高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（新人教A專(zhuān)用）第01講 空間向量與立體幾何（學(xué)生卷）

第01講空間向量與立體幾何【【考點(diǎn)目錄】【【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1空間向量的有關(guān)概念1．在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長(zhǎng)度或模．注：數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點(diǎn)無(wú)關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱(chēng)之為自由向量。2.表示法：（1）幾何表示法：空間向量用有向線(xiàn)段表示，有向線(xiàn)段的長(zhǎng)度表示空間向量的模（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則a也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.3．幾類(lèi)特殊的空間向量名稱(chēng)定義表示法零向量規(guī)定長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量記為0單位向量模為1的向量叫做單位向量|a|＝1或|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝1相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量記為－a共線(xiàn)向量如果表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，那么這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)于任意向量a，都有0∥aa∥b或eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))相等向量方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量．在空間，同向且等長(zhǎng)的有向線(xiàn)段表示同一向量或相等向量a＝b或eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))知識(shí)點(diǎn)2空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算（一）空間向量的加減運(yùn)算加法運(yùn)算三角形法則語(yǔ)言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語(yǔ)言敘述共起點(diǎn)的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點(diǎn)對(duì)角線(xiàn)為和圖形敘述減法運(yùn)算三角形法則語(yǔ)言敘述共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量圖形敘述加法運(yùn)算交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)（二）空間向量的數(shù)乘運(yùn)算定義與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱(chēng)為空間向量的數(shù)乘幾何意義λ>0λa與向量a的方向相同λa的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的|λ|倍λ<0λa與向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的運(yùn)算律結(jié)合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb知識(shí)點(diǎn)3共線(xiàn)向量與共面向量1．共線(xiàn)向量與共面向量的區(qū)別共線(xiàn)(平行)向量共面向量定義表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合，這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量注：規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a，都有0∥a.平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量充要條件共線(xiàn)向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使a＝λb.注：（1）存在唯一實(shí)數(shù)，使得；（2）存在唯一實(shí)數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實(shí)數(shù)就不唯一．共面向量定理：若兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.對(duì)空間任一點(diǎn)O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．1、空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點(diǎn)O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).2、空間中四點(diǎn)共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得對(duì)空間中任意一點(diǎn)，都有用途共線(xiàn)向量定理的用途：①判定兩條直線(xiàn)平行；（進(jìn)而證線(xiàn)面平行）②證明三點(diǎn)共線(xiàn)。注意：證明平行時(shí)，先從兩直線(xiàn)上取有向線(xiàn)段表示兩個(gè)向量，然后利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算證明向量共線(xiàn)，進(jìn)而可以得到線(xiàn)線(xiàn)平行，這是證明平行問(wèn)題的一種重要方法。證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，通常不用圖形，直接利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個(gè)公共點(diǎn)。共面向量定理的用途：①證明四點(diǎn)共面②線(xiàn)面平行（進(jìn)而證面面平行）。2.直線(xiàn)l的方向向量如圖O∈l，在直線(xiàn)l上取非零向量a，設(shè)P為l上的任意一點(diǎn)，則?λ∈R使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝λa.定義：把與a平行的非零向量稱(chēng)為直線(xiàn)l的方向向量．知識(shí)點(diǎn)4空間向量的夾角定義如圖，已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉范圍0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b知識(shí)點(diǎn)5空間向量的數(shù)量積運(yùn)算1．(1)空間向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.注：等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積．(2)運(yùn)算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c2.投影向量及直線(xiàn)與平面所成的角(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線(xiàn)的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱(chēng)為向量a在向量b上的投影向量．類(lèi)似地，可以將向量a向直線(xiàn)l投影(如圖②)．(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線(xiàn)，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱(chēng)為向量a在平面β上的投影向量．這時(shí)，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線(xiàn)與平面β所成的角．知識(shí)點(diǎn)6空間向量數(shù)量積運(yùn)算律及性質(zhì)1、數(shù)量乘積的運(yùn)算律：；；．2、若，為非零向量，為單位向量，則有；；，，；；．知識(shí)點(diǎn)7空間向量基本定理1．