn)兒童形成獨(dú)立的、開(kāi)放性的思維。例如，在學(xué)習(xí)一位數(shù)乘法時(shí)，面對(duì)教師呈現(xiàn)的問(wèn)題情境：“一個(gè)小皮球要12元，4個(gè)這樣的皮球要多少元？”學(xué)生遇到了這樣一個(gè)算題：124。于是，教師鼓勵(lì)學(xué)生自己去嘗試解決這個(gè)算題。結(jié)果，不同的學(xué)生得出了許多不同的算法：（1）12+12+12+12=48（2）4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4+4=48（3）122+122=48（4）624=68=48（5）（6+6）4=64+64=48（6）1222=242=48（7）12450（8）104+24=40+8=48（9）104+4+4=48（10）10+10+10+10+2+2+2+2=48（11）410+42=40+8=48顯然，這些算法都顯示不同學(xué)生對(duì)算題的不同思考，相對(duì)于算法（1）、（2）來(lái)說(shuō)，這些學(xué)生對(duì)算題的理解是建立在加法意義上的，因此，思考的策略也就較多地傾向“加”的運(yùn)算；相對(duì)于算法（10）的學(xué)生來(lái)說(shuō)，雖然他們對(duì)算題的理解也是建立在加法意義上的，但是能顯示出對(duì)數(shù)之間關(guān)系（如數(shù)的組合等）的認(rèn)識(shí)較為清晰；而對(duì)于使用算法（3）、（5）、（8）、（9）、（11）的學(xué)生來(lái)說(shuō)，雖然他們對(duì)算式的理解主要也是建立在加法意義之上，但是，可以發(fā)現(xiàn)他們對(duì)數(shù)之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)似乎更加精細(xì)些，而且已經(jīng)構(gòu)建了初步的“轉(zhuǎn)化思想”。當(dāng)然，如果更具體地去分析，算法（8）與算法（9）也有明顯的差異，前者基于乘法意義的理解更多些，而后者基于加法意義的理解更多些。同樣的，算法（9）與算法（11）也有區(qū)別，雖然兩者實(shí)際上都已經(jīng)將124看作了412，擺脫了對(duì)具體情境的依賴(lài)，初步具有了等量變換的思想，但是，后者的思考似乎基于對(duì)乘法意義的理解更多些；對(duì)于使用算法（4）、（6）的學(xué)生來(lái)說(shuō)，可能他們對(duì)數(shù)的關(guān)系認(rèn)識(shí)更為清晰，而且思維中已經(jīng)開(kāi)始采用了類(lèi)似“分解因數(shù)”策略，以“化歸”的數(shù)學(xué)方法來(lái)解決“難題”；而對(duì)于使用算法（7）的學(xué)生來(lái)說(shuō)，明顯可以感受到他們對(duì)策略的思考大于對(duì)精確結(jié)果的思考，數(shù)的位置感是比較良好的，而且善于在實(shí)際情境中運(yùn)用自己的運(yùn)算技能。當(dāng)然，教學(xué)中，目標(biāo)不能僅僅停留在學(xué)生能給出多少種不同的算法，第一是要求學(xué)生按自己的理解給出自己認(rèn)為最好的算法，而不能一味地“求異”，反而拋棄了自己真實(shí)的理解；第二是要求學(xué)生在給出自己的算法后，能有條有理地推理、有依據(jù)地作出解釋和說(shuō)明，尤其要能說(shuō)出自己最初的思考過(guò)程，這樣才能真正起到發(fā)展兒童思維的作用。同時(shí)，以下兩個(gè)問(wèn)題值得探討：（1）在規(guī)則學(xué)習(xí)中除了需要給學(xué)生一種經(jīng)濟(jì)有效的算法之外，是否還需要鼓勵(lì)這種算法的多樣化？也就是說(shuō)，如何處理算法的多樣化與優(yōu)化之間的問(wèn)題。這一方面涉及是否能真正注意到兒童學(xué)習(xí)水平及其策略形成的差異性的問(wèn)題，即兒童有著算法多樣化的可能。另一方面還涉及是否能真正為學(xué)生構(gòu)建一個(gè)獨(dú)立思考和創(chuàng)造性思考的空間的問(wèn)題，即算法多樣化不是一種追求的形式，其價(jià)值在于激發(fā)學(xué)生的獨(dú)立思考和思維的創(chuàng)造性。（2）在規(guī)則學(xué)習(xí)中鼓勵(lì)算法多樣化了，是否還需要給學(xué)生一種經(jīng)濟(jì)有效的算法？也就是說(shuō)，如何處理算法的一般化與特殊化的問(wèn)題。一方面，統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)化的算法是否是每一個(gè)學(xué)生都必須理解與掌握的定向技能目標(biāo)？還是僅僅為學(xué)生提供一種思考上的方向？另一方面，統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)化的算法在何時(shí)呈現(xiàn)？以何種方法予以呈現(xiàn)？有一點(diǎn)是可以肯定的，在實(shí)際情境中，每