定理如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，則稱(chēng)xa+yb+zc為p在基底{a，b，c}下的分解式.2．空間向量的正交分解(1)單位正交基底：空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?，且長(zhǎng)度都為1，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：由空間向量基本定理可知，對(duì)空間中的任意向量a，均可以分解為三個(gè)向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像這樣，把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量，叫做把空間向量正交分解．知識(shí)點(diǎn)8空間向量基本定理應(yīng)用1、證明平行、共面問(wèn)題(1)對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個(gè)向量a，b不共線(xiàn)，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)直線(xiàn)平行和點(diǎn)共線(xiàn)都可以轉(zhuǎn)化為向量共線(xiàn)問(wèn)題；點(diǎn)線(xiàn)共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問(wèn)題．2、求夾角、證明垂直問(wèn)題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.3、求距離(長(zhǎng)度)問(wèn)題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．知識(shí)點(diǎn)9空間直角坐標(biāo)系1．空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，j，k}，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较?，以它們的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(2)相關(guān)概念：O叫做原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過(guò)每?jī)蓷l坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱(chēng)為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個(gè)部分．注意點(diǎn)：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0.(2)畫(huà)空間直角坐標(biāo)系Oxyz時(shí)，一般使∠x(chóng)Oy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐標(biāo)系均為右手直角坐標(biāo)系．在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱(chēng)這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．2．空間一點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)（1）空間點(diǎn)的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任意一點(diǎn)A，對(duì)應(yīng)一個(gè)向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點(diǎn)A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)．注：空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)點(diǎn)的位置x軸上y軸上z軸上坐標(biāo)的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)點(diǎn)的位置Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)坐標(biāo)的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)（2）空間點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題①空間點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題可類(lèi)比平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題，要掌握對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．②對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的問(wèn)題常常采用“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱(chēng)，誰(shuí)保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個(gè)結(jié)論．（3）空間向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，可簡(jiǎn)記作a＝(x，y，z)．知識(shí)點(diǎn)10空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算1．空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則設(shè)向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運(yùn)算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa(λa1，λa2，λa3)數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3注意點(diǎn)：(1)空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致．(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一個(gè)空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)．(3)運(yùn)用公式可以簡(jiǎn)化運(yùn)算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量線(xiàn)性運(yùn)算的結(jié)果仍是向量，用坐標(biāo)表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量．2．空間向量相關(guān)結(jié)論的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有(1)平行關(guān)系：當(dāng)b≠0時(shí)，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；(2)垂直關(guān)系：a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(3)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).3．空間兩點(diǎn)間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．(1)eq\o(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2).(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2＋z2).知識(shí)點(diǎn)11空間中點(diǎn)、直線(xiàn)和平面的向量表示1．空間直線(xiàn)的向量表示式設(shè)A是直線(xiàn)上一點(diǎn)，a是直線(xiàn)l的方向向量，在直線(xiàn)l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，設(shè)P是直線(xiàn)l上任意一點(diǎn)，(1)點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).(2)取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t.使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta.(3)取定空間中的任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線(xiàn)l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).2．空間平面的向量表示式①如圖，設(shè)兩條直線(xiàn)相交于點(diǎn)O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.②如圖，取定空間任意一點(diǎn)O，空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實(shí)數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我們把這個(gè)式子稱(chēng)為空間平面ABC的向量表示式．③由此可知，空間中任意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線(xiàn)向量唯一確定．如圖，直線(xiàn)l⊥α，取直線(xiàn)l的方向向量a，我們稱(chēng)向量a為平面α的法向量．給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量a，那么過(guò)點(diǎn)A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．知識(shí)點(diǎn)12空間平行、垂直關(guān)系的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線(xiàn)l1，l2的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量．線(xiàn)線(xiàn)平行l(wèi)1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2注：此處不考慮線(xiàn)線(xiàn)重合的情況．但用向量方法證明線(xiàn)線(xiàn)平行時(shí)，必須說(shuō)明兩直線(xiàn)不重合證明線(xiàn)線(xiàn)平行的兩種思路：①用基向量表示出要證明的兩條直線(xiàn)的方向向量，通過(guò)向量的線(xiàn)性運(yùn)算，利用向量共線(xiàn)的充要條件證明．②建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量平行的坐標(biāo)表示．線(xiàn)面平行l(wèi)1∥α?u1⊥n1?u1·n1＝0注：證明線(xiàn)面平行時(shí)，必須說(shuō)明直線(xiàn)不在平面內(nèi)；(1)證明線(xiàn)面平行的關(guān)鍵看直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直．(2)特別強(qiáng)調(diào)直線(xiàn)在平面外．面面平行α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2注:證明面面平行時(shí)，必須說(shuō)明兩個(gè)平面不重合．(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行然后用向量共線(xiàn)進(jìn)行證明．線(xiàn)線(xiàn)垂直l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0(1)兩直線(xiàn)垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線(xiàn)的方向向量相互垂直．(2)基向量法證明兩直線(xiàn)垂直即證直線(xiàn)的方向向量相互垂直，坐標(biāo)法證明兩直線(xiàn)垂直即證兩直線(xiàn)方向向量的數(shù)量積為0.線(xiàn)面垂直l1⊥α?u1∥n1??λ∈R，使得u1＝λn1（1）基向量法：選取基向量，用基向量表示直線(xiàn)所在的向量，證明直線(xiàn)所在向量與兩個(gè)不共線(xiàn)向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（2）坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)方向向量的坐標(biāo)，證明直線(xiàn)的方向向量與兩個(gè)不共線(xiàn)向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（3）法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線(xiàn)方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說(shuō)明直線(xiàn)方向向量與平面法向量共線(xiàn)，從而證得結(jié)論．面面垂直α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直知識(shí)點(diǎn)13空間距離及向量求法分類(lèi)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離點(diǎn)到平面的距離圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言設(shè)u為直線(xiàn)l的單位方向向量，A∈l，Pl，eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，向量eq\o(AP,\s\up7(→))在直線(xiàn)l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up7(→))（eq\o(AQ,\s\up7(→))＝(a·u)u.），則PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2)設(shè)已知平面α的法向量為n，A∈α，Pα，向量eq\o(AQ,\s\up7(→))是向量eq\o(AP,\s\up7(→))在平面上的投影向量，PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(AP,\s\up7(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|eq\o(AP,\s\up7(→))·n|,|n|)注：實(shí)質(zhì)上，n是直線(xiàn)l的方向向量，點(diǎn)P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線(xiàn)l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長(zhǎng)度．知識(shí)點(diǎn)14空間角及向量求法角的分類(lèi)向量求法范圍異面直線(xiàn)所成的角設(shè)兩異面直線(xiàn)所成的角為θ，兩直線(xiàn)的方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)兩異面直線(xiàn)所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩異面直線(xiàn)所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)的關(guān)系．直線(xiàn)與平面所成的角設(shè)直線(xiàn)l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)(1)線(xiàn)面角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(2)直線(xiàn)與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角．兩平面的夾角平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，把不大于eq\f(π,2)的二面角稱(chēng)為這兩個(gè)平面的夾角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，兩平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)(1)兩個(gè)平面的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))(2)兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補(bǔ)角．【【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一空間向量及其線(xiàn)性運(yùn)算1．（2023·重慶·高二期末）在長(zhǎng)方體中，（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南益陽(yáng)·高二期末）在四面體中，為的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，且，則（

）A． B．C． D．3．（2023·陜西商洛·高二期末（理））在平行六面體中，點(diǎn)在上，且，若，則（

）A． B．1 C． D．4．（2023·福建師大附中高二期末）如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）.A． B．C． D．考點(diǎn)二共線(xiàn)問(wèn)題5．（2023·全國(guó)·高二期末）已知空間向量，，且，，，則一定共線(xiàn)的三點(diǎn)是（）A． B． C． D．6．（2023·山西呂梁·高二期末）在平行六面體中，點(diǎn)P在上，若，則（

）A． B． C． D．7．（2023·上海松江·高二期末）設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點(diǎn)，且，若，則為（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三共面問(wèn)題8．【多選】（2023·廣東江門(mén)·高二期末）若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．9．（2023·山東·巨野縣第一中學(xué)高二期末）對(duì)于空間一點(diǎn)O和不共線(xiàn)三點(diǎn)A，B，C，且有，則（

）A．O，A，B，C四點(diǎn)共面 B．P，A，B，C四點(diǎn)共面C．O，P，B，C四點(diǎn)共面 D．O，P，A，B，C五點(diǎn)共面10．（2023·上海市建平中學(xué)高二期末）已知A?B?C?D?E是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A?B?C不共線(xiàn)，則“平面ABC”是“存在實(shí)數(shù)x?y，使得的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件11．（2023·福建廈門(mén)·高二期末）已知是空間的一個(gè)基底，，，，若四點(diǎn)共面．則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．12．（2023·江西·臨川一中高二期末（理））已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．－613．（2023·全國(guó)·高二期末）已知，，，若P，A，B，C四點(diǎn)共面，則λ=___________.考點(diǎn)四空間向量基本定理14．（2023·重慶長(zhǎng)壽·高二期末）如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（

）A． B．C． D．15．（2023·天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校高二期末）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，若，，，則（

）A． B．C． D．16．（2023·河南鄭州·高二期末（理））已知三棱錐O—ABC，點(diǎn)M，N分別為線(xiàn)段AB，OC的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B． C． D．17．（2023·江蘇無(wú)錫·高二期末）定義：設(shè)是空間的一個(gè)基底，若向量，則稱(chēng)有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標(biāo)．已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個(gè)基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為．(1)求向量在基底下的坐標(biāo)；(2)求向量在基底下的模．考點(diǎn)五空間向量的數(shù)量積及其性質(zhì)的應(yīng)用18．（2023·廣西欽州·高二期末（理））如圖，正四棱柱是由四個(gè)棱長(zhǎng)為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則集合的元素個(gè)數(shù)（

）A．1 B．2 C．4 D．819．（2023·福建省華安縣第一中學(xué)高二期末）三棱錐中，，，，則______．20．（2023·河南焦作·高二期末（理））已知在四面體ABCD中，，，則______．21．（2023·河南新鄉(xiāng)·高二期末（理））已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．22．（2023·北京昌平·高二期末）已知正三棱錐的底面的邊長(zhǎng)為2，M是空間中任意一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．23．（2023·江蘇省揚(yáng)州市教育局高二期末）如圖，平行六面體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，且，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．24．（2023·江蘇宿遷·高二期末）四面體中，，則（

）A． B． C． D．25．（2023·福建廈門(mén)·高二期末）在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°26．（2023·全國(guó)·高二期末）已知，，，，點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)取最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是______27．【多選】（2023·湖北黃岡·高二期末）棱長(zhǎng)為2的正方體的側(cè)面(含邊界)內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則存在非零向量使考點(diǎn)六空間向量的運(yùn)算的坐標(biāo)表示空間向量坐標(biāo)的基本運(yùn)算28．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二期末（理））已知向量，則（

）A． B． C． D．29．（2023·重慶九龍坡·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（

）A．（3，1，﹣2） B．（-3，1，2） C．（-3，1，-2） D．（3，-1，2）30．（2023·福建寧德·高二期末）已知，，，則的坐標(biāo)為_(kāi)_____．31．（2023·陜西·綏德中學(xué)高二期末（理））若,,則與同方向的單位向量是_______.32．【多選】（2023·福建三明·高二期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（

）A．點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0，2）B．C．的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1，1）D．點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（－2，2，－2）空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算33．（2023·河南焦作·高二期末（理））已知向量，，且，則的值為（

）A． B． C．或 D．或34．（2023·浙江·杭州四中高二期末）已知向量，，且與互相平行，則（

）A． B． C． D．35．（2023·北京昌平·高二期末）已知是直線(xiàn)的方向向量，是直線(xiàn)的方向向量．若直線(xiàn)，則________．36．（2023·重慶長(zhǎng)壽·高二期末）已知是直線(xiàn)l的方向向量，為平面的法向量，若，則y的值為（

）A． B．C． D．4空間向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算37．（2023·廣東廣州·高二期末）已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m的值是___________.38．【多選】（2023·福建福州·高二期末）已知空間向量，且，則（

）A． B． C． D．39．（2023·河北保定·高二期末）已知，，若，則實(shí)數(shù)______．40．（2023·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高二期末（文））已知向量a→=(1，1，k)，b→=(?1，0，?1)，c→=(0，2，1)，且向量A． B． C． D．空間向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算41．（2023·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高二期末）若點(diǎn)，，點(diǎn)在軸上，且則______.42．（2023·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二期末）已知向量，，若與垂直，則___________.43．（2023·江蘇·南京市大廠(chǎng)高級(jí)中學(xué)高二期末）向量，，，且，，則______.44．（2023·江蘇·沭陽(yáng)如東中學(xué)高二期末）已知，則的最小值（

）A． B． C． D．空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算45．（2023·吉林遼源·高二期末）已知空間向量，是單位向量，，則向量與的夾角為_(kāi)_____.46．（2023·全國(guó)·高二期末）若向量，，，夾角為鈍角，則的取值范圍是______.47．（2023·江蘇淮安·高二期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，M為PC上一動(dòng)點(diǎn)，，若∠BMD為鈍角，則實(shí)數(shù)t可能為（

）A． B． C． D．48．（2023·廣東江門(mén)·高二期末）若兩個(gè)單位向量與向量的夾角都等于，則__________.空間向量投影的坐標(biāo)運(yùn)算49．（2023·上海金山·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為_(kāi)_______.50．（2023·天津天津·高二期末）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________．51．（2023·廣東惠州·高二期末）已知，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．考點(diǎn)七空間向量在立體幾何平行、垂直問(wèn)題中的應(yīng)用平行問(wèn)題52．（2023·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高二期末（文））如圖，已知四棱錐的底面是矩形，平面分別是棱的中點(diǎn)．(1)求證：∥平面；(2)求平面與平面夾角的大?。?3．（2023·安徽滁州·高二期末）如圖，在多面體ABCDEF中，AD⊥平面ABC，AD//BE//CF，且AD＝1，BE＝5，CF＝3，△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，G是AB的中點(diǎn)．(1)求證：CG//平面DEF；(2)求二面角的余弦值．垂直問(wèn)題54．（2023·安徽省宿州市第二中學(xué)高二期末）如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M為BC的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求平面PAM與平面ABCD的夾角的大??；(3)求點(diǎn)D到平面AMP的距離.55．（2023·福建福州·高二期末）如圖，在正四棱柱中，已知，，E，F(xiàn)分別為，上的點(diǎn)，且．(1)求證：平面ACF：(2)求點(diǎn)B到平面ACF的距離．56．（2023·湖北恩施·高二期末）在三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點(diǎn)，P是C1C的中點(diǎn).(1)證明：平面A1BC⊥平面POB；(2)求二面角B1－A1B－C的余弦值.綜合問(wèn)題57．（2023·浙江·杭州四中高二期末）已知平面法向量為，直線(xiàn)的方向向量為，則（

）A．與平行 B．與垂直C．與相交但不垂直 D．以上都不對(duì)58．【多選】（2023·廣東深圳·高二期末）直三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．對(duì)于棱上任意點(diǎn)，有B．棱上存在點(diǎn)，使得面C．對(duì)于棱上任意點(diǎn)，有面D．棱上存在點(diǎn)，使得59．（2023·北京房山·高二期末）如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，直線(xiàn)平面B．直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，直線(xiàn)平面C．直線(xiàn)與直線(xiàn)異面，直線(xiàn)平面D．直線(xiàn)與直線(xiàn)相交，直線(xiàn)平面考點(diǎn)八空間角的計(jì)算異面直線(xiàn)所成的角60．（2023·廣東江門(mén)·高二期末）在直三棱柱中，分別是的中點(diǎn)，，則與所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．61．（2023·貴州六盤(pán)水·高二期末（理））如圖是正方體的平面展開(kāi)圖，則在這個(gè)正方體中：①BM與ED平行②BM與CE垂直③CE與平面ABCD所成角的正切值為④CN與BM所成角為以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④62．（2023·黑龍江·雙鴨山一中高二期末）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，面，，點(diǎn)為線(xiàn)段中點(diǎn)(1)求證：面；(2)求異面直線(xiàn)與所成角的大小.直線(xiàn)與平面所成的角63．【多選】（2023·山東·巨野縣第一中學(xué)高二期末）已知在直三棱柱中，底面是一個(gè)等腰直角三角形，且，E、F、G、M分別為的中點(diǎn)．則（

）A．與平面夾角余弦值為 B．與所成角為C．平面EFB D．平面⊥平面64．（2023·河南南陽(yáng)·高二期末（理））如圖，四邊形為直角梯形，且，為正方形，且平面平面，，，，則______，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為_(kāi)_____．65．（2023·福建省仙游縣度尾中學(xué)高二期末）如圖，在三棱錐中，是正三角形，，是的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值．66．（2023·甘肅·測(cè)試·編輯教研五高二期末（理））如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)，分別在棱，上，且，，為棱的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.67．（2023·四川綿陽(yáng)·高二期末（理））如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)若直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為時(shí)，求二面角的余弦值.平面與平面所成的角（二面角）68．（2023·青海玉樹(shù)·高二期末（理））如圖,在四棱錐中,平面,,正方形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)O．(1)求證:平面PAC;(2)求二面角的余弦值．69．（2023·云南曲靖·高二期末）如圖所示，⊥平面，四邊形為矩形，，.(1)求證：∥平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.70．（2023·廣東中山·高二期末）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求平面和平面的夾角大小.71．（2023·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若點(diǎn)在棱上，，且二面角為30°，求的值.考點(diǎn)九空間距離的計(jì)算點(diǎn)到直線(xiàn)的距離72．（2023·吉林白山·高二期末）已知，，，則點(diǎn)C到直線(xiàn)AB的距離為（

）A．3 B． C． D．73．（2023·安徽省宿州市第二中學(xué)高二期末）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且是的方向向量，則點(diǎn)到的距離為（

）A． B． C． D．74．（2023·青海海東·高二期末（理））在正方體中，分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是（

）A． B． C． D．點(diǎn)到平面的距離、直線(xiàn)到平面的距離、平面到平面的距離75．（2023·上海市奉賢中學(xué)高二期末）經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)到平面的距離為_(kāi)_____.76．（2023·青?！ずＤ喜刈遄灾沃莞呒?jí)中學(xué)高二期末（理））設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則點(diǎn)到平面的距離是（

）A． B． C． D．77．（2023·江蘇·南京師大附中高二期末）在矩形ABCD中，，點(diǎn)E是線(xiàn)段AD的中點(diǎn)，將△ABE沿BE折起到△PBE位置（如圖），點(diǎn)F是線(xiàn)段CP的中點(diǎn)．(1)求證：DF∥平面PBE：(2)若二面角的大小為，求點(diǎn)A到平面PCD的距離．78．（2023·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）若兩平行平面、分別經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量為，則兩平面間的距離是______．異面直線(xiàn)的距離79．（2023·福建·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）如圖，在正方體中，AB＝1，M，N分別是棱AB，的中點(diǎn)，E是BD的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)，EN間的距離為_(kāi)_____.80．（2023·浙江寧波·高二期末）如圖，正四棱